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【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件:3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式


第二节

同角三角函数的基本关系及诱导公式

【知识梳理】
1.必会知识 教材回扣 填一填

(1)同角三角函数的基本关系: sin2α +cos2α =1 ①平方关系:_______________.
sin? ②商数关系:__________. cos? tan?=

(2)三角函数的诱导公式:

组数
角 正弦 余弦 正切


2kπ +α (k∈Z) sinα cosα tanα


π +α





π -α


? ?? 2


? ?? 2

-sinα _______ -sinα sinα cosα ______ ______ ______ -cosα ______ cosα -cosα sinα ______ _______ ______ tanα _______ -tanα -tanα ______ _______

cosα ______ -sinα _______

2.必备结论

教材提炼

记一记

1-sin2α (1)sin2α =1-cos2α ,cos2α =________.

(2)特殊角的三角函数值 角α 角α 的 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 0 0 __ 1 __
? 6 1 ___ 2 ? 4 ? 3 ? 2 2? 3 5? 6 1 ____ 2

弧度数
sinα cosα tanα

π 0 -1 0

2 2 2 2

3 ___ 2
1 ___ 2

1 0

3 ____ 2
1 2 ____ ?

3 ___ 2 3 ___ 3

3 ? ____ 2 3 ____ 3 ?

0 __

1

3 ___

? 3 ____

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:统一法,整体代换法. (2)数学思想:转化与化归的思想. (3)记忆口诀:三角函数诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变,符号看象 限”.

【小题快练】 1.思考辨析静心思考判一判 (1)120°角的正弦值是 1 ,余弦值是 ? 3 . (
2

2

) ) )

(2)同角三角函数关系式中的角α 是任意角.( (3)六组诱导公式中的角α 可以是任意角.(

(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变,符号看象限”中的“符号”与α 的大小无关.( )

【解析】(1)错误.sin 120°=sin(180°-60°)=sin 60°= 3 , cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°= ? 1 .
? (2)错误.在tan α= sin ? 中α≠ +kπ,k∈Z. cos ? 2 2

2

(3)错误.对于正、余弦的诱导公式角α可以为任意角,而对于正切的 诱导公式α≠ ? +kπ,k∈Z.
2

(4)正确.诱导公式的“符号看象限”中的符号是把任意角α都看成锐 角时原函数值的符号,因而与α的大小无关. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√

2.教材改编

链接教材

练一练
? 4 ? 4

(1)(必修4P21T5改编)已知f(x)= sin(x ? ) ? 2sin(x ? ) ? 4cos 2x ?
? 3 3cos(x ? ?), 则f(- )的值为( 4 4

) D.-9
2 2

A.0

B.1
4

C.-5

【解析】选C.f(- ? )=sin 0+2sin(- ? )-4cos(- ? )+3cos(-π)= 0+2×(-1)-4×0+3×(-1)=-5.

?cos ? =______. (2)(必修4P22T3改编)已知tan α =-2,则 3sin 2 2 ? ?6 【解析】原式= 3tan ? ? ?2. 2 tan ? ? 1 4 ?1 sin ? ? cos ?

答案:-2

3.真题小试

感悟考题

试一试
)

(1)(2015·泰安模拟)sin 600°的值为(
A. ? 1 2 B. ? 3 2 C. 1 2 D. 3 2

【解析】选B.sin 600°=sin(360°+240°)=sin 240°=sin(180°+ 60°)=-sin 60°= ? 3 .
2

(2)(2015·梅州模拟)已知α 为锐角,且tan(π -α )+3=0,则sin α
的值是(
A. 1 3

)
B. 3 10 10 C. 3 7 7 D. 3 5 5

【解析】选B.方法一:由tan(π-α)+3=0得tan α=3,即 sin ? ? 3, sin α=3cos α,所以sin2α=9(1-sin2α),10sin2α=9,sin2α= 9 . 又因为α为锐角,所以sin α=
3 10. 10 10 cos ?

方法二:因为α为锐角,且tan(π-α)+3=0,所以-tan α+3=0即 tan α=3.在如图直角三角形中,令A=α,BC=3则AC=1,故
AB ? 32 ? 12 ? 10. 3 3 所以 sin ? ? ? 10. 10 10

考点1

诱导公式的应用
6

【典例1】(1)(2015·兰州模拟)计算:2sin( ? 31 ? )+cos 12π + tan 7 ? =______.
4 6 3

(2)已知cos( ? -α )= 2 ,则sin(α - 2 ? )=_____.

3 3 sin(2? ? x) cos( ? ? x) 2 (3)(2015·淮南模拟)已知f(x)= , 11 cos(3? ? x) sin( ? ? x) 2 则f( ? 21? )=________. 4

【解题提示】(1)利用诱导公式化大角为小角,再求值.
(2)注意角 ? -α与α- 2 ? 的关系,用诱导公式转化求值.
6 3

(3)利用诱导公式先化简,再求值.

【规范解答】(1)原式= 2sin(?6? ? 5 ?) ? cos 0 ? tan(2? ? ? )
6 4 5 ? ? ? ? 2sin ? ? 1 ? tan ? 2sin(? ? ) ? 1 ? 1 ? 2sin ? 1. 6 4 6 6

答案:1

(2)因为 ( ? ? ?) ? (? ? 2 ?) ? ? ? ,

所以 sin(? ? 2 ?) ? sin[? ? ? ( ? ? ?)]
? ? ? 2 ? ?sin[ ? ( ? ?)] ? ?cos( ? ?) ? ? . 2 6 6 3 2 答案: ? 3 3 2 6

6

3

2

(3)因为f(x)=

sin(? x) sin x

? cos(? ? x) sin[6? ? ( ? x)] 2 sin 2 x sin 2 x 2 ? ? ? ? tan x. 2 ? cos x[?sin( ? x)] ?cos x 2 所以 f (? 21 ?) ? ? tan 2 (? 21 ?) ? ? tan 2 (?5? ? ? ) 4 4 4 ? ? ? ? tan 2 (? ) ? ? tan 2 ? ?1. 4 4

答案:-1

【互动探究】在本例题(2)的条件下,求 cos( 5? ? ?) sin(? ? ? ) 的值. 【解析】cos( 5? ? ?) sin(? ? ? )
6 3 6 3

? ? ? ? 4 ? cos[? ? ( ? ?)] sin[ ? ( ? ?)] ? ?cos 2 ( ? ?) ? ? . 6 2 6 6 9

【规律方法】 1.诱导公式的两个应用

(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.
(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.

2.含2π 整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π 的整数倍的三角函数式

中可直接将2π 的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π -α )=
cos(π -α )=-cos α .

【变式训练】(2015·济宁模拟)计算:sin(? 29 ?)+cos 12 ? tan 4? ?
22? 15? )+sin ? _______ . 3 2 【解析】原式 ? ?sin( 29 ?)+cos 12 ? tan 4? ? cos 22?+sin 15? ? 6 5 3 2 5? 12 4? 3? ?sin(4? ? )+cos ? tan 4? ? cos(6? ? )+sin(6? ? ) 6 5 3 2 5? 12 4? 3? ? ?sin +cos ? tan 0 ? cos +sin 6 5 3 2 ? ? 3? ? ?sin(? ? )+0 ? cos( ? ? )+sin 6 3 2 ? ? 1 1 ? ?sin ? cos ? 1 ? ? + ? 1 ? ?1. 6 3 2 2 cos(? 6 5

答案:-1

【加固训练】1.(2015·南昌模拟)已知sin(x+ ? )= 1 ,则cos(x+ 7 ? )
12 3 12

的值为(
A. 1 3

)
B. ? 1 3 C. ?

2 2 2 D. 2 3 3 【解析】选B.因为 sin(x ? ? ) ? 1 , 12 3 所以 cos(x ? 7 ?) ? cos[ ? ? (x ? ? )] ? ?sin(x ? ? ) ? ? 1 . 12 2 12 12 3

2.已知A= sin(k? ? ?) + cos(k? ? ?) (k∈Z),则A的值构成的集合是(
sin ? cos ?

)

A.{1,-1,2,-2}
C.{2,-2}

B.{-1,1}
D.{1,-1,0,2,-2}
sin ? cos ?

【解析】选C. 当k为偶数时,A= sin ? + cos ? ? 2;
?sin ? cos ? k为奇数时, A? ? ? ?2. sin ? cos ?

3.(2014·扬州模拟)已知点(tan 5? ,sin(- ? ))是角θ 终边上一点, 则cos( 5? +θ )=_______.
2 4 6 4 6

1 【解析】将(tan 5? ,sin(- ? ))化简得:(1,- ),在第四象限,

所以sin θ= ?

1 2

2

1 12 ? (? ) 2 2 则 cos( 5? ? ?) ? cos(2? ? ? ? ?) ? ?sin ? ? 5 . 2 2 5 答案: 5 5

5 ?? , 5

考点2

同角三角函数关系式的应用
13

【典例2】(1)(2015·青岛模拟)已知α 是第四象限角,sin α = ? 12 , 则tan α =(
A. ? 5 13 B.

)
5 13 C. ? 12 5 D. 12 5

(2)化简:(1+tan2 α )(1-sin2 α )=_______. (3)(2015·银川模拟) 若tan α = ? 4 ,则 sin ? ? 4cos ? =_______,
3 5sin ? ? 2cos ?

sin2α +2sin α cos α =__________.

【解题提示】(1)先求cos α,再求tan α,注意角α的范围. (2)切化弦,注意应用公式的变形. (3)第一个式子的分子分母都是关于sin α,cos α的一次式,第二 个式子的分母看成1,然后转化为sin2 α+cos2 α,此时分子分母都 是关于sin α,cos α的二次式,利用商数关系转化成关于tan α 的表达式求解.

【规范解答】(1)选C.因为α是第四象限角,sin α= ? 所以cos α= 1 ? sin 2 ? ? 5 , 故tan α= sin ? ? ? 12 .
13 cos ? 5 2 (2)原式= (1 ? sin ? )cos 2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1. cos 2 ?

12 , 13

答案:1

4 ? ?4 sin ? ? 4cos ? tan ? ? 4 8 3 ? ? ? . (3) 4 5sin ? ? 2cos ? 5tan ? ? 2 5 ? (? ) ? 2 7 3
sin 2 ? ? 2sin ?cos ? sin ?+2sin ?cos ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? 16 8 ? tan 2 ? ? 2tan ? 9 3 8 ? ? ? ? . 2 16 1 ? tan ? 25 1? 9 8 8 答案: ? 7 25
2

【一题多解】解答本例题(3),你还知道几种解法? 解答本题,还有以下两种解法:
3 cos ? 3 4 4 ? cos ? ? 4cos ? ? ?4 8 所以 sin ? ? 4cos ? ? 3 ? 3 ? . 5sin ? ? 2cos ? ? 20 cos ? ? 2cos ? ? 20 ? 2 7 3 3 16 8 16 8 cos 2 ? ? cos 2 ? ? 2 sin ? ? 2sin ?cos ? 9 8 2 3 9 3 sin ? ? 2sin ?cos ? ? ? ? ?? . 16 16 sin 2 ? ? cos 2? 25 cos 2 ? ? cos 2 ? ?1 9 9

方法一:因为tan α= sin ? ? ? 4 ,所以sin α= ? 4 cos ?,

方法二:因为tan α= sin ? ? ? 4 ,所以sin α= ? 4 cos α,
cos ? 3 3

又因为sin2 α+cos2 α=1,

所以 16 cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1,cos 2 ? ? 9 ,sin 2 ? ? 16 .
由tan α= ? 4 <0,知α是二、四象限角.
4 3 当α是第二象限角时, sin ? ? ,cos ? ? ? , 3 5 5 4 3 ? 4? 5 ? 8. 此时 sin ? ? 4cos ? ? 5 5sin ? ? 2cos ? 5 ? 4 ? 2 ? 3 7 5 5 4 3 当α是第四象限角时, sin ? ? ? ,cos ? ? , 5 5 9 25 25

4 3 ? ? 4? 5 ? 8. 此时 sin ? ? 4cos ? ? 5 5sin ? ? 2cos ? ?4 ? 2 ? 3 7 5 8 16 8 9 8 sin 2 ? ? 2sin ?cos ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? ? ? ?? . 3 25 3 25 25 答案:8 ? 8 7 25

【规律方法】同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2 α +cos2 α =1可实现 α 的正弦、余弦的互化,利用
sin ? =tan α 可以实现角 α 的弦切互化. cos ?

(2)关系式的逆用及变形用:1=sin2 α +cos2 α ,sin2 α =1-cos2 α ,

cos2 α =1-sin2 α .
(3)sin α ,cos α 的齐次式的应用:分式中分子与分母是关于sin α ,

cos α 的齐次式,或含有sin2α ,cos2α 及sin α cos α 的式子求值时,
可将所求式子的分母看作“1”,利用“sin2α +cos2α =1”代换后转化

为“切”后求解.

【变式训练】1.(2015·长沙模拟)化简:

1 1 tan x

=_______.

tan x ?

sin x 【解析】原式= tan x ? cos x ? sin xcos x tan 2 x ? 1 ( sin x ) 2 ? 1 sin 2 x ? cos 2 x cos x
1 ? sin xcos x ? sin 2x. 2 答案: 1 sin 2x 2

2.已知 sin x ? 3cos x ? 5,则sin xcos x+cos2x=____. 【解析】由已知,得 tan x ? 3 ? 5, 解得tan x=2,
3cos x ? sin x 3 ? tan x 2 sin xcos x ? cos x tan x ? 1 3 所以 sin xcos x ? cos 2 x ? ? ? . 2 2 2 sin x ? cos x tan x ? 1 5 3 答案: 5

【加固训练】1.(2015·海口模拟) 记cos(-80°)=k,那么tan 100° 等于(
1? k2 A. k

)
1? k2 B. ? k C. k 1? k
2

D. ?

k 1? k2

【解析】选B.因为cos(-80°)=cos 80°=k, 所以sin 80°= 1 ? cos2 80? ? 1 ? k 2 .

2 sin 80 ? 1 ? k 所以tan 100°=-tan 80°= ? ?? . cos 80? k

2.化简:cos4α -sin4α +1=

.

【解析】原式=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)+1 =cos2α-sin2α+1 =2cos2α. 答案:2cos2α

考点3

诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用
知·考情

利用诱导公式、同角三角函数关系式化简求值是高考的重点,常 与三角恒等变换结合,达到化简的目的,在高考中常以选择题、解答题 的形式出现.

明·角度 命题角度1:利用诱导公式求值 【典例3】(2014·安徽高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π )= f(x)+sin x,当0≤x<π 时,f(x)=0,则f( 23? )=(
6

)

A.

【解题提示】由函数f(x)满足的关系式,逐步降角,直到把 23 ? 转化
6

1 2

B.

3 2

C.0

D. ?

1 2

到区间[0,π)上,再利用当0≤x<π时,f(x)=0求值.

【规范解答】选A.由f(x+π)=f(x)+sin x,得 f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)

=f(x)+sin x-sin x=f(x),
23 11 ? )=f( ? ? 2? ) 6 6 =f( 11 ? )=f( ? ? 5 ? ) 6 6 =f( 5 ? )+sin 5 ? . 6 6

所以f(

因为当0≤x<π时,f(x)=0.
所以 f( 23 ?) ? 0 ? 1 ? 1 .
6 2 2

命题角度2:综合利用诱导公式和同角三角函数关系式求值 【典例4】(2015·衡水模拟)已知 cos( 5? ? ?) ? 1, 且-π <α < ? ? ,则 cos( ? -α )等于(
12 2 2 A. 3 12 3 2

)
C. ?

1 2 2 D. ? 3 ? 3 5? 【解题提示】明确 +α与 -α的关系是解题的关键,求值时要注 12 12 B.

1 3

意角α的范围.

【规范解答】选D.因为 ( 5 ? ? ?) ? ( ? ? ?) ? ? , 所以cos( ? -α)=
12 12 2 12 ? ? sin[ ? ( ? ?) ]=sin( 5? +α).因为-π<α< ? ? ,所以 ? 7 ? < 2 12 12 12 2 α+ 5? < ? ? . 12 12 ? 5? ? 1 又cos( 5? +α)= >0,所以 ? ? ? ? ? ? , 2 12 12 3 12

所以 sin( 5? ? ?) ? ? 1 ? cos 2 ( 5? ? ?) ? ? 1 ? ( 1 ) 2 ? ? 2 2 .
12 12 3 3

悟·技法 1.诱导公式用法的一般思路 (1)化大角为小角. (2)角中含有加减 ? 的整数倍时,用公式去掉 ? 的整数倍.
2 2

2.常见的互余和互补的角 (1)常见的互余的角:? -α 与 ? +α ; ? +α 与 ? -α ; ? +α 与 ? -α 等.
6 6 3 3 4 3? (2)常见的互补的角: ? +θ 与 2 ? -θ ; ? +θ 与 - θ 等. 4 3 3 4 4

3.三角函数式化简的方向 (1)切化弦,统一名. (2)用诱导公式,统一角. (3)用因式分解将式子变形,化为最简.

通·一类

1.(2015·合肥模拟)设f(x)=cos(-x)+2cos 2x+3cos 4x+4cos 5x,
则f( 2 ? )=(
3 A. ? 1 B. ?

)
7 2 C. ? 9 2 D. ? 5 3

【解析】选D.f( 2 ? )= cos(? 2? ) ? 2cos 4 ? ? 3cos 8 ? ? 4cos 10 ?
3 3 3 3 = cos 2 ? ? 2cos(? ? ? ) ? 3cos(2? ? 2 ?) ? 4cos(2? ? ? ? ? ) 3 3 3 3 = ?cos ? ? 2cos ? ? 3cos 2 ? ? 4cos ? 3 3 3 3 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? ? 3 ? (? ) ? 4 ? ? ?5. 2 2 2 2

2.(2015·汕头模拟)已知sin(3π -α )=-2sin( sin α cos α 等于(
2 A. ? 5 2 B. 5

? +α ),则 2

)
2 2 C. 或 ? 5 5 1 D. ? 5

【解析】选A.因为sin(3π-α)=sin(π-α)=-2sin( ? +α),
2

所以sin α=-2cos α,所以tan α=-2,
?cos ? tan ? 2 所以 sin ?cos ? ? sin ? ?? . 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 5

3.(2015·福州模拟)计算:

tan(? ? ?)cos(2? ? ?)sin(? ?

cos(?? ? 3?)sin(?3? ? ?) ? tan ?cos ?sin[ ?2? ? (? ? )] 【解析】原式= 2 cos(3? ? ?[ ) ? sin(3? ? ?)] ? tan ?cos ?sin( ? ?) tan ?cos ?cos ? 2 = ? ?cos ?sin ? ?cos ?sin ? = ? tan?cos? ? ? sin? cos ? ? ?1. sin? cos? sin ?

3? ) 2 =______.

答案:-1

巧思妙解5

巧用平方关系求值
5

【典例】(2015·西安模拟)已知sin α +cos α = 1 ,α ∈(0,π ), 则tan α =________. 【常规解法】
1 ? sin ? ? cos ? ? , 由? 5 ? ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , ?

消去cos α整理得,
25sin2α-5sin α-12=0.

解得sin α= 4 或sin α= ? 3 .
5 5

因为α∈(0,π), 所以sin α= 4 , 又由sin α+cos α= 1 得, cos α= ? 3 , 所以tan α= ? 4 .
3 4 答案: ? 3 5 5 5

【巧妙解法】 因为sin α+cos α=
1 ,① 5

所以(sin α+cos α)2=1+2sin α·cos α= ( 1 ) 2,
即2sin α·cos α= ? 24 ,
25 5

所以(sin α-cos α)2=1-2sin α·cos α
= 1 ? 24 ? 49 ,
25 25

又2sin α·cos α= ? 24 <0,0<α<π,
25

所以sin α>0,cos α<0,

即sin α-cos α>0, 故sin α-cos α=
49 7 ? ,② 25 5

4 ? sin ? ? , ? ? 5 联立①②得 所以tan α= ? 4 . ? 3 ?cos ? ? ? 3, ? 5 ?
4 答案: ? 3

【方法指导】平方关系的灵活应用 (1)根据平方关系sin2 α +cos2 α =1,三者:sin α +cos α , sin α cos α ,sin α -cos α 中知道一个就可求另外两个. (2)开方求sin α +cos α ,或sin α -cos α 时,一定要注意角的取 值范围对其值符号的影响.

【类题试解】已知sin α -cos α = 2 ,α ∈(0,π ),则sin 2α =(
A. ? 1 B. ? 2 2 C.

)

2 D.1 2 ?sin ? ? cos ? ? 2, 消去cos α整理得2sin2α【常规解法】选A.由 ? ? 2 2 sin ? ? cos ? ?1 , ? ? 2 2 2 sin α+1=0,解得sin α= . 2 又由sin α-cos α= 2 得,cos α= ? 2 ,故sin 2α=2sin αcos α 2

=-1.

【巧妙解法】选A.将等式sin α-cos α= 2 两边平方,整理得 sin2α+cos2α-2sin αcos α=2?2sin αcos α=-1?sin 2α=-1.


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