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导数的应用1


§2.8 导数在研究函数性态上的应用

2.8.1 函数的单调区间
y y

y? f ( x) y? f ( x)

o a
f ?( x )? 0.

b

x

o a
f ?( x )? 0.

b

x

曲线 y ? f ( x ) 上升时

曲线 y ? f ( x ) 下降时

(a,b) 内可导。 设函数 y ? f ( x ) 在

若函数 y ? f ( x ) 在(a,b) 内单调增加(减少),则其图形 是一条沿 x 轴 正向上升(下降)的曲线。这时曲线上各点 处的切线斜率是非负(非正)的,即 f ?( x )? 0 (f ?( x )? 0 )。 由此可见,函数的单调性与导数的符号有着密切的关系。

1.定理 1

设函数 f ( x ) 在区间I 可 导 ,则

f ( x )在区间 I 单调增加(或减少)的充分必要条件是

1. 2.

?x ? I ,有 f ?( x ) ? 0(或 f ?( x ) ? 0);
f ?( x) 在 I 的任意一个部分区间里都不恒等于零.

1.定理 1

设函数 f ( x ) 在区间I 可 导 ,则

(1 ) f ( x ) 在区间 I 单调不减( 不增)
? ? x ? I ,有 f ?( x ) ? 0 ( f ?( x ) ? 0 ) ;
f ( x) ( 2 )若在 区 间 I f ?( x )? 0 ( f ?( x )? 0 ) ,则

在 区 间 I 单调增加 ( 单调减少 ) 。

2.确定函数的单调性的一般步骤
(1 )确定函数 f ( x ) 的定义域( a , b ) ; (2 )求 f ?( x ) ? 0 和 f ?( x ) 不存在的点,把这些点按 从小到大的顺序排列为
C1 , C 2 , ? , C n ,确定在

(a , C1 ) ,(C1 , C 2 ) ,…,(C n , b ) 内 f ?( x ) 的符号;

(3 )在某区间上, 若 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 在这区间内单调增加; 若 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 在这区间内单调减少。

例 1.求函数 f

2 ( x ) ? ( x ?1)? x 3

的单调区间。

解:函数 f ( x ) 的定义域为(??,??) ,
2 5 x?2 2 ?1 f ?( x )? x 3 ( x ?1)? x 3 ? , 1 3 3x 3 2 令 f ?( x )? 0 ,得x ? , x ? 0 为 f ( x ) 的不可导的点。 5
x

( ? ?, 0)

0 不存在

( 0,

2 ) 5

2 5

f ?( x ) f ( x)

+ ↗

- ↘

0

2 ( , ? ?) 5 ∞ ) +



2 2 即f ( x )在( ? ?, 0)和( , ? ? )内 单 调 增 加 , 在(0, )内 单 调 减 少 . 5 5

3、利用函数的单调性证明不等式

(a,b) 内可导, 设 f ( x ) 在[a,b] 上连续,在 (a,b) 内 f ?( x )? 0 , 要证 f ( x )? 0 。若能证得在

且 f (a )? 0 ,则有 f ( x )? f (a )? 0 ,即证得结论。

例 2.设 b? a ? e ,证明:a b ? ba 。
b a a ? b 证明:要证 ,只须证 blna ? alnb 。

设 f ( x ) ? x lna ? a ln x ,

则 f ( x )?C[a ,? ?) , f ( x )?D(a ,? ?) ,且 f (a )? 0 。
由b?a?e ,得lnb?lna ?1 。
a a ∵ f ?( x )? lna ? ?1? ? 0 ( x ? a ) , x x ∴ f ( x ) 在[a , ? ? ) 上单调增加,

∴当 b? a 时,有 f ( b )? f ( a ) ? 0 ,
b a a ? b 即 blna ? alnb ,从而 。

1? x 例 3.证明:当 x?(0, 1) 时,e ? 。 1? x 2 x 1? x 证:要证 x?(0, 1) 时,e ? , 1? x
2x
2x ( 1 ? x ) e ? 1? x 。 x ? ( 0 , 1 ) 即要证 时,

设 f ( x )?(1? x )e 2 x ?1? x ,
则 f ( x )?C[0, 1) , f ( x )?D[0, 1) ,且 f (0)? 0 。
2x ? ∵ f ( x )? e (1? 2 x )?1 ,

∴ f ?( x )?C[0, 1) , f ?( x )?D(0, 1) ,且f ?(0)? 0 。

∵ f ??( x )? ?4 xe 2 x ? 0 , x?(0, 1) 。
∴在[0, 1) 内 f ?( x ) 单调减少, 从而 f ?( x )? f ?(0)? 0 ,

∵ f ?( x )? 0 ,
∴在[0, 1) 内 f ( x ) 单调减少,从而 f ( x )? f (0)? 0 ,

故 (1? x )e 2 x ?1? x ,
即 x?(0, 1) 时,e
2x

1? x ? 。 1? x

例 4.证明方程 x ? asin x ?1 (0? a ?1) 在( ? ?, ? ? ) 内有且仅有一个实根。

证明:设 f ( x )? x ? asi nx ?1 ,则 f ( x )?C ( ? ?,? ?) ,
∵ f ( x )?C [0,? ] ,且 f ( 0) ? ?1? 0 , f ( ? ) ? ? ?1? 0,

∴至少存在一点??(0, ?) ,使得 f (? )? 0 ,
即在 ( 0, ? ) 内方程 f ( x )? 0 至少有一个实根。

又∵ f ?( x ) ?1? acos x ? 0 ,
∴ f ( x ) 在( ??, ? ? ) 内单调增加。
0? a ?1 ) 故方程 f ( x )? 0 ,即方程x ? asin x ?1 (

在 ( ?? , ? ? ) 内有且仅有一个实根。

例 5.已知 f ( 0) ? 0 , f ?( x ) 严格单增, f ( x) 证明:当 x ? 0 时, g( x )? 严格单增。 x

证明: g?( x )?

xf ?( x )? f ( x )

x2 分母 x 2 ? 0 ,故考察分子 xf ?( x )? f ( x ) 的符号。

,

∵ xf ?( x ) ? f ( x ) ? xf ?( x ) ?[ f ( x ) ? f ( 0 )]

? xf ?( x )? f ?(?)( x ? 0)? x[ f ?( x )? f ?(?)] (0??? x)
而 f ?( x ) 单增,故 f ?( x ) ? f ?( ? )? 0 ( 0? ? ? x ) 。 ∴当 x ? 0 时, x[ f ?( x ) ? f ?( ? )]? 0 , 从而 g ?( x )? 0 ,

f ( x) 故当 x ? 0 时, g( x )? 严格单增。 x

2.8.2函数的极值与最值
一、极值
1.定义 1 设 f ( x ) 在N( x? ) 内有定义,若?x ?N( x? ) , 都有 f ( x )? f ( x? ) ( f ( x )? f ( x? ) ),则称x? 是f ( x ) 的
?

极大(小)点,称 f ( x? ) 是 f ( x ) 的极大(小)值。
极大点和极小点,统称为极值点。
极大值和极小值,统称为极值。

y

y? f ( x)
M4
M3 M5 x5

M1

o a

x1

x2 M2

x 3 x4

b

x

f ( x1 ) 和 f ( x4 ) 是 f ( x ) 的极大值, x1 和 x4 是 f ( x ) 的极大点;
f ( x2 ) 和 f ( x5 ) 是 f ( x ) 的极小值, x2 和 x5 是 f ( x ) 的极小点。

几点说明:
(1)极值是指函数的值,而极值点是指自变量的值,
两者不要混淆。
(2)函数极值的概念是局部性的,它不一定是函数在 整个定义域上的最大值或最小值。
(3)函数的极大值不一定比极小值大。

(4)函数的极值只能在区间的内部取得,不能在区间 端点处取得;而函数的最大值、最小值可能在区间

的内部取得,也可能在区间的端点处取得。

2.定理2(极值存在的必要条件)
若点 x? 是函数 f ( x ) 的极值点,则 f ?( x? )? 0
或 f ( x ) 在点 x? 不可导,两者必居其一。

注: (1)方程 f ?( x )? 0 的实根叫做函数 f ( x ) 的 驻点。

(2)函数的极值点一定是驻点或者是导数不存在的点, 但这两种点不一定是函数的极值点。
3 x ? 0 f ( x ) ? x 例如: 是 的驻点,但 x ? 0 不是极值点。

? (3) ?称为可能极值点 。 导数不存在的点? 驻点

3.定理 3(极值存在的充分条件一)
设函数 f ( x ) 在 N ( x? ,? ) 内连续,在N ( x? ,?) 内可导,
?

(1)若当 x?( x? ? ?, x? ) 时, f ?( x )? 0 ,

当 x?( x? , x? ? ? ) 时, f ?( x )? 0 ,
则 f ( x ) 在点 x? 取得极大值;

(2)若当 x?( x? ? ?, x? ) 时, f ?( x )? 0 ,

当 x?( x? , x? ? ? ) 时, f ?( x )? 0 ,
则 f ( x ) 在点 x? 取得极小值; (3)若 f ?( x ) 在点 x? 的左、右邻域内保持同号,

则 f ( x ) 在点 x? 处无极值。

y

y

? ? o
x0

?
x

?
x0

o

x
(是极值点情形)

y

? ?

y

? ?

o

x0

x

o

x0

x
(不是极值点情形)

求极值的步骤:
(1) 求导数 f ?( x );
(2) 求驻点: 方程 f ?( x ) ? 0 的根 和使f ?( x )不存在的点 ;

(3) 检查 f ?( x ) 在驻点左右的正负号 , 判断极值点 ;

(4) 求极值.

例 1.求函数 f

2 ( x ) ? ( x ?1)? x 3

的极值点和极值。

解:函数 f ( x ) 的定义域为( ? ?, ? ? ) ,
2 5 x?2 2 ?1 f ?( x )? x 3 ( x ?1)? x 3 ? , 1 3 3x 3

2 令 f ?( x )? 0 ,得驻点x ? ;当 x ? 0 时, f ?( x ) 不存在。 5

列表讨论如下:

x
f ?( x )

( ? ?, 0)

0

?


2 ( 0, ) 5

不存在
极大值

?

2 5
0
极小值 2 f( ) 5

2 ( , ? ?) 5

?


f ( x)



f ( 0)

2 ∴ x ? 0 为极大点,x ? 为极小点; 5

2 33 极大值为 f (0)? 0 ,极小值为 f ( )? ? 20 。 5 25

4.定理 4(极值存在的充分条件二)
设 f ( x ) 在点 x? 二阶可导,且 f ?( x? )? 0 ,f ??( x? )? 0 ,则

(1)当 f ??( x? )? 0 时, x? 是 极小点;
(2)当 f ??( x? )? 0 时, x? 是 极大点。

证明:设 f ??( x? )? 0 ,又 f ?( x? )? 0 ,

f ?( x )? f ?( x? ) f ?( x ) f ??( x? )? lim ? lim ? 0, x ? x? x? x? x? x? x ? x?

f ?( x ) ?0 , 由极限的保号性知,在 N ( x? ,? ) 内有 x ? x?
?

故当 x?( x? ? ?, x? ) 时, f ?( x )? 0 ,
当 x?( x? , x? ? ? ) 时, f ?( x )? 0 ,

从而 x? 是 函数 f ( x ) 的极小点;
类似可证 f ??( x? )? 0 时,x? 是 极大点。

例 2.求函数 y ? sinx ? cosx 在[0,2?]上的极值。
解: 函数的定义域为[0,2?],

f ?( x )? cosx ? si nx , f ??( x )? ?sinx ? cosx ,
令 f ?( x )? 0 , cos x ? sin x ? 0 , tan x ? 1.
? 5? 得驻点为 x1 ? , x2 ? 。 4 4 ? ∵ f ??( )? ? 2 ? 0 , 4 ? ? ∴ x ? 是极大点, f ( )? 2 是极大值。 4 4
5? )? 2 ? 0 , 4 5? 5? ∴ x? 是极小点, f ( )? ? 2 是极小值。 4 4 ∵ f ??(


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