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云南省保山曙光学校高三数学《函数极值》教学设计

导数应用—函数的极值 一、教学过程设计 问题一:1.函数 y ? 1 ? 3x ? x 3 有( A.极小值-1,极大值 1 C.极小值-2,极大值 2 ) B.极小值-2,极大值 3 D.极小值-1,极大值 3 2.函数 y ? x3 ? 3x2 ? 9x(?2 ? x ? 2) 有( ) A.极大值 5 ,极小值 ?27 B.极大值 5 ,极小值 ?11 C.极大值 5 ,无极小值 D.极小值 ?27 ,无极大值 变式训练 (1) f ( x) ? x3 ?12x ; (2) f ( x) ? x2e? x ; (3) f ( x) ? 2x ?2. x ?1 2 利用可导函数求函数极值的基本方法:设函数 y ? f ( x) 在点 x0 处连续 且 f ' ( x) ? 0 .若在点 x0 附近左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 为函数 的极大值;若在点 x0 附近左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 为函 数的极小值. 设计意图: 思维的周密性是解决问题的基础, 在解题过程中, 要全面、 系统地考虑问题, 注意各种条件 综合运用, 方可实现解题正确性. 解 答本题时应注意 f ?( x0 ) ? 0 只是函数 f ( x) 在 x0 处有极值的必要条件,如 果再加之 x0 附近导数的符号相反,才能断定函数在 x0 处取得极值.反 映在解题上,错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误. 问题二:已知函数 f ( x) ? x ? ax3 ? bx ? 1 ,当 x ? ?1 , x ? 1 时,取得极值, 且极大值比极小值大 4. (1)求 a , b 的值; (2)求 f ( x) 的极大值和极小值. 问题三:求函数 f ( x) ? 3 x 2 ( x ? 5) 的极值. 在确定极值时,只讨论满足 f ?( x0 ) ? 0 的点附近的导数的符号变化情 况,确定极值是不全面的.在函数定义域内不可导的点处也可能存在 极值.本题中 x ? 0 处,2 中 x ? ?2 及 x ? 3 处函数都不可导,但 f ?( x) 在这 些点处左右两侧异号,根据极值的判定方法,函数 f ( x) 在这些点处仍 取得极值.从定义分析,极值与可导无关 问题四:设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) . (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间与极值点. 设计意图:利用导数研究函数的单调性和极值是高考的重要考点之 一,特别是含有参数的问题,更要引起重视,这类题要注意的是对参 数的分类讨论.讨论时既不能重复也不遗漏. 二.目标检测 1.下列结论中,正确的是( A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 C.如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值 D.如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 ) 2.已知函数 f ( x) ? x ,在 x ? 0 处函数极值的情况是( ) A.没有极值 C.有极小值 B.有极大值 D.极值情况不能确定 3.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 2bx 在 x ? ?1 处有极小值-1,试确定 a、b 的值,并求 f ( x) 的单调区间. 三.教学总结 1.求解函数极值的步骤是: ⑴确定函数的定义域; ⑵求方程 f ?( x) ? 0 的根; ⑶用方程 f ?( x) ? 0 的根,顺次将函数的定义域分成若干个小开区间, 并列成表格; ⑷由 f ?( x) 在方程 f ?( x) ? 0 的根左右的符号,来判断 f ( x) 在这个根处取 极值的情况.

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