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人教版高二数学《抛物线性质》课件(共23张PPT)


X

§2.4.2 抛物线的简单几何性质

一、温故知新
定义:在平面 内,与一个定点 F和一条定直 线l(l不经过点 F)的距离相等 的点的轨迹叫 抛物线.
图 l y
O

抛物线的定义及标准方程
形 标准方程
焦点坐标 准线方程

F

x

y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)

p ( ,0 ) 2 p ( ? ,0 ) 2 p (0, ) 2

p x?? 2 p x? 2 p y?? 2 p y? 2

y
F

l
O

x

y
F
O

l

x

y
l
O F

x

p x2=-2py (0, ? ) (p>0) 2

(二)归纳:抛物线的几何性质
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e

y
l
O F

y2 = 2px p p F ( , 0 ) x ? ? x (p>0) 2 2
l

x≥0 y∈R x≤0 x轴

y
F O

y2 = -2px p p F ( ? ,0 ) x ? 2 x(p>0) 2
p x2 = 2py p F (0, ) y ? ? 2 2 x (p>0)

y∈R
(0,0) 1

y
O

F

y≥0
x∈R y轴 y≤0

l

y
O F

= -2py F (0,? p ) y ? p 2 x(p>0) 2 x2

l

x∈R

特点:
y2=4x 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 y2=2x y 限延伸,但它没有渐近线; y2=x 1 2 y = x 2.抛物线只有一条对称轴,没有
4 3 2 1

2

P(x,y)

-2

2

4

6

8

10

对称中心;

-1

-2

3.抛物线只有一个顶点、
-3 -4

o

F(

p ,0 ) 2

x

一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 思考:抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔

-5

补充(1)通径: 通过焦点且垂直对称轴的直线, 与抛物线相交于两点,连接这

y

P ( x0 , y0 )
O

两点的线段叫做抛物线的通径。 通径的长度:2P

F

x

利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。 (2)焦半径: 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫

做抛物线的焦半径。 焦半径公式: |PF|=x0+p/2

方程

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y l
x

x2 = 2py (p>0) y
F x

x2 = -2py (p>0) y
x l

图 形 范围

(p>0) y
l O F

l x

F

O

O

O

F

x≥0 y∈R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0

x∈R y≤0
关于y轴对称

对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? y0 2

(0,0)
p ? y0 2
p ? ( y1 ? y2 )

焦半径

焦点弦 的长度

p ? x1 ? x2

p ? ( x1 ? x2 )

p ? y1 ? y2

例 3. 已知抛物线的方程为 y 2 ? 4 x , 直线 l 过定点 P (?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直线 l 与 抛物线 y ? 4 x : ⑴ 只有一个公共点 ; ⑵ 有两个公 共点;⑶ 没有公共点?
2

分析 : 用坐标法解决这个问题 , 只要讨论直线 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况 , 由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点 个数.

解:依题意直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2)
? y ? 1 ? k ( x ? 2) 2 消去 可得 ky ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0 (Ⅰ) x 联立 ? 2 (*) ? y ? 4x 你认为是消 呢,还是消 y 呢? 当 k ? 0 时,方程(Ⅰ )只有一解,∴x 直线与抛物线只有一个公共点 .

当 k ? 0 时,方程(Ⅰ)的根的判别式△= ?16(2k ? k ? 1)
2

1 ①当△=0 时, k ? ?1或 . 2 这时,直线 l 与抛物线只有一个公共点.

② 由 ? ? 0, 即

2k 2 ? k ?1 ? 0,
解得

1 ?1 ? k ? . 2
2

于是,当 ?1 ? k ? 1 , 且 k ? 0

时,方程(Ⅰ)有2

个解,从而,方程组(Ⅰ)有两个解,这时,直线 l

与抛物线有2个公共点.
③ 由 ? ? 0, 即

2k ? k ?1 ? 0,
2

解得

1 k ? ?1或k ? . 2

时,方程没有实数解, 从而方程组(Ⅰ)没有解,这时,直线 l 与抛物线没 有公共点. 综上可得: 1 当 k ? ?1, 或k ? , 或k ? 0 时 ,直线 l与抛物线只 2 有一个公共点;
公共点; 1 你能通过作图 当 k ? ?1, 或k ? 时,直线 l 与抛物线没有公共 2 验证这些结论 点. 吗?
1 当 ? 1 ? k ? , 且k ? 0 时,直线 2

于是,当 k ? ?1,或 k ?

1 2

l与抛物线有两个

总结:
判断直线与抛物线位置关系的操作程序: 把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离

相交(一个交点)

相交

例 3 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F, 且与抛物线相交于 A、B 两点, 求线段 AB 的长.

解这题,你有什么方法呢?
法一 : 直接求两点坐标 , 计算弦长( 运算量一般较大 ); (本题略) 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三 :设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.

( 见下面)

例3.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法二:由已知得抛物线的焦点 为F(1,0),所以直线AB的方程为 y=x-1
y

A’

A
O F B
x

代入方程y 2 ? 4 x, 得( x ? 1)2 ? 4 x, 2 化简得x ? 6 x ? 1 ? 0. ? x1 ? x2 ? 6 ? ? B’ ? x1 ? x2 ? 1
? AB ? 2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 8
2

所以,线段 AB的长是8。

y
A

A`

解法 三化简得 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0.

O
B` B

F

x

由求根公式得 x1 ? 3 ? 2 2 , x2 ? 3 ? 2 2 , 于是 | AB |? x1 ? x2 ? 2 ? 8 .
图2.3 ? 4

?或由韦达定理得x1 ? x2 ? 6?
所以 , 线段 AB 的长是 8 .

练习:
1、已知抛物线的顶点在原点,焦点在直线3x-4y-12=0 上,那么抛物线通径长是 . 2、已知点A(-2,3)与抛物线 y ? 2 px( p ? 0)
2

的焦点的距离是5,则P=

4



练习: 2 = 8x y 3.过抛物线 的焦点,作倾斜角为

45

0

的直线,则被抛物线截得的弦长为_________ 16
4.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B, 且|AB|=4,求直线AB的方程. X=1

四、归纳总结
1、范围: 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可 以无限延伸,但没有渐近线; 2、对称性: 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3、顶点:抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; 4、离心率:抛物线的离心率是确定的,等于e=1; 5、通径: 抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张口 越大.

例:抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与 抛物线交于A,|AF|=5,求抛物线标准方程

平面上一动点P到定点F(1,0)的距 离比点P到y轴的距离大1,求动点P 的轨迹方程

变式:与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴 相切的动圆圆心轨迹方程

例4:抛物线 y ? ? x 上的点到直线4x ? 3 y ? 8 ? 0
2

的距离的最小值是( A )
4 A. 3

7 B. 5

8 C. 5

D .3

例5:已知M为抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点,F为抛物线的焦点, 定点P(3,1),则 MP ? MF 的最小值为(B ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
N M M

. .
P

. .
F (1,0)

x?3

F是抛物线 y ? 2 px 2)设 o是坐标原点,
2

A 是抛物线上的一点, ? p ? 0? 的焦点, FA与 x

轴正向的夹角为 60 则 OA 为

?

21 p 2

;


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