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2017届河北省石家庄市第二中学高三上学期第二期联考数学(理)试题


理科数学
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {x | y ? A. {x | x ? ?1}

x ? 1} , A ? B ? ? ,则集合 B 不可能是(
B. {( x, y ) | y ? x ? 1} C. { y | y ? ? x 2 }

) D. {x | x ? ?1} )

2.已知直线 ax ? y ? 1 ? a ? 0 与直线 x ? A. 1 B. -1 C. 2 )

1 y ? 0 平行,则 a 的值是( 2
D.-2

3.下列判断错误的是(

A. “ | am |?| bm | ”是“ | a |?| b | ”的充分不必要条件 B.命题“ ?x ? R, ax ? b ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, ax0 ? b ? 0 ” C.若 ?( p ? q ) 为真命题,则 p, q 均为假命题 D.命题“若 p ,则 ?q ”为真命题,则“若 q ,则 ?p ”也为真命题 4.如图,阴影部分的面积是( A. 2 3 B. 5 3 ) C.

32 3

D.

35 3

?x ? y ? 4 ? 0 1 ? 5.已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 2 y ? ( ) x 的最小值是( 4 ?y ? 2 ? 0 ?
A. 1 B. 2 C. 8 D.4



6.设函数 f ( x) ? 4 cos(? x ? ? ) 对任意的 x ? R , 都有 f (? x) ? f (
页 1第

?
3

若函数 g ( x) ? sin(? x ? ? ) ? 2 , ? x) ,

则 g ( ) 的值是(

?

6

) C.

A. 1

B. -5 或 3

???? ? ? ? | MD | 2 ???? ???? ???? ? 的值为( 7. M 是 ?ABC 所在平面内一点, MB ? MA ? MC ? 0 , D 为 AC 中点,则 ???? 3 | BM |
A.

1 2

D.-2



1 2 14 3

B.

1 3

C.

1

D .2 )

8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. B. 5 C.

16 3

D.6

2x ?1 2 9.已知 f ( x) ? x ,则不等式 f ( x ? 2) ? f ( x ? 4) ? 0 的解集为( 2 ?1
A.



(?1, 6)

B. (?6,1)

C.

(?2,3)

D. (?3, 2)

? ? ?sin( x) ? 1, x ? 0 10.已知函数 f ( x) ? ? 的图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 对, 则实数 a 的取值 2 ? ?log a x(a ? 0且a ? 1), x ? 0
范围是( A. )

(0,

5 ) 5

B. (
2

5 ,1) 5
x

C.

(

3 ,1) 3

D. (0,

3 ) 3
a?b a?2

11.已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? b)e ,当 b ? 1 时,函数 f ( x) 在 (??, ?2) ,(1, ??) 上均为增函数,则
页 2第

的取值范围是( A.

) B. [ ? , 2)

2 (?2, ] 3

1 3

C.

2 (??, ] 3

D. [ ?

2 , 2] 3

12.数列 {an } 满足 a1 ?

4 1 1 1 , an +1 ? 1 ? an (an ? 1) (n ? N * ) ,且 S n ? ? ? ? ? ,则 S n 的整数部分的 3 a1 a2 an
) C.

所有可能值构成的集合是( A. {0,1, 2} B.

{0,1, 2,3}

{1, 2}

D. {0, 2}

第Ⅱ卷
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.曲线 x ? 4 y 在点 P (m, n) 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 m ?
2



14.设 a ? 0, b ? 0 ,且 ab ? 2a ? b ,则 a ? b 的最小值为


2 2

15.已知向量 a ? (m, 2) , b ? (?1, n) , (n ? 0) 且 a ? b ? 0 ,点 P (m, n) 在圆 x ? y ? 5 上,则 | 2a ? b | 等 于 .

?

?

? ?

?

?

16.三棱锥 P ? ABC 内接于球 O , PA ? PB ? PC ? 3 ,当三棱锥 P ? ABC 的三个侧面积和最大时,球 O 的体积为 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(10 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? k (3n ? 1) ,且 a3 ? 27 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn . 18.(12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 b ? (1)求角 A ; (2)若 4(b ? c) ? 3bc , a ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积 S . 19.(12 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平面 ABCD , AF / / DE ,且 DE ? 6 , AF ? 2 . (1)试在线段 BD 上确定一点 M 的位置,使得 AM / / 平面 BEF ; (2)求二面角 A ? BE ? C 的余弦值.
页 3第

1 c ? a cos C . 2

20.(12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 1 , g ( x) ? x( x ? a ) 2 ? 1 ,其中 a 为实数. (1)是否存在 x0 ? (0,1) ,使得 f ( x0 ) ? 1 ? 0 ?若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存在,请说明理由; (2)若集合 A ? {x | f ( x) g ( x) ? 0, x ? R} 中恰有 5 个元素,求实数 a 的取值范围. 21.(12 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? 2ax) ln x ? bx , a, b ? R .
2 2

(1) 当 a ? 1, b ? ?1 时, 设 g ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x , 求证: 对任意的 x ? 1 ,g ( x) ? f ( x) ? x ? x ? e ? e ;
2 2 2

(2)当 b ? 2 时,若对任意 x ? [1, ??) ,不等式 2 f ( x) ? 3 x ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

22.(12 分) 设函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? ln( x ? 1) ,其中 a ? R .
2

(1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 f ( x) ? e ? a ?

1 在区间 (0, ??) 内恒成立( e 为自然对数的底数) ,求实数 a 的取值范围. x ?1

试卷答案
一:选择题 1-5 DDCCD 6-10 DBADA 11-12 AA

【8 题答案】A 该几何体的直观图如图所示,连接 BD ,则该几何体由直三棱柱 ABD ? EFG 和四棱锥 C ? BDGF 组合而 成,其体积为

1 1 4 14 ? 1? 2 ? 2 ? ? 2 ? 5 ? ? .故应选 A. 2 3 5 3
4第



【10 题答案】A 【解析】 试题分析:原函数在 y 轴左侧是一段正弦型函数图象,在 y 轴右侧是一条对数函数的图象,要使得图象上 关于 y 轴对称的点至少有 3 对,可将左侧的图象对称到 y 轴右侧,即 y ? sin( ? 来 y 轴右侧的图象至少有 3 个公共点 如图, a ? 1 不能满足条件,只有 0 ? a ? 1 .

?
2

x) ? 1( x ? 0) ,应该与原

此时,只需在 x ? 5 时, y ? log a x 的纵坐标大于-2,即 log a 5 ? ?2 ,得 0 ? a ? 【11 题答案】A 【解析】

5 . 5

试题分析: f ( x) ? (2 x ? a )e ? ( x ? ax ? b)e ? [ x ? (a ? 2) x ? a ? b]e ,因为函数 f ( x) 在 (??, ?2) ,
x 2 x 2 x

(1, ??) 上均为增函数,所以 f ' ( x) ? 0 在 (??, ?2) , (1, ??) 上恒成立,即 [ x 2 ? (a ? 2) x ? a ? b]e x ? 0 在 (??, ?2) , (1, ??) 上恒成立,令 h( x) ? 3 x 2 ? ax ? a ? b ,则 h( x) ? 0 在 (??, ?2) , (1, ??) 上恒成立,所
以有 h(?2) ? (?2) ? ( a ? 2) ? (?2) ? a ? b ? ? a ? b ? 0 , h(1) ? 1 ? (a ? 2) ? a ? b ? 2a ? b ? 3 ? 0 ,
2

??a ? b ? 0 ? 2a ? b ? 3 ? 0 a?2 ? , 在直角坐标系内作出可行域, ?2 ? ? ? 1 ,即 a, b 满足 ? b ? 1 2 ? ? ??4 ? a ? 2 a?b a?2?b?2 b?2 b?2 , 其中 k ? 表示的几何意义为点 P (2, ?2) 与可行域内的点 Q (a, b) 两 ? ? 1? a?2 a ?1 a?2 a?2 1 2 a?b 2 点连线的斜率,由图可知 ?3 ? t ? ? ,所以 ?2 ? t ? 1 ? ,即 的取值范围为 (?2, ] . 3 3 a?2 3
页 5第

【12 题答案】A 【 解 析 】 对 an ?1 ? 1 ? an ( an ? 1) 两 边 取 倒 数 , 得

1 1 1 , 累 加 得 ? ? an ? 1 an ?1 ? 1 an

Sn ?

1 1 1 , 由 an ?1 ? an ? (an ? 1) 2 ? 0, an ?1 ? an , an 为 单 调 递 增 数 列 , ? ? 3? a1 ? 1 an ?1 ? 1 an ?1 ? 1

4 13 133 9 3 75 1 ,其中 S1 ? ,整数部分为 0, S 2 ? 3 ? ? ,整数部分为 0, S3 ? ,整 a1 ? , a2 ? , a3 ? 3 9 81 4 4 52 a1
数部分为 1,由于 S n ? 3 ,故选 A. 二:填空题 13.1 14. 2 2 ? 3 15.

34

16.

27 3? 2

三:解答题 17.【答案】(1) an ? 3n ;(2) Tn ? 【解析】 试题解析:(1)当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? k (3n ? 1) ? k (3n ?1 ? 1) ? 2k ? 3n ?1

(2n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 . 4

a3 ? 2k ? 32 ? 27 ,解得 k ?

3 , an ? 3n ;当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? k (31 ? 1) ? 3 ? 31 , 2

综上所述, an ? 3n (n ? 2) ;?????4 分

①-②得: ?2Tn ? 31 ? 32 ? ? ? 3n ? n ? 3n +1 ,

?2Tn ?

3(1 ? 3n ) 3 ? n ? 3n ?1 ? (3n ? 1) ? n ? 3n ?1 1? 3 2

(2n ? 1)3n ?1 ? 3 Tn ? .??????10 分 4
18.【答案】(1) A ? 60? ;(2) S ? 2 3 .
页 6第

【解析】解:(1)由正弦定理得: sin B ? 又∵ sin B ? sin( A ? C ) 即 cos A sin C ? 又∵ sin C ? 0 ∴ sin( A ? C ) ?

1 sin C ? sin A cos C 2

1 sin C ? sin A cos C 2

1 sin C 2
∴ cos A ?

1 又 A 是内角 2

∴ A ? 60? ??????6 分

(2)由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? bc ? (b ? c ) 2 ? 3bc ∴ (b ? c) 2 ? 4(b ? c) ? 12 ∴S ? 得: b ? c ? 6 ∴ bc ? 8

1 1 3 bc sin A ? ? 8 ? ? 2 3 ??????12 分 2 2 2
1 5

19.【答案】(1) M 为 BD 的一个三等分点(靠近点 B );(2) ? 【解析】 (1)取 BE 的三等分点 K (靠近点 B ),则有 kM ?

1 DE ? 2 ,过 K 作 KM ? BD 交 BD 于 M , 3

由 DE ? 平面 ABCD , AF / / DE ,可知 AF ? 平面 ABCD ,∴ AF ? BD , ∴ FA / / KM ,且 FA ? KM ,????????3 分 所以四边形 FAMK 为平行四边形,可知 AM / / FK ? AM / / 平面 BEF , ∵

MK BM 1 ? ? ,∴ M 为 BD 的一个三等分点(靠近点 B );?????5 分 ED BD 3

(2)如图建立空间直角坐标系:

则 A(3, 0, 0), B (3,3, 0), E (0, 0, 6), C (0,3, 0) , EB ? (3,3, ?6), AB ? (0,3, 0), BC ? ( ?3, 0, 0) , 设平面 AEB 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,由 ?


??? ?

??? ?

??? ?

?

? ?3 x1 ? 3 y1 ? 6 z1 ? 0 ,可得 n ? (2, 0,1) . ?3 y1 ? 0
7第

平面 BCE 的法向量为 m ? ( x2 , y2 , z2 ) ,由 ?

??

?? ?3 x2 ? 3 y2 ? 6 z2 ? 0 可得 m ? (0, 2,1) , ?3 x2 ? 0

因为二面角 A ? BE ? C 为钝二面角,可得 cos ? ? ? |

2? 0 ? 0? 2 ?1
2 2

1 |? ? , 5 2 ?1 2 ?1

所以二面角的 A ? BE ? C 余弦值为 ? .????????12 分 20.【答案】(1) a ? (0,1) 时, ?x0 ? (0,1), f ( x0 ) ? 1 ? 0 (2) a ? 【解析】(1) f ( x) ? 1 ? ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ? ?( x ? a )( x ? 1) ? 0 ∴ x ? ?1或x ? a ∴ a ? (0,1) 时, ?x0 ? (0,1), f ( x0 ) ? 1 ? 0
2

1 5

33 2 2

??????4 分

(2) f ( x) ? ? x ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 有 2 相异实根时,

? ? (a ? 1) 2 ? 4(a ? 1) ? 0 , ∴ a ? ?3 或 a ? 1 , g ( x) ? x( x ? a ) 2 ? 1 ? 0 有 3 个 相 异 实 根 时 , g ' ( x) ? ( x ? a )(3x ? a ) ??????6 分
当 a ? 0 时, g ( x) ? 0 , g ( x) =0 有 1 解;
'

当 a ? 0 时,a ? 有 1 解; 当 a ? 0 时, a?

a a a , g ( x) 在 (??, a ) 上增,(a, ) 上减,( , ??) 上增,极大值 g (a ) ? ?1 ? 0 , g ( x) ? 0 3 3 3 a a a , 极小值 g (a ) ? ?1 ? 0 , 要使 g ( x) ? 0 ( , a) 上减, g ( x) 在 (??, ) 上增, (a, ??) 上增, 3 3 3

有 3 解,只须 g ( ) ? 0 ,∴ a ?

a 3

33 2 .???10 分 2

下面用反证法证明 a ?

33 2 时,5 个根相异.假设 ?x0 ? R, f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 2

2 ? ?? x0 ? (a ? 1) x0 ? a ? 1 ? 0 2 即? 两式相减得: ( x0 ? a )( x0 ? ax0 ? x0 ? 1) ? 0 2 ? ? x0 ( x0 ? a ) ? 1 ? 0

2 若 x0 ? a 代入②得 0-1=0 矛盾;若 x0 ? ax0 ? x0 ? 1 ? 0 代入①得 a ? 0 ,这与 a ?

33 2 矛盾. 所以假设不 2

33 2 成立,即 5 个根相异. 综上, a ? .??????12 分 2
21.【答案】(I)证明见解析;(II) (??,1)
页 8第

【解析】试题解析:(Ⅰ)当 a ? 1, b ? ?1 时, f ( x) ? ( x 2 ? 2 x) ln x ? x 2 , 所以 g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? x ? e ? e x 等价于 e x ? ln x ? e ? 0 . 令 h( x) ? e x ? ln x ? e ,则 h ' ( x) ? e x ?

1 ? 0 ,可知函数 h( x) 在 (1, ??) 上单调递增, x

所以 h( x) ? h(1) ,即 e x ? ln x ? e ,亦即 e x ? ln x ? e ? 0 ????????4 分 (Ⅱ)当 b ? 2 时, f ( x) ? ( x 2 ? 2ax) ln x ? 2 x 2 , a ? R . 所以不等式 2 f ( x) ? 3 x 2 ? a 等价于 (2 x 2 ? 4ax) ln x ? x 2 ? a ? 0 . 方法一:令 p ( x) ? (2 x 2 ? 4ax) ln x ? x 2 ? a , x ? [1, ??) , 则 p ( x) ? (4 x ? 4a ) ln x ? (2 x ? 4a ) ? 2 x ? 4( x ? a )(ln x ? 1)( x ? 1) .
'

当 a ? 1 时, p ( x) ? 0 ,则函数 p ( x) 在 [1, ??) 上单调递增,所以 p ( x) min ? p (1) ? 1 ? a ,
'

所以根据题意,知有 1 ? a ? 0 ,∴ a ? 1 ??????8 分 当 a ? 1 时,由 p ( x) ? 0 ,知函数 p ( x) 在 [1, a ) 上单调减;
'

由 p ( x) ? 0 ,知函数 p ( x) 在 (a, ??) 上单调递增.
'

所以 p ( x) min ? p (a ) ? a 2 (1 ? 2 ln a ) ? a . 由条件知, a (1 ? 2 ln a ) ? a ? 0 ,即 a (1 ? 2 ln a ) ? 1 ? 0 .
2

设 q (a ) ? a (1 ? 2 ln a ) ? 1 , a ? 1 ,则 q (a ) ? 1 ? 2 ln a ? 0 , a ? 1 ,
'

所以 q (a ) 在 (1, ??) 上单调递减. 又 q (1) ? 0 ,所以 q (a ) ? q (1) ? 0 与条件矛盾. 综上可知,实数 a 的取值范围为 (??,1) .??????12 分 方法二:令 p ( x) ? (2 x ? 4ax) ln x ? x ? a , x ? [1, ??) ,
2 2

则 p ( x) ? (2 x ? 4ax) ln x ? x ? a ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,所以 p (1) ? 1 ? a ? 0 ,
2 2

所以 a ? 1 .??????8 分 又 p ( x) ? (4 x ? 4a ) ln x ? (2 x ? 4a ) ? 2 x ? 4( x ? a )(ln x ? 1)( x ? 1) ,
'

显然当 a ? 1 时, p ( x) ? 0 ,则函数 p ( x) 在 [1, ??) 上单调递增,所以 p ( x) min ? p (1) ? 1 ? a ? 0 ,所以
'

a ?1.
页 9第

综上可知 a 的取值范围为 (??,1) .??????12 分

22.【答案】试题解析:(I) f ( x) ? 2ax ? 2a ?
'

1 2ax 2 ? 4ax ? 2a ? 1 ? ( x ? ?1) x ?1 e x ( x ? 1)

当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (?1, ??) 内单调递减.??????2 分 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ,有 x ? ?1 ?

1 .??????4 分 2a

此时,当 x ? (?1, ?1 ?

1 ) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; 2a

当 x ? (?1 ?

1 , ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. 2a

ex ? x ?1 1 1 (II)令 g ( x) ? (易证) ? ,则 g ( x) ? x e ( x ? 1) x ? 1 ex
当 a ? 0 , x ? 0 时, f ( x) ? a ( x ? 2 x) ? ln( x ? 1) ? 0 .
2

故当 f ( x) ? g ( x) 在区间 (0, ??) 内恒成立时,必有 a ? 0 .??????6 分 当0 ? a ?

1 1 1 1 时,?1 ? (1) 可知函数 f ( x) 在 (0, ?1 ? 即 x ? (0, ?1 ? ? 0 .由 ) 上单调递减, ) 2 2a 2a 2a

时, f ( x) ? f (0) ? g ( x) ,不符合题意,舍。???8 分 当a ?

1 时,令 h( x) ? f ( x) ? g ( x), x ? 0 ,则 2

h ' ( x) ? 2ax ? 2a ?

1 1 1 x 1 2a( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1) ? 1 ? ? ? 2 ax ? 2 a ? ? ? x ? 1 ( x ? 1) 2 e x ( x ? 1) 2 x ? 1 ( x ? 1) 2

?

( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1) ? 1 ?0 ( x ? 1) 2

所以 h( x) 在 x ? 0 时单调递增,所以 h( x) ? h(0) ? 0 恒成立,即 f ( x) ? g ( x) 恒成立,满足题意。综上,

1 a ? [ , ??) .??????12 分 2



10 第



11 第


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