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专题十 解三角形

第35讲 正弦、余弦定理

1.正弦定理、余弦定理

在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,

c,R 为△ABC 外接圆半径,则 定理 正弦定理

余弦定理

内容

a sin

A=sinb

B=

c sin

C=2R

a2=b2+c2-2bccos A; b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C

(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,

c=2Rsin C;

(2)sin A=2aR,sin B=2bR,sin C= cos A=b2+2cb2c-a2;

变 形 2cR;

cos B=c2+2aa2c-b2;

(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; cos C=a2+2ba2b-c2 (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,

asin C=csin A

2.S△ABC=12absin C=12bcsin A=12acsin B=a4bRc=12(a +b+c)·r(r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R、 r.

3.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况如下

分类 图形

A 为锐角

A 为钝角或直角

关系式 解的个数

a=bsin A bsin A<a<b
一解 两解

a≥b 一解

a>b 一解

1.利用正弦定理、余弦定理解三角形

【例 1】 (1)在锐角△ABC 中,若 C=2B,则bc的范

围( )

A.( 2, 3)

B.( 3,2)

C.(0,2)

D.( 2,2)

(2)在△ABC 中,A=60°,AC=2,BC= 3,则 AB

=________.

解析:(1)由正弦定理得,

bc=ssiinn CB=ssiinn2BB=2cos B,因为△ABC 是锐角三角 形,所以三个内角均为锐角,

π

π

即有 0<B< 2 ,0<C=2B< 2 ,

π 0<π-A-B=π-30< 2 ,

π

π

解得 6 <B< 4 ,余弦函数在此范围内是减函数.故

22<cos B< 23.所以bc∈( 2, 3),故选 A.

(2)因为 A=60°,AC=2,BC= 3,设 AB=x,由 余弦定理,得 BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A,化简得 x2-2x+1=0,所以 x=1,即 AB=1.
答案:(1)A (2)1

剖析:(1)判断三角形解的个数的两种方法: ①代数法:根据大边对大角的性质、三角形内角和公 式、正弦函数的值域等判断. ②几何图形法:根据条件画出图形,通过图形直观判 断解的个数.

(2) 已 知 三 角 形 的 两 边 和 其 中 一 边 的 对 角 解 三 角 形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理时,需 判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根 的情况判断解的个数.

2.和三角形面积有关的问题 【例 2】 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB= 1,BC=3,CD=DA=2. (1)求 C 和 BD; (2)求四边形 ABCD 的面积.
解:(1)由题设 A 与 C 互补及余弦定理得
BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C,①

BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A=5+4cos C.② 由①②得 cos C=12,BD= 7, ∵C 为三角形内角, 故 C=60°.

(2)四边形 ABCD 的面积

S



1 2

AB

·

DAsin

A



1 2

BC

·

CDsin

C=

???12×1×2+12×3×2???sin 60°=2 3.

剖析:(1)对于面积公式 S=12absin C=12acsin B=12 bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦 定理进行边和角的转化.

3.正弦、余弦定理的简单应用

【例 3】 (1)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边

长分别是 a,b,c,若 c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC

的形状为( )

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形

(2)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥ AC,sin∠BAC=232,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为 ________.
解析:(1)∵c-acos B=(2a-b)cos A,C=π-(A+ B),∴由正弦定理得 sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,

∴sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B=2sin Acos A -sin Bcos A
∴cos A(sin B-sin A)=0,∴cos A=0 或 sin B=sin A, ∴A=π2或 B=A 或 B=π-A(舍去),
∴△ABC 为等腰或直角三角形.

(2)sin∠BAC=sin???π2+∠BAD???=cos∠BAD, ∴ cos ∠ BAD = 232 .BD2 = AB2 + AD2 - 2AB·ADcos ∠ BAD=(3 2)2+32-2×3 2×3×232, 即 BD2=3,BD= 3.
答案:(1)D (2) 3

剖析:(1)判断三角形形状的方法: ①化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系, 从而判断三角形的形状. ②化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而 判断三角形的形状,此时要注意应用 A+B+C=π 这个结 论.

(2)求解几何计算问题要注意: ①根据已知的边角画出图形并在图中标示; ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.

1.在△ABC 中,若 a=4,b=3,cos A=13,则 B 等

于( )

π

π

π



A.4

B.3

C.6

D. 3

解析:∵cos A=13,∴sin A= 1-19=232,由正

弦定理,得sin4 A=sin3 B,

∴sin B= 22,又∵b<a,∴B<α2,B=α4.

答案:A

2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,

c.若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B=( )

A.-12

1 B.2

C.-1

D.1

解析:根据题意,由于在△ABC中,角A,B,C所

对的边分别为a,b,c.若acos A=bsin B?sin Acos A=

sin2B,则sin Acos A+cos2B=sin Acos A+1-sin2B=1,

故答案为D.

答案:D

3.若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C= 5∶11∶13,则△ABC( )
A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

















a sin

A



b sin

B



c sin

C



2R(R



△ABC 外接圆半径)及已知条件 sin A∶sin B∶sin C=

5∶11∶13,可设 a=5x,b=11x,c=13x(x>0).则 cos C

(5x)2+(11x)2-(13x)2 -23x2



2·5x·11x

= 110x2 <0,

∴C 为钝角.∴△ABC 为钝角三角形.

答案:C

4.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它

的顶角的余弦值为( )

53

37

A.18 B.4 C. 2 D.8

解析:设底边为 a,则周长为 5a,腰长为 2a,由余

弦定理得 cos θ=42a·2+24aa·2-2aa2=78.

答案:D

5.在△ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b, c,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为( )

3 A. 2

2 B. 2

1 C.2

D.-12

解析:因为a2+b2=2c2,所以由余弦定理可知,c2

=2abcos C,所以cos C=2ca2b=12×a22+abb2≥12.

答案C

6.在△ABC 中,已知(a+b+c)(a+b-c)=ab,则 C 的大小为________.
解析:因为(a+b+c)(a+b-c)=ab, 所以(a+b)2-c2=ab,a2+b2-c2=-ab, 因此由余弦定理得 cos C=a2+2ba2b-c2=-12,
2π 因为 0<C<π,所以 C= 3 .
2π 答案: 3

7.在三角形ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,

则ssiinn BC的值为________.

解析:因为A=120°,AB=5,BC=7,由余弦定

理可求AC=3或AC=-8(舍),所以再由正弦定理可知

sin sin

BC=AACB=35.

答案:35

8.在△ABC中,已知sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶ 7,则△ABC最大角的值是________.
解析:由sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,根据正弦 定理得,a∶b∶c=3∶5∶7,设a=3k,b=5k,c=7k, k>0,可得7k为最大边,设7k所对的角,即△ABC最大 角为C,根据余弦定理得,cos C=a2+2ba2b-c2=-12,又c ∈(0,180°),所以c=120°,则△ABC最大角的值是 120°.故答案为120°.
答案:120°

9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a, b,c.已知a≠b,c= 3,cos2A-cos2B= 3sin Acos A-
3sin Bcos B. (1)求角C的大小; (2)若sin A=45,求△ABC的面积.

解:(1)由题意得1+c2os

2A-1+c2os

2B=

3 2 sin

2A-

3 2 sin

2B,



3 2 sin

2A-12cos

2A=

3 2 sin

2B-12cos

2B,

sin???2A-α6???=sin???2B-α6???.

由 a≠b,得 A≠B,又 A+B∈(0,α), ∴2A-α6+2B-α6=α,即 A+B=23α,∴C=α3. (2)由 c= 3,sin A=45,sina A=sinc C,得 a=85,由 a <c,得 A<C,从而 cos A=35,
故 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=
4+3 3 10 ,

∴△ABC

的面积为

S=12acsin

8 B=

3+18 25 .

10.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c, 且c=2,C=π3 .
(1)若△ABC的面积等于 3,求a、b; (2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC的面积. 解:(1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4, 又因为△ABC的面积等于 3, 所以12absin C= 3,得ab=4. 联立方程组?????aa2b+=b42,-ab=4,解得a=2,b=2.

(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A,

即sin Bcos A=2sin Acos A,

当cos A=0时,A=π2 ,B=π6 ,a=433,b=233,

当cos A≠0时,得sin B=2sin A,由正弦定理得b=

2a,

联立方程组?????ab2=+2ba2,-ab=4,解得a=2 3 3,b=4 3 3.

所以△ABC的面积S=12absin

C=2

3

3 .


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