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2015-2016学年高二数学人教A版必修3课件:1.1.1 算法的概念


第一章 算法初步

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1.1 算法与程序框图

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1.1.1 算法的概念

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算法的概念

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学习目标 1.通过分析解决具体问题的过程与步骤, 体会算法的基本思想. 2.了解算法的概念和特征. 3.会用自然语言设计简单的算法,并能解 决有关的问题.

思维脉络

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算法的概念

12 世纪的 用阿拉伯数字进行算术运算的过程 算法 数学中的 按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤 算法 现代算法 通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题 计算机解决任何问题都要依赖于算法.只有将解决问 题的过程分解为若干个明确的步骤,即算法,并用计算 说明 机能够接受的“语言”准确地描述出来,计算机才能够 解决问题

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名师点拨
算法的特征

特征 有序性 明确性 有限性 可行性 有输出

说明 所有的步骤是有序排列,执行时先后顺序一定 算法中每一个步骤都有一个明确的结果 一个算法是由有限个步骤组成的 ,执行完这些有限步操 作后结束 每一步都在有限时间内完成 ,并得到明确的结果 一个算法至少要有一个有效的输出 ,即问题求解的结果

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练一练
下列可以看成算法的是( ) A.学习数学时,课前预习,课上认真听讲并记好笔记,课下先复习再做作业,之后

做适当的练习题
B.今天餐厅的饭真好吃 C.这道数学题很难做 D.方程2x2-x+1=0无实数根 答案:A

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探究二

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探究三

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对算法概念的理解
1.算法可以理解为按照一定规则解决某一类问题所构成的完整的解题步骤,或

看成按要求设计好的有限的确切的计算序列,并且这样的步骤或序列能够解决一
类问题. 2.求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个,可能有不同的算法.

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典例提升1
(1)下列描述不能看作算法的是( ) A.做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤 B.已知圆经过点A(0,0),B(2,1),C(0,2),设出圆的一般方程,利用待定系数法求出圆 的方程 C.解方程2x2+x-1=0 D.利用公式S=πr2,计算半径为4的圆的面积,就是计算π×42 (2)下列关于算法的说法:

①求解某一类问题的算法是唯一的;②算法的每一步操作必须是明确的,不能有
歧义或模糊;③算法执行后一定产生明确的结果.

其中正确的有(
A.1个 B.2个

)
C.3个 D.0个
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探究一

探究三

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思路分析:以算法概念为基础,衡量各种阐述是否符合算法的特征. 解析:(1)A,B,D都描述了解决问题的过程,可以看作算法,而C只描述了一个事件, 并没说明怎么解决问题,不是算法. (2)根据算法的特征可以知道,算法要有明确的开始与结束,每一步操作都必须是 明确而有效的,必须在有限步内得到明确的结果,所以②③正确.而解决某一类问题

的算法不一定是唯一的,故①错误.
答案:(1)C (2)B

方法总结
判断一个问题是否是算法,关键看是否有解决这一类问题的程序或步骤,这些程
序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.

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探究三

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算法的设计
设计一个具体算法的步骤:
(1)认真分析问题,找出解决此问题的一般数学方法; (2)借助有关变量或参数对算法加以表述; (3)将解决问题的过程划分为若干步骤; (4)用简单的语言将每个步骤表示出来.

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典例提升
写出求1×2×3×4×5×6的算法.
思路分析:思路一:采取逐个相乘的方法;思路二:由于重复作乘法,故可以设计作 重复乘法运算的步骤. 解:算法1:第一步,计算1×2得到2. 第二步,将第一步的运算结果2乘3,得到6. 第三步,将第二步的运算结果6乘4,得到24. 第四步,将第三步的运算结果24乘5,得到120.

第五步,将第四步的运算结果120乘6,得到720.
算法2:第一步,输入n的值6. 第二步,令i=2,S=1. 第三步,判断“i≤n”是否成立,若不成立,输出S,结束算法;若成立,执行下一步. 第四步,令S的值乘i,仍用S表示,令i的值增加1,仍用i表示,返回第三步.
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探究一

探究三

探究四

2 + 1, > 1, y= 变式训练1已知函数 --1, ≤ 1, 设计一个算法,输入自变量x的值,输出
对应的函数值y.
思路分析:由于x在(-∞,1]和(1,+∞)上时,y有不同的对应法则,所以应首先判断x与 1的大小关系. 解:算法如下: 第一步,输入自变量x的值. 第二步,判断x>1是否成立,若成立,则计算y=2x+1;否则计算y=-x-1. 第三步,输出y的值.

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算法的应用
在日常生活中,常见的排序、查找、变量变换、文字处理等问题,都可通过设计

算法来解决.在设计这类问题的算法时,需先建立过程模型,通过模型进行算法设计
与描述.设计具体的数学问题的算法,实际上就是寻求一类问题的算法,它可以通过 计算机来完成.

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探究点一

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典例提升3
各种比赛在计算选手最后得分时,要去掉所有评委对该选手所打分数中的最高
分和最低分.试设计一个找出最高分的算法. 思路分析:先假定第一个分数是“最高分”,然后将第二个分数至最后一个分数依 次与“最高分”比较,若该分数比“最高分”大则交换,否则不变,从而得到最高分. 解:算法如下: 第一步,先假定第一个分数为“最高分”; 第二步,将第二个分数与“最高分”比较,如果它比“最高分”还高,就假定这个分数 为“最高分”;否则“最高分”不变; 第三步,如果还有其他分数,重复第二步; 第四步,一直到没有可比的分数为止,这时假定的“最高分”就是所有评委打分中

的最高分.
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探究点一

探究三

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变式训练2给出以下10个数:5,9,80,43,95,73,28,17,60,36,要求把大于40的数找出 来并输出.写出求解该问题的一个算法. 解:第一步,令i=1. 第二步,给定实数x,将数x与40比较大小,若该数大于40,就输出,否则执行下一步. 第三步,将i的值增加1仍用i表示. 第四步,判断i>10是否成立,若是,则结束算法,否则返回第二步.

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探究点一

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易错辨析
易错点 算法中出现了省略号而致错

典例提升4
设计一个算法求a1,a2,a3,a4,a5五个不同实数中最小的数. 错解:第一步,比较a1,a2的大小,若a1<a2,则令m=a1;若a2<a1,则令m=a2. 第二步,比较m,a3的大小,若a3<m,则令m=a3;否则m值不变. …… 第四步,比较m,a5的大小,若a5<m,则令m=a5;否则m值不变.

第五步,输出m.
错因分析:省略号表达的步骤不明确,不符合算法的确定性.
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探究点一

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正解:第一步,比较a1,a2的大小,若a1<a2,则令m=a1;若a2<a1,则令m=a2.
第二步,比较m,a3的大小,若a3<m,则令m=a3;否则m值不变. 第三步,比较m,a4的大小,若a4<m,则令m=a4;否则m值不变. 第四步,比较m,a5的大小,若a5<m,则令m=a5;否则m值不变. 第五步,输出m.

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2

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1.已知直角三角形两直角边长分别为a,b,求斜边长c的一个算法分下列三步:

①计算 c= 2 + 2 ;②输入直角三角形两直角边长a,b的值;③输出斜边长c的值.
其中正确的顺序是( A.①②③ B.②③① 答案:D ) C.①③② D.②①③

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1

2

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2.下列各式中S值不可以用算法求解的是(
A.S=1+2+3+4 C. S=1+ +…+
1 2 1 10 000

)

B.S=12+22+32+…+1002 D.S=1+2+3+4+…

解析:D中的求和不符合算法步骤的有限性,所以它不可以用算法求解. 答案:D

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1

2

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3.下列关于算法的说法中正确的有(

)

①算法必须在有限步骤操作之后停止;

②x2-x>2是一个算法;
③算法执行后一定产生确定的结果; ④对于像“喝一碗水”这类含有动作的语言能出现在算法的一个步骤中.
A.1个 答案:B B.2个 C.3个 D.4个

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4.已知一个学生的语文成绩为89分,数学成绩为96分,外语成绩为99分.求他的总分 和平均分的一个算法为: 第一步,令A=89,B=96,C=99. 第二步,计算总分S= 第三步,计算平均分M=

① ②

. .

第四步,输出S和M.
答案:①A+B+C ②
3

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1

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3

5.如下算法: 第一步,输入x的值. 第二步,若x≥0成立,则y=x,否则y=x2. 第三步,输出y的值. 若输入x=-2,则输出y= .

解析:输入x=-2,x=-2≥0不成立,则计算y=x2=(-2)2=4,则输出y=4.
答案:4

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1

2

3

6.给出求1+2+3+4+5的一个算法.

解法一:按照逐一相加的步骤进行.
第一步,计算1+2,得到3. 第二步,将第一步中的运算结果3与3相加,得到6. 第三步,将第二步中的运算结果6与4相加,得到10. 第四步,将第三步中的运算结果10与5相加,得到15. 解法二:第一步,输入n的值5. 第二步,令i=2,S=1. 第三步,判断“i≤n”是否成立,若不成立,输出S,结束算法;若成立,执行下一步. 第四步,令S的值加i,仍用S表示,令i的值增加1,仍用i表示,返回第三步.

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