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金堂中学高2015届数学周练14AA


金堂中学高 2015 届数学周练试题 14
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 A ? x ? 1 ? x ? 2 , B ? x x ? 1 ,则A ? ? C R B ? =( ▲ ) 。 B. x x ? 1
?

? A. ? x x ? 1?
?

?

?

?

?

? C. ? x ? ? x ? 2?

D. x ? ? x ? 2

?

?

2.已知向量 a ? ( x ? 1,2) , b ? ( 2,1) ,则“ x ? 0 ”是“ a 与 b 夹角为锐角”的( ▲ ) 。 A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是( ▲ ) 。 A. y ?

1 x

B. y ? e

?x

C. y ? ? x ? 1


2

D. y ? lg | x |

4.执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为 则判断框内应填入的条件是( A.k<3 C.k<4 B.k>3 D.k>4 )

15 , 8

5.已知直线 l , m ,平面 ? , ? ,且 l ? ? , m ? ? ,则 ( A.若平面 ? 不平行于平面 ? ,则 l 不可能垂直于 m ; B.若平面 ? 平行于平面 ? ,则 l 不可能垂直于 m ; C.若平面 ? 不垂直于平面 ? ,则 l 不可能平行于 m ; D.若平面 ? 垂直于平面 ? ,则 l 不可能平行于 m ;



6.已知数列 ?a n ? 为等差数列, a1 ? 1, 公差 d ? 0 , a1 、 a 2 、 a 5 成等比, 则 a2014 的值为( )

A. 4023 B. 4025 C. 4027 D. 4029 7.已知 x 是三角形的最小内角,则 sin x ? cos x 的取值范围是( ) A. 0, 2

?

?

B. ? 2 , 2

?

?

C. ?1,

? ? ?

3 ? 1? ? 2 ?

D. 1, 2

?

?
x

8.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中 的 x 的值是( ▲ ) 。 9 3 A.2 B. C. D.3 2 2 9.给出如下三个命题: ①若“p 且 q”为假命题,则 p、q 均为假命题;
周练 14

正视图

2

1 1 侧视图

俯视图

1

②命题“若 x≥2 且 y≥3,则 x+y≥5” 的否命题为“若 x<2 且 y<3,则 x+y<5” ; ③四个实数 a、b、c、d 依次成等比数列的必要而不充分条件是 ad=bc; ④在△ ABC 中, “ A ? 45? ”是“ sin A ? 其中不正确的命题的个数是( A.4 B.3 10. 已知函数 f ( x) ? ? ) C.2 D.1

2 ”的充分不必要条件. 2

2 ? ?ax ? 2 x ? 1, x ? 0 是偶函数, 直线 y ? t 与函数 y ? f ( x) 的图象自左向右依次交 2 ? x ? bx ? c , x ? 0 ? 于四个不同点 A,B,C,D. 若 AB=BC ,则实数 t 的值为 ( ) 7 7 7 7 A. ? B. ? C. D. 2 4 4 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知 i 是虚数单位,若

a +3i ? b ? i (a, b ? R) ,则 ab 的值为 i





12. 函数 f ( x) ? log 1 (2 x ? 3) 的定义域是
2

13 .已知 {an } 为等差数列, a3 ? 7, a1 ? a7 ? 10 , sn 为其前 n 项和,则使 sn 达到最大值的 n 等于 ___________

?2 x ? y ? 2 ? 0 2 2 ? 14.若实数 x、 y 满足 ? y ? 3 ,且 x ? y 的最大值等于 34,则正实数 a 的值等于 ?ax ? y ? a ? 0 ?





15. 若直角坐标平面内两点 P, Q 满足条件: (1) P, Q 都在函数 f ( x) 的图象上, (2) P, Q 关于原点对 称,则称点对( P, Q )是函数 f ( x) 的一个“友好点对” (点对( P, Q )与( Q, P )看作同一个“友好

?2 x 2 ? 4 x , x ? 0 ? 点对” ) 。已知函数 f ( x) ? ? 2 , 则 f ( x) 的“友好点对”的个数为 ? x ,x ? 0 ?e

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2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)在 ?ABC 中,三个内角分别为 A, B, C ,且 cos( A ?

?

3

) ? 2 cos A .

6 , BC ? 3 ,求 AC . 3 ? 4 (2)若 B ? (0, ) ,且 cos( A ? B ) ? ,求 sin B . 3 5
(1)若 cosC ?

17. (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2an ? 2 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log2 an , cn =

1 ? ,记数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .若对 n ? N , bnbn ?1

Tn ? k ? n ? 4? 恒成立,求实数 k 的取值范围.

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3

18.(理)某校政教处为检查各班落实学校“学生素养五十条”的规定情况,从各班抽取了一批学生进行测 试,全部学生参加了“理论部分”和“模拟现场”两项测试,成绩均分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场 考生两项测试成绩的数据统计如下图所示,其中“理论部分”科目测试成绩为 B 的考生有 20 人. (1)求该考场考生中“模拟现场”科目中成绩为 A 的人数; (2)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分. (i)求该考场考生 “理论部分”科目的平均分; (ii)若该考场共有 10 人得分大于 7 分,其中有 2 人 10 分,2 人 9 分,6 人 8 分. 从这 10 人中 随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.

(文) 从集合 A ? {1, 2,3, 4,5} 中任取三个元素构成三元有序数组 (a1 , a2 , a3 ) ,规定 a1 ? a2 ? a3 (Ⅰ)从所有三元有序数组中任选一个,求它的所有元素之和等于 10 的概率; (Ⅱ)定义三元有序数组 (a1 , a2 , a3 ) 的“项标距离”为 d ? a1 ?1 ? a2 ? 2 ? a3 ? 3 ,从所有三元有序数 组中任选一个,求它的“项标距离” d 为偶数的概率;

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4

19. (本小题满分 15 分) (理)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD ,

AB ? PA ? 1, AD ? 3 , F 是 PB 中点, E 为 BC 上一点.
(1)求证: AF ? 平面 PBC ; (2)当 BE 为何值时,二面角 C ? PE ? D 为 45? . (文)已知正△ABC 的边长为 a , CD 是 AB 边上的高,E、F 分别是 AC 和 BC 边的中点,现将△ABC 沿

CD 翻折成直二面角 A-DC-B,如图所示.
(Ⅰ)试判断折叠后直线 AB 与平面 DEF 的位置关 系,并说明理由; (Ⅱ)若棱锥 E-DFC 的体积为

3 ,求 a 的值; 24
AP 的值;如果不存在,请说明理由. AC
P F A D E

(Ⅲ)在线段 AC 上是否存在一点 P,使 BP⊥DF?如果存在,求出

B C

2 20. 已知函数 f ? x ? ? a x ? 1 ? ln x .

?

?

(I)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (II)若对任意的 a ? ? ?4, ?2? 及x ??1,3? 时,恒有 ma ? f ? x ? ? a 成立,求实数 m 的取值范围.
2

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5

1 21. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? ax2 ? bx,设h( x) ? f ( x) ? g ( x) . 2
(1)若 g(2)=2,讨论函数 h(x)的单调性; (2)若函数 g(x)是关于 x 的一次函数,且函数 h(x)有两个不同的零点 x1,x2. ①求 b 的取值范围; ② 求证: x1 x2 ? e 2 .

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6

20.

19. 解(1)AB//平面 DEF, 如图.在△ABC 中,∵E,F 分别是 AC,BC 的中点,故 EF//AB, 又 AB ? 平面 DEF,∴AB//平面 DEF, ??4 分 (2)∵AD⊥CD,BD⊥CD, 将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B ∴AD⊥BD,AD⊥平面 BCD,取 CD 中点 M,则 EM//AD,∴EM⊥平面 BCD,且 EM=a/2

V?

1 a 3a 2 3 ? ? ? ,a=2. ??8 分 3 4 16 24

(3)存在满足条件的点 P. 做法:因为三角形 BDF 为正三角形,过 B 做 BK⊥DF,延长 BK 交 DC 于 K,过 K 做 KP//DA,交 AC 于 P.则点 P 即为所求. 证明:∵AD⊥平面 BCD , KP//DA,∴PK⊥平面 BCD,PK⊥DF,又 BK⊥DF,PK∩BK=K,∴DF⊥平面 PKB,DF⊥PB. 又∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°,∴DK=KF=KC/2. 故 AP:OC=1:2,AP:AC=1:3 ??12 分

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7

18.解: (Ⅰ)从集合 A ? ?1, 2,3, 4,5? 中任取三个不同元素构成三元有序数组如下

?1, 2,3? ?1, 2, 4? ?1, 2,5? ?1,3, 4?

?1,3,5?
2 1 ? 10 5

?1, 4,5? ?2,3, 4? ?2,3,5? ?2, 4,5? ?3, 4,5?
所有元素之和等于 10 的三元有序数组有 ?1, 4,5? , ?2,3,5? ? P ? (Ⅱ)项标距离为 0 的三元有序数组: ?1, 2,3? 项标距离为 2 的三元有序数组: ?1, 2,5? ,?1,3, 4? 项标距离为 4 的三元有序数组: ?1, 4,5? , ?2,3,5? 项标距离为 6 的三元有序数组: ?3, 4,5? ? P ? ??6 分

6 3 ? 10 5

??????12 分

.解: (1)因为“理论部分”科目中成绩等级为 B 的考生有 20 人, 所以该考场有 20 ? 0.25 ? 80 人,所以该考场考生中“模拟现场”科目中成绩等级为 A 的人数为 80 ? ( 1 - 0.375 - 0.375 - 0.15 - 0.025) ? 80 ? 0.075 ? 6 ???4 分 (2)(i) 求该考场考生“理论部分”科目的平均分为

1? (80 ? 0.2) ? 2? (80 ? 0.1 ) ? 3? (80 ? 0.375) ? 4 ? ?80 ? 0.25) ? 5? (80 ? 0.075 ? ? 2.9 ?6 分 80 法二: 1? 0.2 ? 2 ? 0.1 ? 3 ? 0.375 ? 4 ? 0.25+5 ? 0.075 ? 2.9
(ii)设两人成绩之和为 ? ,则 ? 的值可以为 16,17,18,19,20
2 C6 15 P(? ? 16) ? 2 ? , C10 45 1 1 C6 C 12 P(? ? 17) ? 2 2 ? C10 45 1 1 C2 C 4 P(? ? 19) ? 2 2 ? C10 45 2 C2 1 P(? ? 20) ? 2 ? C10 45

所以 ? 的分布列为

1 1 2 C6 C2 C2 13 P(? ? 18) ? 2 ? 2 ? , C10 C10 45

X P
?????11 分

16 15/45

17 12/45

18 13/45

19 4/45

20 1/45

15 12 13 4 1 86 所以 Eξ ? 16 ? ? 17 ? ? 18 ? ? 19 ? ? 20 ? ? 45 45 45 45 45 5
DACCC CDDBB 11. -3
3 12. ( ,2] 2

86 所以 ? 的数学期望为 5

???13 分

13.5

14. 3

15.2

解析: 0 ? x ?

?
3

, sin x ? cos x ?

2 sin( x ?

?
4

) ,由

?
4

?x?

2 ? 7? 得 ? sin( x ? ) ? 1 ,选 D . 2 4 12

16.解:因为 cos( A ?

?
3

) ? 2 cos A ,得 cos A cos

?
3

? sin A sin

?
3

? 2 cos A ,

即 sin A ? 3 cos A ,因为 A ? ?0, ? ? ,且 cos A ? 0 , 所以 tan A ? 3 ,所以 A ?

?
3



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8

(1)因为 sin C ? cos C ? 1 , cosC ?
2 2

6 3 , C ? ?0, ? ? ,所以 sin C ? 3 3 3 6 1 3 3 2? 3 , ? ? ? ? 2 3 2 3 6

又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C ? 由正弦定理知: (2)因为 B ? (0,

AC BC ? ,即 AC ? 1 ? 6 。 sin B sin A

?
3

) ,所以 A ? B ?

?

? ?? ? B ? ? 0, ? , 3 ? 3?
3 , 5

sin 2 ( A ? B) ? cos2 ( A ? B) ? 1 ,所以 sin( A ? B) ?

所以 sin B ? sin ? A ? ? A ? B ?? ? sin A cos(A ? B) ? cos A sin( A ? B) ? 17.

4 3 ?3 . 10

解: (1)当 n ? 1 时, a 1 ? 2 ,当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n?1 ? 2a n ? 2 ? (2a n?1 ? 2) 即:
an ? 2 ,? 数列 ?a n ? 为以 2 为公比的等比数列 a n ?1

?an ? 2n

(2)由 bn=log2an 得 bn=log22n=n,则 cn=

1 1 1 1 = = - , bnbn ?1 n ? n ? 1? n n ? 1

1 1 1 1 1 1 n + - +…+ - = 1- = . 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 n n n 1 = 2 ∵ ≤k(n+4),∴k≥ = . 4 n ?1 (n+1)(n+4) n +5n+4 n+ +5 n
Tn=1- ∵n+

4 4 4 +5≥2 n +5=9,当且仅当 n= ,即 n=2 时等号成立, n n n



1 1 1 ?1 ? ≤ ,因此 k≥ ,故实数 k 的取值范围为 ? , ?? ? 4 9 9 ?9 ? n+ +5 n
(1)解:解:∵g(2)=2 ∴a-b=1

21

1 ∴ h( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 1) x ,其定义域为(0,+ ? ) 2

h?(x) ?

1 ?ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ?(ax ? 1)( x ? 1) ? ax ? (a ? 1)= ? x x x
1 , x2 ? 1 a

(Ⅰ)若 a ? 0,则函数 h(x)在区间(0,1)上单调增;在区间(1,+ ? )上单调减. (Ⅱ)若 a<0,令 h?(x) ? 0 得 x1 ? ?

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9

①当 a<-1 时,则 0 ? ? 区间( ?

1 1 ? 1 ,所以函数 h(x)在区间(0, ? )上单调增;在区间(1,+ ? )上单调增;在 a a

1 ,1)上单调减. a

②当 a=-1 时, h?(x) ? 0 所以函数 h(x)在区间(0,+ ? )单调减. ③当-1<a<0 时,则 ? 区间(1, ?

1 1 ? 1 ,所以函数 h(x)在区间(0,1)上单调增;在区间( ? ,+ ? )上单调增;在 a a

1 )上单调减. a

(2)∵函数 g(x)是关于 x 的一次函数 ∴ h( x) ? ln x ? bx ,其定义域为(0,+ ? ) ①由 h(x) ? 0 得 b ? ∴ ? (x) ? ?

ln x ln x ln x ? 1 ,记 ? (x) ? ? ,则 ? ?(x) ? x x x2

ln x 在 (0, e) 单调减,在 (e, ??) 单调增, x ln x 1 ∴当 x ? e 时 ? (x) ? ? 取得最小值 ? e x
又 ? (1) ? 0 ,所以 x ? (0,1) 时 ? (x) ? 0 ,而 x ? (1, ??) 时 ? (x) ? 0

1 ∴b 的取值范围是( ? ,0) e
②由题意得 lnx1 ? bx1 ? 0,lnx2 ? bx2 ? 0 ∴ lnx1 x2 ? b( x1 ? x2 ) ? 0,lnx2 ? lnx1 ? b( x2 ? x1 ) ? 0 ∴

ln x1 x2 x ?x ? 1 2 ,不妨设 x1<x2 ln x2 ? ln x1 x2 ? x1
只需要证 ln x1 x2 ?

要证 x1 x2 ? e 2 ,

x1 ? x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? 2 x2 ? x1

即证 ln x2 ? ln x1 ? 则 F (t ) ? ln t ? ∴ F ?(t ) ? ?

2( x2 ? x1 ) x ,设 t ? 2 (t ? 1) x1 x2 ? x1

2(t ? 1) 4 ? ln t ? ?2 t ?1 t ?1

1 4 (t ? 1)2 ? ?0 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2
2(t ? 1) t ?1

∴函数 F (t ) 在(1,+ ? )上单调增,而 F (1) ? 0 ,所以 F (t ) ? 0 即 ln t ? ∴ x1 x2 ? e 2 .

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