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【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版选修2-2配套课件:1.1.1函数的平均变化率


RB . 数学 . 选修2-2
教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测 教 师 备 选 资 源

课 前 自 主 导 学

课 堂 互 动 探 究

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1. 1 1.1.1
●三维目标 1.知识与技能





函数的平均变化率

(1)理解并掌握平均变化率的概念;

(2)会求函数在指定区间上的平均变化率;
(3)能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题.
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RB . 数学 . 选修2-2 2.过程与方法

(1) 通过观察直观的图形,培养学生的观察能力及抽象概
括能力; (2)引导学生体会特殊到一般,具体到抽象的思想方法. 3.情感、态度与价值观 (1)体会领悟不同曲线的变化率的区别;

(2)通过合作交流,树立自信心,形成合作意识.

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●重点难点
重点:在实际背景下,借助函数图象直观地理解平均变 化率,得到平均变化率的公式. 难点:对生活现象中的变化情况作出相应的数学解释.

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课标 解读

1.通过实例了解函数平均变化率的意义.
2.掌握求函数f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率 的方法与步骤.(重点、难点)

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RB . 数学 . 选修2-2 函数的平均变化率 【问题导思】 假设图1-1-1是一座山的剖面示意图,并建立如图所示 平面直角坐标系.A是出发点,H是山顶.爬山路线用函数y=

f(x)表示.自变量x表示某旅游者的水平位置,函数值y=f(x)表
示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标为(x0,y0),点B的坐 标为(x1,y1).

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图 1-1-1
1.若旅游者从点A爬到点B,且这段山路是平直的,自变 量x和函数值y的改变量分别是多少?

【提示】

自变量x的改变量为 x1-x0,记作Δx,函数值

的改变量为y1-y0,记作Δy.
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RB . 数学 . 选修2-2 2.Δy的大小能否判断山坡陡峭程度?

【提示】

不能.

3.怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢?

Δy y1-y0 【提示】 对山坡 AB 来说, = 可近似地刻画. Δx x1-x0

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Δy 4.能用 刻画山路陡峭程度的原因是什么? Δx
Δy 【提示】 因 表示 A,B 两点所在直线的斜率 k,显 Δx 然,“线段”所在直线的斜率越大,山坡越陡.这就是说, Δy 竖直位移与水平位移之比 越大,山坡越陡,反之,山坡 Δx 越缓.

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RB . 数学 . 选修2-2 函数的平均变化率的定义

一般地,已知函数y=f(x),x0、x1是其定义域内不同的两
点,记Δx=x1-x0,Δy=y1-y0=f(x1)-f(x0)

称作函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])的平

均变化率.

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求函数的平均变化率 已知函数f(x)=3x+1和g(x)=2x2+1,分别计算f(x)与g (x)在-3到-1之间和在1到1+Δx之间的平均变化率. 【思路探究】 后代入公式求解. 先求自变量的增量和函数值的增量,然

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【自主解答】 (1)①∵Δx=-1-(-3)=2, Δ y= f(- 1)- f(- 3)= [3×(- 1)+ 1]- [3×(- 3)+ 1]= 6, Δy 6 ∴ = =3,即 f(x)在-3 到-1 之间的平均变化率为 Δx 2 3. ②∵Δx=-1-(-3)=2, Δy=g(-1)-g(- 3)= [2×(-1)2+1]- [2×(-3)2+1]= -16, Δy -16 ∴ = =-8, 2 Δx 即 g(x)在-3 到-1 之间的平均变化率为-8.
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(2)①∵Δy= f(1+Δx)-f(1)=[3×(1+Δx)+1]-(3×1+1) =3· Δx, Δy 3·Δx ∴ = =3, Δx Δx 即 f(x)在 1 到 1+Δx 之间的平均变化率为 3. ②∵Δy=g(1+Δx)-g(1) =[2×(1+Δx)2+1]-(2×12+1)=4· Δx+2· (Δx)2, Δy 4·Δx+2· (Δx)2 ∴ = =4+2· Δx, Δx Δx 即 g(x)在 1 到 1+Δx 之间的平均变化率为 4+2Δx.
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用定义法求平均变化率的基本步骤是: (1)作差求Δx; (2)求出Δy,对Δy 进行变形,通常用到的变形有:通分、配 Δy 方、分母(子)有理化等;(3)作商求出 . Δx

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已知函数 f(x) = x2 + x ,分别计算 f(x) 在区间 [1 , 3] , [1 , 2],[1,1.5],[1,1+Δx]的平均变化率.
【解】 函 数 f(x) 在 区 间 [1 , 3] 的 平 均 变 化 率 为

f(3)-f(1) 32+3-(12+1) = =5; 2 3-1 f(2)-f(1) 函数 f(x)在区间[1,2]的平均变化率为 = 2-1 22+2-(12+1) =4; 1
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f(1.5)-f(1) 函数 f(x)在区间[1, 1.5]的平均变化率为 = 1.5-1 1.52+1.5-(12+1) =3.5. 0.5 函 数 f(x) 在 区 间 [1 , 1 + Δ x] 的 平 均 变 化 率 为 f(1+Δx)-f(1) (1+Δx)2+(1+Δx)-(12+1) = (1+Δx)-1 Δx 3Δx+(Δx)2 = =3+Δx. Δx

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RB . 数学 . 选修2-2 平均变化率的大小比较

求函数 f(x)=x2 在 x=1,2,3 附近的平均变化率, 1 取Δ x 的值为3,哪一点附近平均变化率最大? Δy 【思路探究】 先求出平均变化率 ,再把 x0,Δ x Δx

代入比较大小即可.

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【自主解答】 在 x = 1 附近的平均变化率为 k1 =

f(1+Δx)-f(1) (1+Δx)2-1 = =2+Δx; Δx Δx 在 x=2 附近的平均变化率为 f(2+Δx)-f(2) (2+Δx)2-22 k2= = =4+Δx; Δx Δx 在 x=3 附近的平均变化率为 f(3+Δx)-f(3) (3+Δx)2-32 k3= = =6+Δx. Δx Δx
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1 1 7 1 13 1 若Δx=3,则 k1=2+3=3,k2=4+3= 3 ,k3=6+3= 19 . 3 由于 k1<k2<k3. ∴在 x=3 附近的平均变化率最大.

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1.曲线的“陡峭”程度与函数平均变化率的关系: Δy (1)平均变化率为正值时, 越大,曲线越“陡”,反 Δx 之越“平直”. Δy (2)平均变化率为负值时, 越大,曲线越“平直”, Δx 反之越“陡”.

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2.比较平均变化率的方法步骤: (1)求出两不同点处的平均变化率. (2)作差(或作商),并对差式(商式)作合理变形,以便探讨

差的符号(商与1的大小).
(3)下结论.

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本例中的“函数f(x)=x2”变为“f(x)=x2+a”和“f(x)=

-x2”,则结论如何?

【解】 当 f(x)=x2+a 时, f(x) 在 x = 1 附 近 的 平 均 变 化 率 为

k1 =

f(1+Δx)-f(1) [(1+Δx)2+a]-(1+a) = =2+Δ Δx Δx x;

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f(2+Δx)-f(2) 在 x=2 附近的平均变化率为 k2= Δx [(2+Δx)2+a]-(22+a) = =4+Δx; Δx f(3+Δx)-f(3) 在 x=3 附近的平均变化率为 k3= Δx [(3+Δx)2+a]-(32+a) = =6+Δx. Δx 1 1 7 1 13 1 若Δx= ,则 k1=2+ = ,k2=4+ = ,k3=6+ = 3 3 3 3 3 3 19 . 3
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由于 k1<k2<k3, ∴函数 f(x)=x2+a 在 x=3 附近的平均变化率最大. 当 f(x)=-x2 时, f(1+Δx)-f(1) f(x)在 x=1 附近的平均变化率为 k1= = Δx [-(1+Δx)2]-(-1) =-2-Δx; Δx f(2+Δx)-f(2) 在 x = 2 附近的平均变化率为 k2 = = Δx [-(2+Δx)2]-(-4) =-4-Δx; Δx
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f(3+Δx)-f(3) 在 x=3 附近的平均变化率为 k3= Δx [-(3+Δx)2]-(-9) = =-6-Δx. Δx 1 1 7 1 13 若Δx=3,则 k1=-2-3=-3,k2=-4-3=- 3 ,k3 1 19 =-6-3=- 3 .

由于k1>k2>k3, ∴函数f(x)=-x2在x=1附近的平均变化率最大.
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RB . 数学 . 选修2-2 平均变化率的应用

已知某质点按规律 s=(2t2+ 2t)(单位:m)作直线运动,
求: (1)该质点在前3 s内的平均速度; (2)质点在2 s到3 s内的平均速度.

【思路探究】 因为Δs 是质点在Δt 这段时间内的位移, Δs 所以 就是质点在Δt 这段时间内的平均速度. Δt

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【自主解答】 (1)由题设知,Δt=3 s, Δs=s(3)-s(0)=24 m, Δs ∴平均速度为 v= =8 m/s. Δt (2)由题设知:Δt=3-2=1 s,Δs=s(3)-s(2)=12 m. Δs ∴平均速度为 v= =12 m/s. Δt

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1.求质点运动的平均速度,实质与求函数的平均变化率

相同.
2.解答此类问题,首先要明确自变量与函数值的实际意 义,弄清楚函数的单调性,然后利用定义求平均变化率,并 结合题意回答有关问题.

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人们发现,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=- 4.9t2+6.5t+10.

(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率;
(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率.

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【解】 (1)运动员在第一个 0.5 s 内高度 h 的平均变化 h(0.5)-h(0) 率为 =4.05(m/s); 0.5-0 (2) 在 1≤t≤2 这段时间内,高度 h 的平均变化率为 h(2)-h(1) =-8.2(m/s). 2-1

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变量作差顺序不对应致误

已知曲线y=-2x3+2和这条曲线上的两个点P(1,

0)、Q(2,-14),求该曲线在PQ段的平均变化率.

【错解】 ∵Δx=2-1=1,Δy=0-(-14)=14, Δy 14 ∴ = =14. Δx 1

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RB . 数学 . 选修2-2 【错因分析】 在函数的平均变化率的求法公式中, Δy

必须对应于Δx,即若Δx=x1-x2,则Δy=f(x1)-f(x2);若Δx=
x2-x1,则Δy=f(x2)-f(x1). 本题的错误之处在于变量作差顺序不对应. 【防范措施】 自变量x由x0变化到x1,相应的函数值由f

(x0)变化到f(x1),分别得到Δx=x1-x0,Δy=

f(x1)-f(x0).求平均变化率问题时,必须搞清是如何变化
的,以免把分子分母的作差顺序搞错.

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【正解】 ∵x1=1,y1=0,x2=2,y2=-14, ∴Δx=x2-x1=1,Δy=y2-y1=-14. Δy -14 则 = 1 =-14. Δx

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1.求函数平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量Δ y=f(x2)-f(x1); Δ y f(x2)-f(x1) (2)计算平均变化率 = . Δx x2-x1 2 .平均变化率可以描述一个函数在某个范围内 的变化快慢.

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1.在平均变化率的定义中,自变量的增量Δx满足( A.Δx>0 B.Δx<0

)

C.Δx≠0
【解析】 ∴Δx≠0. 【答案】 C

D.Δx=0
由平均变化率的定义知,Δx为改变量,

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RB . 数学 . 选修2-2 2.设函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数

的改变量Δy为(
A.f(x0+Δx) C.f(x0)·Δx 【解析】

)
B.f(x0)+Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)

由平均变化率的定义知,

Δy=f(x0+Δx)-f(x0).

【答案】

D

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RB . 数学 . 选修2-2 3.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1-1-2

所示,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为
v1 , v2 , v3 , 则 三 者 的 大 小 关 系 为 ________( 按 从 大 到 小 排 列 ).

图 1-1-2

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【解析】 知 v3>v2>v1.

sB-sA sC-sB sA v1= ,v = ,v3 = ,由图象 t1-t0 2 t2-t1 t3-t2

【答案】 v3>v2>v1

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4.已知函数 f(x)= x3+a,分别求出该函数在下列区间上 的平均变化率. (1)求1到1.1之间的平均变化率; (2)求2到2.1之间的平均变化率.

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3 【解】 ∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3-x0 2 =3· x0 ·Δx+3· x0·(Δx)2+(Δx)3,

Δy 2 ∴ =3· x0 +3· x0·Δx+(Δx)2. Δx (1)在 1 到 1.1 之间的平均变化率为 3×12+3×1×0.1+0.01=3.31. (2)在 2 到 2.1 之间的平均变化率为 3×22+3×2×0.1+0.01=12.61.

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课后知能检测 点击图标进入…

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(教师用书独具)

1 2 已知自由落体运动的方程为 s=2gt .求: (1)下落物体在 t0 到 t0+Δ t 这段时间内的平均速度 v; (2)下落物体在 t=10 s 到 t=10.1 s 这段时间内的平均速 度. 【思路探究】

掌握平均速度的计算方法.
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RB . 数学 . 选修2-2

1 2 【自主解答】 (1)∵s(t)=2gt , ∴Δs=s(t0+Δt)-s(t0) 1 1 2 2 =2g(t0+Δt) -2gt0 1 =gt0Δt+2g(Δt)2. Δs 1 ∴v= =gt0+2gΔt. Δt

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(2)设 t1=10,t2=10.1, ∴Δt=t2-t1=0.1, 1 又 s(t1)=2×g×102=50g, 1 s(t2)= ×g×10.12=51.005g. 2 ∴Δs=s(t2)-s(t1)=1.005g. Δs 1.005g 则 v= = 0.1 =10.05g. Δt

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1 2 1 2 自由落体运动的方程 s= gt 相当于函数 f(t)= gt , 则平 2 2 Δf(t) Δs 均速度 v= = . Δt Δt

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很多人都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现, 随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢, 从数学的角度,如何描述这种现象呢?

【解】 气体的体积 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之 4 3 间的函数关系式为 V(r)=3πr ,若将半径 r 表示为体积 V 的 3 3V 函数,则 r(V)= . 4π

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RB . 数学 . 选修2-2
当空气容量 V 从 0 增加到 1 L 时,气球半径增加了 r(1)- r(1)-r(0) r(0)≈0.62(dm) , 气 球 的 平 均 膨 胀 率 为 ≈ 1-0 0.62(dm/L). 类似地,当空气容量 V 从 1 L 增加到 2 L 时,气球半径增加 了 r(2)-r(1)≈0.16(dm). r(2)-r(1) 气球的平均膨胀率为 ≈0.16(dm/L). 2-1 可以看出,随着气球体积逐渐变大,它的膨胀率逐渐变小.

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