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2018版高中数学第一章解三角形1.1正弦定理(一)学案苏教版必修5

1.1 正弦定理(一) 学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解 决简单的解三角形问题. 知识点一 正弦定理的推导 思考 1 如图,在 Rt△ABC 中, 、 、 各自等于什么? sin A sin B sin C a b c 思考 2 在一般的△ABC 中, = = 还成立吗?课本是如何说明的? sin A sin B sin C a b c 梳理 任意△ABC 中,都有 = = ,证明方法除课本提供的方法外,还可借助 sin A sin B sin C 三角形面积公式,外接圆,向量或建立直角坐标系,利用三角函数定义来证明. a b c 知识点二 正弦定理的呈现形式 1. =________=________=2R(其中 R 是________________). sin A a 2.a= bsin A csin A = =2Rsin A. sin B sin C a 3.sin A= ,sin B=________,sin C=________. 2R 知识点三 解三角形 1 解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的________元素(至少有一个是________), 求其余三个未知元素的过程. 类型一 定理证明 例 1 在钝角△ABC 中,证明正弦定理. 反思与感悟 (1)本例用正弦函数的定义沟通边与角的内在联系, 充分挖掘这些联系可以使你 理解更深刻,记忆更牢固. (2)要证 = ,只需证 asin B=bsin A,而 asin B,bsin A 都对应 CD.初看是神来 sin A sin B 之笔,仔细体会还是有迹可循的,通过体会思维的轨迹,可以提高我们的分析解题能力. 跟踪训练 1 如图,锐角△ABC 的外接圆 O 半径为 R,证明 =2R. sin A a b a 类型二 用正弦定理解三角形 例 2 在△ABC 中,已知 A=32.0°,B=81.8°,a=42.9 cm,解三角形. 2 反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式: = , = , = , sin A sin B sin B sin C sin A sin C 每个等式涉及四个元素, 所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)具体地说,以下两种情形适用正弦定理: ①已知三角形的任意两角与一边; ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角. 跟踪训练 2 在△ABC 中,已知 a=18,B=60°,C=75°,求 b 的值. a b b c a c 3 类型三 边角互化 π 例 3 在△ABC 中,A= ,BC=3,求△ABC 周长的最大值. 3 反思与感悟 利用 = = =2R 或正弦定理的变形公式 a=ksin A,b=ksin B, sin A sin B sin C a b c c=ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化. 跟踪训练 3 在任意△ABC 中,求证:a(sin B-sin C)+b(sin C-sin A)+c(sin A-sin B) =0. 1.在△ABC 中,若 sin A=2sin B,AC=2,则 BC=________. 2.在△ABC 中,sin A=sin C,则边 a,c 的大小关系是________. 3.在△ABC 中,若 3a=2bsin A,则 B=________. π 4.在△ABC 中,a= 3,b= 2,B= ,则 A=________. 4 4 1. 定理的表示形式: =2R, sin A sin B sin C = = 或 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C(k>0). 2. 正弦定理的应用范围: (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和两角. 3. 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化: 一方面可以化边为角, 转化为三角 函数问题来解决;另一方面,也可以化角为边,转化为代数问题来解决. a b c 5 答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 = = =c. sin A sin B sin C a b c 思考 2 在一般的△ABC 中, = = 仍然成立, 课本采用边 BC 上的高 AD=bsin sin A sin B sin C a b c C=csin B 来证明. 知识点二 1. 3. b b c 2R 2R c sin B sin C △ABC 外接圆的半径 知识点三 三个 边 题型探究 例 1 证明 如图,过 C 作 CD⊥AB,垂足为 D,D 是 BA 延长线上一点, 根据正弦函数的定义知: CD =sin∠CAD=sin(180°-A) b =sin A, =sin B. ∴CD=bsin A=asin B. ∴ = . sin A sin B CD a a b 同理, = .故 = = . sin B sin C sin A sin B sin C 跟踪训练 1 证明 b c a b c 6 连接 BO 并延长,交外接圆于点 A′,连接 A′C,则圆周角∠A′=∠A. ∵A′B 为直径,长度为 2R, ∴∠A′CB=90°, ∴sin A′= a , A′B 2R = BC ∴sin A= ,即 =2R. 2R sin A 例 2 解 根据三角形内角和定理, C =180°- (A + B) =180°-(32.0°+81.8°)= a a 66.2°. 根据正弦定理, 得 b= asin B 42.9sin 81.8° = sin A sin 32.0° ≈80.1(cm); 根据正弦定理, 得 c= asin C 42.9sin 66.2° = sin A sin 32.0° ≈74.1(cm). 跟踪训练 2 解 根据

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