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江西省德兴市第一中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 理(零班、重点班)

德兴一中 2015---2016 学年下学期第一次月考高二年级数学试卷(理科 零班、重点班)
分值:150 分 时间:120 分钟 一、选择题(共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分) 1.复数

2?i 的共轭复数是 1? i 3?i 1? i A. B. 2 2

( C.

)

3?i 2

D.

?3 ? i 2

2.设 f(x)为可导函数,且满足lim x→0 切线的斜率是 ( A.1 ) B.-2

f?1?-f?1-x? =-1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的 x
1 C. 2

D.-1 B. 3

8 3 由曲线 f(x)= x与 y 轴及直线 y=m(m>0)围成的图形的面积为 ,则 m 的值为( ) A. 2 3 C.1 D.8 1”左边需增乘的代数式为 A.2k+ 1 B.2(2k+1)
2

4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)?(n+n)=2n·1·3?(2n-1)(n∈N *)时,从“n=k 到 n=k+ ( 2k+1 C. k+1 ( ) ) 2k+3 D. k+1

5. 已知曲线方程 f(x)=sin x+2ax(a∈R),若对任意实数 m,直线 l: x+y+m=0 都不是曲线 y=f(x) 的切线,则 a 的取值范围是 A.(-∞,-1) ∪(-1, 0) C.(-1,0)∪(0,+∞) 6. 下列积分值等于 1 的是 A.
?

B.(-∞,-1)∪(0,+∞) D.a∈R 且 a≠0,a≠-1 ( C. )
e 1

?

1

0

xdx

B.

?

2

?

? ( ? cos x ) dx
2
2

?

1

?1

4 ? x2 dx

D.

?

1 dx [来 x

7.已知 a≥0,函数 f(x)=(x -2ax)e ,若 f(x)在[-1,1]上是单调减函数,则 a 的取值范围是 ( ) 3 1 3 3 1 A.0<a< B. <a< C.a≥ D.0<a< 4 2 4 4 2 8.已知函数 f(x)的图像如图所示,下列数值的排序正确的是( )

x

A.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2)

B.0<f′ (2)<f′(3)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f ′(2)<f′ (3)

9.一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步,程序设计师设计的程序是让机器人以先前进 3 步,然后 再后退 2 步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点,面向正的方向在数轴上移动(1 步的距离 为 1 个单位长度).令 P(n) 表示第 n 秒时机器人所在位置的坐标,且记 P(0) ? 0 ,则下列结论中错 误的是( )

1

A. P(3) ? 3
m

B. P(5) ? 1
n

C. P(2007) ? P(2006)

D. P(2003) ? P(2006)

10.函数 f(x)=ax (1-x) 在区间[0,1]上的图象如图所示,则 m,n 的值可能( ) A.m=1,n=1 B.m=1,n=2 C.m=2,n=1 D.m=3,n=1

11. 若函数 f ( x) 对任意的 x ? R 都有 f ' ( x) ? f ( x) 恒成立,则( ) A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) B. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) D. 3 f (ln 2) 与 2 f (ln 3) 的大小不确定

12.定义:如果函数 f ( x ) 在[a,b]上存在 x1 , x2 (a ? x1 ? x2 ? b) 满足

f '( x1 ) ?

f (b) ? f ( a ) f (b) ? f (a ) ' , f ( x2 ) ? ,则称函数 f ( x ) 是[a,b]上的“双中值函数”. b?a b?a

已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? a 是[0,a] 上的“双中值函数”,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. ( , )

1 1 3 2

B.( ,3 )

3 2

C. (

1 ,1) 2

D. (

1 ,1) 3

二、填空题(4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.设函数 f(x)=ax +c(a≠0),若
2

? 0 f ? x ? dx =f(x ),0≤x ≤1,则 x 的值为____.
0 0 0

1

14.已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ,且在点 (i, f (i)) 处的切线的斜率为 ki (i ? 1, 2,3) .则

1 1 1 ? ? ? ______ __. k1 k2 k3
x 15 . 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x) , 满 足 f ( 0 )? 1 , f ?( x) ? f ( x) ? 1 , 则 不 等 式 f ( x)? 1 的解集为 ? 2e

________________________ 16 以下四个命题中,错误的是 ________________ .... ①若 f(x)=x +(a-1)x +3x+1 没有极值点,则-2<a<4
3 2

1 mx ? 1 在区间(-3,+∞)上单调,则 m≥ 3 x?3 1 ln x ? m 有两个零点,则 m< ③若函数 f(x)= e x
②f(x)= ④已知 f(x)=logax(0<a<1),k,m,n∈R 且不全相等,
+

三、解答题 (6 个小题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分)已知 f(x)=x +3ax +bx+ a 在 x=-1 时有极值 0,求常数 a,b 的值.并求 函数的单调减区间
2
3 2 2

18. (本小题满分 12 分) 已知 A(-1,2)为抛物线 C:y=2x 上的点,直线 l1 过点 A,且与抛物线 C 相 切.直线 l2:x=a(a≠-1)交抛物线 C 于点 B,交直线 l1 于点 D.设 ? ABD 的面积为 S1. (1)求直线 l1 的方程及 S1 的值; (2)设由抛物线 C,直线 l1,l2 所围成的图形的面积为 S2,求 S1∶S2 的值.

2

19.(本小题满分 12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的自然数 n 都有: (Sn-1) =anSn. (1)求 S1,S2,S3; (2)猜想 Sn 的表达式并证明.
2

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax +bx+c 在点 x=2 处取得极值 c﹣16. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若 f(x)有极大值 28,求 f(x)在[﹣3,3]上的最小值.

3

3

21. (12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax 在点 A 2, f ? 2? 处的切线 l 的斜率为 (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)证明:函数 f ? x ? 的图象恒在直线 l 的下方(点 A 除外) ;

?

?

3 . 2

(Ⅲ)设点 P x1, f ? x1 ? , Q x2 , f ? x2 ? ,当 x2 ? x1 ? 1 时,直线 PQ 的斜率恒大于 k ,试求实数 k 的 取值范围.

?

? ?

?

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x2 ? x 在 x ? 0 处取得极值. (1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? ? x ? b 在区间 [0, 2] 上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的取值范围; (3)证明:对任意的正整数 n ,不等式 2 ?

5 2

3 4 n ?1 ? ? ? ? 2 ? ln(n ? 1) 都成立. 4 9 n

高二理科重点班数学试卷第一次月考答案 一、选择题(共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分) 1 C 2 D 3 A 4 B 5 B 6 D 7 C 8 A 9 D 10 B 11 C 12 C

二、填空题(4 小题,每题 5 分,共 20 分) 3 13.【答案】 14. 0 15. {x ? R x ? 0} 3

16①②③

4

三、解答题 (6 个小题,共 70 分) 17、 (本小题满分 10 分) 解:∵f(x)在 x=-1 时有极值 0, 且 f′(x)=3x +6ax+b, ∴?
?f′?-1?=0, ? ?f?-1?=0, ?
2 2

?3-6a+b=0, ? 即? 2 ?-1+3a-b+a =0, ?
2

解得?

?a=1, ? ?b=3, ?

或?

?a=2, ? ?b=9. ?

(5 分)当 a=

1,b=3 时,f′(x)=3x +6x+3=3(x+1) ≥0, ∴f(x)在 R 上为增函数,无极值,故舍去.∴a=2,b=9????????7 分 当 a=2,b=9 时,

f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),
当 x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数;???????????10 分 18. (本小题满分 12 分) 解:(1)由 y=2x ,得 y ? ? 4 x .当 x= -1 时, y ? ? ?4 .
2

∴l1 的方程为 y-2= -4(x+1),即 4x+y+2=0. 2 2 由 y =2x 及 x=a,解得点 B 的坐标为(a,2a ) . 由 4x+y+2=0 及 x=a ,解得点 D 的坐标为(a,-4a-2) . 又可求得点 A 到直线 BD 的距离为 a ? 1 , BD =2a +4a+2=2(a+1) .
2 2

∴S1= a ? 1 .????????????????????????..6 分 (2)由题意,当 a>-1 时, S 2 ?

3

2 (2 x 2 ? 4 x ? 2)dx ? ( x 3 ? 2 x 2 ? 2 x) 3 2 3 2 2 ? a ? 2a 2 ? 2a ? ? 2 ? 2 ? (a ? 1) 3 , 3 3 3 ?1 2 2 3 当 a<-1 时, S 2 ? ? (2 x ? 4 x ? 2)dx ? ? (a ? 1) , a 3

?

a

?1

a ?1

∴S1∶S2=3∶2.???????????????????..12 分 19(本小题满分 12 分)第一问 4 分,第二问 8 分

5

20(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题 f(x)=ax +bx+c,可得 f′(x)=3ax2+b, 又函数在点 x=2 处取得极值 c﹣16
3



, 即

, 化简得

解得 a=1,b=﹣12 ? ???6 分 3 (II)由(I)知 f(x)=x ﹣12x+c, 2 f′(x)=3x ﹣12=3(x+2) (x﹣2) 2 令 f′(x)=3x ﹣12=3(x+2) (x﹣2)=0,解得 x1=﹣2,x2=2 当 x∈(﹣∞,﹣2)时,f′(x)>0, 故 f(x)在∈(﹣∞,﹣2)上为增函数; 当 x∈(﹣2,2)时,f′(x)<0, 故 f(x)在(﹣2,2)上为 减函数; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(2,+∞)上为增函数; 由此可知 f(x)在 x1=﹣2 处取得极大值 f(﹣2)=16+c, f(x)在 x2=2 处取得极小值 f(2)=c﹣16, 由题设条件知 16+c=28 得,c=12 此时 f(﹣3)=9+c=21,f(3)=﹣9+c=3,f(2)=﹣16+c=﹣4 因此 f(x)在[﹣3,3]上的最小值 f(2)=﹣4 ????12 分

6

21. (本小题满分 12 分) (Ⅰ) 因为 f ? ? x ? ? 所以 a ? ?1 ;

3 1 3 ?a, 又因为函数 f ? x ? 在点 A? 2, f ? 2 ? ? 处的切线斜率为 , 所以 f ? ? 2 ? ? , 2 x 2
3分

(Ⅱ)因为 f ? x ? ? ln x ? x ,所以 A? 2,ln 2 ? 2? ,所以 l 的方程为: y ? 令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? ln 2 ? 1? ? ln x ? 则 g?? x? ?

3 x ? ln 2 ? 1 , 2

?3 ?2

? ?

1 x ? ln 2 ? 1, 2

1 1 2? x ? ? ,又因为 x ? 0 , 2x x 2

所以当 x ? ? 0, 2? 时, g? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? 2, ??? 时, g? ? x ? ? 0 , 所以函数 g ? x ? 在 ? 0, 2 ? 单调递增,在 ? 2, ??? 单调递减, 所以当 x ? 2 时, g ? x ? 取得最大值 g ? 2 ? ? 0 ,所以 g ? x ? ? 0 , 所以 f ? x ? ?

3 x ? ln 2 ? 1,即函数 f ? x ? 的图象恒在其切线 l 的下方(切点除外).7 分 2

(Ⅲ)因为 kPQ ?

f ? x2 ? ? f ? x1 ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ,所以当 x2 ? x1 ? 1时, ?k, x2 ? x1 x2 ? x1

即 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? k ? x2 ? x1 ? , f ? x2 ? ? kx2 ? f ? x1 ? ? kx1 . 令 h ? x ? ? f ? x ? ? kx ? ln x ? x ? kx ? x ? 0 ? , 所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递增, 所以 h? ? x ? ? 所以 k ?

1 ? 1 ? k ? 0 在 ?1, ?? ? 恒成立, x

1 ? 1 在 ?1, ?? ? 恒成立,所以 k ? 1 ??????????????12 分 x

22(本小题满分 12 分)第一问 3 分,第二问 4 分,第三问 5 分

【答案】 (1) a ? 1 ( 2 ) ln3 ? 1≤ b ? ln 2 ?

1 ; (3)略 2
7

?? (0) ? ?b ≤ 0, ? 3 ? 依题意有 ?? (1) ? ln(1 ? 1) ? 1 ? ? b ? 0, 2 ? ? ?? (2) ? ln(1 ? 2) ? 4 ? 3 ? b ≤ 0

解得 ln3 ?1 ≤ b ? ln 2 ?

1 ??????7 分 2
? x(2 x ? 3) , ( x ? 1)

(3) f ( x) ? ln( x ? 1) ? x2 ? x 的定义域为 x x ? ?1 ,由(1)知 f ?( x) ? 令 f ?( x) ? 0 得, x ? 0 或 x ? ?

?

?

3 (舍去), 2

? 当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;

当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减. f (0) 为 f ( x) 在 (?1, ??) 上的最大值.

? f ( x) ≤ f (0) ,故 ln( x ? 1) ? x2 ? x ≤ 0 (当且 仅当 x ? 0 时,等号成立)
对任意正整数 n ,取 x ? 故2?

1 1 1 1 n ?1 n ?1 ? 0 得, ln( ? 1) ? ? 2 , ? ln( )? 2 n n n n n n

3 4 n ?1 3 4 n ?1 ? ? ? ? 2 ? ln 2 ? ln ? ln ? ? ? ln ? ln(n ? 1) ??????.12 分 4 9 n n 2 3

8


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