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贵州省思南中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

思南中学 2015——2016 学年度第二学期期中考试 高二年级理科数学试题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、 ?1 ? 3x? (n ? N , n ? 6) 的展开式中 x 和 x 的系数相等,则 n ? (
n
5 6



A、6

B、7

C、8

D、9

2、随机变量 X ~ B(n , p) ,其均值等于 200,标准差等于 10,则 n , p 的值分别为( ) A、400,

1 2

B、200,

1 20

C、400,

1 4

D、200,

1 4

3、某同学同时抛掷两颗骰子一次,得到点数分别为 a , b ,则形成椭圆

x2 y2 ? ? 1 且其离 a2 b2

心率 e ? A、

3 的概率是( 2
B、



1 18

5 18

C、

1 6

D、

1 3

4、某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到如下数据: 单价 x (元) 销量 y (件) 4 90 5 84
?

6 83
?

7 80

8 75

9 68

由表中数据,求得线性回归方程为 y ? ?4 x ? a ,若在这些样本点中任取一点,则它在回归 直线左下方的概率 为( A、 ) C、

1 6

B、

1 3

1 2

D、

2 3


5、函数 f ( x ) ? A、

ln x ? x 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为( x
B、 2 C、 1 D、

3 2

1 2
) D、 ?? 3,?2?

6、函数 f ( x) ? ?

1 3 5 2 x ? x ? 6 x ? 5 的单调增区间是( 3 2
B、 ?2 , 3? C、 ?? 1 , 6?

A、 (??,2) 和 ?3, ? ?? 7、函数 f ( x) ? A、0 个
3

x2 在 x ? ?? 2 , 2?上的极值点的位置有( ex
B、1 个 C、2 个

) D、3 个

8、若函数 f ( x) ? 3x ? sin x ,则满足不等式 f (2m ? 1) ? f (3 ? m) ? 0 的 m 的取值范围是 ( )
1

A、 m ? ?2 9、由函数 y ? A、

B、 m ? ?4

C、 m ? ?2

m ? ?4


x 和函数 y ? x 3 的图象围成的封闭图形的面积为(
B、

1 12

1 4

C、

1 3

D、

5 12

10、函数 y ? e sin x , x ? ?? ? , ? ? 的大致图象为(



y x -π O A π

y x -π
2

y x -π O C π


y x O D π

O B

π

11 、 若 函 数 f ( x ) ? x ? ax ? ( A、 (??, 3] ) B、 (??, ? 3]

1 1 在 ( , ? ?) 是 增 函 数 , 则 a 的 取 值 范 围 x 2
C、 [?3, ? ?) D、 (?3, ? ?)

12、已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c 有两个极值点 x1 , x2 ,且 f ( x1 ) ? x1 ,则关于 x 的 方程 3( f ( x))2 ? 2af ( x) ? b ? 0 的不同实数根个数为( A、3 B、4 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、计算 C、5 ) D、6

?

2

?2

1?

x2 dx ? _____________________. 4

14、袋中有大小相同的 10 个乒乓球,其中 6 个黄色球,4 个白色球,要求不放回抽样,每 次任取一球,取 2 次,第二次才 取到黄色球的概率为__________________. 15、曲线 f ( x) ? 16、关于 x 的方程

2x ? 4 在点(4, f (4) )处的切线方程为_____________________.
1 2 x ? x ? ln x 有唯一解,则实数 a 的取值范围是__________________. a

三、解答题(共 70 分) 17、 (10 分)在对某渔业产品的质量调研中,从甲、乙两地出产的产品中各随机抽取 10 件, 测量该产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图(茎是十位数字) : 甲地 乙地 8 0 3 4 6 8 1 2 4 7 8 8 9 0 2 4 5 6 2 0 0 1 2 规定:当一件产品中此种元素含量不小于 15 毫克时为优质品. (1)试用上述样本数据分别估计甲、乙两地该产品的优质品率; (2)从乙地抽出的上述 10 件产品中,随机(不放回)抽取 3 件,求抽到的 3 件产品中优质 品件数 X 的分布列及数学期望 E ( X ) .
2

18、 (12 分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为

2 3 和 .现 3 5

安排甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B,甲、乙两组的研发相互独立. (1)求恰有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品 A 研发成功,预计该企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计该 企业可获利润 100 万元.求该企业可获利润 X 的数学期望.

19、 (12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ( x ? a)(a ? R) 在 x ? (1)求实数 a 的值; (2)求函数 y ? f ( x) 在闭区间 [0, 3] 的最大值与最小值.

5 处取得极值. 3

20、 (12 分) 设函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? 1的导数 f ' ( x) 满足 f ' (1) ? 2a , f ' (2) ? ?b , 其中常数 a , b ? R . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线方程; (2)设 g ( x) ? f ' ( x) ? e .
?x

,求函数 g ( x) 的极值.

21、已知函数 f ( x) ? x ln x . (1)求 f ( x) 的单调区间和极值;

? x2 ? m x? 3 (2)若对任意 x ? (0, ? ?) , f ( x) ? 恒成立,求实数 m 的最大值. 2

3

22、设函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (1)当 a ?

1? a ? 1. x

1 时,求函 数 f ( x) 的单调区间; 3
2

(2)在(1)的条件下,设函数 g ( x ) ? x ? 2bx ? 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 b 的取值范围.

5 ,若对于 ?x1 ? [1, 2] , ?x2 ? [0, 1] , 12

4

思南中学 2015——2016 学年度第二学期期中考试 高二年级理科数学试题(答案) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题 号 答 案 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 B 5 A 6 B 7 C 8 A 9 D 10 A 11 C 12 A

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13 14 15 16

?

4 15

x ? 2y ? 0

a ? 0或 a ? 1

三、解答题(共 70 分) 17、 (10 分)在对某渔业产品的质量调研中,从甲、乙两地出产的产品中各随机抽取 10 件, 测量该产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图(茎是十位数字) : 甲地 乙地 8 0 3 4 6 8 1 2 4 7 8 8 9 0 2 4 5 6 2 0 0 1 2 规定:当一件产品中此种元素含量不小于 15 毫克时为优质品. (1)试用上述样本数据分别估计甲、乙两地该产品的优质品率; (2)从 乙地抽出的上述 10 件产品中,随机(不放回)抽取 3 件,求抽 到的 3 件产品中优 质品件数 X 的分布列及数学期望 E ( X ) . 解: (1)估计甲地优质品率

7 4 ,乙地优质品率 . 10 5

(2) X 的可能取值为 1,2,3.
1 2 1 3 C8 ? C2 C82 ? C2 C8 1 7 7 P? X ? 1? ? ? , P( X ? 2) ? ? , P( X ? 3) ? 3 ? . 3 3 15 15 C10 C10 C10 15

所以, X 的分布列为 X P 1 2 3

1 15

7 15

7 15

E( X ) ?

12 . 5 2 3 和 .现 3 5

18、 (12 分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为

安排甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B,甲、乙两组的研发相互独立. (1)求恰有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品 A 研发成功,预计该企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计该 企业可获利润 100 万元.求该企业可获利润 X 的数学期望. 解: (1)用 M 表示甲组研发新产品 A 成功的事件,用 N 表示乙组研发新产品 B 成功的事件, 则恰有一种新产品研发成功的事件为 A ? B ? A ? B .
5

所以, P( A ? B ? A ? B) ? P( A ? B) ? P( A ? B) ? (2)X 的可能取值为 0,100,120,220.

2 2 1 3 7 ? ? ? ? . 3 5 3 5 15

P( X ? 0) ?

1 2 2 1 3 3 1 ? ? , P( X ? 100 ) ? ? ? ? , 3 5 15 3 5 15 5 2 2 4 2 3 6 2 P( X ? 120 ) ? ? ? , P( X ? 220 ) ? ? ? ? . 3 5 15 3 5 15 5
X P 0 100 120 220

所以,X 的分布列为

2 15

1 5

4 15

2 5

E ( X ) ? 140(万元).
19、 (12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ( x ? a)(a ? R) 在 x ? (1)求实数 a 的值; (2)求函数 y ? f ( x) 在闭区间 [0, 3] 的最大值与最小值. 解: (1) f ' ( x) ? ( x ? 1)(3x ? 2a ? 1) 由 f ' ( ) ? 0 ? 5 ? 2a ? 1 ? 0 ? a ? 2 (2)由(1)得 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ( x ? 2 ) , f ' ( x) ? ( x ? 1)(3x ? 5) 由 f ' ( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ?

5 处取得极值. 3

5 3

5 ,列出变化表如下: 3
1 0 0 (1, ) —

x
f ' ( x) f ( x)

0

(0,1) +

5 3

5 3
0



5 , 3) 3
+

3

—2

?

4 27

4

所以, f ( x) 最 大值为 4, f ( x) 最小值为 ? 2 .
3 2 20、 (12 分) 设函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1的导数 f ' ( x) 满足 f ' (1) ? 2a , f ' (2) ? ?b ,

其中常数 a , b ? R . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线方程; (2)设 g ( x) ? f ' ( x) ? e
2 ?x

,求函数 g ( x) 的极值.

解: (1) f ' ( x) ? 3x ? 2ax ? b ,由条件得

6

?3 ? 2a ? b ? 2a 3 ,解得 a ? ? , b ? ?3 , ? 2 ?12 ? 4a ? b ? ?b
所以, f ( x ) ? x ?
3

3 2 5 x ? 3 x ? 1, f (1) ? ? , f ' (1) ? ?3 , 2 2

所以,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线方程为 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (2)由(1)得 g ( x) ? (?3x 2 ? 3x ? 3) ? e ? x , g ' ( x) ? (?3x 2 ? 9x)e ? x , 由 g ' ( x) ? 0 解得 x ? 0 或 x ? 3 ,列出变化表如下:

x
f ' ( x)
f ( x)

(??, 0)


0 0 —3

(0,3) +

3 3

(3,??)


15e ?3

所以,当 x ? 0 时 g ( x) 取得极小值 g (0) ? -3 ;当 x ? 3 时 g ( x) 取得极大值 g (3) ? 15e-3 . 21、已知函数 f ( x) ? x ln x . (1)求 f ( x) 的单调区间和极值;

? x2 ? m x? 3 (2)若对任意 x ? (0, ? ?) , f ( x) ? 恒成立,求实数 m 的最大值. 2
1 1 , f ' ( x) ? 0 ? 0 ? x ? , e e 1 1 所以, f ( x) 的单调增区间是 ( ,?? ) ,单调减区间是 (0 , ) ; e e 1 1 1 在 x ? 处取得极小值,极小值为 f ( ) ? ? . e e e
解: (1) f ' ( x) ? ln x ? 1 , f ' ( x ) ? 0 ? x ? (2)由 f ( x) ?

? x2 ? m x? 3 2 x ln x ? x 2 ? 3 变形,得 m ? 恒成立, 2 x

令 g ( x) ?

2 x ln x ? x 2 ? 3 2x ? x 2 ? 3 (x>0) , g ' ( x) ? , x x2

由 g ' ( x) ? 0 ? x ? 1 , g ' ( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 所以, g ( x) 在(0,1)上是减函数,在 (1,??) 上增函数; 所以, g ( x) min ? g (1) ? 4 ,即 m ? 4 ,所以 m 的最大值是 4.

7

22、设函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (1)当 a ?

1? a ? 1. x

1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 3
2

(2)在(1)的条件下,设函数 g ( x ) ? x ? 2bx ? 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 b 的取值范围. 解: (1)当 a ?

5 ,若对于 ?x1 ? [1, 2] , ?x2 ? [0, 1] , 12

1 ( x ? 1)( x ? 2) 时, f ' ( x) ? ? , 3 3x 2

由 f ' ( x) ? 0 ? 1 ? x ? 2 , f ' ( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 2 , 所以, f ( x) 的单调增区间为(1,2) ,单调减区间为(0,1) , (2, ? ? ).

1 时,由(1)可知 f ( x) 在[1, 2]上是增函数, 3 2 所以,当 x ? [1,2] 时, f ( x) min ? f (1) ? ? . 3
(2)当 a ? 若对于 ?x1 ? [1, 2] , ?x2 ? [0, 1] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,等价于 f ( x) min ? g ( x) min . ①当 b ? 0 时, g ( x) 在[0,1]上是增函数, g ( x) min ? g (0) ? ? ②当 0 ? b ? 1 时, g ( x ) min ? g (b) ? ?b ?
2

5 ,由 f ( x) min 12

5 2 ? ? ,不合题意,舍去; 12 3 2 5 ? g ( x) min 得 ? ? ?b 2 ? , 3 12

解得

1 ? b ? 1; 2
7 ? 2b , 由 f ( x) m n i ? g ( x) m n i 12

③当 b ? 1 时,g ( x) 在[0,1]上减增函数,g ( x ) min ? g (1) ? 得?

2 7 ? ? 2b ,解得 b ? 1 . 3 12 1 , ? ?) . 2

综上所述,实数 b 的取值范围为 [

8


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