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中档题训练三

实验中学高三数学二轮复习中档题训练(三)
1. 已知锐角△ABC 中,三个内角为 A、B、C,两向量 p ? ? 2 ? 2 sin A , cos A ? sin A ? ,
q ? ?sin A ? cos A ,1 ? sin A ? ,若 p 与 q 是共线向量,

(1)求∠A 的大小; (2)当函数 y ? 2 sin
2

B ? cos

C ? 3B 2

取最大值时,求∠B 的大小

2.已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 x

? ax , x ? ? 0, ?? ? (a 为实常数).

(1) 当 a = 0 时,求 f ? x ? 的最小值; (2)若 f ? x ? 在 [2, ?? ) 上是单调函数,求 a 的取值范围

3. 为了立一块广告牌, 要制造一个三角形的支架. 三角形支架形状如图, 要求 ?ACB ? 60 0 , BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米. 为了广告牌稳固,要求 AC 的长度越短越好, 求 AC 最短为多少米?且当 AC 最短时,BC 长度为多少米?

4.如图: P A ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是矩形, P A ? A B ? 1 , P D 与平面 ABCD 所 成的角是 30? ,点 F 是 P B 的中点,点 E 在边 BC 上移动. (1)当点 E 为 BC 的中点时,试判断 E F 与平面 PAC 的位置 关系,并说明理由; (2)证明:不论点 E 在边 BC 上何处,都有 P E ? A F .
A F P

B
E

D

C

实验中学高三数学二轮复习中档题训练(三)
1. 已知锐角△ABC 中,三个内角为 A、B、C,两向量 p ? ? 2 ? 2 sin A , cos A ? sin A ? ,
q ? ?sin A ? cos A ,1 ? sin A ? ,若 p 与 q 是共线向量,

(1)求∠A 的大小; (2)当函数 y ? 2 sin
?? ?
2

B ? cos

C ? 3B 2

取最大值时,求∠B 的大小

解 ? 1 ? ? p // q ,? ? 2 ? 2 sin A ? ?1 ? sin A ? ? ? cos A ? sin A ? ? sin A ? cos A ? ? 0 ??(2’) 整理得: sin 2 A ?
3 4 ; ???????????(4’)
3 2

又 A 为锐角,? sin A ?

,? A ? 6 0 . ???????(6’)

?

(2)由(1)知 C ? 120 ? ? B ?????????(7’) 故
y ? 2 sin B ? cos ? 2 B ? 60 ? ?
2

? 1 ? cos 2 B ? cos 2 B cos 60 ? sin 2 B sin 60 ? 1? 3 2
0

?

?

sin 2 B ?

1 2

cos 2 B

? 1 ? sin(2 B ? 30 )

???????????(12’) 0 当 B=60 时,Y 取得最大值。????????(13’) 1 2.已知函数 f ? x ? ? ln x ? ? ax , x ? ? 0, ?? ? (a 为实常数). x (1) 当 a = 0 时,求 f ? x ? 的最小值; (2)若 f ? x ? 在 [2, ?? ) 上是单调函数,求 a 的取值范围 (1) f ?( x ) ?
1 x ? 1 x
2

?a ?

ax

2

? x ?1 x
2

当 a≥0 时, ax 2 ? x ? 1 在[2,+∞)上恒大于零,即 f ?( x ) ? 0 ,符合要求; 当 a<0 时,令 g ( x ) ? ax ? x ? 1 ,g (x)在[2,+∞)上只能恒小于零
2

2分

故△=1+4a≤0

? ?1 ? 4 a ? 0 ? 或 ? g (2) ? 0 ? 1 ? 2 ?? ? 2a
1 4

,解得:a≤ ?

1 4

∴a 的取值范围是 ( ?? ,?

] ? [ 0 ,? ? )

6分

(2)a = 0 时, f ?( x ) ?

x ?1 x
2

当 0<x<1 时 f ?( x ) ? 0 ,当 x>1 时 f ?( x ) ? 0 ,∴ f ( x ) min ? f (1) ? 1 3. 为了立一块广告牌, 要制造一个三角形的支架. 三角形支架形状如图, 要求 ?ACB ? 60 0 , BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米. 为了广告牌稳固,要求 AC 的长度越短越好, 求 AC 最短为多少米?且当 AC 最短时,BC 长度为多少米? 解:如图,设 BC 的长度为 x 米,AC 的长度为 y 米,则 AB 的长度 为(y-0.5)米. 在△ABC 中,依余弦定理得:
AB
2

A

? AC

2

? BC
2

2

? 2 AC ? BC cos ? ACB
2

-------(4 分)

即 ( y ? 0 . 5 ) ? y ? x ? 2 yx ?
2

1 2

化简,得 y ( x ? 1) ? x ?
2

1 4
1

C
x ?
2

B

∵ x ? 1 ,∴ x ? 1 ? 0 因此 y ?
x ?
2

4 x ?1

------------------(6 分)

1 3 ?2.

方法一: y

?

3 4 ? ( x ? 1) ? ?2? x ?1 4 ( x ? 1)

-------------------- (10 分)
3 2

当且仅当 x ? 1 ?

3 4 ( x ? 1)

时,取“=”号,即 x

?1?

时,y 有最小值 2 ?

3

4.如图: P A ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是矩形, P A ? A B ? 1 , P D 与平面 ABCD 所 成的角是 30? ,点 F 是 P B 的中点,点 E 在边 BC 上移动. (1) 当点 E 为 BC 的中点时, 试判断 E F 与平面 PAC 的位置 关系,并说明理由; (2)证明:不论点 E 在边 BC 上何处,都有 P E ? A F . 解: (1)当点 E 为 BC 的中点时, E F 与平面 PAC 平行. ∵在 ? PBC 中, E 、 F 分别为 BC 、 P B 的中点 ∴ E F ∥ PC 又 EF ? 平 面 PAC , 而 PC ? 平 面 PAC ∴ E F ∥平面 PAC . ?????4 分
A F P

B
E

D

C

(2) 证明 (略证) 易证 EB ? 平面 P A B , P B 是 P E 在平面 P A B 内的射影, A F ? P B , : 又 ∴ AF ? PE .


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