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2015-2016学年天津市红桥区高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年天津市红桥区高二(下)期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 2 分,满分 24 分) 1.某同学从 4 本不同的科普杂志,3 本不同的文摘杂志,2 本不同的娱乐新闻杂志中任选一 本阅读,则不同的选法共有( ) A.24 种B.9 种 C.3 种 D.26 种 2.5 名高中毕业生报考三所重点院校,每人限报且只报一所院校,则不同的报名方法有 ( ) A.35 种 B.53 种 C.60 种 D.10 种 3.由数字 1,2,3,4 可以组成无重复数字的三位整数的个数为( ) A.48 B.12 C.24 D.100 4.一头猪服用某药品后被治愈的概率是 90%,则服用这种药的 5 头猪中恰有 3 头被治愈的 概率为( ) ×0.93×0.12 D.C ×0.13×0.92 ) A.0.93 B.C

C.1﹣(1﹣0.9)3

5.已知 P(B|A)= ,P(A)= ,则 P(A∩B)等于( A. B. C. D.

6.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为 0.6 和 0.5,现已知目标被击中, 则它是被甲击中的概率为( ) A.0.45 B.0.6 C.0.65 D.0.75 7.已知随机变量 ξ 服从二项分布,且 ξ~B(3, ) ,则 P(ξ=1)等于( A. B. C. D. ) )

8.在(2x2﹣ )5 的二项展开式中,x 项的系数为( A.10 B.﹣10 C.40 D.﹣40

9.若(3x﹣ )n 展开式中各项系数之和为 32,则该展开式中含 x3 的项的系数为(



A.﹣5 B.5 C.﹣405 D.405 10.甲、乙两名射手一次射击射中的得分为两个相互独立的随机变量 ξ 和 η,且 ξ、η 的分 布列为: ξ P 1 0.3 2 0.1 3 0.6

η 1 2 3 P 0.3 0.4 0.3 则甲、乙两人技术状况怎样( ) A.甲好于乙 B.乙好于甲 C.一样好

D.无法确定

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11.分析身高与体重有关系,可以用( ) A.误差分析 B.回归分析 C.独立性检验 D.上述都不对 12.在对我市普通高中学生某项身体素质的测试中.测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ2) (σ >0) ,若 ξ 在(0,2)内取值的概率为 0.8,则 ξ 在(0,1)内取值的概率为( ) A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.3 二、填空题(共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分) 13. (x﹣ )6 的二项展开式中的常数项为 . (用数字作答)

14.某学校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类 课程中各至少选一门,则不同的选法共有 种. (用数字作答) 15.从编号为 1,2,…,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个,则所取 4 个球的最大号码是 6 的概率为 . 16.已知二项分布 ξ~ ,则该分布列的方差 Dξ 值为 .

17.若随机变量 X 服从两点分布,且 P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2,令 Y=3X﹣2,则 P (Y=﹣2)= . 18.设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1) ,如果 P(X≤1)=0.8413,则 P(﹣1<X<0) = . 19.下面是 2×2 列联表: y1 y2 合计 x1 a 28 35 x2 11 34 45 合计 b 62 80 则表中 a= ,b= . 20.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取 50 名学生,得到如 下 2×2 列联表: 理科 文科 13 10 男 7 20 女 2 已知 P(K ≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据,得到 k= 为 . ≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性

三、解答题(共 4 小题,满分 44 分) 21.摇奖器中有 10 个小球,其中 8 个小球上标有数字 2,2 个小球上标有数字 5,现摇出 3 个小球,规定所得奖金(元)为这些小球上记号之和,如果参加此次摇奖,求获得所有可能 奖金数及相应的概率. 22.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和 .假设两人射击是否击中目标, 相互之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响. (1)求甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率;
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(2)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; (3)假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的 概率是多少? 23.已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的 6 个小球,其中白球 2 个,黑球 4 个.现从中 随机取球,每次只取一球. (1)若每次取球后都放回袋中,求事件“连续取球四次,至少取得两次白球”的概率; (2)若每次取球后都不放回袋中,且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏, 记游戏结束时一共取球 X 次,求随机变量 X 的分布列与期望. 24.随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等 品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ξ. (1)求 ξ 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ξ 的数学期望) ; (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1%,一等品率提高为 70%.如 果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少?

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2015-2016 学年天津市红桥区高二 (下) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 2 分,满分 24 分) 1.某同学从 4 本不同的科普杂志,3 本不同的文摘杂志,2 本不同的娱乐新闻杂志中任选一 本阅读,则不同的选法共有( ) A.24 种B.9 种 C.3 种 D.26 种 【考点】分类加法计数原理;排列、组合的实际应用. 【分析】分清是分类计数原理还是分步计数原理,即可求出答案. 【解答】解:某同学从 4 本不同的科普杂志,3 本不同的文摘杂志,2 本不同的娱乐新闻杂 志中任选一本阅读,共有 4+3+2=9 种选法, 故选:B. 2.5 名高中毕业生报考三所重点院校,每人限报且只报一所院校,则不同的报名方法有 ( ) A.35 种 B.53 种 C.60 种 D.10 种 【考点】计数原理的应用. 【分析】根据题意,由于每一位高中毕业生都有 3 种填报方法,由分步计数原理求得所有的 填报方法. 【解答】解:根据题意,每一位高中毕业生都有 3 种填报方法, 则 5 名高中毕业生共有 3×3×3×3×3=35 种不同的报名方法; 故选:A. 3.由数字 1,2,3,4 可以组成无重复数字的三位整数的个数为( A.48 B.12 C.24 D.100 )

【考点】排列、组合的实际应用. 【分析】三位数任意排,根据分步计数原理,即可得出结论. 【解答】解:由数字 1,2,3,4 可以组成无重复数字的三位整数,根据乘法原理共有 4×3 ×2=24 个. 故选:C. 4.一头猪服用某药品后被治愈的概率是 90%,则服用这种药的 5 头猪中恰有 3 头被治愈的 概率为( ) ×0.93×0.12 D.C ×0.13×0.92 A.0.93 B.C

C.1﹣(1﹣0.9)3

【考点】n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率. 【分析】利用 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率公式,计算求得结果. 【解答】解:由题意可得,服用这种药的 5 头猪中恰有 3 头被治愈的概率为
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?0.93?0.12,

故选:B.

5.已知 P(B|A)= ,P(A)= ,则 P(A∩B)等于( A. B. C. D.



【考点】条件概率与独立事件. 【分析】由条件概率公式可得 P(A∩B)=P(B|A)P(A) ,代入计算可得结论. 【解答】解:由条件概率公式可得 P(A∩B)=P(B|A)P(A)= 故选:D. 6.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为 0.6 和 0.5,现已知目标被击中, 则它是被甲击中的概率为( ) A.0.45 B.0.6 C.0.65 D.0.75 【考点】条件概率与独立事件. 【分析】根据题意,记甲击中目标为事件 A,乙击中目标为事件 B,目标被击中为事件 C, 由相互独立事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而由条件概率的公式,计算可 得答案. 【解答】解:根据题意,记甲击中目标为事件 A,乙击中目标为事件 B,目标被击中为事件 C, 则 P(C)=1﹣P( )P( )=1﹣(1﹣0.6) (1﹣0.5)=0.8; 则目标是被甲击中的概率为 P= 故选 D. =0.75; = ,

7.已知随机变量 ξ 服从二项分布,且 ξ~B(3, ) ,则 P(ξ=1)等于( A. B. C. D.



【考点】二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 【分析】根据随机变量 ξ 服从二项分布,ξ~B(3, ) ,得到变量对应的概率公式,把变量 等于 1 代入,求出概率. 【解答】解:∵随机变量 ξ 服从二项分布,ξ~B(3, ) , ∴P(ξ=1)= 故选:B. 8.在(2x2﹣ )5 的二项展开式中,x 项的系数为( A.10 B.﹣10 C.40 D.﹣40 = ,



【考点】二项式定理的应用.
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【分析】由题意,可先由公式得出二项展开式的通项 Tr+1= = ,再令 10﹣3r=1,得 r=3 即可得出 x 项的系数

【解答】解: (2x2﹣ )5 的二项展开式的通项为 Tr+1= = 令 10﹣3r=1,得 r=3 故 x 项的系数为 故选 D 9.若(3x﹣ )n 展开式中各项系数之和为 32,则该展开式中含 x3 的项的系数为( A.﹣5 B.5 C.﹣405 D.405 =﹣40



【考点】二项式系数的性质. 【分析】令二项式中的 x 为 1,求出展开式的各项系数和,求出 n;利用二项展开式的通项 公式求出通项,令 x 的指数为 3,求出 r,将 r 的值代入通项,求出该展开式中含 x3 的项的 系数. 【解答】解:令 x=1 得展开式的各项系数之和为 2n ∴2n=32 解得 n=5 ∴ = 展开式的通项为 Tr+1=(﹣1)r35﹣rC51x5﹣2r

令 5﹣2r=3 得 r=1 所以该展开式中含 x3 的项的系数为﹣34C51=﹣405 故选 C 10.甲、乙两名射手一次射击射中的得分为两个相互独立的随机变量 ξ 和 η,且 ξ、η 的分 布列为: ξ 1 2 3 P 0.3 0.1 0.6 1 2 3 P 0.3 0.4 0.3 则甲、乙两人技术状况怎样( ) A.甲好于乙 B.乙好于甲 C.一样好 D.无法确定 【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】由离散型随机分布列的性质求出期望和方差,由此能求出结果. 【解答】解:由题意:E(ξ)=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3, D(ξ)=(1﹣2.3)2×0.3+(2﹣2.3)2×0.1+(3﹣2.3)2×0.6=0.81, E(η)=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2, D(η)=(1﹣2)2×0.3+(2﹣2)2×0.4+(3﹣2)2×0.3=0.6. η
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甲的成绩比乙的成绩好,但乙比甲稳定, 综合来看,甲好于乙. 故选:A. 11.分析身高与体重有关系,可以用( ) A.误差分析 B.回归分析 C.独立性检验 D.上述都不对 【考点】回归分析. 【分析】根据身高和体重具有相关关系,即可得出结论. 【解答】解:回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法, 显然,身高和体重具有相关关系, 故选:B. 12.在对我市普通高中学生某项身体素质的测试中.测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ2) (σ >0) ,若 ξ 在(0,2)内取值的概率为 0.8,则 ξ 在(0,1)内取值的概率为( ) A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.3 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【分析】先利用正态分布曲线的对称性,判断 ξ 在(0,1) , (1,2)内取值的概率相等,再 由已知概率求所求概率即可 【解答】解:∵ξ 服从正态分布 N(1,σ2) ∴正态分布曲线关于 u=1 对称,ξ 在(0,1) , (1,2)内取值的概率相等, ∵ξ 在(0,2)内取值的概率为 0.8 ∴ξ 在(0,1)内取值的概率为 0.4 故选 B 二、填空题(共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分) 13. (x﹣ )6 的二项展开式中的常数项为 ﹣20 . (用数字作答) 【考点】二项式系数的性质. 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 0,求出 r 的值,即可求得常数项. 【解答】解: (x﹣ )6 的二项展开式的通项公式为 Tr+1= ?(﹣1)r?x6﹣2r, =20,

令 6﹣2r=0,求得 r=3,可得(x﹣ )6 的二项展开式中的常数项为 故答案为:﹣20.

14.某学校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类 课程中各至少选一门,则不同的选法共有 30 种. (用数字作答) 【考点】组合及组合数公式. 【分析】由题意分类: (1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,确定选法; 2 A 2 ( ) 类选修课选 门,B 类选修课选 1 门,确定选法;然后求和即可. 【解答】解:分以下 2 种情况: (1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 C31C42 种 不同的选法; (2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 C32C41 种不同的选法. 所以不同的选法共有 C31C42+C32C41=18+12=30 种.
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故答案为:30 15.从编号为 1,2,…,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个,则所取 4 个球的最大号码是 6 的概率为 .

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】从 10 个球中取 4 球,用组合数写出总事件的个数和符合条件的事件的个数,求比 值即可得结果. 【解答】解:从 10 个大小相同的球中任取 4 个有 C104 种方法, 若所取 4 个球的最大号码是 6,则必有一个球号码是 6, 另外 3 个球需从 1、2、3、4、5 号球中取 3 个,有 C53 种方法, 故所取 4 个球的最大号码是 6 的概率为:P= =

故答案为:

16.已知二项分布 ξ~

,则该分布列的方差 Dξ 值为 1



【考点】二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 【分析】根据比例符合二项分布,根据所给的二项分布的表示式,把 n,p,q 的结果代入方 差的公式,做出要求的方差的值. 【解答】解:∵二项分布 ξ~ ∴该分布列的方差 Dξ=npq=4× 故答案为:1 17.若随机变量 X 服从两点分布,且 P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2,令 Y=3X﹣2,则 P (Y=﹣2)= 0.8 . 【考点】二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 【分析】Y=﹣2,则 X=0,可得 P(Y=﹣2)=P(X=0)=0.8. 【解答】解:Y=﹣2,则 X=0,所以 P(Y=﹣2)=P(X=0)=0.8, 故答案为:0.8 18.设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1) ,如果 P(X≤1)=0.8413,则 P(﹣1<X<0) = 0.3413 . 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【分析】根据随机变量符合正态分布和正态分布的曲线关于 x=0 对称,得到一对对称区间 的概率之间的关系,即可得到要求的区间的概率. 【解答】解:∵随机变量 X 服从正态分布 N(0,1) , ∴曲线关于直线 x=0 对称, ∵P(X≤1)=0.8413, ∴P(﹣1<X<0)=P(X≤1)﹣0.5=0.3413,
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, =1

故答案为:0.3413. 19.下面是 2×2 列联表: y1 y2 合计 x1 a 28 35 x2 11 34 45 合计 b 62 80 则表中 a= 7 ,b= 18 . 【考点】独立性检验. 【分析】根据列联表,合计为相应变量的和,可得结论. 【解答】解:由题意,a+28=35,a+11=b,∴a=7,b=18 故答案为:7,18 20.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取 50 名学生,得到如 下 2×2 列联表: 理科 文科 13 10 男 7 20 女 2 已知 P(K ≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据,得到 k= ≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为

5% . 【考点】独立性检验的应用. 【分析】根据条件中所给的观测值,同所给的临界值进行比较,根据 4.844>3.841,即可得 到认为选修文科与性别有关系出错的可能性为 5%. 【解答】解:∵根据表中数据,得到 K2 的观测值 4.844>3.841, ∴认为选修文科与性别有关系出错的可能性为 5%. 故答案为:5%. 三、解答题(共 4 小题,满分 44 分) 21.摇奖器中有 10 个小球,其中 8 个小球上标有数字 2,2 个小球上标有数字 5,现摇出 3 个小球,规定所得奖金(元)为这些小球上记号之和,如果参加此次摇奖,求获得所有可能 奖金数及相应的概率. 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】由题意知,获得奖金数额 ξ 的可取值为 6(元) ,9(元) ,12(元) ,利用概率的乘 法公式分别求出它们的概率. 【解答】解:设此次摇奖的奖金数额为 ξ 元, 当摇出的 3 个小球均标有数字 2 时,ξ=6; 当摇出的 3 个小球中有 2 个标有数字 2,1 个标有数字 5 时,ξ=9; 当摇出的 3 个小球有 1 个标有数字 2,2 个标有数字 5 时,ξ=12.
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≈4.844.

所以,P(ξ=6)=

=



P(ξ=9)=

=



P(ξ=12)=

=



22.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和 .假设两人射击是否击中目标, 相互之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响. (1)求甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率; (2)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; (3)假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的 概率是多少? 【考点】排列、组合的实际应用;相互独立事件的概率乘法公式. 【分析】 (1)由题意知,两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;击中目标的概率分别 是 和 ,射击 4 次,相当于 4 次独立重复试验,根据独立重复试验和互斥事件的概率公式 得到结果. (2)两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次,表示相互独立的两个 事件同时发生,写出两个事件的概率,根据相互独立事件的概率公式得到结果. (3)乙恰好射击 5 次后,被中止射击,表示最后两次射击一定没有射中,前两次最多一次 没击中,这几个事件之间是相互独立的,根据相互独立事件同时发生的概率得到结果. 【解答】解: (1)记“甲连续射击 4 次,至少 1 次未击中目标”为事件 A1, 由题意知两人射击是否击中目标,相互之间没有影响, 射击 4 次,相当于 4 次独立重复试验, 故 P(A1)=1﹣P( )=1﹣ = . ;

即甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率为

(2)记“甲射击 4 次,恰好击中目标 2 次”为事件 A2, “乙射击 4 次,恰好击中目标 3 次”为事件 B2, P(A2)= P(B2)= 由于甲、乙设计相互独立, 故 P(A2B2)=P(A2)P(B2)= ? = . = = , .

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即两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率为 ; (3)记“乙恰好射击 5 次后,被中止射击”为事件 A3, “乙第 i 次射击为击中”为事件 Di, (i=1,2,3,4,5) , 则 A3=D5D4 ( ) ,且 P(Di)= ,

由于各事件相互独立, 故 P(A3)=P(D5)P(D4)P( )P( )= × × ×(1﹣ × )= . ,

即乙恰好射击 5 次后,被中止射击的概率是

23.已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的 6 个小球,其中白球 2 个,黑球 4 个.现从中 随机取球,每次只取一球. (1)若每次取球后都放回袋中,求事件“连续取球四次,至少取得两次白球”的概率; (2)若每次取球后都不放回袋中,且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏, 记游戏结束时一共取球 X 次,求随机变量 X 的分布列与期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型 随机变量及其分布列. 【分析】 (1)记事件 Ai 表示“第 i 次取到白球”(i∈N*) ,事件 B 表示“连续取球四次,至少 取得两次白球”, 则: = + + + + ,

由此利用对立事件概率计算公式能求出事件“连续取球四次,至少取得两次白球”的概率. (2)随机变量 X 的取值分别为 2,3,4,5,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量 X 的分布列与期望. 【解答】解: (1)记事件 Ai 表示“第 i 次取到白球”(i∈N*) , 事件 B 表示“连续取球四次,至少取得两次白球”, 则: = + )+P( + + )+P( + )+P( .… )+P

∴P( )=P( ( = )

=

,… = .… …

∴P(B)=1﹣P( )=1﹣

(2)随机变量 X 的取值分别为 2,3,4,5 P(X=2)= = ,

P(X=3)=

=



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P(X=4)=

× = ,

P(X=5)=1﹣ ∴随机变量 X 的分布列为: X 2 P …

= ,…

3

4

5

∴随机变量 X 的期望为:EX=

.…

24.随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等 品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ξ. (1)求 ξ 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ξ 的数学期望) ; (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1%,一等品率提高为 70%.如 果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少? 【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (1)由题意知,ξ 的所有可能取值有 6,2,1,﹣2,利用概率的公式分别求出它们 的概率,列成表格即得; (2)为了 1 件产品的平均利润,只须利用数学期望公式计算出数学期望值大小即可; (3)设技术革新后的三等品率为 x,再算出用 x 表示的此时 1 件产品的数学期望值,列不 等关系解不等式即可. 2, 1, ξ 的所有可能取值有 6, 【解答】 解: ﹣2; , 故 ξ 的分布列为: ξ 6 2 1 ﹣2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)Eξ=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(﹣2)×0.02=4.34 (3)设技术革新后的三等品率为 x,则此时 1 件产品的平均利润为 E(x)=6×0.7+2×(1 ﹣0.7﹣0.01﹣x)+1×x+(﹣2)×0.01=4.76﹣x(0≤x≤0.29) 依题意,E(x)≥4.73,即 4.76﹣x≥4.73,解得 x≤0.03 所以三等品率最多为 3% ,

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2016 年 8 月 16 日

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