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北京市昌平区2015届高三上学期期末考试数学(文)试题


昌平区 2014-2015 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(文科)
2015.1

考生注意事项: 1.本试卷共 6 页, 分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分, 满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 2.答题前,考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚.答题卡上第一部分(选 择题)必须用 2B 铅笔作答,第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答,作图时必须 使用 2B 铅笔. 3.修改时,选择题用塑料橡皮擦干净,不得使用涂改液.请保持卡面整洁,不要折叠、 折皱、破损.不得在答题卡上作任何标记. 4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,未在对应的答题区域作答或超出答题 区域的作答均不得分.

第Ⅰ卷(选择题
出符合题目要求的一项.) 1. 已知集合 M ? {x ? 1}, N ? {x | x ? 0}, 则 M A. x x ? 1

共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选

N 等于
C.

?

?

B.

? x x ? 1?

? x 0 ? x ? 1?

D. ?

2.下列函数中,在区间(0, A. y ? cos x

π )上是减函数的是 2
C. y ? x
2

B. y ? sin x

D. y ? 2 x ? 1

3. 在 ?ABC 中, ?A ? 60? , AC ? A. 120 B.

2, BC ? 3, ,则 ?B 等于
C.

90

60

D. 45

4.某四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图 是等腰直角三角形 , 侧 (左) 视图是等腰三角形 ,俯 视图是正方形,则该四棱锥的体积是 A. 8
2

8 B. 3 C. 4

1

1

1

1

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

D.

4 3

5. “ ? ? ? ”是“ sin ? ? sin ? ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 已知直线 m 和平面 α,β,则下列四个命题中正确的是 A. 若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? C. 若 ? / / ? , m / /? ,则 m / / ? B. 若 ? / / ? , m ? ? ,则 m ? ? D. 若 m / /? , m / / ? ,则 ? / / ?

7. 某位股民购进某只股票, 在接下来的交易时间内, 他的这只股票先经历了 n 次涨停(每 次上涨 10%),又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其它费用) 是 A. 略有盈利 亏情况 B. 略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈

8. 已知数列 {a n } 满足 3an ?1 ? an ? 4 (n ? 1,n ? N* ), 且 a1 ? 9, 其前 n 项之和为 S n , 则 满足不等式 | S n ? n ? 6 |? A.7

1 成立的 n 的最小值是 40
B.6 C.5 D.4

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) . 9. 计算: (1 ? i)(1 ? 2i) = .( i 为虚数单位)
开始 输入 x 是

10. 执行如图所示的程序框图,如果输入 ?2 ,那么输出的结果 是 ,如果输入 4 ,那么输出的结果是 .

x?0


y ? 2log2 x

y ? 3? x ? 1

输出 y 结束

? x ? y ≤ 1, ? 11. 设 x , y 满足约束条件 ? y ≤ x, 则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? y ≥ 0, ?
12. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (1 , 0) , | b |= 2 ,则 | 2a - b | =

.

.

x2 13. 双曲线 C : 若抛物线 y 2 ? 2mx 与双曲线 C 有相 ? y 2 ? 1 的离心率是_________; 3
同的 焦点,则 m ? _____________.

14. 在下列函数① y?3

x ?1

? , ②y ? log 3 x, ③y ? x 2 ? 1, ④y ? sin x, ⑤y ? cos( x ? ) 中,满 6

足 “ 对 任 意 的 x1 , x2 ? ( 0 , 1 ) , 则 f ? ________.(填上所有正确的序号)

? x1 ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立”的函数是 ?? 2 ? 2 ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? (I) 求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x) 的最大值及取得最大值时的 x 值.

1 cos 2 x ? 1. 2

? 2

16.(本小题满分 13 分) 有 20 名学生参加某次考试,成绩(单位:分)的 频率分布直方图如图所示: (I)求频率分布直方图中 m 的值; (Ⅱ) 分别求出成绩落在 [70,80),[80,90),[90,100] 中
6m 5m 4m 3m 2m
频率 组距

O

50

60

70

80

90

100

成绩(分)

的学生人数; (III)从成绩在 [80,100] 的学生中任选 2 人,求所选学生的成绩都落在 [80,90) 中的概率.

17.(本小题满分 13 分) 在等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2, a5 ? 16 . (I)求等比数列 ?an ? 的通项公式; (II)若等差数列 ?bn ? 中, b1 ? a5 , b8 ? a2 ,求等差数列 ?bn ? 的前 n 项的和 S n ,并求 S n 的最大值.

18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边 形, ?DAC =90 , O 为 AC 的中点, PO ? 底面 ABCD . (I)求证: AD ? 平面 PAC ; ( II ) 在线 段 PB 上 是 否存 在一 点 M , 使 得 OM // 平 面
P

PAD ?若存在,写出证明过程;若不存在,请说明理由.

D A O

C B

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? xe ? 1.
x x

(I)求函数 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)设 g ( x) ?

f ( x) , 其中 x ? ?1, 且x ? 0 ,证明: g ( x) <1. x

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:

y 2 x2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,其四个顶点组成的菱形的面积 2 a b 2

是 4 2 ,O 为坐标原点,若点 A 在直线 x ? 2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA ? OB . (I) 求椭圆 C 的方程; (II)求线段 AB 长度的最小值; (III)试判断直线 AB 与圆 x
2

? y 2 ? 2 的位置关系,并证明你的结论.

昌平区 2014-2015 学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷(文科)参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.)
题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 D 5 A 6 B 7 B 8 C 2015.1

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 9. 3 ? i 12. 2 10. 10 ; 4 13. 11. 2 14. ① ③

2 3; ?4 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2

………… 4 分 ………… 6 分 ………… 7 分

? ? sin(2 x ? ) ? 1 6 2? 所以 T ? ? ?. 2 ? ? (Ⅱ)因为 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 1 , 0 ? x ? , 6 2 ? ? ?? 所以 ? 2 x ? ? . 6 6 6 ? ? ? 所以当 2 x ? ? 即 x ? 时, 6 2 6
函数 f ( x) 的最大值是 2.

…………9 分

…………13 分

16.(本小题满分 13 分) 解: (I)由题意 10 ? (2m ? 3m ? 4m ? 5m ? 6m) ? 1 , m ? 0.005 . ………3 分 (II)成绩落在 [70,80) 中的学生人数为 20 ? 10 ? 0.03 ? 6 , 成绩落在 [80,90) 中的学生人数 20 ? 10 ? 0.02 ? 4 成绩落在 [90,100] 中的学生人数 20 ? 10 ? 0.01 ? 2 . ……………6 分

(III)设落在 [80,90) 中的学生为 a1 , a2 , a3 , a4 ,落在 [90,100] 中的学生为 b1 , b2 , 则 ?1 ? {a1a2 , a1a3 , a1a4 , a1b1 , a1b2 , a2 a3 , a2 a4 , a2b1 , a2b2 , a3a4 , a3b1 , a3b2 , a4b1 , a4b2 , b1b2 } , 基 本事件个数为 n ? 15 , 设 A=“此 2 人的成绩都在 [80,90) ”,则事件 A 包含的基本事件数 m ? 6 , 所以事件 A 发生概率 P ( A) ?

m 6 2 ? ? . n 15 5

……………13 分

17.(本小题满分 13 分) 解: (I)在等比数列 ?an ? 中,设公比为 q , 因为 a2 ? 2, a5 ? 16 , 所以 ?

?a1q ? 2
4

?a ? 1 , 得 ? 1 ?q ? 2 ?a1q ? 16
……………5 分

所以 数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 2n ?1 . (II)在等差数列 ?bn ? 中,设公差为 d . 因为 b1 ? a5 , b8 ? a2 ,

?b1 =a5 ? 16 ?b1 ? 16 ?b =16 , ? , ?1 , ? 所以 ?b8 ? a2 =2 ?b1 +7 d =2 ?d = ? 2
方法一

……………9 分

S n ? b1n ?

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 17n , 2
……………13 分

当 n ? 8 或 9 时, Sn 最大值为 72. 方法二

由 bn ? 18 ? 2n ,当 bn ? 18 ? 2n ? 0 ,解得 n ? 9 ,即 a9 ? 0, a8 ? 2.

所以当 n ? 8 或 9 时, Sn 最大值为 72.

……………13 分

18. (本小题满分 14 分) 证明: (I)在 ?ADC 中,

因为 ?DAC =90 ,所以 AD ? AC.
又因为 PO ? 面ABCD , AD ? 平面ABCD 所以 PO ? AD . 又因为 PO 所以 AD ? 平面PAC . (II)存在.当 M 为 PB 中点时, OM//平面PAD .

AC =O,PC、AC ? 平面PAC ,
……………6 分 ……………7 分
P

证 明 : 设 PA、AD 的 中 点 分 别 为 E、F , 连 结

OF、ME、EF ,

在?ACD中,O为AC 的中点,
1 所以 OF //CD,OF = CD . 2
E D F A O M C B

在?PAB中,M 、E为PB、PA 的中点,
所以 ME //AB, ME =

1 2

AB ,

ME //OF,ME =OF ,
所以 四边形 OMEF 是平行四边形, 所以 OM / / EF . 因为 OM ? 平面PAD , EF ? 平面PAD , 所以 OM / / 平面PAD . ……………14 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ ) f ( x) ? ? xe ,
' x

…………………2 分 …………………4 分 …………………6 分

当 x ? (??, 0) 时,f ?(x)>0,f (x)单调递增; 当 x ? (0, ??) 时,f ?(x)<0,f (x)单调递减.

x

(?? , 0)
+ ↗

0 0
极大值

(0 , ? ?)
- ↘ …………………7 分

f ' ( x) f ( x)

所以 f (x)的最大值为 f (0)=0.

(Ⅱ )由(Ⅰ )知,当 x ? 0 时, f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 ? 1. …………………9 分

当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? 1 等价于 f ( x) ? x. 设 h( x) ? f ( x) ? x ,则 h ( x) ? ? xe ? 1 .
' x

当 x ? (?1, 0) 时, 0 ? ? x ? 1, 0 ? e ? 1, 则 0 ? ? xe ? 1,
x x

从而当 x ? (?1, 0) 时, h ( x) ? 0 , h( x) 在 (?1, 0) 单调递减.…………………12 分
'

当 x ? (?1, 0) 时, h( x) ? h(0) ? 0, 即 f ( x) ? x ? h(0) ? 0, 所以 f ( x) ? x , 故 g (x)<1. 综上,总有 g (x)<1. …………………14 分

20. (本小题满分 13 分)

? c 2 ?e ? ? 2 2 解: (I)由题意 ? a 2 ,解得 a ? 4, b ? 2 . ? 2ab ? 4 2 ?
故椭圆 C 的标准方程为

y 2 x2 ? ? 1. 4 2

……………3 分

(II)设点 A,B 的坐标分别为 (2, t ), ( x0 , y0 ) ,其中 y0 ? 0 , 因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 2 x0 ? ty0 ? 0 , 解得 t ? ?

uur uuu r

……………4 分

2 x0 ,又 2 x0 2 ? y0 2 ? 4 , y0

所以 | AB |2 ? ( x0 ? 2) 2 ? ( y0 ? t ) 2 = ( x0 ? 2) 2 ? ( y0 ?

2 x0 2 ) y0

4 x0 2 ?4 = x0 ? y0 ? y0 2
2 2

= y0 ?
2

4 ? y0 2 2(4 ? y0 2 ) y0 2 8 ? ? 4 ? 2 ? 4(0 ? y0 2 ? 4) ,……………5 分 = 2 2 y0 2 y0

因为

y0 2 8 ? 2 ? 4(0 ? y0 2 ? 4) ,当且仅当 y0 2 ? 4 时等号成立,所以 | AB |2 ? 8 , 2 y0
……………7 分 ……………8 分

故线段 AB 长度的最小值为 2 2 . (III)直线 AB 与圆 x ? y ? 2 相切.
2 2

证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为 ( x0 , y0 ) , (2, t ) ,其中 y0 ? 0 . 因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 2 x0 ? ty0 ? 0 ,解得 t ? ? 分 直线 AB 的方程为 y ? t ?

2 x0 . y0

……………9

y0 ? t ( x ? 2) , x0 ? 2
……………10

即 ( y0 ? t ) x ? ( x0 ? 2) y ? 2 y0 ? tx0 ? 0 , 分 圆 心 O , 到 直 线 AB 的





d?

tx0 ? 2 y0 ( y0 ? t ) 2 ? ( x0 ? 2) 2

……………11 分

由 y0 2 ? 2 x0 2 ? 4 , t ? ?

2 x0 , y0

故 d?

2 x0 2 2 y0 ? y0 4x 2 x0 2 ? y0 2 ? 02 ? 4 y0
2 2

?

4 ? y0 2 y0 y0 4 ? 8 y0 2 ? 16 2 y0 2

? 2 ,

所以 直线 AB 与圆 x ? y ? 2 相切.

……………13 分


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