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最新高考数学总复习 9-7 用向量方法证明平行与垂直(理)课件 新人教B版


用向量方法

第 七 节

证明平行与垂直(理)

重点难点 重点:用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系 难点:将立体几何问题转化为向量问题.

知识归纳 一、用空间向量解决立体几何问题的思路 1.坐标法:如果所给问题的图形中存在互相垂直的 直线(或平面), 比较方便建立空间直角坐标系写出点的坐 标,这种情况下,一般是建立恰当的空间直角坐标系, 用坐标法通过坐标运算来解决.

2.基向量法 如果在所给问题中,不好寻找交于一点的互相垂直 的三条直线,或者其坐标难于求出,这时常选图中不共 面的三条直线上的线段构造基底,将所给问题的条件和 待解决的结论,用基底及其线性表示来表达,通过向量 运算来解决.

二、运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的 一般步骤 ①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关点的坐 标;③写出向量的坐标;④结合公式进行计算,论证; ⑤转化为几何结论.

三、平面的法向量 1.如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α,则称这个向量垂直于平面 α,记作 a⊥α,如果 a⊥α, 那么向量 a 叫做平面 α 的法向量. 2.求平面的法向量的方法 设 n 是平面 M 的一个法向量,AB、CD 是 M 内的两 → → 条相交直线, n· =0,n· =0.由此可求出一个法向 则 AB CD → → 量 n(向量AB及CD已知).

误区警示 1.建立坐标系一定要符合右手系原则. 2.证明线面平行时,一定要说明直线在平面外.

一、如何用空间向量解决立体几何问题 1.思考方向: (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决?需要用 到哪些向量? (2)所需要的向量是否已知?若未知,是否可用已知 条件转化成的向量直接表示?

(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向 量表示,则它们分别最易用哪个未知向量表示?这些未 知向量与由已知条件转化的向量有何关系? (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算,才能 得到需要的结论?

2.空间问题如何转化为向量问题 (1)平行问题?向量共线,注意重合; (2)垂直问题?向量的数量积为零,注意零向量; (3)距离问题?向量的模; (4)求角问题?向量的夹角,注意角范围的统一.

3.向量的分解与组合是用向量法解决立体几何问题 中经常遇到的问题,确定合适的基向量或建立恰当的空 间直角坐标系是关键. 二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系 1.用向量方法研究两直线间的位置关系 设直线 l1、l2 的方向向量分别为 a、b. (1)l1∥l2 或 l1 与 l2 重合?a∥b?存在实数 t, a=tb. 使 (2)l1⊥l2?a⊥b?a· b=0.

2.用向量方法研究直线与平面的位置关系 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,v1、 v2 是与 α 平行的两个不共线向量. (1)l∥α 或 l?α?存在两个实数 λ、μ,使 a=λv1+μv2 ?a· n=0. (2)l⊥α?a∥n?存在实数 t,使 a=tn.
?a⊥v ? 1 l⊥α?? ?a⊥v2 ? ?a· =0 ? v1 ?? ?a· 2=0 ? v

.

3.用向量方法研究两个平面的位置关系 设平面 α、β 的法向量分别为 n1、n2. (1)α∥β 或 α 与 β 重合?n1∥n2?存在实数 t,使 n1 =tn2. (2)α⊥β?n1⊥n2?n1·2=0. n 若 v1、v2 是与 α 平行的两个不共线向量,n 是平面 β 的法向量.

则①α∥β 或 α 与 β 重合?v1∥β 且 v2∥β?存在实数 λ、μ,对 β 内任一向量 a,有 a=λv1+μv2.
?n⊥v ? 1 ? ②α⊥β? ?n⊥v2 ? ?n· =0 ? v1 ?? ?n· 2=0 ? v

.

用向量证明线面平行
[例 1] 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别 是 C1C、B1C1 的中点.求证:MN∥平面 A1BD.

证明:方法 1:如下图所示,以 D 为原点,DA、DC、 DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 系 , 设 正方 体的 棱 长为 1, 则 可求得
?1 ? N? ,1,1?,A1(1,0,1),B(1,1,0), ?2 ? ? 1? M ?0,1, ? , 2? ?

1? → ?1 于是MN=? ,0, ?, 2? ?2 设平面 A1BD 的法向量是 n=(x,y,z). → → 则 n· 1=0,且 n· =0, DA DB
?x+z=0 ? ∴? ?x+y=0 ?



取 x=1,得 y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1).

?1 1? → 又MN· ? ,0, ?· n= (1,-1,-1)=0, 2? ?2

→ ∴MN⊥n, 又∵MN?平面 A1BD, ∴MN∥平面 A1BD. 1→ → → → 1 → 方法 2:∵MN=C1N-C1M= C1B1- C1C 2 2 1 → 1→ → = (D1A1-D1D)= DA1, 2 2 → → ∴MN∥DA1,又∵MN?平面 A1BD. ∴MN∥平面 A1BD.

点评:(1)证明直线 l1∥ l2 时,分别取 l1、l2 的一个方 向向量 a、b,则 a∥ b?存在实数 k,使 a=kb 或利用其 a1 a2 a3 坐标 = = (其中 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)). b1 b2 b3

(2)证明直线 l∥平面 α 时, ①可取直线 l 的方向向量 a 与平面 α 的法向量 n, 证 明 a· n=0; ②可在平面 α 内取基向量{e1,e2},证明直线 l 的方 向向量 a=λ1e1+λ2e2,然后说明 l 不在平面 α 内即可; ③在平面 α 内找两点 A、B,证明直线 l 的方向向量 → n∥ AB.

(3)证明平面 α∥平面 β 时,设 α、β 的法向量分别为 a、b,则只须证明 a∥ b.

(2011· 北京海淀期末)在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧面 ACC1A1⊥平面 ABC,∠ACB=90° .

(1)求证:BC⊥AA1; (2)若 M,N 是棱 BC 上的两个三等分点,求证:A1N ∥平面 AB1M.

证明:(1)因为∠ACB=90° ,所以 AC⊥CB, 又侧面 ACC1A1⊥平面 ABC, 且平面 ACC1A1∩平面 ABC=AC, BC?平面 ABC,所以 BC⊥平面 ACC1A1, 又 AA1?平面 ACC1A1,所以 BC⊥AA1.

(2)证法一:连接 A1B,交 AB1 于 O 点,连接 MO, 在△A1BN 中,O,M 分别为 A1B,BN 的中点, 所以 OM∥ A1N. 又 OM?平面 AB1M,A1N?平面 AB1M, 所以 A1N∥平面 AB1M.

→ → 证法二:∵M、N 为 BC 的三等分点,∴BM=MN, → → → → → → → → A1N = A1A + AM + MN = B1B + AM + BM = AM + → B1M, ∵A1N?平面 AB1M,∴A1N∥平面 AB1M.

用向量证明线面垂直
[例 2] 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、F 分别为棱 AB 和 BC 的中点,试在棱 B1B 上找一点 M,使得 D1M⊥平面 EFB1.

证明:分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz,
? ? 1 则 A(1,0,0), 1(1,1,1), B C(0,1,0), 1(0,0,1), ?1, ,0?, D E 2 ? ?

→ M(1,1,m).∴AC=(-1,1,0), 又 E、F 分别为 AB、BC 的中点,
? → 1→ ? 1 1 ∴EF= AC=?- , ,0?. 2 ? 2 2 ?

? 1 → ? → ?0,- ,-1? ,D1M=(1,1,m-1), 又∵B1E= 2 ? ?

∵D1M⊥平面 FEB1,∴D1M⊥EF 且 D1M⊥B1E. → → → → 即D1M· =0,且D1M· 1E=0. EF B ? 1 1 0=0 ?-2+2+?m-1?· ∴? ?0-1+?1-m?=0 2 ? 1 ,∴m= . 2

故取 B1B 的中点 M 就能满足 D1M⊥平面 EFB1.

点评:①证明直线 l1 与 l2 垂直时,取 l1、l2 的方向向 量 a、b,证明 a· b=0. ②证明直线 l 与平面 α 垂直时,取 α 的法向量 n,l 的方向向量 a,证明 a∥ n. 或取平面 α 内的两相交直线的方向向量 a、b 与直线 l 的方向向量 e,证明 a· e=0,b· e=0.

③证明平面 α 与 β 垂直时, α、 的法向量 n1、 2, 取 β n 证明 n1·2=0.或取一个平面 α 的法向量 n, n 在另一个平面 β 内取基向量{e1,e2},证明 n=λe1+μe2. ④证明平行与垂直的关键是将待证问题中直线的方 向向量和平面的法向量表示出来(用已知向量表示或用坐 标表示).

如下图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA=AB =BC,E 是 PC 的中点.

证明: (1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面 ABE.

证明:∵AB、AD、AP 两两垂直,建立如图所示的 空间直角坐标系, 设 PA=AB=BC=1,则 P(0,0,1).

(1)∵∠ABC=60° , ∴△ABC 为正三角形. 1 3 1 3 1 ∴C( , ,0),E( , , ). 2 2 4 4 2 设 D(0,y,0),由 AC⊥CD, → → 得AC· =0, CD 2 3 2 3 ∴y= ,即 D(0, ,0), 3 3 1 3 → ∴CD=(- , ,0). 2 6

1 3 1 → 又AE=( , , ), 4 4 2 1 1 3 3 → → ∴AE· =- × + × =0, AD 2 4 6 4 → → ∴AE⊥CD,即 AE⊥CD.

(2)设平面 ABE 的一个法向量为 n=(x,y,z), 1 3 1 → → ∵AB=(1,0,0),AE=( , , ), 4 4 2 ? → ?n· =0 AB ∴? → ?n· =0 AE ? ?x=0 ? ,即?1 3 1 ?4x+ 4 y+2z=0 ? ,

令 y=2,则 z=- 3,∴n=(0,2,- 3).

2 3 3 → → ∵PD=(0, ,-1),显然PD= n. 3 3 → → ∵PD∥ n,∴PD⊥平面 ABE.即 PD⊥平面 ABE.

用向量方法证明面面垂直与平行
[例 3] 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2, E、 F、G 分别是 BB1、DD1、DC 的中点,求证:

(1)平面 ADE∥平面 B1C1F; (2)平面 ADE⊥平面 A1D1G; (3)在 AE 上求一点 M,使得 A1M⊥平面 DAE.

→ → → 解析:以 D 为原点,DA、DC、DD1为正交基底建立 空间直角坐标系 O-xyz, D(0,0,0), 1(0,0,2), 则 D A(2,0,0), A1(2,0,2), E(2,2,1), F(0,0,1), G(0,1,0), 1(2,2,2), 1(0,2,2). B C

(1)设 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面 → → ADE、平面 B1C1F 的法向量,则 n1⊥DA,n1⊥AE. ? → ?n1· =0 DA ∴? → ?n · =0 ? 1 AE
?2x =0 ? 1 ,∴? ?2y1+z1=0 ?



取 y1=1,z1=-2,∴n1=(0,1,-2). 同理可求 n2=(0,1,-2). ∵n1∥ n2,∴平面 ADE∥平面 B1C1F.

→ → (2)∵DA· 1G=(2,0,0)· D (0,1,-2)=0, → → ∴DA⊥D1G. → → → → ∵AE· 1G=(0,2,1)· D (0,1,-2)=0,∴AE⊥D1G. → → ∵DA、AE不共线,∴D1G⊥平面 ADE. 又∵D1G?平面 A1D1G,∴平面 ADE⊥平面 A1D1G.

→ → (3)由于点 M 在 AE 上, 所以可设AM=λ· =λ· AE (0,2,1) =(0,2λ,λ), → ∴M(2,2λ,λ),A1M=(0,2λ,λ-2). 要使 A1M⊥平面 DAE,只需 A1M⊥AE, → → ∴A1M· =(0,2λ,λ-2)· AE (0,2,1)=5λ-2=0, 2 2 ∴λ= .故当 AM= AE 时,A1M⊥平面 DAE. 5 5

(2011· 黄冈期末)在四棱锥 P- ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,E、F 分别为棱 AD、 的中点, PB PD=AD.求证: 平面 CEF⊥平面 PBC.

证明:以 D 为原点,直线 DA、DC、DP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如下图空间直角坐标系. 设 PD=1,则 P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0), 1 1 1 1 ∴E( ,0,0),F( , , ), 2 2 2 2

设平面 CEF 的一个法向量为 n=(x,y,z),则 ? → ?n· =0 EF 1 1 → ? ,∵EF=(0, , ), 2 2 → ?n· =0 ? EC ?1 1 ?2y+2z=0 1 → EC=(- ,1,0),∴? 2 ?-1x+y=0 ? 2
?z=-y ? ∴? ?x=2y ?



,令 y=1,则 n=(2,1,-1).

设平面 PBC 的一个法向量 u=(x,y,z), ? → ?u· =0 BC 则? → ?u· =0 BP ? → ,∵BC=(-1,0,0),
?

?-x=0 → BP=(-1,-1,1),∴? , ?-x-y+z=0 ? ?x=0 ? ∴? ?y=z ?

,令 z=1,则 u=(0,1,1),

∵u· n=0,∴u⊥n, ∴平面 CEF⊥平面 PBC.

1.已知四棱锥 P-ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC =∠BCD=90° ,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面 PBC⊥ 底面 ABCD.

(1)证明:PA⊥BD; (2)证明:平面 PAD⊥平面 PAB.

[证明] (1)取 BC 的中点 O, ∵侧面 PBC⊥底面 ABCD,△PBC 为等边三角形, ∴PO⊥底面 ABCD. 以 O 为坐标原点,以 BC 所在直线为 x 轴,过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴, 建立如下图所示空间直角坐标 系.

不妨设 CD=1,则 AB=BC=2,PO= 3. ∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0, 3). → → ∴BD=(-2,-1,0),PA=(1,-2,- 3). → → → → ∵BD· =0,∴PA⊥BD,∴PA⊥BD. PA

(2)取 PA 的中点 M,连结 DM,则

?1 M? ,-1, ?2 ?

3? ? ?. 2?

→ ?3 3? → ? ∵DM=? ,0, ?,PB=(1,0,- 3), 2? ?2 ? → → → → ∴DM· =0,∴DM⊥PA,即 DM⊥PA. PA → → → → 又DM· =0,∴DM⊥PB,即 DM⊥PB. PB ∵PA∩PB=P,∴DM⊥平面 PAB, ∵DM?平面 PAD,∴平面 PAD⊥平面 PAB.

[点评] 线线垂直即直线的方向向量垂直; 线面垂直 即直线的方向向量与平面的法向量平行;面面垂直即二 平面的法向量垂直.

2. (2011· 六安月考)如下午图所示, 已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2,AF=1, M 是线段 EF 的中点.

求证:(1)AM∥平面 BDE; (2)AM⊥平面 BDF.

[证明]

(1)建立如下图所示的空间直角坐标系,设

AC∩BD=N,连接 NE.

2 2 则点 N、E 的坐标分别为( , ,0)、(0,0,1). 2 2 2 2 → ∴NE=(- ,- ,1). 2 2 2 2 又点 A、M 的坐标分别是( 2, 2,0)、( , ,1), 2 2

2 2 → ∴AM=(- ,- ,1). 2 2 → → ∴NE=AM且 NE 与 AM 不共线. ∴NE∥ AM.

又∵NE?平面 BDE,AM?平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE. 2 2 → (2)由(1)知AM=(- ,- ,1), 2 2 ∵D( 2,0,0),F( 2, 2,1), → ∴DF=(0, 2,1). → → → → ∴AM· =0,∴AM⊥DF,∴AM⊥DF. DF 同理 AM⊥BF.又 DF∩BF=F, ∴AM⊥平面 BDF.


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