当前位置:首页 >> 数学 >>

数学必修二知识点归纳

高中数学必修 2 知识点总结 立体几何初步 特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)
'

S直棱柱侧面积 ? ch
S圆柱侧 ? 2?rh
S圆台侧面积 ? (r ? R)?l
柱体、锥体、台体的体积公式

S正棱锥侧面积 ?

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?

1 ch ' 2

S正 棱 台 侧 面 积 ?

1 (c1 ? c2 )h' 2

S圆锥侧面积 ? ?rl

S圆锥表 ? ?r ?r ? l ?

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2

?

?
V圆柱 ? Sh ? ? r 2 h
1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

V柱 ? Sh

1 V锥 ? Sh 3

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R2 )h 3 3
(4)球体的表面积和体积公式:V 球 = 4 ? R3 ; S 球面 = 4? R 3
2

第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义:平面是无限延展的 2 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 符号表示为 A∈L B∈L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内. (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 不同在任何一个平面内,没有公共点。 => L α

α ·

A

L

α ·

A

·

C

·

B

β α
P

·

L

共面直线
异面直线:

2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a ∥b c ∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上;

=>a∥c

?

2

② 两条异面直线所成的角θ ∈(0,

);

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a

α

a∩α =A

a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a b a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: b a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a ∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 a∥b a β β a∩b = P β ∥α α β => a∥α

2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂直,记作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线, 平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 第三章 直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因 此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜率反映直线与 轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 当? β

? 0? ,90?

?

?时, k ? 0 ;

当? ?

?90 ,180 ?时, k ? 0 ;
? ?

当?

? 90? 时, k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式: k 注意下面四点:(1)当 x1

?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2)

? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°;

(2)k 与 P1、P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式:

y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ?

注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程 是 x=x1。 ②斜截式: ③两点式:

y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

④截矩式:

x y ? ? 1 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。 a b

Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 注意:○ 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如: ○
⑤一般式: 平行于 x 轴的直线: 当 l1

y ? b (b 为常数) ;

平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ;

(6)两直线平行与垂直

: y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时, l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
交点坐标即方程组 ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的一组解。 ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

方程组无解 ? l1 // l 2 ; 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合 B x2 , y2) (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点, 则|

AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

(9)点到直线距离公式:一点 P (10)两平行直线距离公式

?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?
Ax ? By ? C1 ? 0 ,

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 :

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2
第四章 圆与方程

1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程

?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 ?a, b ? ,半径为 r;
2

点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 当 ( x0 当 ( x0

? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系:
当 ( x0

? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内
2

? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上

(2)一般方程 x 当D 当D
2

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
? 2 2?

D E ? ,半径为 r ? 1 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ? ,? ?

2

D 2 ? E 2 ? 4F

? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点; 2 2 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。
2

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: ( 1 )设直线 l

: Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到

l 的距离为 d ? Aa ? Bb ? C

,则有

A ?B
2

2

d ? r ? l与C相离; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交

(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解 k,得到方程【一定 两解】 (3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r 2 , C2
2 2

: ?x ? a2 ? ? ? y ? b2 ? ? R 2
2 2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。

? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;
当d 当R?r

? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。
注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点


相关文章:
高中必修二数学知识点全面总结.doc
高中必修二数学知识点全面总结 - 第 1 章 空间几何体 1 1 .1 柱、锥、
高中数学必修2知识点总结归纳 整理.doc
高中数学必修2知识点总结归纳 整理 - 高中数学必修二 〃空间几何体 1.1 空
高中数学必修2 知识点总结(史上最全).doc.doc
高二数学必修 2 知识点总结第1章 空间几何体 一、空间几何体的结构 1.多面体
高中数学必修二知识点总结.doc
高中数学必修二知识点总结 - 高中数学必修二 第一章 空间几何体 1.1 空间几
高中数学必修2知识点总结归纳(人教版最全).doc
高中数学必修2知识点总结归纳(人教版最全) - 高中数学必修二:第一章认识几何体
人教版数学必修二知识点总结.doc
人教版数学必修二知识点总结 - 新人教 A 版数学必修二知识要点总结 第一章 立
新课标高中数学必修2知识点总结经典.doc
新课标高中数学必修2知识点总结经典 - 新课标高中数学必修 2 知识点总结经典
数学必修二知识点归纳.doc
数学必修二知识点归纳 - 欢迎来主页下载---精品文档 立体几何初步 高中数学必修 2 知识点总结 特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h ' 为斜高,l ...
高一数学必修二各章知识点总结.doc
高一数学必修二各章知识点总结 - 数学必修 2 知识点 1. 多面体的面积和体积
人教版高中数学必修二知识点归纳_图文.ppt
人教版高中数学必修二知识点归纳 - 高中数学必修(2)章节分析 柱 结构 第一章
数学必修二知识点总结.doc
数学必修二知识点总结 - 高中数学必修 2 知识点 一、直线与方程 (1)直线的
必修二数学知识点总结.doc
必修二数学知识点总结 - 第1章 空间几何体 1 2 2 4 圆台的表面积 S
高中数学必修2知识点总结归纳整理课件.doc
高中数学必修2知识点总结归纳整理课件 - 高中数学必修二 空间几何体 1.1
高一数学必修二知识点归纳.pdf
高一数学必修二知识点归纳 - 《必修二》知识点归纳 【知识点一】表面积和体积 1
高中数学必修二知识点归纳_图文.pdf
高中数学必修二知识点归纳_学习总结_总结/汇报_实用文档 人阅读|次下载 高中数学必修二知识点归纳_学习总结_总结/汇报_实用文档。 ...
高中数学必修-必修2知识点总结.doc
高中数学必修-必修2知识点总结 - 高中数学必修 1 知识点总结 第一章 集合与
高中数学必修2第二章知识点总结.doc
高中数学必修2第二章知识点总结 - 高中数学必修 2 知识点总结 立体几何初步
高中数学必修二_知识点总结.doc
高中数学必修二_知识点总结 - 高中数学必修 2 第一章 立体几何初步 '
高中数学必修二知识点总结.doc
高中数学必修二知识点总结 - 第一章 空间几何体 一、空间几何体的结构 1.多面
人教版高中数学必修二知识点归纳_图文.ppt
人教版高中数学必修二知识点归纳_幼儿读物_幼儿教育_教育专区 人阅读|次下载 人教版高中数学必修二知识点归纳_幼儿读物_幼儿教育_教育专区。 ...