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对数函数及其性质第三课时_图文


第3课时

对数函数及其性质的应用

必修1 第二章 基本初等函数(I)

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1.利用对数函数的单调性解 1.进一步加深理 题.(重点) 解对数函数的性 2.常与方程、不等式等结合命 质. 题.(难点) 2.掌握对数函数 3.对于底数含有参数的对数函 的性质及其应用. 数进行分类讨论.(易混点)

必修1 第二章 基本初等函数(I)

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复合函数y=logaf(x),x∈D的单调性:设集合 M?D,若a>1,且u=f(x)在x∈M上单调递增 (减),集合M对应的区间是函数y=logaf(x)的 单调增区间 ;若0<a<1,且u=f(x)在x∈M上 ___________ 单调递增(减),集合M对应的区间是函数y= 单调减区间 . ogaf(x)的___________

必修1 第二章 基本初等函数(I)

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1.设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则 ( ) A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c 解析: ∵log54>log53>0 1>log53>0 ∴log54>(log53)2即a>b 又∵log45>1>log54 即c>a ∴c>a>b 答案: D
必修1 第二章 基本初等函数(I)
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2.若 loga2<1,则( ) A.a∈(1,2) B.a∈(0,1)∪(2,+∞) C.a∈(0,1)∪(1,2) ? ? 1 ? 0 , D.a∈? ? 2? ? ? 解析: ①若0<a<1,则loga2<0; ②若a>1,loga2<logaa ∴a<2, ∴1<a<2.故选A. 答案: A
必修1 第二章 基本初等函数(I)
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3.已知函数f(x)=loga(x-1)(a>0,a≠1)在区间 (1,2)上满足f(x)<0,则函数f(x)在(1,+∞)上是 ________函数.(填“增”或“减”) 解析: 已知1<x<2,则0<x-1<1,此时f(x)<0, 根据对数函数的图象知a>1.所以函数f(x)为增函 数. 答案: 增

必修1 第二章 基本初等函数(I)

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4.判断函数 f(x)=lg( x2+1-x)的奇偶性.

解析: 由 x2+1-x>0 解得 x∈R, 故 f(x)的定义域为 R,关于原点对称. ∵f(-x)=lg( x2+1+x),f(x)=lg( x2+1-x) ∴f(-x)+f(x)=lg( x2+1+x)+lg( x2+1-x) =lg( x2+1+x)( x2+1-x) =lg[(x2+1)-x2]=lg1=0. ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.

必修1 第二章 基本初等函数(I)

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利用对数函数的单调性解不等式 解不等式 2loga(x-4)>loga(x-2).
[策略点睛]

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必修1 第二章 基本初等函数(I)

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1 4.求函数 y=log (3+2x-x2)的单调 2 区间. 1 2 解析: 由 3+2x-x >0 解得函数 y=log (3+ 2 2 2x-x )的定义域是{x|-1<x<3}. 设 u=3+2x-x2(-1<x<3),又设-1<x1<x2≤1, 1 1 则 u1<u2.从而 log u1>log u2,即 y1>y2. 2 2 1 故函数 y=log (3+2x-x2)在区间 (-1,1]上单 2 调递减. 同理可得函数在区间(1,3)上单调递增.
必修1 第二章 基本初等函数(I)
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利用对数函数的单调性求参数 已知 y=loga(2-ax)在[0,1]上是关于 x 的 减函数,则 a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(2,+∞)
由题目可以获取以下主要信息:①函数y= loga(2-ax)在[0,1]有意义,②函数在[0,1] 上是减函数.,解决本类问题应注意复合函数单 调性的判定方法.
必修1 第二章 基本初等函数(I)

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[解题过程] 设 y=f(x)=loga(2-ax),因为 f(x) 在[0,1]上是减函数, 则 f(0)>f(1), 即 loga2>loga(2 -a). 因为 a 为对数的底数,则 a>0,且 a≠1, ?a>1 所以 2>2-a,因此? ,解得 1<a<2. ?2-a>0 故 a 的取值范围为 1<a<2.选 B.
答案: B

必修1 第二章 基本初等函数(I)

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[题后感悟] 本题综合了多个知识点,解题需 要概念清楚、推理正确.本题的解法是处理对 数函数单调性问题的常用方法,理解并掌握对 数函数概念、图象和性质,特别是函数的定义 域,是解决这类题的前提.

必修1 第二章 基本初等函数(I)

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5.已知函数 y=loga(2-ax)在[-1,0] 上单调递增,求 a 的取值范围. 解析: ∵y=loga(2-ax)在[-1,0]上单调递增,
∴f(-1)<f(0)即 loga(2+a)<loga2
? ?0<a<1 ∴? .解得 0<a<1. ? ?2+a>a

∴a 的取值范围是(0,1).

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函数y=loga(2-ax)在[0,1]上单调递减,则实数a的 取值范围是______
令y=logat,t=2-ax, (1)若0<a<1,则函y=logat是减函数, 而t为增函数,需a<0 此时无解. (2)若a>1,则函y=logat是增函数,则t为减函数,需a>0且2-a×1>0 此时,1<a<2, 综上:实数a 的取值范围是(1,2) 故答案为:(1,2).

1.对数值的大小比较 利用函数的单调性进行对数值的大小比较,常 用的方法: (1)若底数为同一常数,则可利用对数函数的单 调性进行判断; (2)若底数为同一字母,则可按对数函数的单调 性对底数进行分类讨论; (3)若底数不同,真数相同,则可利用对数函数 的图象或利用换底公式化为同底,再作比较.

必修1 第二章 基本初等函数(I)

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(4)若底数、真数均不相同,则可借助中间值 -1,0,1等作比较. 2.复合函数单调区间的求法 关于形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)一类函数的 单调性: 设u=f(x)(f(x)>0).当a>1时,y=logaf(x)与u =f(x)的单调性相同;当0<a<1时,y=logaf(x) 与u=f(x)的单调性相反.

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◎求y=log2(x2-2x-3)的单调递增区间. 【错解】 由y=log2u在(0,+∞)上单调递增, 要求解 y=log2(x2-2x-3)的单调递增区间,只需求解 u=x2-2x-3=(x-1)2-4的单调递增区间. 故y=log2(x2-2x-3)在[1,+∞)上单调递增.

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【错因】 忽略函数定义域,导致出错. 【正解】 令x2-2x-3>0得x<-1或x>3, 故y=log2(x2-2x-3)在(3,+∞)上单调递增.

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