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湖北省各地2017届高三最新考试数学文试题分类汇编:立体几何 Word版含答案


湖北省各地 2017 届高三最新考试数学文试题分类汇编

立体几何
一、选择、填空题

2017.02

1、 (黄冈市 2017 届高三上学期期末) 在正方体 ABCD ? A 异面直线 A 1B 1C1D 1 中, 1B 与 AD 1 所成角的大小为 A. 30
?

B.

45?

C. 60

?

D. 90

?

2、 (荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟 2017 届高三 2 月联考)知在四面体 ABCD 中, E , F 分别是 AC , BD 的中点,若 AB ? 2, CD ? 4, EF ? AB ,则 EF 与 CD 所成角的度数是 A. 90
?

B. 45

?

C. 60

?

D. 30

?

3、 (荆门市 2017 届高三元月调考)关于不重合的直线 m, n 与不重合的平面 ? , ? ,有下列四 个命题: ① m ∥ ? ,n∥ ? 且 ? ∥ ? ,则 m∥n; ③m⊥ ? ,n∥ ? 且 ? ∥ ? ,则 m⊥n; 其中为真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ②m⊥ ? ,n⊥ ? 且 ? ⊥ ? ,则 m⊥n; ④m∥ ? ,n⊥ ? 且 ? ⊥ ? ,则 m∥n.

4、 (荆州市五县市区 2017 届高三上学期期末)某几何体侧视图与正视图相同,则它的表面 积为( )

A、12+6π B、16+6π C、16+10π D、8+6π
5、 (天门、 仙桃、 潜江市 2017 届高三上学期期末联合考试) 多面体 MN ? ABCD 的底面 ABCD 为矩形,其正(主)视图和侧(左)视图如图,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左) 视图为等腰三角形,则 AM 的长为 A. 3 C. 6 B. 5 D. 2 2

6、 (武汉市 2017 届高三毕业生二月调研考)如图是某个几何体的三视图,其中正视图为正 方形,俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形,则该几何体外接球的直径为
1

A. 2

B. 2 2

C.

3

D. 2 3

7、 (武汉市武昌区 2017 届高三 1 月调研) 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升, 其三视图如图所示 (单位: 寸) , 若 ? 取 3, 其体积为 12.6 (立方寸) ,则图中的 x 为( )

A.1.2

B.1.6

C. 1.8

D.2.4

8、 (襄阳市 2017 届高三 1 月调研)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.

7 3

B.

8?? 3

C.

8 3

D.

7 ?? 3

9、 (襄阳市优质高中 2017 届高三 1 月联考)某四棱锥的三视图如右图所示,正视图、侧视
2

图都是边长为 2 3 的等边三角形,俯视图是一个正方形,则此四棱锥的体积是( A. 8 3 B.12 C.24 D.36



10、 (孝感市七校教学联盟 2017 届高三上学期期末)将长方体截去一个四棱锥后,得到的几 何体的直观图如右图所示,则该几何体的俯视图为( )

11、 (湖北省部分重点中学 2017 届高三上学期第二次联考)某三棱锥的三视图如图所示,则 该三棱锥的体积为 A.

2 3

B. 1

C.

1 3

D. 2

12、 (荆州中学 2017 届高三 1 月质量检测) 高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何 体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的体积是原直三棱柱的 体积的 A. B. C. D.

3

13、 (荆、 荆、襄、宜四地七校考试联盟 2017 届高三 2 月联考)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 A.

5? 6

B.

4? 3

C.

5? 3

D.

2? 3

14、 (荆门市 2017 届高三元月调考)如图,某几何体的三视图中,正视图和侧视图都是 半径为 3 的半圆和相同的正三角形,其中三角形的上顶点是半圆的中点,底边在直径 上,则它的表面积是 A. 6 π B.8 π C.10 π D.11 π

15、 (襄阳市 2017 届高三 1 月调研)设 a , b 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面, 则下列命题正确的是 A. 若 a // ? , b // ? ,则 a // b B. 若 a ? ? , b ? ? , a // b ,则 ? // ?

4

C. 若 a // b, b // ? , ? // ? ,则 ? // ?

D. 若 a ? ? , a ? ? , b ? ? ,则 b ? ?

二、解答题 1 、( 黄 冈 市 2017 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 如 图 , 在 直 角 梯 形 ABCD 中 ,

?ADC ? ?BAD ? 90? , AB ? AD ? 1, CD ? 2, 平面 SAD ? 平面 ABCD ,平面 SDC ? 平面
ABCD , SD ? 3 ,在线段 SA 上取一点 E(不含端点)使 EC=AC,截面 CDE 交 SB 于点 F.
(1)求证:EF//CD; (2)求三棱锥 S-DEF 的体积.

2、 (荆、 荆、 襄、 宜四地七校考试联盟 2017 届高三 2 月联考) 如图, 在四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, SA ? 底面 ABCD , SA ? AB ? 2 , 点 M 是 SD 的中点, AN ? SC ,且交 SC 于点 N . (Ⅰ) 求证: SB / / 平面 ACM ; (Ⅱ) 求点 C 到平面 AMN 的距离.

3、 (荆门市 2017 届高三元月调考)如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AB ? 2 ,

AA1 ? 3 ,D,E 分别为 AC1 和 BB1 的中点.

5

(Ⅰ)求证:DE//平面 ABC; (Ⅱ)若 F 为 AB 中点,求三棱锥 F ? C1DE 的体积.

4、 (荆州市五县市区 2017 届高三上学期期末) 已知正三棱柱 ABC- A1 B1C 的各条棱长都为 a ,

P 为 A1 B 的中点, M为AB的中点,
(1)求证: AB ⊥ 平面PMC ; (2)求点 B 到平面 PAC 的距离.

5、 (天门、 仙桃、 潜江市 2017 届高三上学期期末联合考试) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,
?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2 , A1 A ? 4 , A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 是 B1C1 的中

点. (Ⅰ)证明: A1 D ? 平面A1 BC ; (Ⅱ)求四棱锥 A1 ? BB1C1C 的体积.

6

6、 (武汉市 2017 届高三毕业生二月调研考) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 平 面 BCC1B1 , ?BCC1 ?

?
3

, AB ? BB1 ? 2, BC ? 1, D 为 CC1 的中点.

(1)求证: DB1 ? 平面 ABD ; (2)求点 A 1 的距离. 1 到平面 ADB

AB / / CD , BC ? CD , 7、 (武汉市武昌区 2017 届高三 1 月调研) 如图, 四棱锥 S ? ABCD 中,
侧面 SAB 为等边三角形, AB ? BC ? 2 , CD ? SD ? 1 .

(Ⅰ)证明: SD ? 平面 SAB ; (Ⅱ)求四棱锥 S ? ABCD 的高.

8、 (襄阳市 2017 届高三 1 月调研)在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,E,F 分别是 AB, CD 1的 中点, AA 1 ? AD ? 1, AB ? 2. . (1)求证:EF//平面 BCC1B1 ;
7

(2))求证:平面 CD1E ? 平面 D1DE ; (3)求三棱锥 F ? D1DE 的体积.

9、 ( 襄 阳 市 优 质 高 中 2017 届 高 三 1 月 联 考 ) 如 图 所 示 , 四 边 形 ABCD 为 菱 形 ,

AF ? 2, AF // DE, DE ? 平面 ABCD .
(1)求证: AC ? 平面 BDE ; (2)当 DE 为何值时,直线 AC // 平面 BEF ?请说明理由.

10、 (孝感市七校教学联盟 2017 届高三上学期期末)如图,已知四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底 面是菱形,且 AA1⊥底面 ABCD,∠DAB=60°,AD=AA1=1,F 为棱 AA1 的中点,M 为线段 BD1 的 中点. (Ⅰ)求证:MF∥平面 ABCD; (Ⅱ)求证:MF ? 平面 BDD1B1; (Ⅲ)求三棱锥 D1﹣BDF 的体积.

8

11、 (湖北省部分重点中学 2017 届高三上学期第二次联考) 如图, 在斜三棱柱 ABC ? A1B1C1

ABC 上 中,侧面 ACC1 A1 是边长为 4 的菱形, BC ? 平面 ACC1 A1 , CB ? 2 ,点 A 1 在底面
的射影 D 为棱 AC 的中点,点 A 在平面 A1CB 内的射影为 E . (1)证明: E 为 AC 1 的中点; (2)求三棱锥 A ? B1C1C 的体积.

12、 (荆州中学 2017 届高三 1 月质量检测)如图,四边形 ABCD 是梯形,四边形 CDEF 是 矩 形 , 且 平 面

A

B

C ?

D 平



C

D

E ,

F

?BAD ? ?CDA ? 900 , AB ? AD ? DE ?

1 CD ? 2 , M 是线段 AE 上的动点. 2

(1)试确定点 M 的位置,使 AC ∥平面 MDF ,并说明理由; (2)在(1)的条件下,求平面 MDF 将几何体 ADE ? BCF 分成的上下两部分的体 积之比.

9

E

F

M D A B C

参考答案 一、选择、填空题 1、C 2、D 3、B 7、B 8、B 9、 【答案】B

4、D

5、C

6、D

由三视图知此四棱锥为正四棱锥,底面是边长为 2 3 的正方形,正四棱锥的高即等边三角 形的高为 3,体积是 V ? 10、C 11、C 12、C 13、B 14、C 15、D 二、解答题 1、证明: (1) 又 (2) CD

1 ? 2 3 ? 2 3 ? 3 ? 12 . 3

CD//AB

CD//平面 SAB CD//EF……………………(6 分)

平面 CDEF∩平面 SAB=EF CD AD,平面 SAD CD EF

平面 ABCD SD,同理 AD 平面 SAD , ED=AD 又 ED=AD=1 SD

平面 SAD

由(1)知 EF//CD EC=AC, 在 中

AD=1,SD=

E 为 SA 中点,

的面积为

三棱锥 S-DEF 的体积

……………………(12 分)

2、 (Ⅰ)证明:连结 BD 交 AC 于 E ,连结 ME .

10

Q ABCD 是正方形,∴ E 是 BD 的中点. Q M 是 SD 的中点,∴ ME 是△ DSB 的中位线. ∴ ME // SB . ………………………3 分 又∵ ME ? 平面 ACM , SB ? 平面 ACM , ∴ SB // 平面 ACM . ………………………5 分 (Ⅱ)由条件有 DC ? SA, DC ? DA, ∴ DC ? 平面 SAD ,∴ AM ? DC. 又∵ SA ? AD, M 是 SD 的中点,∴ AM ? SD. ∴ AM ? 平面 SDC . ∴ SC ? AM . ………………………8 分 由已知 SC ? AN ,∴ SC ? 平面 AMN . 于是 CN ? 面 AMN , 则 CN 为点 C 到平面 AMN 的距离 ………………………9 分
在 Rt ?SAC 中, SA ? 2, AC ? 2 2, SC ?

SA2 ? AC 2 ? 2 3 ,

4 3 3 4 3 ∴点 C 到平面 AMN 的距离为 . 3
于是 AC ? CN ? SC ? CN ?
2

…………………12 分

3、 (Ⅰ) 证明: 取 AC 中点 G, 连接 BG 和 DG, 因为 D 和 G 分别为 AC1 和 AC 的中点, 所以 DG// CC1 , 且 DG=BE,则 BEDG 是平行四边形,DE//BG,又 DE 不在平面 ABC 内,BG 在平面 ABC 内, 所以 DE//平面 ABC. ………………………………………………6 分

(Ⅱ)因为 D 为 AC1 的中点,所以 VF -C1DE ? VF ? AC1E , 又 F 为 AB 中点,所以 V F ? AC1E ? 则 VF -C1DE ? VF ? AC1E ?

1 2

1 VB ? AC1E ,………………………………8 分 2

1 2

1 1 1 1 3 3 V B ? AC1E ? ? ? ? ? 2 ? 3 ? . ……12 分 4 4 3 2 2 8
(1 分)

4、 (1)证明:连接 PM ,CM

可知 PM // AA 1 , 而AB ? AA 1 ,? AB ? PM

又 ? AB ? CM ,? AB ? 面PMC (6 分)
(2)解:假设点 B 到平面 PAC 的距离: h

11

1 四面体 p ? ABC 的体积为: ? S?ABC ? PM ? 1 ? 1 ? a ? 3 a ? 1 a ? 3 a 3 (8 分) 3 3 2 2 2 24

又 ? ?PAC中AC ? a,AP ?

2 1 2 7 7 2(9 分) a, PC ? a, ? S ?PAC ? ? a? a? a 2 2 2 8 8
(12 分)

?VP ? ABC ? VB ? PAC ?

3 3 1 7 2 21 a ? ? a ?h ? h ? a 24 3 8 7

5、 (Ⅰ)设 E 为 BC 的中点,连接 A1 E, AE, DE, 由题意得 A1E ? 平面ABC 所以 A1 E ? AE 因为 AB ? AC ,所以 AE ? BC 故 AE ? 平面A1BC ………………………………………………3 分 由 D,E 分别为 B1C1 ,BC 的中点, 得 DE / / B1 B且DE ? B1 B ,从而 DE / / A1 A,DE ? A1 A , 所以四边形 A1 AED 为平行四边形 故 A1 D / / AE ,又因为 AE ? 平面A1BC 所以 A1 D ? 平面A1 BC ………………………………6 分 (Ⅱ) 由 AE ? EB ? 2, ?A1EA ? 90?, A1 A ? 4 , 得A 1 E ? 14 , S?ABC ? 2 -----------------9 分 由 VA1 ? ABC ?

1 A1E ?S?ABC ,VABC ? A1B1C1 ? A1E ?S?ABC , 3

2 2 4 14 得 VA1 ? BB1C1C ? VA1B1C1 ? ABC ? ? 2 ? 14 ? --------------12 分 3 3 3

6、

12

7、 (Ⅰ) 解:如下图,取 AB 的中点 E ,连结 DE , SE ,则四边形 BCDE 为矩形,

? DE ? CB ? 2

? AD ? DE2 ? AE2 ? 5 ,
? 侧面 SAB 为等边三角形, AB ? 2 ,
? SA ? SB ? AB ? 2 ,且 SE ? 3 ,
又? SD ? 1 ,

? SA2 ? SD2 ? AD2 , SB2 ? SD2 ? BD2 , ? SD ? SA, SD ? SB ,
? SD ? 平面 SAB .

13

(Ⅱ)设四棱锥 S ? ABCD 的高为 h ,则 h 也是三棱锥 S ? ABD 的高, 由(Ⅰ)知, SD ? 平面 SAB , 由 VS ? ABD ? VD?SAB ,得 S?ABD ? h ?

1 3

S ? SD 1 , S?SAB ? SD,? h ? ?SAB 3 S?ABD

又 S ?ABD ?

1 1 3 3 2 AB ? DE ? ? 2 ? 2 ? 2 , S?SAB ? AB 2 ? ? 2 ? 3 , SD ? 1 , 2 2 4 4

?h ?

S?SAB ? SD 3 ?1 3 , ? ? S?ABD 2 2
3 . 2
1 C1D1 2

故四棱锥 S ? ABCD 的高为

8、(Ⅰ)证:过 F 作 FM∥C1D1 交 CC1 于 M,连结 BM ∵F 是 CD1 的中点,∴FM∥C1D1, FM ? 又∵E 是 AB 中点,∴BE∥C1D1, BE ? 2分

1 C1D1 2

因此 BE∥FM,BE = FM,EBMF 是平行四边形,∴EF∥BM 又 BM 在平面 BCC1B1 内,∴EF∥平面 BCC1B1. (Ⅱ)证:∵D1D⊥平面 ABCD,CE 在平面 ABCD 内,∴D1D⊥CE 在矩形 ABCD 中, DE 2 ? CE 2 ? 2 ,∴ DE 2 ? CE 2 ? 4 ? CD 2 故△CED 是直角三角形,∴CE⊥DE,∴CE⊥平面 D1DE ∵CE 在平面 CD1E 内,∴平面 CD1E⊥平面 D1DE. (Ⅲ)解: VF ?D1DE ? VE?D1DF ? 8分
1

4分

6分

1 1 ? S?D DF ? AD ? ? S?D DF 3 3
1

S?D DF ?
1

1 1 1 ? D1D ? CD ? 2 2 2
1 . 6
12

∴ VF ?D1DE ? 分

14

9、(I)证明: 1? 因为 DE ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,所以 AC ? DE ;…2 分
2? 菱形 ABCD 中, AC ? BD ; DE ? BD ? D ,所以 AC ? 平面 BDE .…………5 分
法二: 1? 因为 DE ? 平面 ABCD , DE ? 平面 BDE ,所以平面 BDE ? 平面

ABCD ;
……………2 分 平面 BDE ? 平面 ABCD ? BD ; 所以 AC ? 平面 BDE . 2? 菱形 ABCD 中,AC ? BD ; ……………5 分 (II)当 DE ? 4 时直线 AC ∥平面 BEF .理由如 下:…………………………………7 分

1? 设菱形 ABCD 中对角线 AC ? BD ? O , BE 的中点为 M ,则 OM 为
?BDE 的中位线, OM ∥ DE 且

OM ?

1 DE ;……………………………………………9 分 2 1 2? 又 AF ∥ DE 且 AF ? DE ? 2 ,即 AF ∥ OM 且 AF ? OM ,得平行 2

四边形 AOMF ,所以 AC ∥ FM ;………………………………………………………11 分

3? 因为 AC ? 平面 BEF , FM ? 平面 BEF ,所以直线 AC ∥平面
BEF .……12 分
法二: 1? 设菱形 ABCD 中对角线 AC ? BD ? O ,DE 的中点为 N ,则 ON 为

?BDE 的中位线,ON ∥ BE ;ON ? 平面 BEF , BE ? 平面 BEF ,所以直线 ON ∥
平面 BEF ;

2? 又 AF ∥ DE 且 AF ?

1 DE ? 2 ,即 AF ∥ NE 且 AF ? NE ,得平行 2

四边形 ANEF ,所以 AN ∥ EF ; AN ? 平面 BEF , EF ? 平面 BEF ,所以直线 AN ∥平面 BEF ;

ON ? 平面 AON , 所以平面 AON 3? AN ? ON ? N ,AN ? 平面 AON ,
∥平面 BEF .

4? 因为 AC ? 平面 AON ,所以直线 AC ∥平面 BEF .………………12 分
10、 (1)证明:连接 AC 1 ,? A 1BCD 1 是平行四边形, 1D 1 ? BC ,? 四边形 A

15

? AC 1 与 BD 1 互相平分.又 M 是 BD 1 的中点,M 也是 AC 1 的中点,又 F 是 A 1 A 的中点
? FM 是 ?A1 AC 的中位线,

? FM ? AC

(3 分) (4 分)

? FM ? 面ABCD, AC ? 面ABCD , FM ? AC ,? FM ? 面ABCD
(2)连 AC , BD ,?四边形ABCD 为菱形,? AC ? BD 又 A1 A ? 面ABCD , D1D ? A1 A , D1D ? 面ABCD , 又 AC ? 面ABCD , D1D ? AC , 即 AC ? D1D

(6 分)

AC ? BD, AC ? D1D, BD ? D1D ? D, ? AC ? 面BDD1B1 ? MF ? 面BDD1B1
(8 分)

(3)取 AD 的中点 N,连 BN,? ?ABD 是正三角形,? BN ? AD ,且 BN ? 又 D1D ? 面ABCD , BN ? 面ABCD , D1D ? BN ,即 BN ? D1D , 又 BN ? AD, BN ? D1D, AD ? D1D ? D,? BN ? 面ADD1 A1

3 2

(9 分)

(10 分)

? 三棱锥 D1 ? BDF 以 FD1D 为底面时,BN 是高
1 1 1 3 3 ?VD1 ? BDF ? VB ? FDD1 ? S?FDD1 .BN ? ? ?1?1? ? 3 3 2 2 12
(12 分) 11、(1)证明:因为 BC ? 面A1 ACC1 , BC ? 平面A1 BC ,所以 平面A1 BC ? 平面A1 ACC1

交 线 为 A1C , 过 A 作 AE ? A1C , 则 AE ? 平面A1CB . 又 A1 ACC1 是 菱 形, AA1 ? AC 所以 E 为 A1C 的中点. ……6 分 (2)由题意 A1D ? 平面 ABC , A1 D ? 2 3
A D B A1 C1

E

B1 C

1 1 8 3 V A? B1C1C ? V A? B1BC ? VB1 ? ABC ? ? ? 2 ? 4 ? 2 3 ? 3 2 3

………12 分

16

(1)12、当 M 是线段 AE 的中点时, AC ∥平面 MDF . 证明如下: 连结 CE ,交 DF 于 N ,连结 MN ,

由于 M , N 分别是 AE 、 CE 的中点,所以 MN ∥ AC ,

由于 MN ? 平面 MDF ,又 AC ? 平面 MDF , 所以 AC ∥平面 MDF . ………………6 分 (2)如图,将几何体 ADE ? BCF 补成三棱柱

ADE ? B1CF ,
三棱柱 ADE ? B1CF 的体积为 V ? S ?ADE ? CD ? 则几何体 ADE ? BCF 的体积

1 ? 2? 2? 4 ? 8, 2

1 1 20 VADE ? BCF ? VADE ? B1CF ? VF ? BB1C ? 8 ? ? ( ? 2 ? 2) ? 2 ? 3 2 3
4, 三棱锥 F ? DEM 的体积 V F ? DEM ? VM ? DEF ? 3

故两部分的体积之比为

4 ? 20 4 ? 1 :? ? ? ? 3 ? 3 3? 4

………………12 分

17


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