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第4单元-平面向量-数学(理科)-人教A版


新课标·人教A版

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第四单元 平面向量

第24讲 第25讲 第26讲

平面向量的概念及其线性运算 平面向量基本定理及坐标运算 平面向量的数量积及应用

新课标·人教A版

第四单元

平面向量

第四单元 │ 知识网络

知识网络

第四单元 │ 网络解读

网络解读
主要内容:平面向量的有关概念、平面向量的线性运算、 平面向量基本定理及坐标运算、平面向量的数量积运算、平面 向量的应用. (1)平面向量的相关概念是平面向量的基础,主要有平面 向量、相等向量、相反向量、零向量、共线向量、向量的模、 两向量的夹角等,要注意这些概念之间的区别与联系,辨析清 楚各个概念的含义.

第四单元 │ 网络解读
(2)平面向量的线性运算是指平面向量的加法运算、减法运 算、数乘运算,这些运算都是从几何上进行定义的,要从几何 表示上弄清楚这些运算的含义,注意两个向量共线的充要条件 的应用. (3)平面向量的数量积是平面向量的另一种重要运算,是平 面向量的核心内容,主要是数量积的定义、性质和运算法则、 运用数量积表示两个向量的夹角、两向量垂直的充要条件,要 注意数量积的运算结果是一个数量,注意一个向量在另外一个 向量上的投影也是一个数量,注意向量的数量积和数的乘法运 算的区别.

第四单元 │ 网络解读
(4)平面向量基本定理是平面向量的核心定理,这个定 理是实现平面向量坐标化的根据,根据这个定理建立了平面 向量的坐标表示,实现了平面向量的各种运算的坐标化.要 注意平面向量基本定理中的两个基向量是不共线的. 平面向量在高考中一般是以选择题或者填空题的形式 考查其重要知识点,试题的难度中等,在解答题中与三角函 数、解三角形、解析几何等综合考查平面向量的应用,在这 些试题中考查的都是平面向量的基础知识,解题的关键还是 三角函数、正弦定理、余弦定理、解析几何的知识和方法, 由于平面向量进入高考已经多年,高考对该部分的考查形式 基本固定,预计 2013 年不会发生大的变化.

第四单元 │ 高考纵览 高考纵览

题 型 选 择 题

考点统计 向量的基本概念、基本 定理 向量的运算

考查 频度 6 23

考查 要求 理解 理解

考例展示 2011四川4 2010全国Ⅱ文10 2011全国卷12 2011湖北8

平面 向量

第四单元 │ 高考纵览

向量的基本概念、基 本定理 填 空 题 平面向 量

4

理解

2011江西11 2010上海13 2011江苏10 2011福建15 2011北京10 2011天津14

向量的运算

13

理解

第四单元 │ 使用建议 使用建议
1.编写意图 本单元内容是高中数学的工具性知识,出现在近几年高 考卷中主要有两个方面:一是平面向量本身的知识的基础题, 难度不大,多以选择题,填空题的形式出现;二是以向量作 为工具,考查其他的知识点的交汇与整合,以解答题为主.

第四单元 │ 使用建议
因此,编写时主要考虑以下几方面:(1)每课时的例、 习题以巩固基础知识为主,重点是引导学生用向量知识解 决有关长度、夹角、垂直等问题,把握应用向量知识解决 这类问题的方法;(2)适当配备平面向量综合问题的“新热 点”题型,其形式为向量与其他知识的综合,但严格控制 难度,用于训练学生对各个知识点之间联系的渗透,构建 知识网络,提高综合应用能力.

第四单元 │ 使用建议
2.教学指导 本单元的特点是概念公式较多,有线性运算及坐标运算、 数量积等多种运算,数形结合紧密.平面向量是数形结合的 一种工具,研究向量的有关问题时,要结合图形进行求解, 因此,本单元的内容着重体现其应用性、工具性,复习中应 注意下面几点:

第四单元 │ 使用建议

(1).课堂教学的例、习题以基础题和中档题为主,对文 科学生的要求一定要适度,不要拔高;应以数形结合思想为 指导,掌握向量相关运算的法则与常用技巧;在复习向量的 加法、减法、数乘、向量的数量积这四种运算过程中,要让 学生特别关注向量运算与实数运算的不同之处.

第四单元 │ 使用建议

(2).要注意到向量具有代数形式和几何形式的“双重身 份”,向量在几何中应用广泛,备考复习中,要注意向量的 考查层次,分层次进行:一是本单元的基础知识,包括向量 的概念和线性运算,平面向量的基本定理,平面向量的坐标 运算和数量积等,这是基本要求;二是本单元内的综合,特 别是平面向量的坐标表示,线性运算,基本定理以及数量积 的应用,其中向量的数量积是平面向量的核心内容,也是高 考考查的热点;三是向量与其他知识的综合,即用向量来解 决代数、几何中的综合问题.

第四单元 │ 使用建议

3.课时安排 本单元共3讲和一个45分钟滚动基础训练卷,第26讲建议 2课时完成,其余每讲建议1课时完成,45分钟滚动基础训练 卷,建议各1课时完成,共需6课时.

第24讲 │ 平面向量的概念及其线性运算

第24讲

平面向量的概念 及其线性运算

第24讲 │ 考纲要求 考纲要求
1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念,理 解两个向量相等的含义. 2.理解向量的几何意义. 3. 掌握向量加法、 减法的运算, 并理解其几何意义. 4.掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共 线的含义. 5.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

第24讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.向量的有关概念及表示

第24讲 │ 知识梳理

大小

方向

大小 长度 0 1 1 |a| 0
| A →| B

第24讲 │ 知识梳理

长度

相同

长度

相反

-a

不确定的、任意的 说明:零向量的方向是____________________, 平行 规定:零向量与任一向量__________.

第24讲 │ 知识梳理
2.向量的线性运算



三角形

b+a

a+(b+c)
平行四边形

第24讲 │ 知识梳理

a+(-b)
相反向量 三角形

第24讲 │ 知识梳理

|λ ||a| 向量 相同 相反 0 λ 1a+λ 2a λ a+λ b

数乘 λ a

第24讲 │ 知识梳理
3.向量的共线定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ,使

b=λa ____________.

第24讲 │ 问题思考 问题思考
? 问题1 0的模为0,没有方向.( )

[答案]错
[解析] 0 是特殊的向量,大小为 0,方向是不确定 的、任意的.

第24讲 │ 问题思考
? 问题 2 若 a∥b,b∥c,则 a∥c.( )

[答案] 错
[解析] 若 b=0 时,a、c 可能不共线.

第24讲 │ 问题思考
? 问题 3 a 和 λa 共线,方向相同.( )

[答案]错
[解析] λ>0 时,λa 和 a 同向.

第24讲 │ 问题思考
? 问题 4 0· 0=0.( )

[答案]错
[解析] 0· 0=0.

第24讲 │ 问题思考
? → AB).( 问题 5 ) → = 1 (AC + → △ ABC 中,D 是 BC 中点,则AD 2

[答案]对
→ → → AD → → 2AD → → → [解析] AD=AB+BD,→ =AC+CD, → =(AB+AC)+(BD → ),∵BD+CD=0,∴AD=1(AB+AC). → → → → → +CD 2

第24讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1
例1 的是( )

向量的有关概念的问题

(1)[2011· 北三省四市模拟] 下列结论中,不正确 东

→ → → → A.向量AB,CD共线与向量AB∥CD同义 → → → → B.若向量AB∥CD,则向量AB与DC共线 → → → → C.若向量AB=CD,则向量BA=DC D.只要向量 a,b 满足|a|=|b|,就有 a=b

第24讲 │ 要点探究
(2)下列命题中: ①时间、速度、加速度都是向量; ②向量的模是一个正实数; ③所有的单位向量都相等; ④共线向量一定在同一直线上. 其中真命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 )

第24讲 │ 要点探究
(3)给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b; ②向量不可以比较大小; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; ⑤若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中正确的命题有( A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 )

第24讲 │ 要点探究
(4)[2011· 哈尔滨调研] 下列命题正确的个数为( ①若 a∥b,则存在唯一实数 λ,使 b=λa 成立; ②设 e1, 2 是平面内的两个已知向量, e 则对平面内的任意向 量 a,存在唯一的一组实数 x,y,使 a=xe1+ye2 成立; ③若向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,则表示 a,b,c 的三 个有向线段构成三角形. A.0 B.1 C.2 D.3 )

第24讲 │ 要点探究
[思路] 向量概念的关键词是大小和方向, 正确理解向量的有 关概念是解决这类问题的关键;要注意特殊情况,否定命题只要 举出一个反例即可.

第24讲 │ 要点探究
[答案] (1)D (2)A (3)B (4)A

[解析] (1)根据平行向量(或共线向量)定义知 A,B 均正确; 根据向量相等的概念知 C 正确,D 不正确. (2)由向量、 向量的模、 共线向量的含义知①中时间不是向量; ②中模可为零;③中单位向量方向不同则不等;④中共线向量平 行,不一定在同一直线上.故①②③④均不对.

第24讲 │ 要点探究
(3)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相 同;②正确;实数可以比较大小,但向量不可以比较大小.③正 确;∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同;又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同,∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a= c.④不正确;当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a =b,故|a|=|b|且 a∥b 不是 a=b 的充要条件,而是必要不充分条 件;⑤不正确;考虑 b=0 这种特殊情况; 综上所述,正确命题的序号是②③.

第24讲 │ 要点探究
(4)①当 a=0,b≠0 时,b=λa 不成立.②忽略了 e1,e2 不共 线的条件,错误;③向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,a,b,c 可 以共线,错误,所以选 A.

第24讲 │ 要点探究
[点评] 大小和方向是向量的两个基本要素, 判断两个向量之 间的关系时,一定要抓住这两个要素,要分清,理解各概念的实 质,注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念,注意零向 量与任意向量共线.下面变式题主要从向量的模与方向,复习巩 固向量与单位向量的概念、向量的共线与平行.

第24讲 │ 要点探究
变式题 (1)[2010· 四川卷] 设点 M 是线段 BC 的中点,点 A )

→ → → → → → 在直线 BC 外,BC2=16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM|=( A.8 B.4 C.2 D.1

(2)设 a0 为单位向量, ①若 a 为平面内的某个向量, a=|a|·0; 则 a ②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|·0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a a =a0.上述命题中,假命题个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 )

第24讲 │ 要点探究
[答案] (1)C (2)D

[解析] (1)长度相等但方向相反的两个向量一定共线,由向 量的概念及向量的模的意义可判断 A、B、D 选项内容都是正确 的. (2)向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 模相同,但方向 不一定相同,故(1)是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 方向有 两种情况:一是同向,二是反向,反向时 a=-|a|a0,故(2)、(3) 也是假命题.

第24讲 │ 要点探究
? 探究点2 向量的线性运算

例 2(1)[2011· 苏北四市调研] 已知四边形 ABCD 是正方形, → → → E 是 DC 的中点,且AB=a,AD=b,则BE等于( 1 A.b+ a 2 1 B.b- a 2 1 C.a+ b 2 1 D.a- b 2 )

第24讲 │ 要点探究
(2)设 a≠0,下列给出的四个说法中,正确的个数是( )

①2a 的方向与 a 的方向相同,且 2a 的模是 a 的模的 2 倍; 2 ②-2a 的方向与 5a 的方向相反, 且-2a 的模是 5a 的模的 ; 5 ③-2a 与 2a 是一对相反向量; ④a-b 与-(b-a)是一对相反向量. A.1 B.2 C.3 D.4

第24讲 │ 要点探究
(3)[2011· 抚顺一模] 已知 A、B、C 三点不共线,且点 O 满足 → → → OA+OB+OC=0,则下列结论正确的是( → =1AB+2BC → → A.OA 3 3 → =2AB+1BC → → B.OA 3 3 → =-1AB-2BC → → C.OA 3 3 → =-2AB-1BC → → D.OA 3 3 )

第24讲 │ 要点探究
→ → → (2)λa 仍然是一 [思路] (1)利用向量的加法运算BE=BC+CE; 个向量,其大小是|λ||a|,方向取决于 λ 的正负.相反向量是指大 → OC 小相同, 方向相反的向量; (3)用向量的减法将条件中的OB、→ 转 → → → → → → → 化为AB、BC;或者将选项中的AB、BC用OA、OB、OC表示出 来.

第24讲 │ 要点探究
[答案] (1)B (2)C (3)D

→ =BC+CE=AD+1CD=AD-1DC=b-1a. → → → [解析] (1)BE → → → 2 2 2

第24讲 │ 要点探究

(2)①正确; ②正确; ③正确; ④错误, 应该是一对相等向量. → → → → → → (3)依题意,由OA+OB+OC=0,得 3OA=-AB-AC,所 → =-2AB-1BC. → → 以OA 3 3

第24讲 │ 要点探究

[点评] 向量的线性运算要特别注意: (1)结果仍然是一个向量; (2)运算时,将相同向量的系数相加减,类似单项式加减.

第24讲 │ 要点探究
变式题 [2011· 宁波模拟] 在平面直角坐标系 xOy 中, A(- 点

1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1),则以线段 AB、AC 为邻边的平行 四边形两条对角线的长分别为( A.2 2,2 10 B.4 2,2 10 C.2 2,4 10 D.4 2,4 10 )

[答案] B

第24讲 │ 要点探究
→ → → [解析] 方法一:由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+ → → → AC=(2,6),AB-AC=(4,4), → → → → 所以|AB+AC|=2 10,|AB-AC|=4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4 2、2 10.

第24讲 │ 要点探究
方法二:设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的 交点为 E,则: E 为 B、C 的中点,E(0,1), 又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4), → → 故所求的两条对角线的长分别为|BC|=4 2,|AD|=2 10.

第24讲 │ 要点探究
? 探究点3
例3

共线向量定理的应用
→ (1)[2011· 佛山模拟] 已知 a,b 是不共线的向量,AB

→ =λa+b,AC=a+μb,λ,μ∈R,那么 A、B、C 三点共线的 充要条件为( A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 )

第24讲 │ 要点探究

(2) [2011·合肥模拟]已知向量 a,b,c 都不平行,且 λ1a +λ2b+λ3c=0(λ1,λ2,λ3∈R),则( A.λ1,λ2,λ3 一定全为 0 B.λ1,λ2,λ3 中至少有一个为 0 C.λ1,λ2,λ3 全不为 0 D.λ1,λ2,λ3 的值只有一组 )

第24讲 │ 要点探究

→ → [思路] (1)由三点共线可得AB、AC共线, 由向量共线定理和 向量相等可解;(2)由条件,若 λ1,λ2,λ3 中有一个为 0,则另两 个向量共线;若有两个为 0,不妨令 λ1,λ2 为 0,则 c=0;三角 形中三条边看成是三个首尾相连的三个向量,则其和为 0.

第24讲 │ 要点探究
[答案] (1)D (2)C

→ → → [解析] (1)由 A、B、C 三点共线可得AB、AC共线,因为AB
?λ=m, ? → ,所以AB=mAC,∴? → → ∥AC ?1=mμ, ?

∴λμ=1,故正确选项为

D.

第24讲 │ 要点探究

→ → → (2)在△ABC 中,设AB=a,BC=b,CA=c,则 a,b,c 都不平行,且 a+b+c=0,排除 A,B.且有 2a+2b+2c=0,排 除 D.

第24讲 │ 要点探究
变式题 (1)[2011· 北京卷] 已知向量 a=( 3,1),b=(0,-

1),c=(k, 3).若 a-2b 与 c 共线,则 k=________. (2)[2011· 广东卷] 已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a+λb)∥c,则 λ=( 1 A. 4 1 B. 2 C.1 D.2 )

[答案] (1)1

(2)B

第24讲 │ 要点探究

k [解析] (1)因为 a-2b=( 3, 由 a-2b 与 c 共线, 3), 有 = 3 3 ,可得 k=1. 3 (2)因为 a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ, 又因为(a+λb)∥c, 2), 1 所以(1+λ)× 4-2× 3=0,解得 λ= . 2

第24讲 │ 要点探究
? 探究点4 向量线性运算的综合应用

例 4 (1)[2011· 汕头测试] 若 a,b 是两个不共线的非零向 1 量,a 与 b 起点相同,若 a,tb, (a+b)三向量的终点在同一 3 条直线上,则 t 为________. → → → (2)[2011· 陕西八校] 已知向量OA=3i-4j, =6i-3j, OB OC =(5-m)i-(4+m)j,其中 i、j 分别是直角坐标系内 x 轴与 y 轴正方向上的单位向量.若 A、B、C 能构成三角形,则实数 m 应满足的条件为________.

第24讲 │ 要点探究

[思路] (1)由平面向量的基本定理得方程组,解方程组得 t → → 的值.(2)若 A、B、C 能构成三角形,则AB与AC不平行.

1 [答案] (1) 2

(2)m≠-1

第24讲 │ 要点探究

→ =a,OB=tb,OC=1(a+b), → → [解析] (1)设OA 3 → =OC-OA=-2a+1b, ∴AC → → 3 3 → → → AB=OB-OA=tb-a, → → 要使 A、B、C 三点共线,只需AC=λAB(λ∈R),即 2 1 - a+ b=λ(tb-a). 3 3

第24讲 │ 要点探究

因为 a,b 是两个不共线的非零向量,得 ? 2 ?-3=-λ, ? ?1=λt, ?3 ? 2 ?λ=3, 解得? ?t=1. ? 2

1 ∴当 t= 时,三向量的终点在同一条直线上. 2 → → → → (2)AB=(3,1),AC=(2-m,-m),AB与AC不平行,则 m≠ -1.

第24讲 │ 要点探究

变式题 (1)[2011· 山东卷] 设 A1,A2,A3,A4 是平面直角 坐标系中两两不同的四点, → 3=λA→ 2(λ∈R), → 4=μA→ 2 若A1A A1 A 1A 1A 1 1 (μ∈R),且λ+μ=2,则称 A3,A4 调和分割 A1,A2,已知平面 上的点 C,D 调和分割点 A,B,则下面说法正确的是( ) A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C、D 可能同时在线段 AB 上 D.C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上

第24讲 │ 要点探究
(2)[2010· 上海卷] 在平面直角坐标系中,双曲线 Γ 的中心 在原点,它的一个焦点坐标为( 5,0),e1=(2,1)、e2=(2,- 1)分别是两条渐近线的方向向量. 任取双曲线 Γ 上的点 P, → 若OP =ae1+be2(a、b∈R),则 a、b 满足的一个等式是________.

[答案] (1)D

(2)4ab=1

第24讲 │ 要点探究
→ → [解析] (1)若 C、D 调和分割点 A;B, → =λAB(λ∈R),AD 则AC → (μ∈R),且1+1=2. =μAB λ μ → =1AB? λ=1? 1=0, → 对于 A: C 是线段 AB 的中点, 若 则AC 2 2 μ 故 A 选项错误;同理 B 选项错误; 1 1 对于 C:若 C、A 同时在线段 AB 上,则 0<λ<1,0<μ<1? λ+μ >2,C 选项错误;对于 D:若 C、D 同时在线段 AB 的延长线上, 1 1 则 λ>1,μ>1? λ +μ<2,故 C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线 上,D 选项正确.

第24讲 │ 要点探究
(2)因为e1=(2,1)、e2=(2,-1)是渐近线方向向量,所以双 1 曲线渐近线方程为y=± x,又c= 5,∴a=2,b=1. 2 x2 → ∴双曲线方程为 -y2=1, OP =ae1+be2=(2a+2b,a- 4 ?(2a+2b?)2 b),∴P(2a+2b,a-b),∴ -(a-b)2=1, 4 化简得4ab=1.

第24讲 │ 规律总结 规律总结
1.大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与 几何特征,因此借助于向量,我们可以将某些代数问题转化为几 何问题,又可将几何问题转化为代数问题,故向量能起数形结合 的桥梁作用. 2.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量. 3.两个几何结论的向量表示:

第24讲 │ 规律总结
→ =1(OA+ → (1)若 D 为线段 AB 的中点, 为平面内一点, O 则OD 2 → OB)(如图).

→ 1 → → → (2)已知平面内不共线的三点 A、B、C,PG= (PA+PB+PC) 3 ?G 为△ABC 的重心, → → → 特别地,PA+PB+PC=0?P 为△ABC 的重心.

第24讲 │ 规律总结

4.向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线平行问 题.记住常用结论:A、B、C 三点共线?存在实数 λ,μ,对任意 → 一点 O(O 不在直线 BC 上),O→=λO→+μOC(λ+μ=1). A B

第24讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 例 1 是继续巩固向量的概念和线性运算,是对 探究点 1 的补充;例 2 是向量共线定理的应用,例 3、例 4 是关 于三点共线的问题,是对探究点 4 的补充.

第24讲 │ 备用例题
例 1[2011· 苏州模拟] 如图所示,在平行四边形 ABCD 中, 下列结论中正确的是________. → → → → → ①AB=DC;②AD+AB=AC; → → → → → ③AB-AD=BD;④AD+CB=0.

[答案] ①②④

第24讲 │ 备用例题
→ → [解析] ①显然正确;由平行四边形法则知②正确;AB-AD → → → → → =DB,故③不正确;④中AD+CB=AD+DA=0.

第24讲 │ 备用例题
例2 △ABC 中,O 是 BC 中点,过点 O 的直线 MN 分别

→ AC → 交直线 AB、 于不同的两点 M、 若AB=mAM,→ =nAN, AC N, → 求 m+n.

第24讲 │ 备用例题
→ → [解答] 连接 AO,∵M,O,N 共线,可以设AO=λAM+(1 → ,且AB=mAM,AC=nAN,∴AO= λ AB+1-λAC, → → → → → → → -λ)AN m n → =1AB+1AC, → → 根据条件易知AO 2 2 λ 1 1-λ 1 ∴m= , n = ,∴m=2λ,n=2-2λ,∴m+n=2. 2 2

第24讲 │ 备用例题
→ =1BC,AF=1AC. → → → 如图所示,在?ABCD 中,已知AE 3 4

例3

求证:B、F、E 三点共线.

第24讲 │ 备用例题
→ → → → → [解答] 证明:方法一:设BA=a,BC=b,则BE=BA+AE 1 =a+ b. 3 → =b-a,∴AF=1AC=1(b-a). → → ∵AC 4 4 → =BA+AF=a+1(b-a)=a+1b-1a ∴BF → → 4 4 4 3 1 3? 1 ? = a+ b= ?a+3b?. 4 4 4? ? → =3BE. → ∴BF 4

第24讲 │ 备用例题
→ → ∴向量BF与向量BE共线,又它们有公共点 B. ∴B、F、E 三点共线. → =1AC=1(AB+AD)=1(AB+3AE), → → → → → 方法二:∵AF 4 4 4 → =1AB+3AE,∵1+3=1,∴B、F、E 三点共线. → → ∴AF 4 4 4 4

第24讲 │ 备用例题

例4

→ → → 求证:若OC=λOA+μOB,且 λ+μ=1,则 A、B、C

→ → → 共线;反之,若向量OA、OB、OC的终点 A、B、C 共线,则存 → → → 在实数 λ,μ,且 λ+μ=1,使得OC=λOA+μOB.

第24讲 │ 备用例题
→ → → [解答] ∵OC=λOA+μOB,λ+μ=1, → → → 则 μ=1-λ,OC=λOA+(1-λ)OB, → → → → 从而有OC-OB=λ(OA-OB), → → 即BC=λBA. → → → ∴A、B、C 共线,即向量OA、OB、OC的终点在一条直线 上.

第24讲 │ 备用例题
→ → → → → 反之:若OA、OB、OC的终点 A、B、C 共线,则AB∥BC, → → 故存在实数 m,使得BC=mAB. → → → → → → 又BC=OC-OB,AB=OB-OA, → → → → 故:OC-OB=m(OB-OA), → → → ∴OC=-mOA+(1+m)OB, 令 λ=-m,μ=1+m,则存在实数 λ,μ,且 λ+μ=1,使 → → → 得OC=λOA+μOB.

第24讲 │ 备用例题
[点评] 利用向量共线定理解决三点共线问题时有两种方 → → 法,一是在三点所确定的向量中任选两个,如AB,AC,再看这 → → → 两个向量能否满足AB=λAC;二是运用一个常见的结论:OC= → → λOA+μOB,且 λ+μ=1,则 A、B、C 三点共线.它的证明方 法是运用向量共线定理和线性运算知识,结论的结构特征非常 明显,容易记忆.

第25讲 │ 平面向量基本定理及坐标运算

第25讲

平面向量基本定理及 坐标运算

第25讲 │ 考纲要求 考纲要求
1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

第25讲 │ 知识梳理

知识梳理
1.平面向量的基本定理

不共线 如果 e1, 2 是一个平面内的两个________向量, e 那么对于这 有且只有 一 平 面 内 的 任 意 向 量 a , _________ 一 对 实 数 λ1 , λ2 , 使 a=λ1e1+λ2e2 ________.其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有 基底 向量的一组________.
[注意] e1、e2 是同一平面内所有向量的一组基底,如果有且 只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,则 a、e1、e2 共面.

第25讲 │ 知识梳理
2.两个向量的夹角 非零 定义:已知两个________向量a和b,如图25-1,作O → A =a,O→=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做a与b的________. B 夹角

图25-1

第25讲 │ 知识梳理
3.平面向量的正交分解

互相垂直 把一个向量分解为两个________的向量,叫做把向量正交
分解. 4.平面向量的坐标表示 (1)平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与

相同 单位向量 x轴、y轴方向________的两个________i,j作为基底.由平面向
量的基本定理知,该平面内的任意向量a可表示成a=xi+yj,由

(x,y) 于a与数对(x,y)是一一对应的,因此把______叫做向量a的坐 a=(x,y) 标,记作________,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴
上的坐标.

第25讲 │ 知识梳理
(2)平面向量的坐标运算

向 量 坐 标

a

b

a+b

a-b

λ a (λx1, λy1) ________

(x1+x2, (x1-x2, (x1 , y1 ) (x2 ,y2 ) y1 + y2 ) ________ y1-y2) ________

第25讲 │ 知识梳理
(3)向量的坐标求法
(x2-x1, y2-y1) 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A→=________,即一个向量 B 终点 的 坐 标 等 于 表 示 此 向 量 的 有 向 线 段 的 ________ 坐 标 减 去

始点 ________坐标.
(4)向量共线的充要条件的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 a≠0,则
x1y2-x2y1=0 向量 a 与 b 共线?b=λa?________________.

第25讲 │ 问题思考 问题思考
? 底.( 问题 1 ) 平面内任意两个向量都可以作为一组基

第25讲 │ 问题思考
[答案]错
[解析] 平面内任意两个不共线的向量可以作为一组基 底.

第25讲 │ 问题思考
? 问题 2 a,b 不共线,若 λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则 λ1 )

=λ2,μ1=μ2.(

第25讲 │ 问题思考
[答案]对
[解析] 根据平面向量基本定理,用一组基底表示一个向量, 基底的系数是唯一的.

第25讲 │ 问题思考

?

问题 3 已知平面向量 a=(1,1),b=(1,-1),则向量 )

1 3 a- b=(-1,2).( 2 2

第25讲 │ 问题思考
[答案]对
?1 1? ?3 3? 1 3 1 3 [解析] a- b= (1,1)- (1,-1)= ?2,2? - ?2,-2? = 2 2 2 2 ? ? ? ? ?1 3 1 3? ? - , + ?=(-1,2). ?2 2 2 2?

第25讲 │ 问题思考

?

问题 4 )

已知向量 a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),则 c

=-a+2b.(

第25讲 │ 问题思考
[答案]对

[解析] 设 c=λa+ub,则(3,4)=λ(1,2)+u(2,3)=(λ+2u,2λ +3u),
?λ+2u=3, ? ∴? ?2λ+3u=4, ? ?λ=-1, ? 解得? ?u=2. ?

第25讲 │ 问题思考

?

问题 5

? 1 ? a=(1,2),b=?-2,-1?,则 ? ?

a、b 能作为平

面向量的一组基底.(

)

第25讲 │ 问题思考

[答案]错

[解析] 由于

? 1? ? 1× (-1)-2× -2?=0,即 ? ?

a,b 共线,所以不

能作为平面向量的一组基底.

第25讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1
例1

平面向量基本定理的应用
[2011· 甘肃兰州一中三模] 如图 25-2, 在平行四边

→ BC → 形 ABCD 中, 和 F 分别在边 CD 和 BC 上, → =3DE, E 且DC → → → → =3BF,若AC=mAE+nAF,其中 m,n∈R,求 m+n.

图 25-2

第25讲 │ 要点探究
→ → → [思路] 用平面向量基本定理将AC用基向量AE、AF表示出 来,和条件中的系数 m,n 对比求解.

第25讲 │ 要点探究
→ → → → → → → [ 解 答 ] ∵ AC = AD + AB = ( AE + ED ) + ( AF + FB ) =
? 1→? ?→ 1→ ? → ?AE- AB?+?AF- AD?, 3 ? ? 3 ? ?

→ =(AE+AF)- 1(AB+AD)=(AE+AF)- 1AC.∴ 4 AC → → → → → → → → ∴AC 3 3 3 → → =AE+AF, 3 3 所以 m=n= .m+n= . 4 2

第25讲 │ 要点探究
[点评] 解决此类问题的关键在于以一组不共线的向 量为基底,通过向量的加、减、数乘,把其他相关的向量 用这一组基底表示出来,再利用向量相等建立方程组,从 而解出相应的值.通过下面变式题可以发现,只要是平面 内不共线的两个向量都可以作为基底,平面内的向量都可 以被这一组基底所表示.

第25讲 │ 要点探究
→ 变式题 (1)[2011· 丰台二模] 如图 25-3 所示,已知AB = → → → → 2BC,OA=a,OB=b,OC=c,则下列等式中成立的是( )

图 25-3 3 1 A.c= b- a 2 2 C.c=2a-b B.c=2b-a 3 1 D.c= a- b 2 2

第25讲 │ 要点探究

[答案] (1)A
→ =OA +AC=OA +3AB=OA+ 3 (OB-OA ) → → → → [解析] (1)OC → → → 2 2 1→ 3→ =- OA+ OB, 2 2 3 1 ∴c= b- a. 2 2

第25讲 │ 要点探究
? 探究点2
例 2

平面向量的坐标运算
[2011· 芜湖测试] 已知 P={a|a=(1,0)+m(0,1),

m∈R},Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n∈R}是两个向量集合, 则 P∩Q=( A.{(1,1)} C.{(1,0)} ) B.{(-1,1)} D.{(0,1)}

第25讲 │ 要点探究
[思路] 求两个集合的交集,即求两个集合中相同的元素组 成的集合,利用向量的坐标运算和相等向量定义进行求解.

第25讲 │ 要点探究
[答案] A

[解析]根据题意知,a=(1,0)+m(0,1)=(1,m),b=(1,1)+ n(-1,1)=(1-n,1+n), 令 a=b
?1=1-n, ? 得? ?m=1+n, ? ?n=0, ? 解得? ?m=1, ?

∴a=(1,1)=b.

∴P∩Q={(1,1)}.

第25讲 │ 要点探究

变式题

[2011· 南阳模拟] 设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),

若表示向量 4a,3b-2a,c 的有向线段首尾相接能构成三角形,则 向量 c 为( )

A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,-6)

第25讲 │ 要点探究
[答案] D
[解析]设 c=(x,y),∵a=(1,-3),b=(-2,4),∴4a=(4, -12),3b-2a=(-8,18). 又由表示向量 4a,3b-2a,c 的有向线段首尾相接能构成三 角形,则有 4a+(3b-2a)+c=0,即(4,-12)+(-8,18)+(x, y)=(0,0),∴x=4,y=-6,∴c=(4,-6).

第25讲 │ 要点探究
? 探究点3
例 3

平面向量共线的坐标表示
(1)[2011· 龙岩模拟] 已知向量 a=(1,2),b=(0,1), )

设 u=a+kb,v=2a-b,若 u∥v,则实数 k 的值为( A.-1 1 B.- 2

1 C. D.1 2

第25讲 │ 要点探究
(2)[2011· 豫南九校联考] 已知向量u=(x,y),与向量v=

(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示.则使f(c)=(p,q)(p、q为常 数)的向量c的坐标为( A.(p,q) )

B.(1-p,q) D.(p-2q,q)

C.(2p-q,p)

第25讲 │ 要点探究

[思路] 向量用坐标形式表示,解题的切入点是直接利用向 量的加减法及数乘运算得到向量的坐标,用向量共线充要条件 的坐标表示,将问题转化为方程(组)求解.

第25讲 │ 要点探究
[答案] (1)B (2)C

[解析] (1)∵u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k),v=(2,4)-(0,1)= (2,3),又 u∥v, 1 ∴1× 3=2(2+k),得 k=- ,故选 B. 2

第25讲 │ 要点探究

(2)设 c=(x,y),则 f(c)=(y,2y-x)=(p,q),
?y=p, ? ∴? ?2y-x=q, ? ?x=2p-q, ? 即? ?y=p, ?

∴c=(2p-q,p).

第25讲 │ 要点探究

[点评] 向量共线(平行)的坐标表示实质是把向量问题转 化为代数运算,它提供了通过坐标公式建立参数的方程(组), 进而解方程(组)求出参数的值,来解决向量共线(平行)的方法, 也为点共线、线平行问题的处理提供了简易的方法,体现方程 的思想在向量中的运用.

第25讲 │ 要点探究
变式题 (1)[2011· 泉州测试] 如图25-4所示,已知点 )

A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC和OB交点P的坐标为( A.(3,2) C.(2,3) B.(3,3) D.(1,3)

图25-4

第25讲 │ 要点探究
(2)[2011· 衢州模拟] 已知向量
? 3? a=?sinx,2?,b=(cosx,-1), ? ?

向量 a 与向量 b 共线时,则 tanx 的值为( 3 3 A.- B. 2 2 2 3 C.- D.- 3 4

)

[答案] (1)B

(2)A

第25讲 │ 要点探究
→ → [解析] (1)方法一:设OP=tOB=t(4,4)=(4t,4t),则 → → → AP=OP-OA=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t). → AC=(2,6)-(4,0)=(-2,6), → → 由AP,AC共线的充要条件知(4t-4)× 6-4t× (-2)=0. 3 解得 t= . 4 → ∴OP=(4t,4t)=(3,3), ∴P 点坐标为(3,3).

第25讲 │ 要点探究
→ → 方法二:设 P(x,y),则OP=(x,y),OB=(4,4). → → ∵OP,OB共线,∴4x-4y=0.① → → 又CP=(x-2,y-6),CA=(2,-6), → → 且向量CP、CA共线, ∴-6(x-2)+2(6-y)=0,② 解①②组成的方程组,得 x=3,y=3, ∴点 P 的坐标为(3,3).

第25讲 │ 要点探究
(2)∵向量 a 与向量 b 共线, 3 3 ∴ cosx+sinx=0,即 tanx=- . 2 2

第25讲 │ 要点探究
? 探究点4
例4

向量坐标运算的应用
1 2 [2011· 粤西联考] 抛物线 y=- x 上有两点 A(x1, 2

→ OB → → y1)、B(x2,y2),且OA· =0,OM=(0,-2). → → (1)求证:AM∥AB; → → (2)若MA=-2MB,求 AB 所在直线方程.

第25讲 │ 要点探究
[解答] (1)证明:由题意得
? ? 1 2? 1 2? A?x1,-2x1?,B?x2,-2x2?, ? ? ? ?

→ · =0,∴x1x2+1(x1x2)2=0(x1x2≠0). → ∵OA OB 4 ∴x1x2=-4. ? ? ? ? 1 2 1 2 → → ∵MA=?x1,-2x1+2?,MB=?x2,-2x2+2?. ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? 2 2 ∴x1?-2x2+2?-x2?-2x1+2? ? ? ? ? ?1 ? =(x1-x2)?2x1x2+2?=0, ? ? → → → → ∴MA∥MB,即AM∥AB.

第25讲 │ 要点探究
→ → (2)∵MA=-2MB, ?x1=-2x2, ? ? 1 ? ∴? 1 2 2 ?-2x1+2=-2?-2x2+2?. ? ? ? ∴-2x2+2=x2-4,∴x2=± 2. 2 2 2 2 ∴B( 2,-1)或(- 2,-1),∴kAB= 或- . 2 2 2 ∴AB 所在直线方程为 y=± x-2. 2

第25讲 │ 规律总结 规律总结
1.平面向量基本定理的作用 (1)平面向量基本定理是建立向量坐标的基础,它保证了向量 一一对应 → ???? 与坐标是一一对应的,即 a=(x,y)????向量OA一一对应点 A(x,y). (2)用向量证明几何问题的一般思路:先选择一组基底,并运 用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式,再通过向 量的运算来证明.

第25讲 │ 规律总结
2.向量共线的充要条件的两种形式. (1)a∥b?b=λa(a≠0); (2)a∥b?x1y2-x2y1=0(其中 a=(x1,y1),b=(x2,y2)). 向量共线定理常用于解决交点坐标问题和三点共线问题. 3.向量的坐标表示. 把点与数联系起来,实际上是向量的代数表示,即引入平面向 量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,可以使 很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.

第25讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 例 1 考查平面向量基本定理,用一组基底表示 其他向量;例 2 考查向量的坐标运算;例 3 是一道提高题,内 容是关于平面向量基本定理的应用.

第25讲 │ 备用例题

例 1 如图,在△OAB 中,延长 BA 到 C,使 AC=BA,在 1 OB 上取点 D, DB= OB, 与 OA 交于点 E, → =a,→ 使 DC 设OA OB 3 → → =b,用 a,b 表示向量OC,DC.

第25讲 │ 备用例题
[解答] 因为 A 是 BC 的中点, → =1(OB+OC),即OC=2OA-OB=2a-b. → → → → → 所以OA 2 → =OC-OD=OC-2OB → DC → → → 3 2 5 =2a-b- b=2a- b. 3 3

第25讲 │ 备用例题

例2

已知△ABC 中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N 分别

是 AB、AC 的中点,D 是 BC 的中点,MN 与 AD 交于点 F,求 → DF.

第25讲 │ 备用例题
[解答] 因为 A(7,8),B(3,5),C(4,3), → → 所以AB=(-4,-3),AC=(-3,-5). → =1(AB+AC)=(-3.5,-4), → → 又因为 D 是 BC 的中点,有AD 2 → 而 M、N 分别为 AB、AC 的中点,所以 F 为 AD 的中点,故有DF 1→ 1→ = DA=- AD=(1.75,2). 2 2

第25讲 │ 备用例题
例3 已知 G 是△ABC 的重心, 直线 EF 过点 G 且与边 AB、

→ =αAB,AF=βAC,则 1 +1的值为 → → → AC 分别交于点 E、F,AE α β ________.

[答案] 3

第25讲 │ 备用例题
[解析] 连接 AG 并延长交 BC 于 D, ∵G 是△ABC 的重心, → =2AD=1(AB+AC), → → → ∴AG 3 3 → → → → → → 设EG=λGF,∴AG-AE=λ(AF-AG), → = 1 AE+ λ AF, → → ∴AG 1+λ 1+λ 1→ 1→ α → λβ → ∴ AB+ AC= AB+ AC, 3 3 1+λ 1+λ → → ∵AB与AC不共线, 1 ? α ? = , ?1+λ 3 ∴? ? λβ =1, ?1+λ 3 ? ?1 ? = 3 , ?α 1+λ ∴? ?1= 3λ , ?β 1+λ ? 1 1 ∴α+β=3.

第26讲 │ 平面向量的数量积及应用

第26讲

平面向量的数量积及应用

第26讲 │ 考纲要求 考纲要求
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的 运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断 两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问 题.

第26讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.向量的数量积 (1)向量数量积的概念 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量 __________叫做a与b的数量积(或内积),记作a· b,即a· b= |a|· |b|cosθ |a|· |b|cosθ 0 __________,规定,零向量与任一向量的数量积为____,即 a· 0=0.

第26讲 │ 知识梳理
(2)向量的投影

|a|cosθ 设两个非零向量a与b的夹角为θ,________称为向量a在 |b|cosθ b方向上的投影;________称为向量b在a方向上的投影.
向量a在b方向上(或b在a方向上)的投影是一个

数量 ___________________________________________,不是向 正数 0 量,当0°≤θ<90° ,它是______;当θ=90° ,它是____;当 负数 90° <θ≤180°,它是______.如图26-1所示b在a方向上的投
影的三种情况.

第26讲 │ 知识梳理

图26-1

第26讲 │ 知识梳理
(3)向量数量积的几何意义:数量积a· b等于a的长度|a|与

b在a方向上 ____________的投影|b|cosθ的乘积.
2.向量数量积的运算律及性质 (1)向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ,则

a· b=b· a ①交换律:__________; b) ②数乘结合律:(λa)· λ(a· b=__________= a· (λb) __________(λ∈R); c c·(a+b) ③ 分配律:(a+b)· a· + b·c c=__________=__________.

第26讲 │ 知识梳理
(2)向量数量积的性质 设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,θ是a 与e的夹角,则 ①e· a=a· |a|cosθ e=__________;

a· b=0 ②a⊥b?__________; |a||b| ③当a与b同向时,a· b=________;当a与b反向时,a· b -|a||b| =________.
特别地,|a· ≤ b|____|a||b|.

第26讲 │ 知识梳理
3.向量数量积的坐标表示 → → 已知两个非零向量OA=a=(x1,y1),OB=b=(x2,y2),
x1x2+y1y2 (1)a· b=____________; x2+y2 1 1 (2)|a|=__________;

第26讲 │ 知识梳理
4.平面向量是数学领域中具有工具性的模块,涉及平面 向量的应用主要有以下几方面: (1)向量在平面几何中的应用 平面几何经常涉及距离(线段的长度)、 夹角, 而向量运算, 特别是向量的数量积涉及向量的模、夹角,因此可以用向量 方法解决部分几何问题,利用向量方法处理几何问题一般有 以下“三步曲”:

第26讲 │ 知识梳理

第26讲 │ 知识梳理
(2)平面向量在物理中的应用 物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合 成与向量的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些 物理问题. 利用向量方法处理物理问题一般有以下 “三步曲” :

第26讲 │ 知识梳理

第26讲 │ 知识梳理
(3)平面向量与其他数学知识的综合应用 ①向量与三角函数交汇的问题是高考经常出现的问题, 命题以三角函数作为背景,是向量的坐标运算与解三角形、 三角函数图象和性质综合的问题; ②平面向量与函数、不等式交汇的问题,主要是以向量 与二次函数、均值不等式结合的问题为主,要注意自变量的 取值范围; ③向量与解析几何交汇的问题,其基本思想是利用向量 的坐标表示,将向量问题转化为坐标问题,进而利用直线和 圆锥曲线的相关知识来解答.

第26讲 │ 问题思考 问题思考
? 问题 1 a· 是一个向量.( b )

第26讲 │ 问题思考
[答案]错
[解析] a· 是一个实数. b

第26讲 │ 问题思考

?

问题 2

(a· b)c=a(b· c).(

)

第26讲 │ 问题思考
[答案]错
[解析] (a· 是一个与 c 共线的向量,a(b· b)c c)是一个与 a 共线 的向量,因此它们不一定相等.

第26讲 │ 问题思考

?

问题 3

a· b=0,则 a=0 或 b=0.(

)

第26讲 │ 问题思考
[答案]错
[解析] a· b=0,则 a=0 或 b=0 或 a⊥b.

第26讲 │ 问题思考

?

问题 4

? π? 两个向量的夹角的范围是?0,2?.( ? ?

)

第26讲 │ 问题思考
[答案]错
[解析] 两个向量的夹角的范围是[0,π].

第26讲 │ 问题思考

?

问题 5 )

a=(x1,y1),b=(x2,y2),若 a⊥b,则 x1y2

-x2y1=0.(

第26讲 │ 问题思考
[答案]错
[解析] a⊥b?x1x2+y1y2=0.

第26讲 │ 问题思考

?

→ → 问题 6 已知△ ABC 中,BC 边最长,AB=a,AC=b, )

且 a· b>0,则△ ABC 的形状为钝角三角形.(

第26讲 │ 问题思考
[答案]错

[ 解 析 ] ∵a· = |a||b|cos∠BAC>0 , ∴cos∠BAC>0 , b ∴0° <∠BAC<90° ,又∵BC 边最长,则∠BAC 为△ABC 中最 大的角,故△ABC 为锐角三角形.

第26讲 │ 问题思考

?

→ → → BD → 问题 7 在四边形 ABCD 中,AB=DC,且AC· =0, )

则四边形 ABCD 是矩形.(

第26讲 │ 问题思考
[答案]错

→ → → BD → [解析] ∵AB=DC,即一组对边平行且相等,AC· =0, 即对角线互相垂直,∴该四边形 ABCD 是菱形.

第26讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 平面向量的数量积的概念

例 1 (1)[2011· 国卷] 设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,a· 全 b 1 =- ,则|a+2b|=( ) 2 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 2π (2)[2011· 苏卷] 已知 e1,2 是夹角为 的两个单位向量, 江 e 3 a=e1-2e2, b=ke1+e2, 若 a· b=0, 则实数 k 的值为________.

第26讲 │ 要点探究
[思路] 第(1)小题直接应用|a|= |a|2 即可求解;第(2)小题可 由 a· b=0 得(e1-2e2)· 1+e2)=0,用分配律展开,结合数量积 (ke 定义去做即可.

第26讲 │ 要点探究
[答案] (1)B
? ? ?

5 (2) 4

? ?2 ? ? ? a+2b? 2 =(a+2b)2 = ?a? 2 +4a· [解析] (1) b+4 ?b? =3,则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a+2b?= 3,故选 B. ?

(2)因为 a· b=(e1-2e2)· 1+e2)=ke2+(1-2k)(e1·2)-2e2, (ke e 1 2 1 1 5 且|e1|=|e2|=1,e1·2=- ,所以 2k- -2=0,即 k= . e 2 2 4

第26讲 │ 要点探究

变式题 (1)[2011· 重庆卷] 已知向量 a=(1,k),b=(2,2), 且 a+b 与 a 共线,那么 a· 的值为( b ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)若△ABC 的外接圆的圆心为 O, 半径为 1, → +OB+ 且OA → → → OB → OC=0,则OA· =( ) 1 A. B.0 2 1 C.1 D.- 2

第26讲 │ 要点探究
[答案] (1)D (2)D

[解析] (1)由条件知 a+b=(3,k+2), ∵a+b 与 a 共线, ∴3× k-1× (k+2)=0,得 k=1, ∴a· b=1× 2+1× 2=4.故选 D. → → → → → → (2)由OA+OB+OC=0,得OA+OB=-OC, → → → → → 设OA+OB=OD,则OC与OD是相反向量,点 D 在圆上, → 且四边形 OADB 是菱形,知∠AOB=120° → · =|OA|·→ ,OA OB → |OB 1 |cos120° =- . 2

第26讲 │ 要点探究
? 探究点2 平面向量的夹角问题

例 2(1)[2011· 安徽卷] 已知向量 a,b 满足(a+2b)· (a-b) =-6,且|a|=1,|b|=2,则 a 与 b 的夹角为________. (2)[2011· 湖北卷] 若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+ b 与 a-b 的夹角等于( ) π π A.- B. 4 6 π 3π C. D. 4 4

第26讲 │ 要点探究

[思路] (1)根据(a+2b)· (a-b)=-6,求出 a· b,再利用夹角 公式求解. (2)先计算(2a+b)· (a-b)的值,再用夹角公式求解.

[解析] (1)

(2)C

第26讲 │ 要点探究
[解析] (1)设 a 与 b 的夹角为 θ, 依题意有(a+2b)· (a-b)=a2 1 +a· b-2b =-7+2cosθ=-6,所以 cosθ= .因为 0≤θ≤π,故 θ 2
2

π = . 3
? ? ?0,3?, 2,4???+???1,-1???=???3,3???, (2)因为 2a+b= a-b=? 所 ? ? ? ? ? ? 以?2a+b?=3 2,a-b?=3.设 2a+b 与 a-b 的夹角为 θ, cosθ 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a-b? ?3,3?· ?0,3? 2a+b???· 2 π ? ? ? ? ? ? ? ? ?0,π?,所以 θ= . = = ,又 θ∈? ?? ?= ? ??a-b? 2 4 2a+b?? 3 2× 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

第26讲 │ 要点探究
[点评] 利用向量夹角公式时,不一定非得算出|a|,|b|和 a· b 的值,只要能得出它们的关系也可以求出比值;求角时,注意 向量夹角的取值范围是[0,π];若题目给出向量的坐标表示,可 x1x2+y1y2 直接套用公式 cos<a,b>= 2 2 2 2求解. x1+y1 x2+y2

第26讲 │ 要点探究
变式题 (1)[2011· 课标全国卷] 已知 a 与 b 均为单位向量, 其夹角为 θ,有下列四个命题: ? 2π? p1:|a+b|>1?θ∈?0, 3 ?; ? ? ?2π ? p2:|a+b|>1?θ∈? 3 ,π?; ? ? ? π? p3:|a-b|>1?θ∈?0,3 ?; ? ? ?π ? p4:|a-b|>1?θ∈?3 ,π?. ? ? 其中的真命题是( ) A.p1,p4 B.p1,p3 C.p2,p3 D.p2,p4

第26讲 │ 要点探究
(2)已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a· b=0 有实 根,则 a 与 b 的夹角的取值范围是(
? π? A.?0,6 ? ? ? ?π 2π? C.?3 , 3 ? ? ? ?π ? B.?3 ,π? ? ? ?π ? D.?6 ,π? ? ?

)

[答案] (1)A

(2)B

第26讲 │ 要点探究

1 ? ? ? ? ? a+b?>1??a?2+2a· ?b?2>1?a· [解析] (1)因为 b+? ? b>- ? ? ? 2
? ? ?

? 2π? 1 ? a b cosθ=cosθ>- ?θ∈?0, 3 ?,所以 p1 为真命题,p2 2 ? ?
? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?

为假命题. 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? a-b? >1? ?a? 2 -2a· ?b? 2>1?a· ? ?a? ?b? cosθ= 又因为 b+ ? ? b< ? ? ? 2 ? ?? ?
? ? ?

?π ? 1 cosθ< ?θ∈?3,π?,所以 p4 为真命题,p3 为假命题. 2 ? ?

第26讲 │ 要点探究

(2) 由关于 x 的方程 x2 +|a|x+a· b=0 有实根,得|a|2 - 4a· b≥0,而 a· b=|a||b|cosθ, 1 2 |a| ?π ? 4 1 ∴cosθ≤ = ,又 θ∈[0,π],∴θ∈?3,π?. 1 2 2 ? ? |a| 2

第26讲 │ 要点探究
? 探究点3
例3

平面向量的垂直问题

(1)[2011· 广东卷] 若向量 a,b,c 满足 a∥b 且 a⊥c, )

则 c· (a+2b)=( A.4 B.3 C.2 D.0

(2)[2011· 课标全国卷] 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量, k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则 k=________.

第26讲 │ 要点探究

[思路] (1)a∥b,a⊥c,则(a+2b)⊥c,或者用向量乘法分配 律展开计算也可;(2)利用(a+b)⊥(ka-b)得到其数量积为 0,结 合?a?=|b|=1 即可. ? ?
? ?

第26讲 │ 要点探究
[答案] (1)D (2)1

[解析] (1)因为 a∥b 且 a⊥c, 所以 b⊥c, 所以 c· (a+2b)=c· a +2b· c=0. (2)由题意,得(a+b)· (ka-b)=k?a?2-a· b+ka· ?b?2=k+(k b-? ? ? ? -1)a· b-1 =(k-1)(1+a· b)=0, 因为 a 与 b 不共线,所以 a· b≠-1,所以 k-1=0, 解得 k=1.
? ? ? ?

第26讲 │ 要点探究

变式题

→ → → 已知 AB =(6,1), BC =(x,y), CD =(-2,-

→ → → → 3),若BC∥DA,AC⊥BD,求x、y的值.

第26讲 │ 要点探究
→ → → → [解答] AD=AB+BC+CD=(4+x,y-2), → ∴DA=(-4-x,2-y). → → 由BC∥DA得,x(2-y)+y(4+x)=0,① → → → AC=AB+BC=(6+x,y+1), → → → BD=BC+CD=(x-2,y-3), → → 由AC⊥BD得, (6+x)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,② 由①②解得x=2,y=-1或x=-6,y=3.

第26讲 │ 要点探究
? 探究点4
例4

平面向量的应用

在正方形ABCD中,E、F分别为AB、BC的中点,求

证:AF⊥DE.

第26讲 │ 要点探究

→ → → AF → [思路] 证明AF⊥DE,可以考虑证明DE⊥AF,即证DE· =0即可.因此有两种方法,方法一:直接用数量积定义证明; 方法二:用数量积的坐标法来证明.

第26讲 │ 要点探究
→ → [解答] 证明:方法一:设 AB =a, AD =b,则|a|=|b|,a· b =0,

第26讲 │ 要点探究
→ =1a,BF=1b, → 由条件知,AE 2 2 → =AE-AD=1a-b, ∴DE → → 2 → =AB+BF=AB+1BC=a+1b, → AF → → → 2 2 ? ?? ? → · =?1a-b?· 1b? → ?a+ ∴DE AF 2 2 ? ? ?? 1 2 1 1 2 = a + a· b-b· b =0. a- 2 4 2 → → 即DE⊥AF,∴DE⊥AF.

第26讲 │ 要点探究

第26讲 │ 要点探究
方法二:建立如图直角坐标系,设正方形边长为1,则 A(0,0),F
? 1? ?1, ? 2? ?

,D(0,1),E

?1 ? ? ,0? ?2 ?

→ ,则 AF =

? 1? ?1, ? 2? ?

→ , DE =

?1 ? ? ,-1?, ?2 ?

1 → · =1× +1× → ∴AF DE (-1)=0, 2 2 → → 即DE⊥AF,∴DE⊥AF.

第26讲 │ 要点探究
[点评] 运用向量处理几何问题的方法有两种:基向量法和 坐标法,应根据已知条件选用,其基本思想是,把题中有关的 线段表示为向量,将各种关系转化为向量运算,然后利用向量 运算来处理所求问题.

第26讲 │ 要点探究

变式题

(1)河水的流速为2 m/s,一艘小船想以垂直于河

岸方向10 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为 ( ) A.10 m/s B.2 26 m/s C.4 6 m/s D.12 m/s

第26讲 │ 要点探究
(2)已知函数f(x)= x+3 + 4-x ,则该函数的最大值为 ________. (3)已知A(2,-1),B(-1,1),O为坐标原点,动点M满足 → → → OM =mOA +nOB ,其中m、n∈R,且2m2-n2=2,则M的轨 迹方程为____________.

[答案] (1)B

(2) 14

(3)x2-2y2=2

第26讲 │ 要点探究
[解析] (1)设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,

船的实际速度为v,则|v1|=2,|v|=10,v⊥v1. ∴v2=v-v1,v·1=0, v
2 ∴|v2|= v2-2v·1+v1= 100-0+4 v

= 104=2 26.

第26讲 │ 要点探究
(2)令a=(1,1),b=( x+3, 4-x),则|a|= 2,|b|= 7. 由a· b≤|a||b|,得f(x)= x+3+ 4-x≤ 14,即函数f(x)的最 大值是 14. 1 等号成立当且仅当向量a,b同向共线,即x= . 2

第26讲 │ 要点探究
→ (3)设M(x,y),则OM=(x,y), → → 又OA=(2,-1),OB=(-1,1), → → → 所以由OM=mOA+nOB, 得(x,y)=(2m,-m)+(-n,n), 于是
?x=2m-n, ? ? ?y=-m+n, ?

由2m2-n2=2,消除m、n得M的轨迹

方程为x2-2y2=2.

第26讲 │ 规律总结 规律总结
1.两个向量a,b的数量积a· b是一个实数,而不是向量,其中 计算数量积的关键是正确确定θ,θ的取值范围是[0,π]. a· b 2.向量a在b方向上的投影为|a|cosθ,也可以记为 . |b| 3.已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a,b 的夹角.

第26讲 │ 规律总结

第26讲 │ 热点链接 热点链接
[热点六] 平面向量中的最值问题的讨论 1 例[2011· 全国卷] 设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a· b=- , 2 〈a-c,b-c〉=60° ,则|c|的最大值等于( A.2 B. 3 C. 2 D.1 )

[答案] A

第26讲 │ 热点链接
设向量a、b、c的起点为O,终点分别为A,B,

[规范解答]

C,由已知条件得∠AOB=120° ,∠ACB=60° ,则点C在△AOB 的外接圆上. 当OC经过圆心时,|c|最大,在△AOB中,求得AB= 3, 3 由正弦定理得△ABC的外接圆直径是 =2, sin120° 所以|c|最大值为2.

第26讲 │ 热点链接
[信息提炼] 第一步:把平面向量问题转化为△AOB的外接圆 问题; 第二步:利用数形结合思想,把|c|最大值转化为外接圆直 径; 第三步:由正弦定理求外接圆直径; 第四步:得出|c|最大值为2.

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[方法剖析] 本题的关键是把平面向量问题转化为三角形的问 题,求最值的方法利用了数形结合思想.根据不同题目的条件, 很多向量的最值问题就是在运动变化中寻找一个特定的状态,在 这个状态下使目标达到最值,其基本的解决方法就是通过影响运 动变化的量建立其目标函数.建立目标函数时选择变量是关键, 如果是单变量函数,这个变量必须能表示与目标有关的所有的 量,这就要根据实际情况灵活处理.

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自我检评(1)[2011· 辽宁卷] 若a,b,c均为单位向量,且a· b= 0,(a-c)· (b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为( A. 2-1 B.1 C. 2 D.2 )

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(2)[2010· 全国卷Ⅰ] 已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两 → PB → 条切线,A、B为两切点,那么PA· 的最小值为( A.-4+ 2 B.-3+ 2 C.-4+2 2 D.-3+2 2 )

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[思路] 第(2)题思路一:既然是求最小值,那么这个数量积

→ PB PA ·→ 就是一个变化的量.根据圆的切线的性质,两条切线长度 相等、PO平分∠APB.控制四边形OAPB变化的量,可以是切线的 长度、也可以是∠APB,这两个变化的量都可以独立地控制四边 → PB → 形OAPB,因此我们就用这两个量中的一个来表示PA· . 思路二:可以建立平面直角坐标系,使问题数量化.

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[答案] (1)B
[ 解 析 ]

(2)D
(1)|a + b - c| = ?a+b-c?2 =

a2+b2+c2+2a· b-2a· c-2b· , 由 于 a· = 0 , 所 以 上 式 = c b 3-2c· ?a+b?,又由于(a-c)· (b-c)≤0,得(a+b)· 2=1,所 c≥c 以|a+b-c|= 3-2c· ?a+b?≤1,故选 B.

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(2)解法一:如图所示,设 PA=PB=x(x>0),∠APO=α,则 1 ∠APB=2α,PO= 1+x ,sinα= 2, 1+x
2

→ PB → |PB → PA· =|PA|·→ |cos2α=x2(1-2sin2α) x2?x2-1? x4-x2 = 2 = 2 x +1 x +1 ?x2+1?2-3?x2+1?+2 2 2 = =(x +1)+ 2 -3 x2+1 x +1 ≥2 2 ?x2+1?·2 -3=2 2-3, x +1

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2 当且仅当x +1= 2 ,即x2= 2-1时,取“=”号, x +1
2

→ PB → 故PA· 的最小值为-3+2 2,此时x=

2-1.

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解法二:以点 O 为坐标原点,OP 为 x 轴建立直角坐标系,则 圆 O 的方程为 x2+y2=1, 设 A(x1,y1),B(x1,-y1),P(x0,0), → PB → PA· =(x1-x0,y1)· 1-x0,-y1) (x =x2-2x1x0+x2-y2, 1 0 1 → → ∵AO⊥PA,即AO⊥PA, ∴(x1,y1)· 1-x0,y1)=0,即 x2-x1x0+y2=0?x1x0=1. (x 1 1

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→ PB → ∴PA· =x2-2+x2-(1-x2)=2x2+x2-3 1 0 1 1 0 ≥2 2x2·2-3=2 2-3. 1 x0 → PB → 故PA· 的最小值为-3+2 2,此时x= 2-1.

第26讲 │ 热点链接
→ |=|PB|= 1 . → 解法三:设∠APB=θ,0<θ<π,则|PA θ tan 2 2θ 1 ? ? cos ? ? 2 2θ → ·→ =| PA || PB |cosθ= ? θ? 2cosθ= → → ? PA PB ·1-2sin 2? = ?tan ? θ ? ? ? 2? sin2 2 ? ?? ? 2θ 2θ ?1-sin ??1-2sin ? 2?? 2? ? . θ sin2 2 2θ → · = ?(1-x?)(?1-2x?) =2x+ 1 -3≥2 2 → 设x=sin ,0<x<1,PA PB x x 2 2 -3,当且仅当x= 时取等号. 2

第26讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 例1是在函数图象中考查数量积,比较新颖; 例2是考査利用向量数量积求线段的长以及两个非零向量数量 积为0的应用;例3是在几何图形中结合平面向量基本定理考査 数量积.

第26讲 │ 备用例题
例1 [2010·郑州质检]函数y=tan )
?π π? ? x- ? 2? ?4

的部分图象如

→ → OB → 图所示,则(OB-OA)· =(

A.-4 C.-2

B.2 D.4

第26讲 │ 备用例题
[答案] D

[解析]依题意,由图知,A(2,0),B(3,1), → → OB → 所以(OB-OA)· =4.

第26讲 │ 备用例题
例 2[2010·江苏卷]在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1, -2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB、 为邻边的平行四边形两条对角线的长; AC → → OC → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)· =0,求 t 的值.

第26讲 │ 备用例题
→ → → [解答] (1)方法一: 由题设知AB=(3,5),→ =(-1,1)则AB+AC AC → → =(2,6),AB-AC=(4,4). → → → → 所以|AB+AC|=2 10,|AB-AC|=4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4 2、2 10. 方法二:设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交 点为 E,则 E 为 BC 的中点,E(0,1), 又 E(0,1)为 AD 的中点,所以 D(1,4). 故所求的两条对角线的长分别为 BC=4 2、AD=2 10;

第26讲 │ 备用例题
→ → → (2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t). → → OC → 由(AB-tOC)· =0,得(3+2t,5+t)· (-2,-1)=0, 11 从而 5t=-11 所以 t=- . 5 → OC → AB· 11 → · =tOC ,AB=(3,5),t= → → → 或者:AB OC =- . → |2 5 |OC
2

第26讲 │ 备用例题
例3 在△ABC中,AB⊥AC,AB=6,AC=4,D为AC的

中点,点E在边AB上,且3AE=AB,BD与CE交于点G,则 → BC → AG· =________.

4 [答案] - 5

第26讲 │ 备用例题
→ → [解答] 因为 B、 G 三点共线, → =λAB+(1-λ)· = D、 设AG AD → +1-λAC,C,E,G 三点共线,可设AG=μAE+(1-μ)AC → → → → λAB 2 ? μ ?λ=3, μ→ 1 → ,则? = AB+(1-μ)AC 解得 λ= , 3 5 ?1-λ=1-μ, ? 2 ?1 2→? → → 1→ 2→ → → → BC → 所以AG= AB+ AC,∴AG· =?5AB+5AC?· -AB), (AC 5 5 ? ? → · =-4. → ∵AB⊥AC,AB=6,AC=4,∴AG BC 5


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