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2014-2015学年高中数学(人教版必修二)配套课件第四章 4.2 4.2.3 直线与圆的方程的应用_图文

第四章 圆与方程 4.3 空间直角坐标系 4.2.3 直线与圆的方程的应用 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 正确理解直线与圆的概念,能由直线与圆的位置 关系解决简单的实际问题 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 基 础 梳 理 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 基 础 梳 理 练习 1:(x-a)2+(y-b)2=r2 表示圆心在__________,半 径为________的圆. 答案:(a,b) 2 r 栏 目 链 接 练 习 2 : y = 1-x 表 示 圆 心 在 __________ , 半 径 为 ________的半圆. 答案:(0,0) 1 练习 3:y=b- r2-?x-a?2表示圆心在__________,半径 为________的下半圆. 答案:(a,b) r www.gzjxw.net 思 考 应 用 用坐标方法解决平面几何问题的工具是什么? 解析: 用坐标方法解决平面几何问题的基本思 栏 目 链 接 想就是用代数的方法解决几何问题,而建立它们联系 的主要工具就是平面直角坐标系. www.gzjxw.net 自 测 自 评 1. 方程 x2+y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示的圆( A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于直线 x-y=0 对称 D.关于直线 x+y=0 对称 ) 栏 目 链 接 解析:该圆的圆心(-a,a),在直线 x+y=0 上, 故关于直线 x+y=0 对称. 答案:D www.gzjxw.net 自 测 自 评 2.若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切,则 m 为( A.0 或 2 B.2 C. 2 D.无解 栏 目 链 接 ) |m| 解析:圆心(0,0)到直线 x+y+m=0 的距离 d= 2 = m,m=2. 答案:B www.gzjxw.net 自 测 自 评 ? 3? 3.一直线经过点 P?-3,-2?被圆 x2+y2=25 截得 ? ? 的弦长为 8,求此弦所在的直线方程. 3 解析:当斜率存在时,设直线方程为 y+ =k(x+3) 2 3 即 kx-y+3k- =0, 2 由已知得,弦心距|OM|= 52-42=3. 3 |k · 0-0+3k- | 2 3 ∴ =3,解得 k=- . 2 4 k +1 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 自 测 自 评 3 3 ∴此直线方程为 y+ =- (x+3), 2 4 即 3x+4y+15=0. 当斜率不存在时,过点 P 的直线为 x=-3, 代入 x2+y2=25 得:y1=4,y2=-4. 而弦长为|y1-y2|=8,符合题意. ∴所求直线方程为 x+3=0 或 3x+4y+15=0. 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 题型一 直线与圆方程的实际应用 例1 某市气象台测得今年第三号台风中心在某市正 东300 km处,以40 km/h的速度向西偏北30°方向移动, 据测定,距台风中心250 km的圆形区域内部都将受到台 风影响,请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时 间(精确到分钟). 栏 目 链 接 分析:注意到受台风影响的范围是一个圆,受台风影响 的时间由风向所在直线与圆形区域相交所得弦长确定,故只 要建立适当的坐标系,求出风向及圆形区域圆方程,然后利 用弦长公式即可解决. www.gzjxw.net 解析:以该市所在位置 A 为原点,正东方向为 x 轴的 正方向建立直角坐标系,开始时 栏 目 链 接 台风中心在 B(300,0)处,台风中心沿倾斜角为 150° 方 向直线移动,其轨迹方程为 3 y=- (x-300)(x≤300). 3 www.gzjxw.net 该市受台风影响时, 台风中心在圆 x2+y2=2502 内, 设射线与 圆交于 C,D,则|CA|=|AD|=250,所以台风中心到达 C 点时, 开始影响该市,中心移至 D 点时,影响结束,作 AH⊥CD 于 H, 则 |AH| = |AB|· sin 30°= 150 , |HB| = 150 3 , |CH| = |HD| = |AC|2-|AH|2=200, ∴|BC| = 150 3 - 200 ,则该市受台风影响的起始时间 t1 = 150 3-200 =1.5 (h),即约 90 分钟后台风影响该市,台风影响的 40 200+200 持续时间 t2= =10(h),即台风对该市的影响持续时间为 40 10 小时. 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 点评: (1)要建立适当的坐标系, 建系决定了运算 的繁简程度. 因此, 如何将实际问题转化为数学问题, 如何建立适当的数学模型是解题的关键. 400 (2)本题亦可直接求出弦长|CD|=400,则 t= 40 =10(h),即为台风对该市的持续影响时间. 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 跟 踪 训 练 1.台风中心从 A 地的每小时 20 千米的速度向东北方向移 动, 离台风中心 30 千米内的地区为危险地区, 城市 B 在 A 的正 东 40 千米处,B 城市处于危险区内的时间为( A.0.5 小时 C.1.5 小时 B.1 小时 D.2 小时 ) 栏 目 链 接 解析:建系后写出直线和圆的方程,求得弦长为 20 千米, 20 故处于危险区内的时间为 =1(小时). 20 答案:B www.gzjxw.net 题型二 直线与圆的方程在平面几何中的应用 例2 如图所示,在圆O上任取C点为圆心,作一圆 C 与圆 O 的直径 AB 相切于 D ,圆 C 与圆 O 交于 E , F ,且 EF与CD相交于H.求证:EF平分CD. 栏

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