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一次函数与反比例函数综合题典型例题解析

一次函数与反比例函数综合题·典型例题解析 例 1 已知关于 x 的一次函数 y=mx+3n 和反比例函数

y=

2 m ? 5n x

的图象都经过点(1,-2).求: (1)一次函数和反比例函数的解析式; (2)两个函数图象的另一个交点的坐标. 解:(1)∵两函数图象都过点(1,-2),

?m+ 3n=- 2 , ∴? ?2m+5n=- 2 .

?m= 4 , 解之,得 ? ?n=- 2 .
2 . x

∴一次函数的解析式为 y=4x-6,

反比例函数的解析式为y=-
(2)根据题意,列出方程组

?y= 4x- 6, ? ? 2 y=- . ? x ?
1 ? ?x=1, ?x= , 2 解之,得 ? ? ?y=-2 , ?y=-4 . ?
1 ∴两函数图象的另一个交点为 ( ,- 4) . 2
互动 解后反思:

一次函数y=mx+ 3n与反比例函数y=

2 m ? 5n 的图象都经过点 x

(1,-2),则该点坐标满足两解析式;要求两图象交点,则应由两图象的解析式组 成方程组求解.

例 2 已知一次函数y=-x+ 6和反比例函数y=

k (k≠ 0) . x

(1)k 满足什么条件时, 这两个函数在同一坐标系 xOy 中的图象有两个公共点? (2)设(1)中的两个公共点为 A,B,试判断∠AOB 是锐角还是钝角?

?y=-x+ 6, ? (1) 根据题意,得 ? k y= . ? x ?
消去 y,得 x2-6x+k=0. ∵Δ =36-4k>0,∴k<9. 当 k<9 且 k≠0 时,方程 x2-6x+k=0 有两个不相等的非零实数解.

∴k<9 且 k≠0 时,两函数图象有两个公共点. (2)∵y=-x+6 的图象过第一,二,四象限, ∴0<k<9 时,双曲线两支分别在第一、三象限.由此知两公共点 A,B 在第一象限,此时∠AOB 是锐角. k<0 时,双曲线两支分别在第二,四象限,两公共点 A,B 分别在第二、四 象限,此时∠AOB 是钝角.

例 3 已知A(m, 2) 是直线l与双曲线y=

3 的交点. x

(1)求 m 的值; (2)若直线 l 分别与 x 轴、 y 轴相交于 E, F 两点, 并且 Rt△OEF(O 是坐标原点) 的外心为点 A,试确定直线 l 的解析式;

(3) 在双曲线y=

3 上另取一点B作BK⊥x轴于K;将 (2) 中的直线 x

l 绕点 A 旋转后所得的直线记为 l′,若 l′与 y 轴的正半轴相交于点 C,

且OC=

1 OF.试问在y轴上是否存在点P,使得S △PCA =S △BOK , 4

若存在,请求出点 P 的坐标?若不存在,请说明理由.

解: (1) ∵直线l与双曲线y=
∴ 3 3 = 2 ,即m= . m 2 3 ∴A点坐标为 ( , 2) . 2

3 的一个交点为A(m, 2) , x

(2)作 AM⊥x 轴于 M. ∵A 点是 Rt△OEF 的外心, ∴EA=FA. 由 AM∥y 轴有 OM=ME. ∴OF=2OM. ∵MA=2,∴OF=4. ∴F 点的坐标为(0,4). 设 l:y=kx+b,则有

?3 ? k+b=2 , ?2 ? ?b=4 .

4 ? ?k=- , 3 ∴? ? ?b=4 .

∴直线l的解析式为y=-

4 x+ 4 . 3

1 (3) ∵OC= OF,∴OC=1. 4
∴C 点坐标为(0,1). 设 B 点坐标为(x1,y1,),则 x1y1=3.

1 3 ∴S △BOK = |x 1 | ·|y 1 | = . 2 2
设 P 点坐标为(0,y),满足 S△PCA=S△BOK. ①当点 P 在 C 点上方时,y>1,有

1 3 3 3 S △PCA = (y-1) × = (y-1) = . 2 2 4 2
∴y=3. ②当点 P 在 C 点下方时,y<1,有

1 3 S △PCA = (1-y) = . 2 2
∴y=-2. 综上知,在 y 轴存在点 P(0,3)与(0,-2),使得 S△PAC=S△BOK. 解后反思 直线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点,这是惟一能沟通 它们的要素,应用交点时应注意: (1)交点既在直线上也在双曲线上,交点坐标既满足直线的解析式也满足双曲 线的解析式. (2)要求交点坐标时,应将两种图象对应的解析式组成方程组,通过解方程组 求出交点坐标. (3)判断两种图象有无交点时,可用判别式确定,也可以画出草图直观地确定.

例4

如图13- 32 ,已知C,D是双曲线y=

m 在第一象限内的分支 x

上的两点,直线 CD 分别交 x 轴,y 轴于 A,B 两点,设 C,D 的坐标分别是(x1, y1),(x2,y2),连结 OC,OD.

(1) 求证:y1 <OC<y1 +

m ; y1

1 (2) 若∠BOC=∠AOD=α ,tanα = ,OC= 10,求直线CD的解 3
析式. 证明(1):如图 13-33 过点 C 作 CG⊥x 轴,垂足为 G,则 CG=y1,OG=x1.

∵点C(x 1 ,y 1 ) 在双曲线y=

m 上, x

∴x 1 =

m . y1

∵在 Rt△OCG 中,CG<OC<CG+OG,

∴y1 <OC<y1 +

m . y1

解(2):在 Rt△GCO 中,∠GCO=∠BOC=α ,

tanα =

x1 OG 1 1 = ,即 = ,y1 =3x1 . CG 3 y1 3

∵OC2 =OG 2 +CG 2 ,OC= 10,
2 2 2 ∴10=x1 +y1 ,即10=x1 +(3x1 ) 2 .

解之,得 x1=±1. ∵负值不合题意,∴x1=1,y1=3. ∴点 C 的坐标为(1,3),

∵点C在双曲线y= ∴ 3=

m 上, x

m ,即m= 3. 1 3 . x

所以,双曲线的解析式为y=

过点 D 作 DH⊥x 轴,垂足为 H.则 DH=y2,OH=x2.

在Rt△ODH中,tanα =

y2 DH 1 = = ,即x 2 =3y 2 . OH x2 3

又y 2 =

3 ,则3y 2 2 = 3, x2

解之得 y2=±1. ∵负值不合题意,∴y2=1,x2=3. ∴点 D 的坐标为(3,1). 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b.

?3=k+b, 则有 ? ?1= 3k+b

?k=-1, 解得 ? ?b= 4 .

∴直线 CD 的解析式为 y=-x+4.


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