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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,必修四) 第一章三角函数 1.3.3(二) 课时作业]

1.3.3

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象(二)

课时目标 1.会用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象.2.明确函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A、ω、 φ 为常数,A>0,ω>0)中常数 A、ω、φ 的物理意义.理解振幅、频率、相位、初相的概念.3. 了解函数 f(x)=Asin(ωx+φ)图象的对称性(如对称轴,对称中心).

1.简谐振动 简谐振动 y=Asin(ωx+φ)中,________叫做振幅,周期 T=________,频率 f=________, 相位是________,初相是________. 2.函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的性质如下: 定义域 R 值域 周期性 T=____________ φ=____________时是奇函数;__________时是偶函数; kπ 奇偶性 当 φ≠ (k∈Z)时是__________函数 2 单调增区间可由______________________得到, 单调性 单调减区间可由________________________得到

一、填空题 1.若函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)为偶函数,则 φ 满足的条件是________. π? 2.函数 y=-3sin? ?-2x+3? (x≥0)的初相是______. π 1 2x- ?与 y 轴最近的对称轴方程是__________. 3.函数 y= sin? 6? 2 ? 4.

函数 y=sin(ωx+φ) (x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示,则该函数的解析式为 ______________. 4 ? 5.把函数 y=cos? ?x+3π?的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,正好关于 y 轴对称,则 φ 的最小 值为__________.

π 6 .已知函数 y = sin(ωx + φ)(ω>0 , |φ|< ) 的部分图象如图所示,则 ω = ________ , φ = 2 ________. π 7.函数 y=sin 2x 的图象向右平移 φ 个单位(φ>0)得到的图象恰好关于 x= 对称,则 φ 的 6 最小值为______.

8.如

π 5π 图是函数 y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间[- , ]上的图象.为了得到这个函数的图象,只 6 6 要将 y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向____平移______个单位长度,再把所得各点的横 坐标缩短到原来的______倍,纵坐标不变. π π? 9.设函数 f(x)=2sin? ?2x+5?,若对于任意 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的 最小值为____. π? 10.关于 f(x)=4sin? ?2x+3? (x∈R),有下列命题 ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 是 π 的整数倍; π? ②y=f(x)的表达式可改写成 y=4cos? ?2x-6?; π ? ③y=f(x)图像关于? ?-6,0?对称; π ④y=f(x)图像关于 x=- 对称. 6 其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上). 二、解答题 π 11.如图为函数 y1=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< )的一个周期的图象. 2

(1)写出 y1 的解析式; (2)若 y2 与 y1 的图象关于直线 x=2 对称,写出 y2 的解析式; (3)指出 y2 的周期、频率、振幅、初相.

π ? 12.已知曲线 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为? ?8, 2?,此点到相邻 3 ? ? π π? 最低点间的曲线与 x 轴交于点? ?8π,0?,若 φ∈?-2,2?. (1)试求这条曲线的函数表达式; (2)用“五点法”画出(1)中函数在[0,π]上的图象.

能力提升 π 13.如果函数 y=sin 2x+acos 2x 的图象关于直线 x=- 对称,那么 a=________. 8 3π ? 14. 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数, 其图象关于点 M? ? 4 ,0?对 π 0, ?上是单调函数,求 φ 和 ω 的值. 称,且在区间? ? 2?

1.由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数 A,ω,φ 的值. (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|. 2π (2)因为 T= , 所以往往通过求周期 T 来确定 ω, 可通过已知曲线与 x 轴的交点从而确定 ω T T,即相邻的最高点与最低点之间的距离为 ;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为 2 T. φ ? (3)从寻找“五点法”中的第一零点? ?-ω,0?(也叫初始点)作为突破口.以 y=Asin(ωx+ φ)(A>0, ω>0)为例, 位于单调递增区间上离 y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的 第一个点. 2.在研究 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质时,注意采用整体代换的思想.如,它在 ωx π 3π +φ= +2kπ(k∈Z)时取得最大值,在 ωx+φ= +2kπ(k∈Z)时取得最小值. 2 2

1.3.3
知识梳理 2π 1.A ω

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象(二)
π π 2kπ- ≤ωx+φ≤2kπ+ (k 2 2

ω ωx+φ φ 2π 2π π 2.[-A,A] kπ (k∈Z) φ= +kπ (k∈Z) 非奇非偶 |ω| 2 π 3π ∈Z) 2kπ+ ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z) 2 2 作业设计 π 1.φ= +kπ (k∈Z) 2 π 2.- 3 π? 解析 由诱导公式可知 y=-3sin? ?-2x+3? π? π =3sin? ?2x-3?,故初相为-3. π 3.x=- 6 π π 解析 令 2x- =kπ+ (k∈Z), 6 2 kπ π ∴x= + (k∈Z). 2 3 π 由 k=0,得 x= ; 3 π 由 k=-1,得 x=- . 6 π π ? 4.y=sin? ?4x+4? π π ω= ? 4 ?ω×1+φ=2 解析 由? ,解得 . π ?ω×3+φ=π ? φ= 4 π 5. 3

? ? ?

4 ? 4 ? 4 ? 解析 函数向右平移 φ 个单位得 y=cos? ?x-φ+3π?=cos?x+3π-φ?,关于 y 轴对称.∴3 4 π-φ=kπ,k∈Z.φ= π-kπ,k∈Z, 3 π ∴k=1 时,φmin= . 3 π 6.2 - 6 T 7π π π 解析 由图象知 = - = , 4 12 3 4 ∴T=π,ω=2. 7π π 且 2× +φ=kπ+π(k∈Z),φ=kπ- (k∈Z). 12 6 π π 又|φ|< ,∴φ=- . 2 6 5π 7. 12 解析 y=sin 2x 向右平移 φ 个单位得 f(x)=sin 2(x-φ)=sin(2x-2φ). π? ?π-2φ?=± 由 f? = sin ?6? ?3 ? 1, π π ∴ -2φ=kπ+ (k∈Z), 3 2 π 5 ∴2φ=-kπ- ,令 k=-1,得 2φ= π, 6 6 5 ∴φ= π 或作出 y=sin 2x 的图象观察易知 12 π π 5 - ?= π. φ= -? 6 ? 4? 12 π 1 8.左 3 2 5π π 解析 由图象可知 A=1,T= -(- )=π, 6 6 2π ∴ω= =2. T π 2π ∵图象过点( ,0),∴sin( +φ)=0, 3 3 2π ∴ +φ=π+2kπ,k∈Z, 3 π ∴φ= +2kπ,k∈Z. 3 π π ∴y=sin(2x+ +2kπ)=sin(2x+ ). 3 3 π 1 故将函数 y=sin x 先向左平移 个单位长度后,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍, 3 2 纵坐标不变,可得原函数的图象. 9.2 解析 ∵对任意 x∈R,f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立. ∴f(x1)=f(x)min=-2,f(x2)=f(x)max=2. T 1 2π ∴|x1-x2|min= = × =2. 2 2 π 2 10.②③

π 解析 对于①,由 f(x)=0,可得 2x+ =kπ (k∈Z). 3 k π π ∴x= π- ,∴x1-x2 是 的整数倍,∴①错; 2 6 2 π ? 对于②,f(x)=4sin? ?2x+3?利用公式得: π π π 2x+ ??=4cos?2x- ?. f(x)=4cos?2-? 3?? 6? ? ? ? ∴②对; π π π k π 2x+ ?的对称中心满足 2x+ =kπ,∴x= π- ,∴?- ,0?是函数 y 对于③,f(x)=4sin? 3? ? ? 6 ? 3 2 6 =f(x)的一个对称中心.∴③对; π π 对于④,函数 y=f(x)的对称轴满足 2x+ = +kπ, 3 2 π kπ ∴x= + .∴④错. 12 2 11.解 (1)由图知,A=2,T=7-(-1)=8, π 2π 2π π x+φ?. ω= = = .∴y1=2sin? 4 ? ? T 8 4 π ? 将点(-1,0)代入得 0=2sin? ?-4+φ?. π π? π ∴φ= .∴y1=2sin? ?4x+4?. 4 (2)设 P(x,y)为函数 y2 图象上任意一点,则 P(x,y)关于直线 x=2 的对称点 P′为(4-x, y). ∵y1 与 y2 关于直线 x=2 对称. π π? ∴点 P′(4-x,y)落在 y1=2sin? ?4x+4?上. π π? ?π π ? ∴y=2sin? ?4?4-x?+4?=2sin?4-4x+π?, π π? 即 y2=2sin? ?4x-4?. π π? (3)由(2)知 y2=2sin? ?4x-4?. 2π 1 1 ∴周期 T= =8;频率 f= = ; π T 8 4 π 振幅 A=2;初相 φ=- . 4 3 π? 12.解 (1)由题意知 A= 2,T=4×? ?8π-8?=π, 2π ω= =2,∴y= 2sin(2x+φ). T π π π ? 又∵sin? ?8×2+φ?=1,∴4+φ=2kπ+2,k∈Z, π ∴φ=2kπ+ ,k∈Z, 4 π π? π 又∵φ∈? ?-2,2?,∴φ=4. π? ∴y= 2sin? ?2x+4? (2)列出 x、y 的对应值表:

x π 2x+ 4 y 描点,连线,如图所示:

- 0 0

π 8

π 8 π 2 2

3 π 8 π 0

5 π 8 3 π 2 - 2

7 π 8 2π 0

13.-1 π 解析 方法一 ∵函数 y=sin 2x+acos 2x 的图象关于 x=- 对称, 8 π ? 设 f(x)=sin 2x+acos 2x,则 f? ?-4?=f(0), π? ? π? ∴sin? ?-2?+acos?-2?=sin 0+acos 0. ∴a=-1. π ? ? π ? 方法二 由题意得 f? ?-8-x?=f?-8+x?, π π - ?=f(0),即-1=a. 令 x= ,有 f? ? 4? 8 14.解 ∵f(x)在 R 上是偶函数, ∴当 x=0 时,f(x)取得最大值或最小值. π 即 sin φ=± 1,得 φ=kπ+ ,k∈Z, 2 π 又 0≤φ≤π,∴φ= . 2 3 ? 由图象关于 M? ?4π,0?对称可知, 3 π? 4 2 sin? ?4πω+2?=0,解得 ω=3k-3,k∈Z. π? 2π 又 f(x)在? ?0,2?上单调函数,所以 T≥π,即 ω ≥π, ∴ω≤2,又 ω>0, 2 ∴当 k=1 时,ω= ;当 k=2 时,ω=2. 3


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