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高中必修1-5错误解题分析系列-《4.2等比数列的通项与求和》


§4.2 等比数列的通项与求和 一、知识导学 1. 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数, 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列, 那 这个常数叫做等比数列的公比, 公比通常用字母q表示. 2. 等比中项:若a,G,b成等比数列,则称G 为a 和b 的等比中项.

?n ? a1 ? 3.等比数列的前 n 项和公式: S n ? ? a 1 (1 ? q n ) a 1 ? a n ? q ? 1? q ? 1? q ?

(q ? 1) (q ? 1)

二、疑难知识导析 1.由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为 0,因此 q 也不为 0. 2.对于公比 q,要注意它是每一项与它前一项的比,防止把相邻两项的比的次序颠倒. 3.“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”,同时应注意如果一个数列不是从第 2 项起, 而是从第 3 项或第 4 项起每一项与它前一项的比都是同一个常数, 此数列不是等比数 列,这时可以说此数列从. 第 2 项或第 3 项起是一个等比数列. n-1 4.在已知等比数列的 a1 和 q 的前提下,利用通项公式 an=a1q ,可求出等比数列中的任 一项. n-m 5.在已知等比数列中任意两项的前提下,使用 an=amq 可求等比数列中任意一项. 6.等比数列{an}的通项公式 an=a1q 可改写为 a n ?
n-1

a1 n ? q .当 q>0,且 q ? 1 时,y=qx q

是一个指数函数,而 y ?

a1 x ? q 是一个不为 0 的常数与指数函数的积,因此等比数列{an} q

的图象是函数 y ?

a1 x ? q 的图象上的一群孤立的点. q

7.在解决等比数列问题时,如已知,a1,an,d, S n ,n 中任意三个,可求其余两个。 三、经典例题导讲 [例 1] 已知数列 ?an ? 的前 n 项之和 Sn=aq ( a ? 0, q ? 1, q 为非零常数) ,则 ?an ? 为( ) 。
n

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列,也不是等比数列 D.既是等差数列,又是等比数列 错解:? an?1 ? S n?1 ? S n ? aq
n?1

? aqn ? aqn (q ? 1)

? an ? S n ? S n?1 ? aqn?1 (q ? 1)
? a n ?1 ? q (常数) an

? ?an ? 为等比数列,即 B。
错因:忽略了? an ? S n ? S n?1 中隐含条件 n>1. 正解:当 n=1 时,a1=S1=aq; 当 n>1 时,? an ? S n ? S n?1 ? aqn?1 (q ? 1)

?

a n ?1 ? q (常数) an a2 ? q ?1 ? q a1

但?

? ?an ? 既不是等差数列,也不是等比数列,选 C。
[例 2] 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn,S10=10 ,S30=70,则 S40 等于. 错解:S30= S10·q . ? q =7,q= ?
2 2

7 ,? S40= S30·q = ? 70 7 .

错因:是将等比数列中 Sm, S2m -Sm, S3m -S2m 成等比数列误解为 Sm, S2m, S3m 成等比数列.

? a1 (1 ? q 10 ) ? 10 ? a1 ? ? ?10 ? ? 1? q 正解:由题意: ? 得 ?1 ? q , 30 ? a1 (1 ? q ) ? 70 ?q 10 ? 2或q 10 ? ?3(舍去) ? ? 1? q ?

? S40=

a1 ( ? q 40) 200 . 1 ? 1? q
2 3 n

[例 3] 求和:a+a +a +?+a . 错解: a+a +a +?+a =
n 2 3 n

1? an . 1? a

错因:是(1)数列{a }不一定是等比数列,不能直接套用等比数列前 n 项和公式(2)用 等比数列前 n 项和公式应讨论 q 是否等于 1. 正解:当 a=0 时,a+a +a +?+a =0; 当 a=1 时,a+a +a +?+a =n; 当 a ? 1 时,
2 3 n 2 3 n

1? an a+a +a +?+a = . 1? a
2 3 n

[例 4]设 a, b, c, d 均为非零实数, a ? b d ? 2b?a ? c?d ? b ? c ? 0 ,
2 2 2 2 2

?

?

求证: a, b, c 成等比数列且公比为 d 。

证明: 证法一:关于 d 的二次方程 a 2 ? b 2 d 2 ? 2b?a ? c?d ? b 2 ? c 2 ? 0 有实根, ∴ ? ? 4b 2 ?a ? c? ? 4 a 2 ? b 2 (b 2 ? c 2 ) ? 0 ,∴ ? b 2 ? ac
2
2 2

?

?

?

?

?

?

2

?0

则必有: b ? ac ? 0 ,即 b ? ac ,∴非零实数 a, b, c 成等比数列 设公比为 q ,则 b ? aq , c ? aq2 代入

?a

2

? a 2 q 2 d 2 ? 2aq a ? aq2 d ? a 2 q 2 ? a 2 q 4 ? 0

?

?

?

∵ q 2 ? 1 a 2 ? 0 ,即 d 2 ? 2qd ? q 2 ? 0 ,即 d ? q ? 0 。 证法二:∵ a 2 ? b 2 d 2 ? 2b?a ? c?d ? b 2 ? c 2 ? 0 ∴ a 2 d 2 ? 2abd ? b 2 ? b 2 d 2 ? 2bcd ? c 2 ? 0 ∴ ?ad ? b? ? ?bd ? c? ? 0 ,∴ ad ? b ,且 bd ? c
2 2

?

?

?

?

?

? ?

?

∵ a, b, c, d 非零,∴

b c ? ?d。 a b

[例 5]在等比数列 ?bn ? 中, b4 ? 3 ,求该数列前 7 项之积。 解: b1b2 b3b4b5b6 b7 ? ?b1b7 ??b2 b6 ??b3b5 ?b4 ∵ b4 ? b1b7 ? b2b6 ? b3b5 ,∴前七项之积 32
2

? ? ?3 ? 3
3

7

? 2187

1 } 前 n 项和 2n 1 1 1 1 解: S n ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? ???? ? n ? n ① 2 4 8 2 1 1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? (n ? 1) ? n ? n ? n ?1 ② 2 4 8 16 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 1 2 ? n 两式相减: S n ? ? ? ? ?? ? n ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 4 8 2 2 2 n?1 1? 2 1 n 1 n ? S n ? 2(1 ? n ? n ?1 ) ? 2 ? n ?1 ? n 2 2 2 2
[例 6]求数列 {n ? [例 7]从盛有质量分数为 20%的盐水 2kg 的容器中倒出 1kg 盐水,然后加入 1kg 水,以后每 次都倒出 1kg 盐水,然后再加入 1kg 水, 问:(1)第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐多 kg? (2)经 6 次倒出后,一共倒出多少 kg 盐?此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的

质量分数为多少? 解:(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an},则:

1 1 ×0.2(kg), a3= ( )2×0.2(kg) 2 2 1 n1 1 51 1 4 由此可见:an= ( ) ? ×0.2(kg), a5= ( ) ? ×0.2= ( ) ×0.2=0.0125(kg) 。 2 2 2 1 (2)由(1)得{an}是等比数列 a1=0.2 , q= 2
a1= 0.2 (kg), a2=

1 ) a1 (1 ? q ) 2 6 ? 0.39375 kg ) ? S6 ? ? ( 1 1? q 1? 2 0.4 ? 0.39375? 0.00625 kg ) (
6

0.2(1 ?

0.00625? 2 ? 0.003125kg ) (
答:第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐 0.0125kg;6 次倒出后,一共倒出 0.39375kg 盐,此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为 0.003125。 四、典型习题导练 1.求下列各等比数列的通项公式: 1) a1=?2, a3=?8 2) a1=5, 且 2an+1=?3an 3) a1=5, 且

an?1 n ? an n ?1

2.在等比数列 ?an ? ,已知 a1 ? 5 , a9 a10 ? 100,求 a18 . 3.已知无穷数列 10 ,10 ,10 ,??10
0 5 1 5 2 5 n ?1 5

,?? ,
1 , 10

求证: (1)这个数列成等比数列 (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的

(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 4.设数列 ?an ? 为 1,2x,3x ,4x ??nx
2 3 n?1

? ?x ? 0? 求此数列前 n 项的和。

5.已知数列{an}中,a1=?2 且 an+1=Sn,求 an ,Sn 6.是否存在数列{an},其前项和 Sn 组成的数列{Sn}也是等比数列,且公比相同? 7.在等比数列 ?an ? 中, a1a3 ? 36, a2 ? a4 ? 60, S n ? 400,求 n 的范围。


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