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江西省玉山一中2013届高三第二次月考 数学文


玉山一中 2012-2013 学年度第一学期高三第二次月考

文科数学试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:吴移东 审题人:颜小丽 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四处备选项中,只 有一项是符合题目要求的) .
2 1、集合 A ? ? 0, 2, a ? , B ? ?1, a ? ,若 A ? B ? ? 0,1, 2, 4,1 6 ? ,则 a 的值为(



A.0

B.1
? 3 ? 1, x ? 1
x

C.2

D.4 )

2、已知函数 f ( x ) ? ? A. ? 1

? x ? a x , x ? 1,
2

若 f ( f (0 )) ? 6 ,则 a 的值等于(

B.1

C.2

D.4 ) D. )
1 2 1 2 x x 1 2

3、在等比数列 { a n } 中, a1 ? 8, a 4 ? 1 ,则 a 7 =( A.
1 16

B.

1 8 1 2

C.

1 4

4、已知命题 p : $ x ? R , s in x A. $ x ? R , sin x C. $ x 纬R , s in x
1 2 1 2 x x

x . 则 ? p 为(

B. " x ? R , sin x D. " x 纬R , sin x )

5、函数 f ( x ) ? x ? lg x ? 3 的零点所在区间为( A. (3, ? ? ) 6、圆 ( x ? 1) ? y
2

B. (2,3) C. (1,2) D. (0,1)
2

? 4 上的动点 P 到直线 x ? y ? 7 ? 0 的距离的最小值等于(



A. 4 2 ? 2

B. 4 2

C. 4 2 ? 4

D. 4 2 ? 2 )

7、在等差数列 ?an ? 中, 若 a3 ? a8 ? a13 ? C , 则其前 n 项的和 S n 的值等于 5C 的是( A. S15 B. S17 C. S7
x
2

D. S8
? y
2

8、已知实数 1, m ,9 依次构成一个等比数列,则圆锥曲线

? 1 的离心率为(

)

m
6 3 2 3 3 6 3 2 3 3

A.

B.

C.

或2

D.

或2

9、已知数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n ? n ? 9 n ,第 k 项满足 5 ? a k ? 8 ,则 k 等于(
2



-1-

A.9

B. 8

C. 7
3 2

D.6

10、已知定义在 R 上的函数 f (x) 是奇函数且满足 f ( ? x) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 ,数列 ?a n ? 满足 a1 ? ?1 ,且 S n ? 2a n ? n , (其中 S n 为 ?a n ? 的前 n 项和) .则 f (a5 ) ? f (a6 ) ? ( A. 3 B. ? 2 C. ? 3 D. 2 )

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) . 11、已知双曲线 为_______. 12、曲线 C: f ( x ) ? x ln x ( x ? 0 ) 在 x =1 处的切线方程为_______. 13、在抛物线 y ? 4 x 的焦点为圆心,并与抛物线的准线相切的圆的方程是
2

x

2

?

y

2

? 1 的左支上一点 P 到左焦点的距离为 10,则点 P 到右焦点的距离

16

9

. .

14、若数列 ? a n ? 前 n 项和 S n 满足 S n ? 15、已知函数 f ( x ) ?
1 1? x

3 2

a n ? 3 ,则这个数列的通项公式为

,正项数列 ? a n ? 满足 a n ? 2 ? f ( a n ), 若 a 2 0 1 1 = a 2 0 1 3 ,则 a 1 =_______.

玉山一中 2012-2013 学年度第一学期高三第二次月考
座位号
-2-

文科数学试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:吴移东 审题人:颜小丽

题 号 得 分





三 16 17 18 19 20 21

总分

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、 14、 12、 15、 13、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

三、解答题(本大题共 6 小题,16—19 每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分) 16 、
B ?

( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 集 合 A ? { x ( x ? 2 )[ x ? ( 3 a ? 1)] ? 0 } , 集 合
2

?x 2a ? x ? a

?1 .

?

(1) 当 a =2 时,求 A ? B ; (2) 当 a ?
1 3

时,若元素 x ? A 是 x ? B 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

17、(本题满分 12 分)数列 ? a n ? 对任意 n ? N ,满足 a n + 1 = a n + 1, a 3 = 2 .
*

(1)求数列 ? a n ? 通项公式;
-3-

(2)若 b n ? ?

?1? ? ?3?

an

? n ,求 ? b n ? 的通项公式及前 n 项和.

18、(本题满分 12 分)设函数 f ( x ) ? ax

2

? bx ? 1 ( a 、 b ? R )

(1)若 f ( ? 1) ? 0 ,且对任意实数 x 均有 f ( x ) ? 0 成立,求实数 a 、 b 的值. (2)在(1)的条件下,当 x ? [-2,2]时, g ( x ) ? f ( x ) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围.

19、(本题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c (a≠0)为奇函数,其图像在点 (1, f (1)) 处的
3

切线与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f ? ( x ) 的最小值为-12. (1)求 a,b,c 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调递增区间,并求函数 f ( x ) 在[-1,3]上的最大值和最小值.

-4-

2 2 20、 (本小题满分 13 分)各项均为正数的数列 { a n } ,满足 a 1 ? 1 , a n ? 1 ? a n ? 2 ( n ? N ).

*

(1)求数列 { a n } 的通项公式;
?a ? (2)求数列 ? nn ? 的前 n 项和 S n . ? 2 ?
2

21、 (本小题满分 14 分)直线 l 与椭圆
?? ?

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 交于 A ( x1 , y 1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) 两点,

已知 m ? ( ax 1 , by 1 ) , n ? ( ax 2 , by 2 ) ,若 m ? n 且椭圆的离心率 e ? 点(
3 2 , 1) , O 为坐标原点.

??

?

3 2

,又椭圆经过

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 l 过椭圆的焦点 F (0, c ) ( c 为半焦距) ,求直线 l 的斜率 k 的值; (Ⅲ)试问: ? A O B 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

-5-

玉山一中 2012-2013 学年度第一学期高三第二次月考

文科数学试卷答案
一、选择题 1—5 D B B D B 二、填空题 11、18 14、 a n ? 2 ? 3 三、解答题
n

6—10 A A C B A 12、 x ? y ? 1 ? 0 15、
5 ?1 2

13、 ( x ? 1) ? y ? 4
2 2

17、解: (1)由已知得 a n + 1 - a n = 1 , 故数列 ? a n ? 是等差数列,且公差 d ? 1 . ……………2分 又 a 3 ? 2 ,得 a1 ? 0 ,所以 a n ? n ? 1 . (2)由(1)得, b n ? ?
?1? ? ?3?
n ?1

………………………………4分

?n,

?1 ? 所以 S n ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?3 ?
? 1? 1 3 ? 1 3
2

?? 1 ? ?? ? ?? 3 ? ?

n ?1

? ? n? ? ?

? ??? ? 3
n

1
n ?1

? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ? .

………………………6 分

?1? 1? ? ? n ? n ? 1 ? 3 ? 31 ? n n ? n ? 1? ?3? . Sn ? ? ? ? 1 2 2 2 1? 3

…………………12 分

18、解 :(1)? f ( ? 1) ? 0 ? a ? b ? 1 ? 0 即 b ? a ? 1 又对任意实数 x 均有 f ( x ) ? 0 成立 ? ? ? b ? 4 a ? 0 恒成立,即 ( a ? 1 ) ? 0 恒成立
2

2

-6-

? a ? 1, b ? 2
2 2

………………………………6 分
k ?2 2 k ?2 2

(2)由(1)可知 f ( x ) ? x ? 2 x ? 1 ? g ( x ) ? x ? ( 2 ? k ) x ? 1
? g ( x ) 在 x ? [-2,2]时是单调函数,? [ ? 2 , 2 ] ? ( ? ? ,

] 或 [?2, 2] ? [

, ?? )

?2?

k ?2 2



k ?2 2

? ?2

即实数 k 的取值范围为 ( ? ? , ? 2 ] ? [6, ? ? )

19、解析 (1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)即-ax -bx+c=-ax -bx-c, ∴c=0,∵f′(x)=3ax +b 的最小值为-12,∴b=-12,又直线 x-6y-7=0 的斜率 1 为 ,因此,f′(1)=3a+b=-6,∴a=2,b=-12,c=0. 6 (2)单调递增区间是(-∞,- 2)和( 2,+∞).f(x)在[-1,3]上的最大值是 18,最小 值是-8 2.
2 2
2

3

3

20、解: (1)因为 a n ? 1 ? a n ? 2 , 所以数列 ? a n2 ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.
2 所以 a n ? 1 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 1 .

因为 a n ? 0 ,所以 a n ? (2)由(1)知, a n ? 所以 S n ? 则
1 2 Sn ?
1 2 ? 3 2
2
2

2n ? 1 ? n ? N
2 n ? 1 ,所以
2n ? 3 2
n ?1

*

?.
2 n

an 2

?

2n ? 1 2
n

. ① ②

?

5 2
3

?? ?

?

2n ? 1 2
n

, ,
? 2n ? 1 2
n ?1

1 2
1

?

3 2
3

?
1 2

5 2
4

?? ?
2 2
2

2n ? 3 2
n

?

2n ? 1 2
n ?1

①-②得,
? 1

2

Sn ?

?

?

2 2
3

?

2 2
4

?? ?

2 2
n

1 1 1 ? 2n ? 1 ? 1 ? 2? 2 ? 3 ? 4 ?? ? n ?? n ?1 2 2 2 2 ? 2 ?2

1? 1 ? ? 1 ? n ?1 ? 1 4? 2 ? 2n ? 1 ? ? 2? ? n ?1 1 2 2 1? 2 3 2n ? 3 ? ? . n ?1 2 2 2n ? 3 所以 S n ? 3 ? . n 2

21、解析:

-7-

2 2 ? c a ?b 3 ? ? ?e ? ? a a 2 (Ⅰ)∵ ? 3 ? 1 ? ?1 2 ? a2 4b ?

∴ a ? 2, b ? 1 ∴椭圆的方程为
y
2

? x ?1
2

………………4 分
3

4

(Ⅱ)依题意,设 l 的方程为 y ? kx ?

? y ? kx ? 3 ? 2 2 ? (k ? 4) x ? 2 3kx ? 1 ? 0 由 ? y2 2 ? x ?1 ? ? 4

显然 ? ? 0
k ?4 由已知 m ? n ? 0 得:
2

x1 ? x 2 ?

?2 3k

, x1 x 2 ?

?1 k ?4
2

a x1 x 2 ? b y 1 y 2 ? 4 x1 x 2 ? ( kx1 ?
2 2

3 )( kx 2 ?
1 )?

3 ) ? ( 4 ? k ) x1 x 2 ?
2

3 k ( x1 ? x 2 ) ? 3

? ( k ? 4 )( ?
2

k ?4
2

3k ?

?2 3k k ?4
2

?3? 0

解得 k ? ? 2

……………………8 分

-8-

-9-


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