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全国中考数学压轴题集锦(1)


2006 年全国中考数学压轴题集锦 1、(2006 浙江金华)如图,平面直角坐标系中,直线 AB 与 x 轴, y 轴分别交于 A(3,0),B(0, 两点, ,点 C 为线段 AB 上的一动点,过点 C 作 CD⊥ x 轴于点 3) D. (1)求直线 AB 的解析式; (2)若 S 梯形 OBCD= 4 3 ,求点 C 的坐标; 3 (3)在第一象限内是否存在点 P,使得以 P,O,B 为顶点的 三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件 的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 3 x+ 3 . 3 3 3 (2)方法一:设点C坐标为(x, ? x+ 3 ),那么 OD=x,CD= ? x+ 3 . 3 3 ?OB ? CD ? ? CD = ? 3 x 2 ? 3 . ∴ S 梯形OBCD = 2 6 3 2 4 3 由题意: ? ,解得 x1 ? 2, x2 ? 4 (舍去) x ? 3 = 6 3 3 ∴ C(2, ) 3 1 3 3 4 3 3 方法二:∵ S ?AOB ? OA ? OB ? , S 梯形OBCD = ,∴ S ?ACD ? . 2 2 3 6 由 OA= 3 OB,得∠BAO=30°,AD= 3 CD. [解] (1)直线 AB 解析式为:y= ? 1 3 3 3 .可得 CD= . CD 2 = S ?ACD = CD×AD= 2 2 6 3 3 ∴ AD=1,OD=2.∴C(2, ). 3 ∴ (3)当∠OBP=Rt∠时,如图 ①若△BOP∽△OBA,则∠BOP=∠BAO=30°,BP= ∴P 1 (3, 3 OB=3, 3 ). 3 3 OB=1. 3 ②若△BPO∽△OBA,则∠BPO=∠BAO=30°,OP= ∴ P2 (1, 当∠OPB=Rt∠时 3 ). ③ 过点 P 作 OP⊥BC 于点 P(如图),此时△PBO∽△OBA,∠BOP=∠BAO=30° 过点 P 作 PM⊥OA 于点 M. 方法一: 在 Rt△PBO 中,BP= 1 3 3 OB= ,OP= 3 BP= . 2 2 2 ∵ 在 Rt△PMO 中,∠OPM=30°, 1 3 3 3 3 3 3 OP= ;PM= 3 OM= .∴ P , ). 3( 2 4 4 4 4 3 3 方法二:设P(x , ? x+ 3 ),得 OM=x ,PM= ? x+ 3 3 3 ∴ OM= 由∠BOP=∠BAO,得∠POM=∠ABO. 3 x? 3 PM OA 3 ∵tan∠POM== = ,tan∠ABOC= = 3. x OM OB 3 3 3 3 3 ∴? x+ 3 = 3 x,解得 x= .此时, P , ). 3( 4 4 3 4 ? ④若△POB∽△OBA(如图),则∠OBP=∠BAO=30°,∠POM=30°. ∴ PM= ∴ 3 3 OM= . 3 4 3 3 )(由对称性也可得到点 P4 的坐标). P4 ( , 4 4 当∠OPB=Rt∠时,点 P 在x轴上,不符合要求. 综合得,符合条件的点有四个,分别是: P 1 (3, 3 3 3 3 3 3 ), P2 (1, 3 ), P , ), P4 ( , ). 3( 4 4 4 3 4 2、(2006 重庆)如图 1 所示,一张三角形纸片 ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边 AB 的中线 CD 把这张纸片剪成 ?AC1D1 和 ?BC2 D2 两个三角形(如图 2 所示).将纸片 ?AC1D1 沿直线 D2

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