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山东省青岛市2013届高三上学期期末考试理科数学试题


山东省青岛市 2013 届高三上学期期末考试

数学(理)试题

2013.01

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,将第Ⅰ卷选择题的正确答案选项填 涂在答题卡相应位置上,考试结束,将答题卡上交。考试时间 90 分钟,满分 100 分。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、 试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号。答案不能答在试题卷上。 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应的位置,不能写在试题卷;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用涂改 液、胶带、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷(选择题
一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.已知 A.-1

共 60 分)

a ? 2i ? b ? i (a, b ? R) ,其中为虚数单位,则 b ? a ? i
B.1 C.2 D.3

2.设全集 U ? {1,2,3,4,5,6}, 集合 P ? {1,2,3,4, } Q ? {3,4,5} , ,则P ? (CU Q) ? A.{1,2,3,4,6} C.{1,2,5} 3.设 ? ? R,则“? ? B.{1,2,3,4,5} D.{1,2}

?
2

”是“ f ( x) ? sin( x ? ? ) 为偶函数”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近 6 次数学测试的分数进行统计,甲乙两 人的平均成绩分别是 x甲、x乙 ,则下列说法正确的是 A. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛 B. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛 C. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛 D. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛

?x ? y ? 2 ? 0 ? 5.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 5 y ? 10 ? 0 ,则目标函数 z ? 4 x ? 3 y 的最小值和最大值分别为 ?x ? y ? 8 ? 0 ?
A.-6,11 6.已知 sin( A. ? B.2,11 C.-11,6 D.-11,2

?
4

? x) ?

24 25

3 ,则 sin 2 x 的值为 5 24 7 B. C. ? 25 25

D.

7 25

7.设 a,b 是不同的直线, ?、? 是不同的平面,则下列命题: ①若 a ? b, a // ? , 则b // ? ③若 a ? ? , ? ? ? , 则a // ? 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 ②若 a // ? , ? ? ? , 则a ? ? ④若 a ? b, a ? ? , b ? ? , 则? ? ?

C.2

D.3

8.已知偶函数 f (x) 在 R 上的任一取值都有导数, f ' (1) ? 1, f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 则曲线 y ? f (x) 且 在 x ? ?5 处的切线的斜率为 A.2 B.-2 C.1 D.-1

9.如果执行下面的程序框图,输出的 S=110,则判断框处为 A. k ? 10 ? B. k ? 11 ? C. k ? 10 ? D. k ? 11 ?

10.函数 y ?

x ? sin x 的图象大致是 3

11.把 5 张座位编号为 1,2,3,4,5 的电影票发给 3 个人,每人至少 1 张,最多分 2 张,且这两张 票具有连续的编号,那么不同的分法种数是 A.360 12.过双曲线 B.60 C.54 D.18

x2 y2 ? 2 ? 1(b ? a ? 0) 的左焦点 F (?c,0)(c ? 0) 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 E, 2 a b
2

延长 FE 交抛物线 y ? 4cx 于点 P, O 为坐标原点,若 OE ? 则双曲线的离心率为 A.

??? ?

? ? 1 ??? ??? (OF ? OP) , 2

3? 3 2

B.

1? 3 2

C.

5 2

D.

1? 5 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题 4 个小题,每小题 4 分,满分 16 分。 13.若函数 f ( x) ? ?

?lg x( x ? 0) ? , f ( f (1)) ? 8 ,则 a 的值是 a 2 ? x ? ?0 3t dt( x ? 0) ?
S4 ? a2
.

.

14.等比数列 {an } , q ? 2 ,前 n 项和为 S n,则

15.已知函数 f ( x) ? 2 sin 2 (

?

?? ? ? ? x) ? 3 cos2 x ? 1 x ? ? , ? ,则 f (x) 的最小值为 4 ?4 2?

.

2 16.研究问题:“已知关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为(1,2),解关于 x 的不等式

1 1 1 cx 2 ? bx ? a ? 0 ” , 有 如 下 解 法 : 由 ax 2 ? bx ? c ? 0 ? a ? b( ) ? c( ) 2 ? 0 , 令 y ? , 则 x x x 1 1 ( 1) y ? ( ,1) ,所以不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集为 , 。类比上述解法,已知关于 x 的不等式 2 2 kx bx ? 1 ? ? 0 的解集为 . ax ? 1 cx ? 1
三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分。请把解答题答在答题卡限定的区域内,解答应写出文字 说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已 知 ?A B C 的 角 A 、 B 、 C , 所 对 的 边 分 别 是 a 、 b 、 c , 且 C ?

?
3

,设向量

?? ? ? m ? ( a , b )?, n

? . ( s i n B , s(n A ) , p = i

b-2,a-2)

(1)若 m / /n ,求 B; (2)若 m ? p,S?ABC ? 3 ,求边长 c。

?? ?

?

?? ?

?

18.(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 多 面 体 ABCDEF 中 , 四 边 形 ABCD 是 矩 形 , AB//EF ,

?EAB ? 90? , AB ? 2,AD ? AE ? EF ? 1 ,平面 ABFE ? 平面ABCD .
(1)求证: 面DAF ? 面BAF . (2)求钝二面角 B-FC-D 的大小。

19.(本小题满分 12 分) 若盒中装有同一型号的灯泡共 10 只,其中有 8 只合格品,2 只次品。 (1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡 3 次, 每次取一只灯泡, 2 次取到次品的概率; 求 (2)某工人师傅有该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一灯泡,若是正品 则用它更换已坏灯泡,若是次品则将其报废(不再放回原盒中),求成功更换会议室的已坏灯泡所 用灯泡只数 x 的分布列和数学期望。

(2)(本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 中, a2 ? a3 ? a4 ? 15, a5 ? 9 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 3
a n ?1 2

,求数列 {

an ?1 , b n } 的前 n 项和 Sn 。 2

(3)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 方程为

x2 2 ? y 2 ? 1 ,过右焦点斜率为 1 的直线到原点的距离为 . 2 a 2

(1)求椭圆方程. (2)已知 A,B 方程为椭圆的左右两个顶点,T 为椭圆在第一象限内的一点,为点 B 且垂直 x 轴 的直线,点 S 为直线 AT 与直线的交点,点 M 为以 SB 为直径的圆与直线 TB 的另一个交点, 求证:O,M,S 三点共线。

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2(1 ? a) x ? 2(1 ? a) ln(x ?1) x ? (1,??) .
2

(1) x ?

3 是函数的一个极值点,求 a 的值; 2

(2)求函数 f (x) 的单调区间;
2 (3)当 a ? 2 时 , 函 数 g ( x) ? ? x ? b, (b ? 0), 若 对 任 意 m1 , m2 ? ? ? 1, e ? 1? ,

?1 ?e

? ?

| g (m2 ) ? f (m1 ) |? 2e2 ? 2e 都成立,求 b 的取值范围。

高三数学(理)试题参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13.2 14. 1 D 2 D 3 A 4 D 5 A 6 C 7 B 8 D 9 C 10 C

2013.01

11 D

12 D

15 2 1 2 1 3 1 2

15.1

( ? ? 1 ) 16. ? , ) ( ,
17.证明:(1)? m // n,? a sin A ? b sin B ????2 分 由正弦定理得

a 2 ? b 2即a ? b ???4 分
又? c ?

?
3
???4 分

? ?ABC为等边三角形 B?

?
3

由题意可知 m. p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0

? a ? b ? ab ???①????8 分 1 由正弦定理和①②得, 3 ? . sin c.ab 2

?C ?

?
3

,? sin C ?

3 2

? ab ? 4 ???②????10 分
? c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? 3ab ? 16 ? 12 ? 4 ?????12 分 ?c ? 2
? 18.解:(1)? 平面ABFE ? 平面ABCD,AD ? AB, AD ? 平面BAF ??2 分
又? AD ? 面DAF ?面DAF ? 面BAF ???4 分
(2)分别以 AD,AB,AE 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立的空间直角坐标系,??5 分 则 A(0,0,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、E(0,0,1)、B(0,2,0)、F(0,1,1)

? DC ? 0,0), ? ?1 0, ????6 分 ( 2, DE ( ,1 ),
?n 1 .DC ? 0 ? y ? 0 ? 设n1 ? ( x, y, z )为平面CDEF的一个法向量,则 ?? ? ?? x ? z ? 0 ???8 分 ?n1 .DE ? 0 ? 令x ? 1, 得z ? 1,即n1 ? (1,0,1)

由平面ABFE ? 平面ABCD知AF ? BC,在?AFB中AF ? 2,AB ? 2, BF ? 2 ? AF ? 面FBC
????10 分 ?n2 ? AF ? (0,1,1)为平面BCF的一个法向量,

? cos? n1 , n2 ?

n1.n2 n1 . n 2

?

1 ??????11 分 2

? 二面角B ? FC ? D的平面角为钝角, ?二面角B ? FC ? D的大小为 ? 120

????12 分

? 19.(1)解:设一次取次品记为事件 A,由古典概型概率公式得: P(A) 12 2 1 2 4 P(B) C( ). ? ? 3 ???4 分 5 5 125
(2)依据知 X 的可能取值为 1.2.3???5

2 1 ? ??2 分 10 5

有放回连续取 3 次,其中 2 次取得次品记为事件 B,由独立重复试验得:

) 且 P(x ? 1 ?

8 4 ? ???6 10 5

P(x ? 2) ?

2?8 8 ???7 ? 2 45 A10
2 A2 1 ? ???8 2 A10 45

P(x ? 3) ?

则 X 的分布列如下表: X p 1 2 3

4 5

8 45

1 45
??10 分

EX ?

36 16 3 55 11 ? ? ? ? ???12 分 45 45 45 45 9

20.解:(Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为d首项a1,由题意得

且?

?a2 ? a3 ? a4 ? 15 ?3a1 ? 6d ? 15 即? ?a1 ? 4d ? 9 ?a5 ? 9

解得 ?

?a1 ? 1 ???2 分 ?d ? 2

所以数列 ?an ? 的通项公式为 n ? 2n ? 1 ??4 分 a (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 bn ? 3 所以

an ?1 ? 3n 2

an ?1 .bn ? n.3n ???6 分 2
n ?1

所以 Sn ? 1.31 ? 2.32 ? 3.33 ? ??? n.3
3 4

两式相减得 2S n ? ?(3 ? 3 2 ? 3 ? 3 ? ?? ? 3n ) ? n.3n ?1 ???10 分

? ( ? 3n) 31 3 ? 2n ? 1 .n.3n ?1 ( ) n ?1 ? ? n.3 ? 1? 3 2 ????12 分 n ?1 3 ? (2n ? 1).3 即Sn ? 4
21.解:(1)设右焦点为(c,0),则过右焦点斜率为 1 的直线方程为:y=x-c??1 分 则原点到直线的距离 d ?

c 2

?

2 2

?c ? 1, a ? 2 ??3 分
? 方程为 x2 ? y 2 ? 1 ???4 分 2

(2)设直线 AT 方程为: y ? k ( x ? 2 )(k ?0)设点T坐标为( 1, y1) x

? x2 2 ? ? y ?1 得:( ? 2k 2)x 2 ? 4 2k 2 ? 4k 2 ? 2 ? 0 1 ?2 ? y ? k(x ? 2) ?
? x1 x2 ? 4k 2 ? 2 ????6 分 1 ? 2k 2

又? A点坐标为(? 2, 0) ? x1 ? 2 ? 2 2k 2 2 2k ????7 分 , y1 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? 4 2k 2 2 2k 又? B点的坐标为( 2, ? BT ? ????8 分 0), ( , ) 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
由圆的性质得: BT ? SM , 所以,要证明 O, M , S 只要证明 BT ? SO,即可 ???9 分 又? S点的横坐标为 2

? S点的坐标为( 2, 2k) 2
????10 分 ? SO ? ? 2, 2 2k) ( ?

? SO.BT ?

8k 2 ? 8k 2 ? 0 ????11 分 1 ? 2k 2

即 BT ? SO,又? BT ? SM

? O, M , S三点共线????12 分
22.解:(1)函数 f ( x) ? x2 ? 2(1 ? a) x ? 2(1 ? a)1n( x ? 1)

f ?( x) ? 2 x ? 2(1 ? a) ?
?x ?

2(1 ? a) ,?????2 分 x ?1

3 是函数的一个极值点 2 3 ? f ?( ) ? 0 2 3 解得: a ? ????4 分 2 2(1 ? a) 2 x( x ? a) ? (2)? f ? ? 2 x ? 2(1 ? a ) ? x ?1 x ?1

又? f (x)的定义域是(, ?) 1?

?当a ? 1时,函数f(x)的单调增区间为( ? ?) 1 , ???6 分 当a?1时,(,a)为减区间,( ,??)为增区间???8 分 1 a
(3)当 a=2 时,由(2)知 f(x)在(1,2)减,在(2,+∞)增.

1 1 ? f (2) ? 0, f ( ? 1) ? 2 , f (e ? 1) ? e 2 ? 3 e e ?1 1 ? y ? f ( x)在[ ? 1, e ? 1]的值域 [0, e 2 ? 3] ??10 分 e 1 ? g ( x) ? ? x 2 ? b在[ ? 1, e ? 1]为减函数 e

1 1 ? y ? g ( x)在[ ? 1, e ? 1]的值域为 [? e ? 1 2 ? b,?( ? 1) 2 ? b] ????11 分 ( ) e e ? b>0

1 ? ?( ? 1)2 ? b?0,?(e ? 1)2 ? b?0 e 所以 f (m1 ) ? g (m2 ) ? 2e2 ? 2e成立,只要
e2 ? 3 ? (?e ? 1)2 ? b) ? e2 ? 3 ? (e ? 1)2 ? b ? 2e2 ? 2e ? 2 ? b?2e2 ? 2e成立即可?12 分
解得:0<b<2????14 分


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