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【志鸿优化设计-赢在课堂】(人教)2015高中数学选修2-1【精品课件】2-1 曲线与方程


第二章 圆锥曲线与方程

2.1 曲线与方程

2.1
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1.记住常用动点的轨迹. 2.学会求动点轨迹方程的常用技巧和方法. 3.会分析曲线的方程与方程的曲线的关系. 重点:求动点轨迹方程的常用技巧与方法. 难点:曲线与方程的概念.

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1.曲线的方程与方程的曲线 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种 条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下 的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.

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预习交流 1
命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解”是正确的,下列 命题中正确的是( ). A.方程 f(x,y)=0 的曲线是 C B.方程 f(x,y)=0 的曲线不一定是 C C.f(x,y)=0 是曲线 C 的方程 D.以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 答案:C 提示:不论方程 f(x,y)=0 是曲线 C 的方程,还是曲线 C 是方程 f(x,y)=0 的曲线,都必须同时满足两层含义:曲线上的点的坐标都是方程 的解,以方程的解为坐标的点都在曲线上,所以 A,C,D 错误.举例如下:曲 线 C:第一、三象限的角平分线,方程为|x|=|y|,显然满足已知条件,但 A,C,D 错.

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2.求曲线的方程 (1)坐标法与解析几何 借助坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合 或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程 f(x,y)=0 表示曲线,通过研 究方程的性质间接地来研究曲线的性质,这就叫坐标法. 用坐标法研究几何图形的知识所形成的学科叫做解析几何,解析 几何研究的主要问题是: ①根据已知条件,求出表示曲线的方程; ②通过曲线的方程,研究曲线的性质.

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预习交流 2
由曲线的方程讨论曲线的性质,一般包括哪几个方面? 提示:讨论其几何性质一般包括以下几个方面: (1)研究曲线的组成和范围,即看一下所求的曲线是由哪一些基本 的曲线组成的,在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大 致范围; (2)研究曲线与坐标轴是否相交,如果相交求出交点的坐标,因为曲 线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点; (3)研究曲线的对称性(关于 x 轴、y 轴、原点); (4)研究曲线的变化趋势,即 y 随 x 的增大或减小的变化情况; (5)根据方程画出曲线的大致形状,在画曲线时,可充分利用曲线的 对称性,通过列表、 描点的方法先画出曲线在一个象限的图象,然后根据 对称性画出整条曲线.

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(2)求曲线的方程的步骤 ①建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的 坐标; ②写出适合条件 P 的点 M 的集合 P={M|P(M)}; ③用坐标表示条件 P(M),列出方程 f(x,y)=0; ④化方程 f(x,y)=0 为最简形式; ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤⑤可以省略不写,如有 特殊情况,可以适当说明.另外也可以省略步骤②,直接列出曲线方程.

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预习交流 3
如果所研究的问题中没有确定的坐标系,就需要选取适当的坐标 系,常见的选取坐标系的方法有哪些? 提示:建立坐标系要适当,应遵从垂直性和对称性原则,常见的建系 方法有: (1)以已知定点为原点; (2)以已知定直线为坐标轴(x 轴或 y 轴); (3)以已知线段所在的直线为坐标轴(x 轴或 y 轴),以已知线段的中 点为原点; (4)以已知互相垂直的两条定直线为坐标轴; (5)让尽量多的已知点在坐标轴上.

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一、曲线的方程与方程的曲线 活动与探究
问题:如何理解曲线的方程与方程的曲线? 提示:(1)定义中的第一条“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”, 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是说曲线上所有的点都符 合这个条件而毫无例外(纯粹性). (2)定义中的第二条“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的 点”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性). (3)定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程 f(x,y)=0 的解集 {(x,y)|f(x,y)=0}之间的一一对应关系.由曲线和方程的这一对应关系,既 可以通过方程研究曲线的性质,又可以求出曲线的方程.

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例 1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系: (1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线与方程|x|=2 之间的关系; (2)到两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程 xy=5 之间的关系; (3)第二、四象限角平分线上的点与方程 x+y=0 之间的关系. 思路分析:按照曲线的方程与方程的曲线的定义进行分析.

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解:(1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x|=2 的 解,但以方程|x|=2 的解为坐标的点不一定都在过点 A(2,0)且平行于 y 轴 的直线上.因此|x|=2 不是过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线的方程. (2)到两坐标轴的距离的积等于 5 的点的坐标不一定满足方程 xy=5, 但以方程 xy=5 的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于 5.因此 到两坐标轴的距离的积等于 5 的点的轨迹方程不是 xy=5. (3)第二、 四象限角平分线上的点的坐标都满足 x+y=0,反之,以方程 x+y=0 的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上,因此第二、四象 限角平分线上的点的轨迹方程是 x+y=0.

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迁移与应用 判断下列命题的真假: (1)以坐标原点为圆心,半径为 2 的圆的方程是 y= 4- 2 ; (2)方程(x+y-1)· 2 + 2 -4=0 表示的曲线是圆或直线; (3)点 A(-4,3),B(-3 2,-4),C( 5,2 5)都在方程 x2+y2=25(x≤0)所表 示的曲线上.

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解:(1)假命题.以坐标原点为圆心,半径为 2 的圆的方程应是 x2+y2=4,而 y= 4- 2 表示的只是圆的一部分. (2)假命题. 由(x+y-1)· 2 + 2 -4=0 得 + -1 = 0, 2 2 或 x +y -4=0, 2 2 + -4 ≥ 0 ∴ 表示的是圆或两条射线.

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(3)假命题. 把点 A(-4,3)的坐标代入方程 x2+y2=25,满足方程,且 A 点的横坐标 满足 x≤0,则点 A 在方程 x2+y2=25(x≤0)所表示的曲线上. 把点 B(-3 2,-4)的坐标代入 x2+y2=25, ∵ (-3 2)2+(-4)2=34≠25, ∴ 点 B 不在方程所表示的曲线上. 尽管点 C 的坐标满足方程,但是点 C 的横坐标 5不满足条件 x≤0, ∴ 点 C 不在方程所表示的曲线上.

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1.判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手:一是检验点的 坐标是否适合方程;二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上. 2.判断方程表示什么曲线,要对方程适当变形,变形过程中一定要 注意与原方程的等价性,否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程 的曲线.

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二、曲线与方程关系的应用 活动与探究
问题:如何判断点与曲线的位置关系? 提示:判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手. (1)要判断点是否在方程表示的曲线上,只需检验点的坐标是否满 足方程即可; (2)若所给点在已知曲线上,则点的坐标适合已知曲线的方程,由此 可求点或方程中的参数. (3)解题时,需明晰曲线与方程之间的一一对应关系.若曲线上有一 个点的坐标不适合方程,则不满足方程的完备性;若方程有一解对应的 点不在曲线上,则不满足方程的纯粹性.

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例 2 已知方程 x2+(y-1)2=10. (1)判断点 P(1,-2),Q( 2,3)是否在此方程表示的曲线上; (2)若点 M
,-m 2

在此方程表示的曲线上,求 m 的值.

思路分析:把点的坐标代入方程 x2+(y-1)2=10,方程成立时,点在曲 线上,否则点不在曲线上. 解:(1)∵ 12+(-2-1)2=10,( 2)2+(3-1)2=6≠10, ∴ P(1,-2)在方程 x2+(y-1)2=10 表示的曲线上,Q( 2,3)不在此曲线上. (2)∵ M
,-m 2

在方程 x2+(y-1)2=10 表示的曲线上, m=2 或 m=- .
18 5

2 ∴ +(-m-1)2=10.解得 2

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迁移与应用 1.点 P(2,-3)在曲线 x2-ay2=1 上,则 a 等于(
1 B.4

1 A. 3

). D.4
1

C.3

答案:A

解析:将 P(2,-3)的坐标代入方程 x2-ay2=1,得 a=3.

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2.(1)判断点 A(1,3),B(2,2)是否在方程 x2+2x-y=0 表示的曲线上; (2)已知方程 xy+3x+ky+2=0 表示的曲线经过点(2,-1),求 k 的值. 解:(1)因为 12+2×1-3=0,所以点 A(1,3)在方程 x2+2x-y=0 表示的曲 线上;因为 22+2×2-2=6≠0,所以点 B(2,2)不在方程 x2+2x-y=0 表示的曲 线上. (2)由题意可知,点(2,-1)在曲线 xy+3x+ky+2=0 上,所以-2+6-k+2=0, 解得 k=6.故 k 的值是 6.

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1.判断点是否在某个方程表示的曲线上,就是检验该点的坐标是否 是方程的解,是否适合方程.若适合方程,就说明点在曲线上;若不适合, 就说明点不在曲线上. 2.已知点在某曲线上,可将点的坐标代入曲线的方程,从而可研究 有关参数的值或范围问题.

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三、轨迹方程的求法 活动与探究

例 3 已知在 Rt△ABC 中,|AB|=2a(a>0),求直角顶点 C 的轨 迹方程. 思路分析:首先结合几何图形的特点,建立适当的平面直角坐标系, 然后设出所求动点的坐标,寻找满足几何关系的等式,化简后得到所求 的轨迹方程.

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解:以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中点为坐标原点, 建立如图所示的平面直角坐标系, 则有 A(-a,0),B(a,0),设顶点 C(x,y). 方法一:由△ABC 中∠C=90° 可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,即 (2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2, 化简得 x2+y2=a2. 依题意可知,x≠± a. 故所求直角顶点 C 的轨迹方程为 x2+y2=a2(x≠± a).

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方法二:由△ABC 中∠C=90° 可知 AC⊥BC,所以 kAC·kBC=-1,则
· =-1(x≠± a),化简得直角顶点 + -

C 的轨迹方程为 x2+y2=a2(x≠± a).

方法三:由△ABC 中∠C=90° 可知|OC|=|OB|,且点 C 与点 B 不重合, 所以 2 + 2 =a(x≠± a),化简得直角顶点 C 的轨迹方程为 x2+y2=a2(x≠± a).

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迁移与应用 1.若动点 P 在 y=2x2+1 上移动,则点 P 与 Q(0,-1)连线的中点的轨迹 方程是 . 答案:y=4x2 解析:设 PQ 的中点为 M(x,y),动点 P 为 P(x0,y0), = 则 =
0 +0 , 2 0 -1 2

,

0 = 2x, 2 ∴ 又∵ y0=20 +1, 0 = 2y + 1. ∴ 2y+1=8x2+1,即 y=4x2 为所求的轨迹方程.

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2.线段 AB 与 CD 互相垂直平分于点 O,|AB|=2a(a>0),|CD|=2b(b>0),动点 P 满足|PA|· |PB|=|PC|· |PD|,求动点 P 的轨迹方程. 解:以 O 为坐标原点,直线 AB,CD 分别为 x 轴,y 轴建立直角坐标系, 如图.设 P(x,y)是曲线上的任意一点,则 A(-a,0),B(a,0),C(0,-b),D(0,b),由 题意知,|PA|·|PB|=|PC|·|PD|, ∴ ( + )2 + 2 · (- )2 + 2 = 2 + (y + b)2 · 2 + (y-b)2 . 化简,得 x -y
2 2

2 - = 2

2

.

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按动点的特点求轨迹的方法: (1)直接法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这 些几何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系“翻译”成含 x,y 的等式就得到曲线的轨迹方程. (2)相关点法(代入法) 有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另 一动点(称之为相关点)运动的.如果相关点所满足的条件是明显的,这时 我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可 求得动点的轨迹方程.

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(3)参数法 当动点坐标 x,y 之间的直接关系难以找到时,往往先寻找 x,y 与某一 变量的关系,再消去参变量得到动点轨迹的普通方程,参变量的选取要 注意它的取值范围对坐标取值范围的影响. (4)交轨法 在求动点轨迹时,有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题,这类问 题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求出所求轨 迹的方程,该法经常与参数法并用. (5)定义法 若动点的轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的 基本量.

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1.已知坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,那么( ). A.曲线 C 上的点的坐标都适合方程 f(x,y)=0 B.凡坐标不适合 f(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上 C.不在曲线 C 上的点的坐标必不适合 f(x,y)=0 D.不在曲线 C 上的点的坐标有些适合 f(x,y)=0,有些不适合 f(x,y)=0 答案:C 解析:对照曲线与方程的概念,不能得出 f(x,y)=0 是曲线 C 的方程.如设方 程 f(x,y)=0 为 y= 4- 2 ,满足该方程的点都在以原点为圆心,2 为半径的 圆上,但圆上的点(-1,- 3)的坐标却不适合方程.

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2.已知曲线方程为 2x2-3y2=6,有下列各 点:A( 3,1),B( 6,- 2),C(- 3,0),D(1,-3),其中在给定曲线上的点的个数 是( ). A.1 答案:B B.2 C.3 D.4

解析:将四个点的坐标依次代入曲线方程进行检验,可知只有 B 点和 C 点坐标适合曲线方程,它们在曲线上.

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3.如果方程 ax +by =4 的曲线过点 A(0,-2),B a= ,b= 答案:4 1 解析:由已知 . 4 = 4, = 4, 得 = 4, = 1.

2

2

1 , 2

3 ,则

1 a + 3b 4

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4.已知方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0 表示一个圆,求该圆圆心 的轨迹方程. 解:设该圆圆心为 M(x,y). = + 3, 由题意 ( *) = 4 2 -1. 又∵ 该方程表示一个圆,∴ 4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)>0. 得-7<t<1,∴7 <x<4. 将(*)中 t 消去,得 y=4(x-3)2-1
20 7 1 20

< < 4 ,
2

即所求圆心的轨迹方程为 y=4(x-3) -1

20 7

< < 4 .

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5.△ABC 的顶点 A 固定,点 A 的对边 BC 的长是 2a,边 BC 上的高的长是 b,边 BC 沿一条定直线移动,求△ABC 外心的轨迹方程.

解:如图,以 BC 所在定直线为 x 轴,过 A 作 x 轴的垂线为 y 轴,建立直角 坐标系,则点 A 的坐标为(0,b). 设△ABC 的外心为 M(x,y), 作 MN⊥BC 于 N, 则 MN 是 BC 的垂直平分线.

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∵ |BC|=2a,∴ |BN|=a,|MN|=|y|. 又 M 是△ABC 的外心, ∴ M∈{M||MA|=|MB|}. 而|MA|= 2 + (y-b)2 , |MB|= ||2 + |BN|2 = ∴ 2 + (y-b)2 = 2 + 2 . 2 + 2 ,

化简,得所求轨迹方程为 x2-2by+b2-a2=0.


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