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§1.5正弦定理、余弦定理


§1.5

正弦定理、余弦定理

我们对直角三角形的边角关系已经比较清楚,任意三角形的边角之间关系又是怎样的呢?这是 本节要介绍的内容。 1.正弦定理 探究 无线电测向运动是竞技体育项目之一,类似于捉迷藏 游戏,它是利用测向电台来确定发射电台所在方向的。如 果选择两个相距足够远的地点测向, 两个测向电台所确定方 向的交点就是发射电台所在的位置。 现设两个测向地点为 A、B,发射电台位于 C 处,测得 AB=100m,∠A= 45 ∠B= 60 ,怎样计算距离 AC 和 BC? 上面的问题,通过本小节的学习就能得到答案。 我们看图 5-2,在△ABC 中,设∠ A ,∠ B ,∠ C 所 对应的边长分别为 a , b , c .作三角形的高 CD,在 Rt△ ADC 和 Rt△BDC 中,有 CD=ACsinA,CD=BCsinB, 所以 ACsinA=BCsinB 即
? ?

C

45?
A 100m 图 5-1

60?
B

C b A c D 图 5-2 a B

b sin A ? a sin B
因 sinA≠0,sinB≠0,得

b a ? sin B sin A
同理可得

a c ? sin A sin C
因此

a b c ? ? sin A sin B sin C
得到了反映三角形边角间关系的一组等式,我们称为正弦定理。 例1 在△ABC 中,已知 ?A ? 45 , ?C ? 30 , c ? 10 ,求 b (结果精确到 0.1).
? ?

解:因为 ?A ? 45 , ?C ? 30 ,
? ?

所以 B ? 180? ? ( A ? B) ? 180? ? (45? ? 30? ) ? 105? , 由正弦定理知 得

b c ? sin B sin C c sin B 10sin105 b? ? ? 5( 6 ? 2) ? 5 ? 3.86 ? 19 .3 sin C sin 30

思考交流 根据图 5-2 推导三角形面积公式 S=

1 1 1 bcsinA= casinB= absinC. 2 2 2

1

例2 解:因为

在△ABC 中,已知 a=3,b= 6 ,∠A=

? ,求∠B 和 c. 3

a b ? , sin A sin B

所以 sin B ?

b sin A ? a

6 sin

?
? , 3

3 ? 2 3 2

因为在△ABC 中,由 b<a 知∠B<∠A,故∠B< 得∠B=

? ; 4

∠C= ? -(∠A+∠B)=

? -(

?
3

?

?
4

)=

a sin C c? ? sin A

3 sin

5? 12 ? 2 3 ( 6 ? 2 ) ? ? 4 sin 3

5? , 12

2 (3 ? 3 ) 2

思考交流 由上面的例题你能看出:已知三角形的哪些边和角,能用正弦定理求出其余的边和 角? 例3 如图 5-3,明明先站在地面上 A 点处观测气球 C, 测得仰角为 27° ,然后他向气球方向前进了 50m 到 B 点,此时观测气球,测得仰角为 40°.若明明的眼 睛离地面 1.6m,求气球的高度(精确到 0.1m). 解: ?ACB ? ?CBD ? ?BAC ? 40 ? 27 ? 13 由正弦定理知 A C

27 ?
B 图 5-3

40?
D

BC ?

AB sin ?BAC 50sin 27? ? sin ?ACB sin 13?
?

≈100.90m 在 Rt△BCD 中, CD ? BC sin ?CBD ? 100.90 ? sin 40 ≈64.8(m) 所以,气球的高为 64.8+1.6=66.4(m) 练习

5? .求∠B, a 及三角形的面积. 4 12 ? 2.在 ?ABC 中,已知 a ? 30 , b ? 15 2 , ?A ? 45 .求 B 和 c.
1.在 ?ABC 中,已知 b ?

2 , ?A ?

?

, ?C ?

2、余弦定理 探究 如图 5-4 所示,使用圆规画圆时,应使圆规的两脚一样长,但在安 装铅芯时,却装成了一边长,另一边短.若把圆规张成 30 角,所画圆的半径 是多少? 在图 5-5 中,设 BC ? a , AC ? b , AB ? c ,作 CD ? AB 于 D ,则在 Rt△ADC 中, 图 5—4
2

9

30?

9.2

AD=AC cosA, DC ? AC ? AD ,
2 2 2

又在 Rt△BDC 中, BC ? DB ? DC ,
2 2 2

A

因此

BC 2 ? DB2 ? ( AC 2 ? AD2 ) ? AC2 ? ( DB2 ? AD2 ) ? AC 2 ? ( DB ? AD)(BD ? AD) ? AC ? AB( BD ? AD ? 2 AD) ? AC ? AB( AB ? 2 AD)
2 2

D B 图 5-5

? AC 2 ? AB2 ? 2 AB ? AD ? AC 2 ? AB2 ? 2 AB ? AC cos A
即 a =b +c -2bccosA 同样可得
2 2 2

C

b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
上述结论对于任意三角形都成立.于是得到余弦定理:三角形任意一边长的平方等于其余两边 长的平方和减去这两边长与其夹角余弦乘积的两倍.
? 2 2 2 当三角形是直角三角形时, 例如 ?C ? 90 ,cos C ? 0 , 得到 c ? a ? b , 即为勾股定理. 由

此可见,勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广. 在进行角的计算时,余弦定理还可以变形为

b2 ? c 2 ? a 2 2bc 2 a ? c 2 ? b2 cos B ? 2ac 2 a ? b2 ? c 2 cos C ? 2ab cos A ?
例4 形. 解:由余弦定理知 在△ABC 中,已知 AC 边的长为 8, BC 边的长为 4, cos C ?

1 ,证明△ABC 是等腰三角 4

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cosC 1 =64+16-2×32× =64, 4
得 AB=8,则 AB=AC,所以△ABC 是等腰三角形. 例5 已知△ABC 的三边: a ?

2 , b ? 2 , c ? 3 ? 1 .求三角形的三个内角.

解:因为 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 2bc 2 2 ? ( 3 ? 1)2 ? ( 2)2 3 ? ? 2 2 ? 2 ? ( 3 ? 1)

又因 a<c

3

所以 ?A ? 30 同样

?

a 2 ? c 2 ? b 2 ( 2 ) 2 ? ( 3 ? 1) 2 ? 2 2 2 cos B ? ? ? 2ac 2 2 ? 2 ? ( 3 ? 1)
所以 ?B ? 45
?

?C ? 180? ? ( A ? B) ? 180 ? (30 ? 45 ) ? 105
思考交流 已知三角形的哪些边角关系,可以用余弦定理求三角形其余的边角? 例 6 如图 5-6 炮兵阵地位于地面 A 处,两观察所分别位 于地面点 B 和 C 处, 已知 BC=6 千米, ∠ ABC=75° , ∠ ACB=45° , 目标出现于地面点 D 处时,测得∠ CBD=30° ,∠ BCD=15° , 求炮兵阵地到目标的距离 AD(结果精确到 0.01 千米). 解 在△ABC 中,∠ BAC=180° -(∠ ABC+∠ ACB) =180° -(75° +45° )=60° 由正弦定理得 B
?

A

75?

45?
?

BC sin ?ABC 6 sin 75 AC ? ? ? sin ?BAC sin 60? ?3 2? 6
同样在△BCD 中, CD ?

6(

6? 2 ) 4 3 2

30
°

15

?

C

D 图 5-6

BC sin ?CBD 6 sin 30? ?3 2, = sin ?BDC sin 135?

在△ACD 中,由余弦定理得

AD2 ? AC 2 ? CD 2 ? 2 AC ? CD cos?ACD = (3 2 ? 6 ) 2 + (3 2 ) 2 ? 2 ? (3 2 ? 6 ) ? 3 2 cos60? =24+ 6 3 ≈34.392,
AD≈5.86(千米)。 问题解决如图 5-7 所示,自动卸货汽车的车厢采用液压机构.设计 时需要计算油泵顶杆 BC 的长度. 已知车厢的最大仰角是 60 , AB 与水 平 线 之 间 的 夹 角 为 6 20? , 油 泵 顶 点 B 与 车 厢 支 点 A 的 距 离 为 1.95m, .AC 长为 1.40m,油泵顶杆 BC 的长应为多少? 练习 1.在 ?ABC 中,已知 a ? 3 3 , c ? 2 , ?B ? 150 .求 b . 2.在 ?ABC 中,已知 a ? 13 , b ? 4 3 , c ? 7 .求三角形的三 个内角. 3.如图,作用于 O 点的两个力 F1=50N,F2=60N,它们 之间成 30 角,求合力 F 的大小? 4.如图,镗床加工 A,B,C 三孔,在顺次镗好 A 孔 和 B 孔后, 要把镗杆从 B 退回到 D, 再从 D 向右移动拖板, O (第 3 题) F1 F2 F 图 5-7

4

使镗杆对准 C, 然后镗 C 孔. 已知, AB=72mm, BC=67mm, AC=60mm, 求 BD 和 DC(精确到 1mm). 习题 1.在 ?ABC 中: (1)已知, ?A ? 45 ?B ? 60 , c ? 3 ,求 b .
? ?

A

D

C

(2)已知 a ? 3 , b ? 2 , ?C ? 2.求下列 ?ABC 的面积 S

?

3

,求 c 和 ? B . B 第4题

(1) a ? 4 , b ? 5 , ?C ? 30 ;

5 (2) a ? 3 3 , c ? 2 , ?B ? ? . 6
3.判断下列三角形 ABC 是锐角三角形、直角三角形、还是钝角三角形: (1) a ? 5 , b ? 12 , c ? 13 ; (2) a ? 2 , b ?

2 , c ? 3 ?1 ;

4.已知 ABCD 的对角线 AC ? 16 , BC ? 20 ,且它们所夹的锐角为 各边的长. 5.已知:在 ?ABC 中, ?A ? 120 .求证: (1) a2 ? b2 ? c(b ? c) ;
2 2 2 2 (2) b a ? b ? c (a ? c ) .

? ,求这个平行四边形 3

?

?

A B
30? 30? 60? 45?

6.如图,为了测量河对岸 A 、 B 两点间的距离,在河岸边选 取 C 、 D 两个测量点,如果测得

?ACB ? ?BCD ? 30 , ?CDA ? 60 , ?ADB ? 45 , 3 km.求 A 、 B 两点间距离. CD ? 2

C 第6题

D

7.如图所示,一艘船以 32km/h 的速度从 A 点向正北方向航行,起初望见灯塔 S 在船的北偏东 20?;半小时后到达 B 点,望见灯塔在船的北偏东 65?.求两次望见灯塔时,各离灯塔有多远(结果 精确到 0.1km). 8.如图所示,在冲模板上加工三角形孔时,为了保证直线尺寸的精度,先在三角形孔中镗一 个圆孔,使圆与三角形的三边相切,在圆孔内用硫化铜着色后,再加工三角孔 . 设 ?ABC 中, AB=18mm,BC=15 mm,AC=13 mm,求内切圆的半径(结果精确到 0.01mm). 北 65? B 20? A 第7题 B C S O r E 第8题
5

A


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