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吴川二中2015届高三11月月考及答案(理数)

吴川二中 2015 届高三 11 月月考 数 学 (理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
2 1.设集合 A ? ?x | x ? 2 ? 0? ,集合 B ? x | x ? 4 ? 0 ,则 A

?

?

B?(

)

A. ??2?

B. ?2?

C. ??2, 2?

D. ? ) D.第四象限

2. 复数 z ? i ? (1 ? i) ( i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 ) C.4 D.4 2 ) C.第三象限

3.双曲线 2 x2 ? y 2 ? 8 的实轴长是( A.2 B.2 2

4.设向量 a ? (1,0) , b ? ? A. a ? b

?1 1? , ? ,则下列结论中正确的是( ?2 2? 2 2
) B.必要不充分条件 C. a / / b

B. a ? b ?

D. a ? b 与 b 垂直

5.“ x( x ? 3) ? 0 ”是“ | x ? 1|? 2 ” 的( A.充分不必要条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6. 已知平面 ? 、 ? 和直线 m , 给出条件 :① m // ? ;② m ? ? ;③ m ? ? ;④ ? ? ? ; ⑤ ? // ? .由这五个条件中的两个同时成立能推导出 m // ? 的是( A.①④ B.①⑤ C.②⑤ ) D.③⑤

7. 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查, 为此将他们随机编号为 1 , 2 , ……, 960 ,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9 .抽到的 32 人中,编号落入 区间 [1, 450] 的人做问卷 A ,编号落入区间 [451, 750] 的人做问卷 B ,其余的人做问卷 C . 则抽到的人中,做问卷 C 的人数为 ( )

A. 7

B. 9

C. 10

D. 15

8. 设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k-1? A 且 k+1? A,那么称 k 是集合 A 的一个“好元素”.给定集合 S={1,2,3,4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含 “好元素”的集合共有( A.2 个 ) B.4 个 C.6 个 D.8 个

1

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 开始 9.已知 f ( x) ? ln x ? 1 ? x 的定义域为
2



10.若曲线 y ? kx ? ln x 在点 ?1, k ? 处的切线平行于 x 轴,则 k ? ______. 11.若等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 满足 a1 ? b1 ? 1, a2 ? b2 ? 2 , 则 a5b5 ? .

S=0,i=1
T=3i-1 S=S+T i= i+1

12.按右面的程序框图运行后,输出的 S 应为__________. 13.已知 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 且 c ? 2,b ? 6,B ? 120? ,则 ?ABC 的面积等于________.

i>5? 是 输出 S 结束



(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题. ,以极点为 ? sin ? ? ? ? ? 4? 2 ?
2

14. (极坐标与参数方程)在极坐标系中,直线

1 的方程是

?

π?

2

原点,以极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,在直角坐标系中,直线

的方程是

3x ? ky ? 1 .如果直线 1 与

2 垂直,则常数

k?



15. (几何证明选讲)如右图,在 ?ABC 中, DE // BC , EF // CD , 若 BC ? 3 , DE ? 2 , DF ? 1 ,则 AB 的长为________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), (? ? 0, A ? 0, ? ? (0, 的部分图象如图所示,其中点 P 是图象的一个最高点。 (1) 求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 已知 ? ? (

?
2

)) .

?
2

, ? ) 且 sin ? ?

? 5 ,求 f ( ) . 2 13

2

17. (本题满分 12 分) 某班 50 位学生期中考试数学成绩的 频率分布直方图如图所示 ,其中成绩分组区间是:

频率 组距

?40,50? ,?50,60? , ?60,70? ,?70,80? , ?80,90? , ?90,100? .
(Ⅰ) 求图中 x 的值; (Ⅱ) 从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中

0.054

成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望. x 0.01 0.006
40 50 60 70 80 90 100 成绩
第 17 题图

18. (本题满分 14 分) 如图, PDCE 为矩形, ABCD 为梯形,平面 PDCE ^ 平面 ABCD ,

?BAD ? ?ADC ? 90? AB ? AD ?

1 CD ? a, PD ? 2a . 2

(1)若 M 为 PA 中点,求证: AC ∥平面 MDE ; (2)求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小.

19. (本题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和是 Sn ,且 S n ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 设 bn ? log3 (1 ? Sn?1 )(n ? N ) , 求适合方程
*

1 an ? 1(n ? N * ) . 2

1 1 1 25 的正整数 n ? ? ??? ? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 51

的值.

3

20.(本题满分 14 分)

x2 y 2 如图,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ,其左右焦点为 F1 ? ?1,0 ? 及 F2 ?1,0? ,过点 F 1 的直线 a b
交椭圆 C 于 A, B 两点, 线段 AB 的中点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两 点,且 AF1 、 F1 F2 、 AF2 构成等差数列. (1)求椭圆 C 的方程; (2)记△ GF 1D 的面积为 S1 ,△ OED ( O 为原点)的面积为
G
A y

D O
E

x
F2

F1
B

S2 .试问:是否存在直线 AB ,使得 S1 ? S2 ?说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? ? x ?1? ex ? kx2 (其中 k ? R ). (Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ) 当 k ? ? ,1? 时,求函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M .

?1 ? ?2 ?

4

参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 A 6 D 7 C 8 C

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分. 9. (0,1] 10.-1 11.80 12.40 13.

3 2

14.-3

15.

9 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 解:(1)由函数最大值为 2 ,得 A=2 。………………….1 分 由图可得周期 T ? 4[ 又? ?

?
12

2? ? ? ? ,得 ? ? 2 。 …….3 分 ? (? )] ? ? ,由 ? 12 6

?

? ? ? 2 k? ?

?

, k ? Z ,及 ? ? (0, ) ,得 ? ? 。 3 2 2

?

?

……….5 分

?

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 。 3

?

……………………….6 分

( ,?),且sin? = (2)由? ? 2

?

5 12 ,得cos? =- 1 ? sin 2 ? ? ? ,……….8 分 13 13

? f ( ) ? 2sin(2 ? ? ) ? 2(sin ? cos ? cos ? sin ) ? 2 2 3 3 3

?

?

?

?

?

5 ? 12 3 . 13

….12 分

17. (本题满分 12 分)(Ⅰ) 由 ? 0.006 ? 3 ? 0.01 ? x ? 0.054? ?10 ? 1 解得 x ? 0.018 . ………………3 分

………1 分

(Ⅱ)成绩不低于 80 分的学生人数有 50 ? ? 0.018 ? 0.006? ?10 ? 12 人. …………4 分 成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数有 50 ? 0.006 ?10 ? 3 人. ……………5 分 随机变量 ? 的可能取值为 0,1, 2 ,且 …………………6 分

P ?? ? 0 ? ?

1 1 C92 6 C3 C9 9 C32 1 , , , ………9 分 ? P ? ? 1 ? ? P ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 C12 11 C12 22 C12 22

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

9 6 1 11 22 22 6 9 1 1 ? 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . …………………12 分 11 22 22 2
5

18. (本题满分 14 分) 解法一:设平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小为 ? ,以 D 为空间坐标系的原点,分 别以 DA, DC , DP 所在直线为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系,则

P(0,0, 2a), B(a, a,0), C(0, 2a,0) PB ? (a, a, ? 2a), BC ? (?a, a,0) ……6 分
设平面 PAD 的单位法向量为 n1 ,则可设 n1 ? (0,1,0) ………………………7 分 设面 PBC 的法向量 n2 ? ( x, y,1) ,应有

? ?n2 ? PB ? ( x, y,1) ? (a, a, ? 2a) ? 0 ? ? ?n2 ? BC ? ( x, y,1) ? (?a, a, 0) ? 0
? ?ax ? ay ? 2a ? 0 即: ? 解得: ? ??ax ? ay ? 0

? 2 ?x ? ? 2 ,所以 ? ?y ? 2 ? ? 2

n2 ? (

2 2 , ,1) …………………………………12 分 2 2

2 1 ∴ cos ? ? ? 2 ? ………………………………………………13 分 n1 ? n2 1? 2 2 n1 ? n2
所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角为 60°…………………………………14 分 解法二:延长 CB、DA 相交于 G,连接 PG,过点 D 作 DH⊥PG ,垂足为 H,连结 HC ……………………6 分 ∵矩形 PDCE 中 PD⊥DC,而 AD⊥DC,PD∩AD=D ∴CD⊥平面 PAD ∴CD⊥PG,又 CD∩DH=D ∴PG⊥平面 CDH,从而 PG⊥HC ………………8 分 ∴∠DHC 为平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的平面角 …10 分 在 Rt ? △ PDG 中 , DG ? 2 AD ? 2a , PD =

2a

可 以 计 算 DH ?

2 3a 在 3

Rt △ CDH 中, tan ?DHC ?

CD 2a ? ? 3 …13 分 DH 2 3a 3

所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角为 60°…………………………………14 分 19. (本题满分 14 分) (1) 当 n ? 1 时, a1 ? s1 ,由 s1 ? 当 n ? 2 时,∵ sn ? 1 ?

1 2 a1 ? 1 ,得 a1 ? ……………………1 分 2 3

1 1 an , sn ?1 ? 1 ? an ?1 , …………………2 分 2 2
6

∴ sn ? sn ?1 ? ∴ ?an ? 是以 故 an ?

1 1 ? an?1 ? an ? ,即 an ? ? an?1 ? an ? 2 2

∴ an ?

1 a n ?1 (n ? 2) 3

……5 分

2 1 为首项, 为公比的等比数列.…………………………………6 分 3 3
…………………………………………7 分

2 1 n ?1 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) n (n ? N ? ) 3 3 3

(2) 1 ? sn ?

1 1 1 an ? ( ) n , bn ? log 3 (1 ? sn ?1 ) ? log 3 ( ) n ?1 ? ?n ? 1 ……………9 分 2 3 3

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 …………………………………………11 分 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2 …13 分
解方程

1 1 25 ,得 n ? 100 ? ? 2 n ? 2 51

…………………………………………14 分

20.(本题满分 14 分) 解: (1)因为 AF 1 F2 、 AF 1 、 F 2 构成等差数列, 所以 2a ? AF 1 ? AF 2 ? 2F 1 F2 ? 4 ,所以 a ? 2 . 又因为 c ? 1 ,所以 b 2 ? 3 , 所以椭圆 C 的方程为 ……(2 分)

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

……(4 分)

(2)假设存在直线 AB ,使得 S1 ? S2 ,显然直线 AB 不能与 x, y 轴垂直. 设 AB 方程为 y ? k ( x ? 1) …(5 分)

将其代入

x2 y 2 ? ? 1 ,整理得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 4 3

…(6 分)

?8k 2 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,所以 x1 ? x2 ? . 4k 2 ? 3
故点 G 的横坐标为

x1 ? x2 ?4k 2 ?4k 2 3k ? 2 , 2 ) .……(8 分) .所以 G ( 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3

3k 2 2 4k 2 ? 3 ? k ? ?1 , 解得 x ? ? k ,即 D( ?k , 0) 因为 DG ? AB ,所以 D 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ?4k 2 ? xD 4k 2 ? 3
………..(10 分)

Rt ?GDF1 和 Rt ?ODE1 相似,? 若 S1 ? S2 ,则 GD ? OD ……(11 分)
7

所以

(

?k 2 ?4k 2 2 3k 2 ?k 2 ? ) ? ( ) ? , 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

整理得 8k ? 9 ? 0 . … (13 分)
2

因为此方程无解,所以不存在直线 AB ,使得 S1 ? S2 . 21.(本题满分 14分)

……(14 分)

x x x x Ⅰ)当 k ? 1 时, f ? x ? ? ? x ?1? ex ? x2 , f ? ? x ? ? e ? ? x ? 1? e ? 2 x ? xe ? 2 x ? x e ? 2

?

?

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2

…………2 分

当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:

x
f ? ? x?
f ? x?

? ??,0?
?

0
0
极大值

? 0,ln 2?
?

ln 2

? ln 2, ???
?

0
极小值

右表可知,函数 f ? x ? 的递减区间为 ? 0,ln 2? ,递增区间为 ? ??,0? , ? ln 2, ??? . ……5 分 Ⅱ)

f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2kx ? xe x ? 2kx ? x ?e x ? 2k ?
………6 分

,



f ? ? x? ? 0 , 得

x1 ? 0 , x2 ? ln ? 2k ? ,

令 g ? k ? ? ln ? 2k ? ? k ,则 g ? ? k ? ?

1 1? k ?1 ? ?1 ? ? 0 ,所以 g ? k ? 在 ? ,1? 上递增, k k ?2 ?

所以 g ? k ? ? ln 2 ?1 ? ln 2 ? ln e ? 0 ,从而 ln ? 2k ? ? k ,所以 ln ? 2k ? ??0, k ? 所以当 x ? 0,ln ? 2k ? 时, f ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? ln ? 2k ? , ?? 时, f ? ? x ? ? 0 ;
k 3 所以 M ? max f ? 0 ? , f ? k ? ? max ?1, ? k ? 1? e ? k

?

?

?

?

?

?

?

?

………… 9 分 , 则



h ? k ? ? ? k ?1? ek ? k 3 ?1 , 则 h? ? k ? ? k ? e k ? 3k ? , 令 ? ? k ? ? ek ? 3k
?1 ? ?2 ? 3? ?1? ? ? ? ? ?1? ? ? e ? ? ? e ? 3? ? 0 2? ?2? ?

?? ? k ? ? ek ? 3 ? e ? 3 ? 0
所以 ? ? k ? 在 ? ,1? 上递减,而 ? ? 所 以 存 在 x0 ? ? 时, ? ? k ? ? 0 , 所以 ? ? k ? 在 ? , x0 ? 上单调递增,在 ? x0 ,1? 上单调递减. ………12 分

?1 ? ?1 ? ,1? 使 得 ? ? x0 ? ? 0 , 且 当 k ? ? , x0 ? 时 , ? ? k ? ? 0 , 当 k ? ? x0 ,1? ?2 ? ?2 ?

?1 ?2

? ?

1 7 ?1? ?1 ? e ? ? 0 , h ?1? ? 0 ,所以 h ? k ? ? 0 在 ? ,1? 上恒成立,当且仅当 k ? 1 时 ??? 2 8 ?2? ?2 ? 取得“ ? ”.
因为 h ? 综上,函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M ? ? k ?1? e ? k .
k 3

………… 14 分

8


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