当前位置:首页 >> 数学 >>

一类分式函数最小值的求导处理及推广


中学数学杂志2009年第11期

霓舞夤噎4舾I彩雹;%酚裼。趸弘跷己埽£。为哆

一类分式函数最小值的求导处理及推广
江苏省常熟市中学
215500

蔡祖才

函数以石)=—生+j—堡一(口,b,c,d∈R+,c<
石一C 口一石

仅当菇:生罕±穹翌时,g(z)取最小值g(石)血。:
口r+1+b,+1

z<d),求其最小值,文[1][2]采用均值不等式或

筹a


三角换元变换去求解,并得到当且仅当石=

百b(茹+6叫I“

+0b

时以z)取最小值≠‘(石+万)2的结
“一。

论.他山之石,可以攻玉.笔者在高中数学教学中,把 它作为研究性学习素材,让学生进行实践探究,收到 良好的教学效果.现将学生研究性学习得到的求导 证明及推广结论整理如下. 导函数是求函数最值的有效方法,学生利用求 导来研究函数性质,思路清晰,较易操作,这类分式 函数的最小值也不例外.

石i可+面刁 因为,当z=尘军埤时,gt(算)=0;
—.ar

简证

对函数g(x)求导得:g’(z)=
br

口7+1+b’+I

对函数八茗)=上+jjL一(口,b,c,d∈R+,c


减;当尘娑
g(膏)面n
应用1

当c<算<≮上军时,g‰)<o,g(z)递
n‘+1+br+l
<石

<d时,g,(石) >o,g(髫)递

并一C

口一石

<z<∽求导得/,(旬2石二三备+西芒了
一垒(兰二12:二堡(生二苎2:
(算一c)2(d一石)2

g(膏)血:土(口鬲1+6击)r+- 2万与‘口鬲+6鬲)”1
^/(+


增;所以,当且仅当菇:尘罕埤时,取最小值
设口,6∈R+,I石l<号,求函数以石)
(一 2~一。一

一[巫(兰二12±矗(生二苎2][拯苎二!!=正(生二兰U
(髫一c)2(d一茹)2

一[拯苎=!)±亟垡二纠[(正±亟苎:(!垣±垡固]
(算一c)2(d一茗)2

=√石1{生2x百)+石1{L2x可)的最小值.
[髫一(一扣2。‘丁1一石)2’

因为,当髫=丛辫时,f,(石)=o;当c< 名<垫辫时,f,(石) 型鳟<石<d时,f,(菇)>o以算)递增; 所以,当且仅当写:型鳟时,以茁)有最小
qB+qn √口十√0

显然有c<垫笪±虫丝</----d

解设小)=尚+己舞=
由推广l可知,当且仅当菇=麦糕时,

<o以石)递减;当

qa+qD

g(茗)的最小值为g(戈)耐。=(拓+拓)3,
所以当且仅当石2 ( +√6)

√a+√D

2赫.Ta

时以旬取最小


≈Q+0b

值污+拓
推广2 对函数G(石,),):_a+_b+


值八等警)=士(,/-d+∥.
推广l 若函数g(茗) =zjL百+



万j可(口,6,c,如“+,0<“d,0<y<

百与‘口,”∈R+,c,d∈R“茗<d),则当且
万方数据

舅.署娩镌貔泓拣5霸绲I高私焉£壕g叠§岁

中学数学杂志2009年第1 1期

d口鬲
口 上川 + }



d),则当且仅当

诗腑
y 2—丁———丁———丁

时 函数有 最

口鬲+6鬲+C,-Zi

,J、值G(石,),)面。:与(口击+6鬲1+c者)7+l
简证 分式函数自变量从一元推广到两元,可 以用最小两乘法思想求解,由推广1可知,当Y看成

解得{y=嬲 …


6+3√芝一2 43 石=————=■——==——■=

12(√l+√互+√3)

一6+3√2+2 43



12(√1十√2+√3)

此时,鬲1 +歹l_+_毛有最小值为(汀+厄+万)2.
应用3

常量时,当z:垒年』且#时函数有最小值;当算看
ar+l+cr+l

设x,y,z



R+,算+Y+z=1,求H=

三+与+要的最小值.

成常量时,当y:型#兰翠时函数有最小值;
dn鬲 上川 口
+ +

上川

万南,申推广2可知,
有 当且仅当 j且’队j
),=



构造二元函数G(童,),):T1+了1+

联立解得当



alr+_l_i忑4-C
+6…

诗腑


r+1







汀 弧+弧+


l 4

时,
l 4

最小值为{(口士+6击+c鬲I)川.


弧+源+

应用2

设x,),,z>o,3石+4y+5z=l,求7毛

函数最小值为击(汀+汀+洒)3=64.

+—L+—L的最小值.
),十孑
z十菇

所以,当且仅当石:Y:{时,M:与+丢+导
.'



解而1+再1+鬲1=鬲1
x+' v+z z+x

x+

Y+南Y
3\

j,



的最小值为64.
4-

z}

+瓦i万2巧+瓦i万+琵忑万
由算,y,z>0,3x+4),+5z=I,可知(戈+Y)+ 2(z+z)+3(y+z)=1 设石+Y=m,2(z+戈)=,l,贝0 3(y+彳)=1一 因为z,Y,彳>0,所以m,rt,1一m—n>0









若n



N+,%b∥∈R+,bj<zj<c,∑bi<


c,i=1,2,…,,l,求函数H(xl,算2,…,善。) (舅l— I)7 (石2— 2)7


南b+南b+…+南b+ _————旦——可的最小值.读者可自行研
(菇。一 。)’
Lc—zl—X2一…一xn

构造函数F(m,n)=i1
由推广
1 2

+i2+熹
当且仅当

究,不再赘述. 总之,一类分式函数最小值问题的研究过程,它 体现了最小两乘法思想及函数求导思想,是学生研 究性学习的好材料,值得我们借鉴应用. 参考文献
[1] [2] 郭晓泉.一类分式函数最小值讨论[J].中学数学杂 志.2009,(3). 李春雷.双根式和或差的函数求最值方法[J].数学通 报,2008,(12). 作者简介 课题若干. 蔡祖才,1965年8月出生,中学高级教师.发

可知,


+五


瓜’压


瓜’压 +矗

+万)2



2∽牡志’
V■T V厶T
VJ

r万而


表论文多篇.主要从事高中数学教学研究,学术主持省、市级

3算+4),+5z=1

万方数据

中学数学杂志2009年第11期

当导数等于0解不了怎么办
——从2009浙江高考数学参考卷最后一题谈起
浙江上虞城南中学 导数是高中新课标教材中的重要内容,它既是 研究函数的有力工具,又是对学生进行理性思维训 练的良好素材.自导数进入新教材之后,给函数问题 注入了生机和活力,开辟了许多解题新途径,拓展了 高考对函数问题的命题空间.导数的考题一般分基 础层次与提高层次,基础层次是导数的简单应用,包 括求函数的单调性,极值,最值等,提高层次是导数 的综合应用,将导数内容与传统内容中解证不等式, 方程根的分布,参数的范围等问题结合起来,这类题 难度很大,综合性强,内容新,是高考命题的丰富宝 藏.解题中还常需用到函数与方程思想、分类讨论思 想、数形结合思想、转化与化归思想,所以颇得高考 命题者的青睐.但是,无论是基础层次,还是提高层 (1以1))处的切线方程;
312300

王永平

次,这类导数题首先都应有共同的一步,即先求导, 然后求解导数等于0这个方程,再结合具体题目进 行分析.所以解导数等于0这个方程几乎是解答导 数所有题通向成功的一座独木桥.正如一首歌词里 唱得“让所有问题,都自己扛”,于是乎,就出现了这 样一个问题:当导数等于0解不了怎么办? 我们先来看2009年浙江高考数学参考卷最后 一题:
。2

例1

已知函数以石)=e。一等一口z一1,其中 二
1 二

口为实数,(1)当口=一÷时,求曲线Y=以石)在点

海伦公式的一个简洁证明
石河子大学师范学院数学系832003 若已知任一AABC的三边长为fi,b,c,则其面 积可表示为A=,/s(s一口)(s—b)(s—c),其中s


=生警,此即海伦公式.关于海伦公式的证明,

4a262【l一(警)2】=4a262(-…s2c)=
16(1absinC)=16A2
又八a,b,c)=2s?2(s—d)?2(s c)=16s(s一口)(s一6)(5一c), 两者比较得,16A2=16s(s—fit)(s一6)(s—c),






笔者已在文[1]中给出了中外数学史上的有关证明 方法.分析发现,历史上的证法均为几何证法(添加 辅助线,利用全等三角形的边、角关系或者相似三角 形中的比例关系进行推导),各种方法堪称精巧美 妙,但略显复杂.本文拟给出海伦公式的一个代数 证法. 构造多项式: 以口,b,c)=(口+b+C)(b+c—fi)(口+C一6)(口 +b—c),(口,b,c为三角形三条边) 因为以a,b,c)=(口+b+C)(b+C一口)(口+c —b)(a+b—c)=4a2b2一(口2+b2一c2)2=

6)?2(5一

故A=石(s—a)(s—b)(s—c),公式得证.
该证法较之历史上的几何证法,所用知识简单, 证明过程直观、自然,巧而不烦,且对于运用“构造 多项式”方法证明几何命题也有一定的启发作用. 参考文献
[1] 刘超.海伦公式证明之史海钩沉[J].中学数学杂志, 2008,(10).

万方数据


相关文章:
一类分式函数最小值的求导处理及推广_图文.pdf
一类分式函数最小值的求导处理及推广 - 中学数学杂志2009年第11期 霓舞夤噎4舾I彩雹;%酚裼。趸弘跷己埽£。为哆 一类分式函数最小值的求导处理及推广 江苏...
一类分式函数最小值的求导处理及推广_论文.pdf
一类分式函数最小值的求导处理及推广 - 函数f(x)=a/x-c+b/d-x(a
一类分式函数最小值问题讨论_图文.pdf
一类分式函数最小值问题讨论 - 乏 |; 段 办 乏 之. 7 中学 数学 杂志
类分式函数最小值问题讨论.pdf
一类分式函数最小值问题i刁i仑甘肃省华亭县第二中学744103 郭晓泉 因为0<髫<1, 对函数以z)=旦+1jL一(Ⅱ,b,c,d∈R+,c<茗<d),我们在求其最小值的...
3.3.3函数的最大(小)值与导数_图文.ppt
3.3.3函数的最大 (小)值与导数 课前自主学案求函数f(x)的极值 首先解...[解析] 考查分式函数求导法则、极值点的性质. 2x(x+1)-(x2+a) x2+2x-...
...例说利用函数的渐近线处理一类分式函数问题.pdf
例说利用函数渐近线处理一类分式函数问题_数学_自然...(血>0)时都涉及了渐近线对函数的影响,而且导数下放...[o,+∞)上存在最大值和最小值,当a=0时,显然...
分式函数或可化为分式函数的最值问题.pdf
分式函数或可化为分式函数最值问题_数学_自然科学..." & % 分离整式 例 % 如图 ", 为处理含有某种...求一类函数最值的分式变... 暂无评价 4页 免费...
关于一类含绝对值函数的求导问题_图文.pdf
NO.5Sep.,2008 高等数学研究STUDIESINC01.LEGEMATHEMATICS 17 关于一类含绝对值函数的求导问题’宋洪雪(南京邮电大学敷理学院南京 210003) 摘 要 介绍了一类含绝对...
函数极限二与导数定义_图文.ppt
第一种重要极限的推广形式 注 目录 上页 下页 ...在闭区间例如, 又如, 有理分式函数 在其定义域内...此时导数值构成的新函数称为导函数. d y d f (...
分式函数求值域.doc
遇到一类函数求值域问题,此类函数是以分式函数形式...0 时, a ' 对函数求导, f ( x) ? 1 ? 2...上递增,其在 2 处取最小值,比较 1,4 出的函数...
导数及其应用学生培优教案.doc
求导; ②分式形式:观察函数结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,...[a,b]上必有最大值与最小值.在区间[a,b]上的连续 函数 y=f(x),若有...
新导数_图文.ppt
分式函数求导),导数的几何意义 (涉及曲线的切线问题...(4)强化参数讨论导数问题的处理是常规通法,要增加...故函数G(x)在 上的最小值为 所以a的最大值为 ...
高考重点之导数_图文.ppt
求导 2)分式形式:观察函数结构特征,再化为整数函数或较为简单的分式函数,...[-2,1]上的最大值是5,最小值是-11 (1)求函数f(x)的解析式 (2)若t...
导数定积分教材分析新(田雄飞).doc
函数或 对数函数结合的初等函数,③分式函数与指数函数或对数函数结合的初等函数,...是对学生进行理性思维训练的良好素材.导数处理单调性、最值 等问题时 , 能...
2018年高考数学(理)一轮课件:专题3-导数及其应用(67页)....ppt
函数的导数 3 .导数的运算法则 注意 求分式函数...高考的求导问题中,常涉及一类解析式中含有导数值的...的曲线,那么它必有 极值与最值 最大值和最小值....
导数及其应用.doc
规律总结:一般说来,分式函数求导,要先观察函数的结构特征,可化为整式函数或较...[a,b]上的最大值和最小值的步骤 ①求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值; ...
导数教师版.doc
方法提炼 一般来说,分式函数求导,要先观察函数结构特征,可化为整式函数或较...(x)的最小值; 3 (2)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y...
高等数学导数与微分.pdf
性和可导性而言的,而不是对微分和导数的值而言 1...连乘积的分式函数的导数时,可尽 量利用对数求导法...对参数式求更高阶导数,均可如此处理,一般地 d ?...
导数与微分.doc
复合函数的导数: 复合函数对自变量的导数, 等于已知...两个函数的商的导函数也是一个分式。(子导乘母-...年左右,他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》...
导数.doc
一、导数运算的复习建议 要选择一些与根式、分式、...(与单调性类似) 函数 最值 (与单调性类似) 不...有不同的处理手法,通过例题说明. 例 4 已知 f(x...
更多相关文章: