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江苏省姜堰中学高三数学综合练习12


高三数学(理)综合练习十二 2015/11/7
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分).
2 1 . 已 知 集 合 P ? x| x ? x ?2 ? 0 , M ? ??1,0,3,4? , 则 集 合 P ? M 中 元 素 的 个 数 为

?

?



. ▲ .

2.已知 z 是复数, i 是虚数单位,若 zi ? 1 ? i ,则 z =

,0) , 点 B 为直线 y ? 2 x 上的一个动点,若 AB / / a ,则点 B 的 3. 已知向量 a ? (1,1) ,点 A(3
坐标为 ▲ . ▲ 条件.

??? ?

4. “ x ? 0 ”是“ x + sin x ? 0 ”的 5.若实数 x , y 满足约束条件 ?

?1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的取值范围是 ??1 ? x ? y ? 1





6.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a3 ? a9 ? a10 ? a8 . 若 an ? 0 ,则 n ?

.

7.已知 A, B 两点分别在两条互相垂直的直线 2x-y=0 与 x+ay=0 上, 且 AB 线段的中 点为 P ? 0,

? 10 ? ? ,则线段 AB 的长为 ? a?



.
y 1 A N M O 1 x

8.如图,点 O 为坐标原点,点 A(1,1) . 若函数 y ? a x ( a ? 0 ,且 a ? 1 )及

y ? logb x ( b ? 0 ,且 b ? 1 )的图象与线段 OA 分别交于点 M , N ,
且 M , N 恰好是线段 OA 的两个三等分点,则 a,b,1 三个数的大小 关系为 ▲ .

9. 已知函数 f ( x ) ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0 ). 若 f ( x ) 的图象向左平移 与 f ( x ) 的图象向右平移

π 个单位所得的图象 3
▲ .

π 个单位所得的图象重合,则 ? 的最小值为 6
y 1 ? 的最小值为 x y
2

10.已知 x 、 y 为正实数,且 2 x ? y ? 1 ,则





11.设 A(1,0), B(0,1) ,直线 l : y ? ax, 圆 C : ?x ? a ? ? y 2 ? 1 .若圆 C 既与线段 AB 又与直 线 l 有公共点,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

? ?1, x ? ?1 ? 2 12.已知函数 f ( x ) ? ? x, ? 1 ? x ? 1 , 函数 g ( x) ? ax ? x ? 1 . 若函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 恰好有 ?1, x ? 1 ?

y

2 个不同零点,则实数 a 的取值范围是





13.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴 上且焦距为 2c , A1 A2 为左右顶点,左准线 l 与 x 轴的交点 为 M , MA2 : A1 F1 ? 6 : 1 ,若点 p 在直线 l 上运动,且 离心率 e ?

y P

1 ,则 tan?F1 PF2 的最大值为 2

M A1

F1

o

F2

A2

x





14. 对于数列 {an } ,若 ?m,n ? N*(m ?n ) ,都有 具有性质 P(t ) . 为 ▲ .

am ? an ? t( t 为常数)成立,则称数列 {an } m?n

若数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ,且具有性质 P(t ) ,则 t 的最大值

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 。 15.已知函数 f ( x) ? 2 cos

?x
2

( 3 cos

?x
2

? sin

?x
2

)(? ? 0) 的最小正周期为 2? .

(1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)设 ? ? (0,

?

6 ) ,且 f (? ) ? 3 ? ,求 cos ? 的值. 2 5

16. 如图,在四边形 ABCD 中, AB ? 8, BC ? 3, CD ? 5, ?A ? (Ⅰ)求 BD 的长; (Ⅱ)求证: ?ABC ? ?ADC ? π .

? 1 ,cos ?ADB ? . 3 7
D C

A

B

17.汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间;所经过的距离叫做刹车距离.某型 汽车的刹车距离 s(单位米)与时间 t(单位秒)的关系为 s ? 5t 3 ? k ? t 2 ? t ? 10 ,其中 k 是一个与 汽车的速度以及路面状况等情况有关的量. (1)当 k=8 时,且刹车时间少于 1 秒,求汽车刹车距离; (2)要使汽车的刹车时间不小于 1 秒钟,且不超过 2 秒钟,求 k 的取值范围.

18. 如图, 已知 F (c,0) 是椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点;? F : ( x ? c)2 ? y 2 ? a 2 与 x 2 a b

轴交于 D, E 两点,其中 E 是椭圆 C 的左焦点. (1)求椭圆 C 的离心率; (2) 设圆 F 与 y 轴的正半轴的交点为 B , 点 A 是点 D 关于 y 轴的对称点, 试判断直线 AB 与 圆 F 的位置关系; (3)设直线 AB 与椭圆 C 交于另一点 G,若 ?BGD 的面积为

24 6 c ,求椭圆 C 的标准方程. 13
y B G

A

E

O

F

D

x

19.已知由整数组成的数列 {an } 各项均不为 0,其前 n 项和为 S n ,且 a1 ? a, 2Sn ? an an?1 . (Ⅰ)求 a 2 的值; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式; (Ⅲ)若 n ? 15 时, S n 取得最小值,求 a 的值.

20.已知函数 f ( x) ? ln x . (1)求函数 f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程;

k 1 在 [ 2 , ?? ) 上有两个不同的零点,求实数 k 的取值范围; e x 1 k ( 3 )是否存在实数 k ,使得对任意的 x ? ( , ??) ,都有函数 y ? f ( x) ? 的图象在 2 x x e g ( x) ? 的图象的下方?若存在,请求出最大整数 k 的值;若不存在,请说理由. x
(2)若函数 y ? f ( x) ? (参考数据: ln 2 ? 0.6931 , e ? 1.6487 ).
1 2

高三数学(理)综合练习十二答案
一、填空题 1、 2 2、 1 ? i 9、 4 3、 ( ?3, ?6) 10、 2 2 ? 1 4、充分必要条件 11、 [1 ? 2 , 5、 [1 , 7] 6、5 7、10

8、

a ? b ?1

1? 5 ] 2

12、 ( ??,0) ? (0,1)

5
13、 20 二、解答题

14、2

15 解: (1) f ( x) ? 2 3 cos = 3 -2 sin(? x ?

2

?x
2

? 2sin

?x
2

cos

?x
2

= 3 + 3 cos ? x ? sin ? x

?
3

)

最小正周期为 2? .,所以, ? =1 所以, f ( x ) = 3 -2 sin( x ? (2) f (? ) ? 3 ? 2sin(? ?

?

?

? 3 6 ) ? 3 ? ,所以, sin(? ? ) ? ? 3 5 3 5

3

)

cos ? ? cos[(? ? ) ? ] = 3 3

?

?

4?3 3 10
1 , ?ADB ? (0, π) , 7
------------------3 分 ----------------6 分

16、解: (Ⅰ)法一: 在 ?ABD 中,因为 cos ?ADB ? 所以 sin ?ADB ?

4 3 , 7

BD AB , ? sin ?A sin ?ADB ? 代入 AB ? 8, ?A ? , 3
根据正弦定理,有 解得 BD ? 7 (Ⅱ)法一:在 ?BCD 中,根据余弦定理 代入 BC ? 3, CD ? 5 ,得 cos ?C ? ?

--------------------7 分

co? sC?

2 2 B C2 ? C D ? BD , 2 B C? C D

------10 分

1 , 2
------------------------12 分

?C ? (0, π) ,所以 ?C ?

2π . 3

所以 ?A ? ?C ? π ,而在四边形 ABCD 中 ?A ? ?ABC ? ?C +?ADC ? 2 π 所以 ?ABC ? ?ADC ? π . ----------------------14 分

法二:在 ?ABD 中, cos ?ABD ?

5 3 11 , , 所以 sin ?ABD ? 14 14

cos ?ADB ?
在 ?BCD 中, cos ?DBC ?

4 3 1 , 所以 sin ?ADB ? . 7 7

---------------------8 分

5 3 11 , , 所以 sin ?ABD ? 14 14

cos ?BDC ?

3 3 13 , 所以 sin ?ADB ? . 14 14

-----------------------9 分

所以 cos ?ABC ? cos(?ABD ? ?DBC ) ,

? cos ?ABD cos ?DBC ? sin ?ABD sin ?DBC ?
co? s A D C? c o ? s (A D B ? ? BD ) ,C

23 98

----------------------11 分

? cos ?ADB cos ?BDC ? sin ?ADB sin ?BDC ? ?
即 cos ?ABC ? ? cos ?ADC , 17、 所以 ?ABC ? ?ADC ? π .

23 98

------------------12 分 -------------------14 分

(2)汽车的瞬时速度为 v ? s ' ,所以 v ? 15t 2 ? 2kt ? 1 汽车静止时 v ? 0 , 故问题转化为 15t 2 ? 2kt ? 1 ? 0 在 ?1, 2? 内有解 又 2k ?
[来源:Z。xx。k.Com]

15t 2 ? 1 1 ? 15t ? , t t

1 1 1 时取等号, Q 15t ? ? 2 15 ,当且仅当 15t ? , t ? t 15 t 1 1 ? ?1, 2 ? ,? 记 f (t ) ? 15t ? , Qt? 15 t

f ' (t ) ? 15 ?

1 1 ,? t ? [1, 2] ,? f ' (t ) ? 15 ? 2 ? 0 ,? f (t ) 单调递增, t2 t

? 61? ? 61? ? 61? ? f (t ) ? ?16, ? , 2k ? ?16, ? ,即 k ? ?8, ? , 2? 2? ? ? ? 4?
故 k 的取值范围为 k ? ?8,

? 61? . ? 4? ?

18.解:(1)∵圆 F 过椭圆 C 的左焦点,把 (?c, 0) 代入圆 F 的方程,得

c 1 ? ;………………………4 分 a 2 (2) 在方程 ( x ? c)2 ? y 2 ? a 2 中令 x ? 0 得 y 2 ? a 2 ? c 2 ? b2 ,可知点 B 为椭圆的上顶点, c 1 由(1)知, ? ,故 a ? 2c, b ? a 2 ? c 2 ? 3c ,故 B (0, 3c) ,………………6 分 a 2 在圆 F 的方程中令 y=0 可得点 D 坐标为 (3c, 0) ,则点 A 为 (?3c,0) ,

4c 2 ? a 2 ,故椭圆 C 的离心率 e ?

于是可得直线 AB 的斜率 k AB ? 而直线 FB 的斜率 k FB ?

3c 3 ? ,………………………8 分 3c 3

3c ? F 相切。 ……10 分 ? ? 3 ,∵ k AB ? k F D ? ?1 ,∴直线 AB 与 ?c 2 2 2 (3)椭圆的方程可化为 3x ? 4 y ? 12c
由(2)知切线 AB 的方程为 y ?

3 x ? 3c ………………………11 分 3

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 24 5 3 ? 解方程组 ? ,得点 G 的坐标为 (? c, c) 3 13 13 x ? 3c ? y? 3 ?

而点 D(3c, 0) 到直线 AB 的距离 d ?

| 2 3c | 1 1? 3

? 3c ,………………………14 分

1 1 24 5 3 24 3 2 24 6 由 S?BGD ? ? | BG | ?d ? ? ( c)2 ? ( c ? 3c)2 ? 3c ? c ? c 2 2 13 13 13 13

解得 c ?

2 ,∴椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. ………………………16 分 8 6

19 解: (Ⅰ)因为 2Sn ? anan ?1 ,所以 2 S1 ? a1a2 ,即 2a1 ? a1a2 , 因为 a1 ? a ? 0 ,所以 a2 ? 2 , ----------------------2 分

(Ⅱ)因为 2Sn ? an an?1 ,所以 2Sn ?1 ? an ?1an (n ? 2) ,两式相减, 得到 2an ? an (an ?1 ? an ?1 ) , 因为 an ? 0 ,所以 an ?1 ? an ?1 ? 2 , 所以 {a2 k ?1},{a2 k } 都是公差为 2 的等差数列, --------------------4 分 -------------------------5 分

当 n ? 2 k ? 1 时, an ? a1 ? 2(k ? 1) ? n ? a ? 1 , 当 n ? 2k 时, an ? 2 ? 2(k ? 1) ? 2k ? n , -----------------------7 分

?n ? a ? 1, n为奇数, 所以 an ? ? n为偶数. ?n ,

-----------------------9 分

?n ? a ? 1, n为奇数, (Ⅲ)法一:因为 2Sn ? an an?1 ,由(Ⅱ)知道 an ? ? n为偶数, ?n ,
注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的, 所有偶数项构成的数列是一个单调递增 的, 当 n 为偶数时, an ? 0 ,所以此时 Sn ? Sn ?1 , 所以 S15 为最小值等价于 S13 ? S15 , S15 ? S17 , 所以 a14 ? a15 ? 0, a16 ? a17 ? 0 , ------------------------11 分 ---- ---14 分

所以 14 ? 15 ? a ? 1 ? 0, 16 ? 17 ? a ? 1 ? 0 ,解得 ?32 ? a ? ?28 因为数列 {an } 是由整数组成的,所以 a ?{?32, ?31, ?30, ?29, ?28} . 又因为 an ? 0 ,所以对所有的奇数 n , an ? n ? a ? 1 ? 0 , 所以 a 不能取偶数,所以 a ? ?31, a ? ?29 .

--------------------16 分

?n ? a ? 1, n为奇数, 法二:因为 2Sn ? an an?1 ,由(Ⅱ)知道 an ? ? n为偶数, ?n ,

?1 (n ? a ? 1)(n ? 1), n为奇数, ? ? 所以 Sn ? ? 2 ? 1 n( n ? a ) , n为偶数, ? ?2 因为 S15 为最小值,此时 n 为奇数,
2

-------------------10 分

a a2 (n ? ) 2 ? ? a ?1 1 n ? an ? a ? 1 2 4 当 n为奇数 时, Sn ? (n ? a ? 1)(n ? 1) ? , ? 2 2 2
所以 14 ? ?

a ? 16 ,解得 ?32 ? a ? ?28 , 2

-----------------14 分

因为数列 {an } 是由整数组成的,所以 a ?{?32, ?31, ?30, ?29, ?28} . 又因为 an ? 0 ,所以对所有的奇数 n , an ? n ? a ? 1 ? 0 , 所以 a 不能取偶数,所以 a ? ?31, a ? ?29 . 20. 解: (1)因为 f ?( x) ? -------------------16 分 ………2 分

1 ,所以 f ?(1) ? 1 ,则所求切线的斜率为 1 , x

又 f (1) ? ln1 ? 0 ,故所求切线的方程为 y ? x ? 1 . (2)因为 f ( x ) ? 同的根. 由 ln x ?

................4 分

k k k ?1 ? ? ln x ? ,则由题意知方程 ln x ? ? 0 在 ? 2 , ?? ? 上有两个不 x x x ?e ?
……………6 分

k ? 0 ,得 ? k ? x ln x , x

1 . e ? 1 1? ?1 ? 当 x ? ? 2 , ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减;当 x ? ? , ?? ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) ?e e ? ?e ?
令 g ( x) ? x ln x ,则 g ?( x) ? ln x ? 1,由 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 单调递增,

1 所以当 x ? 时, e

y

1 1 1 1 e O e …………… g ( x) 取得最小值为 g ( ) ? ? . 8分 2 e e ? 1 x e 1 1 2 1 ? 又 g ( 2 ) ? ? 2 , g (1) ? 0 (图象如右图所示) , 1e e e 1 1 2 2 1 所以 ? ? ? k ? ? 2 ,解得 2 ? k ? . ……………10 分 e e e e 1 k ex (3)假设存在实数 k 满足题意,则不等式 ln x ? ? 对 x ? ( , ??) 恒成立. 2 x x 1 x 即 k ? e ? x ln x 对 x ? ( , ??) 恒成立. 2 x 令 h( x) ? e ? x ln x ,则 h?( x) ? ex ? ln x ?1 , ……………12 分 1 x 令 r ( x) ? e x ? ln x ? 1,则 r ?( x ) ? e ? , x 1 1 1 因为 r ?( x) 在 ( , ??) 上单调递增,r ?( ) ? e 2 ? 2 ? 0 ,r ?(1) ? e ? 1 ? 0 ,且 r ?( x) 的图 2 2 1 1 1 x 象在 ( ,1)上不间断,所以存在 x0 ? ( ,1) ,使得 r?( x0 ) ? 0 ,即 e 0 ? ? 0 ,则 2 2 x0
2

2

x0 ? ? ln x0 , 1 所以当 x ? ( , x0 ) 时, r ( x) 单调递减;当 x ? ( x0 , ??) 时, r ( x) 单调递增, 2 1 1 x ? 1? 2 x0 ? ?1 ? 1 ? 0 ,… 14 则 r ( x) 取到最小值 r ( x0 ) ? e 0 ? ln x0 ? 1 ? x0 ? x0 x0
分 所以 h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在区间 ( , ??) 内单调递增.
1 1 1 1 ln ? e 2 ? ln 2 ? 1.99525 , 2 2 2 所以存在实数 k 满足题意,且最大整数 k 的值为 1 .

1 2

所以 k ? h( ) ? e 2 ?

1 2

1

……………16 分

高三数学(理)综合练习十二附加卷
学号 姓名

1、已知,点 A 在变换 T: ? ? ? ? ? ? ? ?

? x? ? y?

? x? ? ?y ?

?x ? 2 y? 作用后,再绕原点逆时针旋转 90o,得到 ? ? y ?

点、B.若点 B 的坐标为(-3,4) ,求点 A 的坐标.

2、已知在极坐标系下,圆 C:p= 2cos( ? ?

?
2

)与直线 l: ? sin( ? ?

?
4

)= 2 ,点 M 为

圆 C 上的动点.求点 M 到直线 l 距离的最大值.

3、设 n ? N* 且 n≥2 ,证明:

? a1 ? a2 ? ??? ? an ?
? an?1an ? .

2

? a12 ? a22 ? ??? ? an2

?2 ? ?a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ?

?a2 ? a3 ? a4 ? ??? ? an ? ? ???

4.如图,过抛物线 C : y 2 ? 4x 上一点 P(1,-2)作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物 线交于点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) (1)求 y1 ? y2 的值; (2)若 y1 ? 0, y2 ? 0 , 求 ?PAB 面积的最大值。

高三数学(理)综合练习十二附加卷答案
1、略 2、

3、证明: (1)当 n ? 2 时,有 ? a1 ? a2 ? ? a12 ? a22 ? 2a1a2 ,命题成立。…2 分
2

(2)假设当 n ? k (k≥2) 时,命题成立,即

? a1 ? a2 ? ??? ? ak ?

2

?a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? ak ? ?a2 ? a3 ? a4 ? ??? ? ak ? ? a12 ? a22 ? ??? ? ak 2 ?2 ?

? ??? ? ak ?1ak ? 成立,

………4 分
2

那么,当 n ? k ? 1 时,有 ? a1 ? a2 ? ??? ? ak ? ak ?1 ?
2

? ? a1 ? a2 ? ??? ? ak ? ? 2 ? a1 ? a2 ? ??? ? ak ? ak ?1 ? ak ?12
? a12 ? a22 ? ??? ? ak 2 ?2 ? ?a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? ak ? ?a2 ? a3 ? a4 ? ??? ? ak ? ? ??? ? ak ?1ak ?
?2 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? ak ? ak ?1 ? ak ?12

? a12 ? a22 ? ??? ? ak 2 ? ak ?12 ?2 ? ?a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? ak ? ak ?1 ? + a2 ? a3 ? a4 ? ??? ? ak ? ak ?1 ?
? ??? ? ak ak ?1 ? .

所以当 n ? k ? 1 时,命题也成立. 根据(1)和(2) ,可知结论对任意的 n ? N* 且 n≥2 都成立. 4、解: .⑴因为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 在抛物线 C : y 2 ? 4 x 上,

………8 分 ………10 分

y12 y2 y ? 2 4( y1 ? 2) 4 , y1 ), B ( 2 , y2 ) , k PA ? 12 ? ? , 2 4 4 y1 y1 ? 4 y1 ? 2 ?1 4 4 4 4 ?? 同理 k PB ? ,依题有 kPA ? ?kPB ,因为 ,所以 y1 ? y2 ? 4 . y2 ? 2 y1 ? 2 y2 ? 2

所 以 A(

⑵由⑴知 k AB ?

y12 y12 y2 ? y1 y ? y ? x ? , 即 x ? y ? y ? ?0, ? 1 ,设 的方程为 AB 1 1 4 4 y2 2 y12 ? 4 4 y2 3 ? y1 ? 1 4 y2 y 2 , AB ? 2 1 ? 2 ? 2 y1 ? y2 ? 2 2 2 ? y1 , P 到 AB 的距离为 d ? 4 4 2

所以 S?PAB ? 1 ? 2
?

3 ? y1 ? 2

y12 4

? 2 2 2 ? y1 =

1 2 y1 ? 4 y1 ? 12 y1 ? 2 4

1 ( y1 ? 2)2 ? 16 y1 ? 2 , 4 1 3 t ? 16t , 4 1 ? t 3 ? 16t 为偶函 数,只考虑 0 ≤ t ≤ 2 的情况,记 f (t ) ? t 3 ? 16t ? 16t ? t 3 , 4

令 y1 ? 2 ? t ,由 y1 ? y2 ? 4 , y1 ≥ 0, y2 ≥ 0 ,可知 ?2 ≤ t ≤ 2 . S?PAB ? 因为 S?PAB

2? 是单调增函数, f ?(t ) ? 16 ? 3t 2 ? 0 , 故 f (t ) 在 ?0, 故 f (t ) 的最大值为 f (2) ? 24 , 故 S?PAB
的最大值为 6.


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