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2011年高考全国卷理科数学新课标卷及解析


2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)复数
2?i 的共轭复数是 1 ? 2i

(A) ? i (D) i

3 5

(B) i

3 5

( C ) ?i

(2)下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的 (0, +?) 函数是 (A) y ? x3
y?2
?x

(B) y ? x ? 1

(C) y ? ? x 2 ? 1

(D)

(3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是 (A)120 (C)1440 (B)720 (D)5040

(4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每 位同学参加各个小组的可能性相同, 则这两位同学参加同一个兴趣小 组的概率为 (A)
3 4 1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

(5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在 直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? =

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 (A) ? (D)
4 5 4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示, 则相应的侧视图可以为

(7)设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,L 与 C 交于 A ,B 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 (A) 2 (B) 3
5

(C)2

(D)3

a ?? 1? (8) ? ? x ? ? ? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常 x ?? x? ?

数项为 (A)-40 40 (9)由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 (A) 6 (10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题
? 2? ? P 1 : a ? b ? 1 ? ? ? ? 0, ? ? 3 ? ? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3?

(B)-20

(C)20

(D)

10 3

(B)4

(C)

16 3

(D)

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

其中的真命题是 (A)P1 , P4 (B)P1 , P3 (C)P2 , P3
?
2

(D)P2 , P4

(11)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ? )的最小正周期为
? ,且 f (? x) ? f ( x) ,则
?? (A) f ( x) 在 ? ? 0, ? 单调递减
? 2?

(B) f ( x) 在 ? ? ,

? 单调递 ?4 4 ?

? 3? ?


?? (C) f ( x) 在 ? ? 0, ? 单调递增
? 2?

(D) f ( x) 在 ? ? ,

? 单调递增 ?4 4 ?

? 3? ?

(12)函数 y ?

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的 x ?1

横坐标之和等于 (A)2 (B) 4 (C) 6 (D)8

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要 求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 ( 13 ) 若变 量 x, y 满 足 约 束 条件 ? 为 。
?3 ? 2 x ? y ? 9, 则 z ? x ? 2y 的 最 小 值 ?6 ? x ? y ? 9,

(14) 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的中心为原点, 焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为
2 。过 F1 的直线 L 交 C 于 A, B 两点,且 VABF2 的周长 2

为 16,那么 C 的方程为



( 15 )已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且
AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为

。 。

(16)在 VABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2BC 的最大值为 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前 n 项和. (18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四 边 形 , ∠ DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥ 底 面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。
A P

?1? ? bn ?

D B

C

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 (19) (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质 量越好,且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新 配方 (分别称为 A 配方和 B 配方) 做试验, 各生产了 100 件这种产品, 并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标 值分 组 频数 8 20 42 22 8 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]

B 配方的频数分布表 指标 值分 组 频数 4 12 42 32 10 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指
??2, t ? 94 ? 标值 t 的关系式为 y ? ?2,94 ? t ? 102 ?4, t ? 102 ?

从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) , 求 X 的分布列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频 率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 (20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB / /OA , MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离 的最小值。
uuu r uur

uuu r uu u r

uuu r uur

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 为 x ? 2y ? 3 ? 0 。 (Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x) ?
ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 x ?1 x

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所 做的第一题记分。做答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, D , E 分别为 ?ABC 的边 AB , AC 上的 点,且不与 ?ABC 的顶点重合。已知 AE 的长为 n ,
AD , AB 的长是关于 x 的方程 x2 ? 14 x ? mn ? 0 的两个

C E A D B

根。 (Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在圆的半径。

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2sin ?

M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线
?? ?
3

uu u v

uuuv

与 C1 的异于极点的交点为 A, 与 C2 的异于极点的交点为 B, 求 AB .

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? x | x ? ?1 ? ,求 a 的值。

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 新课标卷 (黑龙江、吉林、河南、宁夏、新疆、山西) 参考答案 一、选择题

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 (1)C D (7)B D (1)复数
2?i 的共轭复数是 1 ? 2i

(2)B

(3)B

(4)A

(5)B

(6 )

(8)D

(9)C

(10)A

(11)A

(12)

(A) ? i 解析:

3 5

(B) i

3 5

(C) ?i

(D) i

2 ? i (2 ? i )(1 ? 2i ) = ? i, 共轭复数为 C 5 1 ? 2i

(2)下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是 (0, +?) (A) y ? x3 (B) y ? x ? 1 (C) y ? ? x 2 ? 1 (D) y ? 2? x

解析:由图像知选 B (3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那 么输出的 p 是 (A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040 解析:框图表示 an ? n ? an ?1 ,且 a1 ? 1 所求 a6 ? 720 选B (4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每 位同学参加各个小组的可能性相同, 则这两位同学参加同一个兴趣小 组的概率为

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 (A)
3 4 1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

解析;每个同学参加的情形都有 3 种, 故两个同学参加一组的情形 有 9 种,而参加同一组的情形只有 3 种,所求的概率为 p= ? 选 A (5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在 直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? = 解析:由题知 tan ? ? 2 , cos 2? ? (A) ?
4 5 4 5
cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 3 ? ?? 选B 2 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 5

3 9

1 3

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

(6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右 图所示, 则相应的侧视图可以为

解析: 条件对应的几何体是由底面棱长为 r 的正四棱锥沿底面对角线 截出的部分与底面为半径为 r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。 故 选D (7)设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,L 与 C 交于 A ,B 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 (A) 2 (B) 3 (C)2 (D)3

解析:通径|AB|=

2b 2 ? 2a 得 b2 ? 2a 2 ? a 2 ? c2 ? 2a 2 ,选 B a

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
a ?? 1? (8) ? ? x ? ? ? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常 x ?? x? ?
5

数项为 (A)-40 40 解析 1.令 x=1 得 a=1.故原式= ( x ? )(2 x ? )5 。 ( x ? )(2 x ? )5 的 通项 Tr ?1 ? C5r (2 x)5?2 r ( ? x ?1 )r ? C5r ( ?1)r 25?r x 5?2 r , 由 5-2r=1 得 r=2,对应的常 数项=80,由 5-2r=-1 得 r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为 40 ,选 D 解析 2.用组合提取法,把原式看做 6 个因式相乘,若第 1 个括号 提出 x,从余下的 5 个括号中选 2 个提出 x,选 3 个提出 ;若第 1 个 括号提出 ,从余下的括号中选 2 个提出 ,选 3 个提出 x. 故常数项= X ? C52 (2 X )2 ? C33 (? )3 ?
1 X 1 2 1 2 3 ? C5 ( ? ) ? C3 (2 X )3 =-40+80=40 X X 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

(B)-20

(C)20

(D)

(9)由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 (A) 6
4 ? 解析;用定积分求解 s ? ? ( x ? x ? 2)dx ? ( x 2 ? x 2 ? 2 x ) |0 0 4

10 3

(B)4

(C)

16 3

(D)

2 3

3

1 2

16 ,选 C 3

(10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题
? 2? ? P 1 : a ? b ? 1 ? ? ? ? 0, ? ? 3 ? ? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3?

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

其中的真命题是 (A)P1 , P4 (B)P1 , P3 (C)P2 , P3 (D)P2 , P4
1 2

解析: a ? b ? a 2 ? b2 ? 2ab cos ? ? 2 ? 2 cos ? ? 1 得, cos ? ? ? ,
? 2? ? ? ? ?0, ? 3

1 ? 2 2 ? 。由 a ? b ? a ? b ? 2ab cos ? ? 2 ? 2 cos ? ? 1 得 cos ? ? 2 ?

?? ? ? ? ? ? ,? ? 。 ?3 ?

选A
?

(11)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ? )的最小正周期为
2

? ,且 f (? x) ? f ( x) ,则
?? (A) f ( x) 在 ? ? 0, ? 单调递减
? 2?

(B) f ( x) 在 ? ? ,

? 单调递 ?4 4 ?

? 3? ?


?? (C) f ( x) 在 ? ? 0, ? 单调递增
? 2?

(D) f ( x) 在 ? ? ,

? 单调递增 ?4 4 ?

? 3? ?

解 析 : f ( x)?
?? ?

2 s i? n (x? ? ?

?
4

) 所 以 ? ? 2 , 又 f(x) 为 偶 函 数 , ,

?
4

?

?
2

? k? ? ? ?

?

? k? , k ? z ,? f ( x ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x ,选 A 4 2

?

(12)函数 y ?

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的 1? x

横坐标之和等于 (A)2 (B) 4 (C) 6 (D)8

解析:图像法求解。 y?

1 的 对 称 中 心 是 ( 1,0 ) 也 是 x ?1

y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的中心, ?2 ? x ? 4 他们的图像在 x=1 的左侧有 4

个交点,则 x=1 右侧必有 4 个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设 为 x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ,则 x1 ? x8 ? x2 ? x7 ? x3 ? x6 ? x4 ? x5 ? 2 ,所以选 D

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 二、填空题 (13)-6
2 7

(14)

x2 y2 ? ?1 16 8

(15) 8 3

(16)

( 13 ) 若变 量 x, y 满 足 约 束 条件 ? 为 。

?3 ? 2 x ? y ? 9, 则 z ? x ? 2y 的 最 小 值 ?6 ? x ? y ? 9,

解析:画出区域图知, 当 直 线 z ? x? 2 y过 ? 的 交 点 (4,-5) 时 , ?x ? y ? 9
zm i n? ?6
?2 x ? y ? 3

(14) 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的中心为原点, 焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为
2 。过 F1 的直线 L 交 C 于 A, B 两点,且 VABF2 的周长 2

为 16,那么 C 的方程为



?c 2 x2 y2 ? ? 解析:由 ? a 2 得 a=4.c= 2 2 ,从而 b=8,? ? ? 1 为所求。 16 8 ? 4a ? 16 ?

( 15 )已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且
AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为


1 (2 3)2 ? 62 ? 2 3 , 2

解析:设 ABCD 所在的截面圆的圆心为 M,则 AM= OM= 42 ? (2 3 ) 2 ? 2 , VO ? ABCD ? ? 6 ? 2 3 ? 2 ? 8 3 .
1 3

(16)在 VABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2BC 的最大值为 解 析
BC AC ? ? 2 ? BC ? 2sin A sin A sin B

。 :

A ? C ? 1200 ? C ? 1200 ? A , A ? (0,1200 ) ,

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
AB AC ? ? 2 ? AB ? 2sin C ? 2sin(1200 ? A) ? 3 cos A ? sin A ; sin C sin B
? AB ? 2BC ?
2 7

3 cos A ? 5sin A ? 28 sin( A ? ? ) ? 2 7 sin( A ? ? ) ,故最大值是

三、解答题 (17)解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a32 ? 9a2 a6 得 a33 ? 9a42 所以 q 2 ? 。 由条件可知 a>0,故 q ? 。 由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 。 故数列{an}的通项式为 an=
1 。 3n 1 3 1 3 1 9

(Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an
? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1

所以数列 { } 的前 n 项和为 ? (18)解:

1 bn

2n n ?1

(Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD,所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ) 如图,以 D 为坐标原点, AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴 的 正 半 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D- xyz , 则

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
A ?1, 0, 0 ? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0, 0,1? 。
uu u v uuv uuu v AB ? (?1, 3, 0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1, 0, 0)

?

? ?

?

设平面 PAB 的法向量为 n= (x,y,z) ,
? AB ? 0, uu u r 则 {n n ? PB ? 0, uuu r

z
?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

P



D
uu u r m? PB ? 0, uuu r m? BC ? 0,

因此可取 n= ( 3,1, 3) 设平面 PBC 的法向量为 m, 则 { 可取 m=(0,-1, ? 3 )
cos m, n ? ?4 2 7 ?? 7 2 7

A x

C B y

故二面角 A-PB-C 的余弦值为

?

2 7 7

(19)解(Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为
22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。 100

由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为
32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 100

(Ⅱ)用 B 配方生产的 100 件产品中,其质量指标值落入区间

?90,94 ? , ?94,102 ? , ?102,110? 的频率分别为 0.04,,054,0.42,因此
P(X=-2)=0.04, 即 X 的分布列为 X P -2 0.04 2 0.54 4 0.42 P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,

X 的数学期望值 EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 (20)解:(Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y), AB =(x,-2). 再由题意可知 ( MA + MB ) ? AB =0, 即 (-x,-4-2y) ? (x,-2)=0.
1 4 1 1 (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C: y= x 2 -2 上一点, 因为 y ' = x,所以 l 的 4 2 1 斜率为 x 0 2 1 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x02 ? 0 。 2

uuu r

uuu r

uu u r

uuu r

uuu r

uu u r

所以曲线 C 的方程式为 y= x 2 -2.

则 O 点到 l 的距离 d ?

2 | 2 y0 ? x0 |

x ?4
2 0

.又 y0 ? x02 ? 2 ,所以

1 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 2 d? ? ( x0 ?4? ) ? 2, 2 2 x0 ? 4 2 x0 ? 4

当 x02 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.
?(
x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x
1 2

(21)解: (Ⅰ) f '( x) ?

由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,
? f (1) ? 1, ?b ? 1, ? ? 故? 1 即 ?a 1 f '(1) ? ? , ?b ? ? , ? ? ? 2 ?2 2

解得 a ? 1 , b ? 1。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?
ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) f ( x) ? ( ? )? (2 ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x

(k ? 1)( x 2 ? 1) 考虑函数 h( x) ? 2ln x ? ( x ? 0) ,则 x

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
(k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x 。 h '( x) ? x2

(i)设 k ? 0 , 由 h '( x) ? 故

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知, 当 x ? 1 时,h '( x) ? 0 。 而 h1 ) ( 0 ? , x2

当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得

1 h( x ) ? 0 ; 1 ? x2

1 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时, f (x) ( + ) >0, 即f (x) > + . x ?1 x x ?1 x 1 (ii)设 0<k<1.由于当 x ?(1, )时, (k-1) (x2 +1)+2x>0, 1? k

当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得

故 h ' (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1, 与题设矛盾。 (iii)设 k ? 1.此时 h ' (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1,+ ? ) 时,h(x)>0,可得
1 h(x)<0,与题设矛盾。 1? x2 1 1 )时,h(x)>0,可得 h(x)<0, 1? k 1? x2

综合得,k 的取值范围为(- ? ,0] 分析:新课标数学全国卷的 21 考察函数与导数,是近几年高考难度 较大的一道, 考察考生函数与导数的有关知识, 考察考生的转化能力、 分类讨论思想、数型结合思想及其二次函数的有关问题,考察考生综 合处理问题的能力,对高考的选拔性功能起到了很好的体现。 另法: (Ⅰ)略 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?
ln x 1 ? ,所以 x2 ? 1 x

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

? k ? 1? ? x2 ? 1? ? 1 ? ? ln x k ? ? 2ln x ? ? f ( x) ? ? ? ?? 2 ? x ? x ?1 x ? 1 ? x ? ? ?
考虑函数 h( x) ? 2 ln x ? 则 h?( x) ?

? k ? 1? ? x 2 ? 1?
x

( x ? 0) ,

? k ? 1? ? x 2 ? 1? ? 2 x ? k ? 1? x 2 ? 2 x ? ? k ? 1? ? (考察分子二次函数的开
x x

口方向分类) (ⅰ)设 k ? 1(开口向上).此时 h?( x) ? 0 ,而 h(1) ? 0 ,故当 x ? (1, ??) 时,
h( x) ? 0 ,可得

1 h( x) ? 0 ,与题设矛盾。 1 ? x2

(ⅱ)设 k ? 1 (开口向下) ① 当 ? ? 22 ? 4(k ? 1)2 ? 0 (即 k ? 0 )
x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故

当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得

1 h( x ) ? 0 ; 1 ? x2

1 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时, f (x) ( + ) >0, 即f (x) > + . x ?1 x x ?1 x

当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得

②当 ? ? 22 ? 4(k ? 1)2 ? 0 (即 0 ? k ? 1)

? k ? 1? x

2

? 2 x ? ? k ? 1? ? 0 , x1 ?

1 ? 1 ? ?1 ? k ? 1? k

2

, x2 ?

1 ? 1 ? ?1 ? k ? 1? k

2

又 0 ? x1 ? 1 ? x2 , 所以 x ?(1,x2 ) 时, (k-1) (x2 +1) +2x>0,故 h?( x) ? 0 , 而 h(1)=0,故当 x ?(1, x2 )时,h(x)>0,可得 与题设矛盾。 【或所以 x ?( x1 ,1)时, (k-1) (x2 +1)+2x >0,故 h?( x) ? 0 ,而 h(1) =0,故当 x ? ( x1 ,1)时,h(x)<0,可得 盾】 。
1 h(x)<0,与题设矛 1? x2 1 h(x)<0, 1? x2

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
x2 ) 【或又 0 ? x1 ? 1 ? x2 , 所以 x ? (1, 时, (k-1) (x2 +1) +2x>0,故 h?( x) ? 0 ,

而h (1) =0, 取 x ? x2 ,h( x2 ) ? h(1) ? 0 , 可得 综合得,k 的取值范围为(- ? ,0] (22)解:

1 。 h( x2 ) ? 0 ,与题设矛盾】 2 1 ? x2

(I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC, 即
AD AE .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB ? AC AB

C G E A D F

H

B

因此∠ADE=∠ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。 (Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12.

取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两 垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D, E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 由于∠A=900,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2 (23)解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M(
X Y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2 1 (12-2)=5. 2

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
? x ? 2 cos ? ? ? 2 ? ? y ? 2 ? 2sin ? ? ?2
? x ? 4 cos ? ? ? y ? 4 ? 4sin ?



从而 C 2 的参数方程为
? x ? 4 cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 4 ? 4sin ?

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为
? ? 8sin ? 。

射线 ? ? 射线 ? ?

? ?
3 3

与 C1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin , 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin 。
3

?

?

3

所以 | AB |?| ? 2 ? ? 1 |? 2 3 . (24)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为
| x ? 1|? 2 。

由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 。

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为
{x | x ? 3 或 x ? ?1} 。

( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得 x ? a ? 3x ? 0 此不等式化为不等式组
?x ? a ? ? x ? a ? 3x ? 0

或?

?x ? a ?a ? x ? 3x ? 0

?x ? a 即 ? ? a x? ? ? 4

?x ? a 或? ? a a?? ? ? 2

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 由题设可得 ? = ?1,故 a ? 2
a 2 a 2

?


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