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2018年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第22讲正弦定理和余弦定理课件理资料


第 三 章 三角函数、解三角形 第22讲 正弦定理和余弦定理

考纲要求

考情分析

命题趋势

掌握正 弦定理、余 弦定理,并 能解决一些 简单的三角 形度量问题.

2016,四川卷,17T 2016,全国卷Ⅰ,17T 2016,北京卷,15T

分值:5~12分

正、余弦定理是解 三角形的主要工具. 高考中主要考查用其 求三角形中的边和角 及进行边、角之间的 转化.

栏目导 航

板 块 一 板 块 二

板 块 三

板 块 四

? 1.正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理

a b c sin A=sin B=sin C
内容 __________________________ =2R.(R为△ABC外接圆半径)

a2=___________________; b2=___________________ a2+c2-2accos ; B c2=___________________ . 2 2

b2+c2-2bccos A

a +b -2abcos C

定理

正弦定理

余弦定理

①a=____________ 2Rsin A ,
b=______________ , 2Rsin B c=______________ . 2Rsin C ②sin A=_________, 变形

a 2R

b2+c2-a2 2bc cos A=______________; a2+c2-b2 2ac cos B=____________ ; a2+b2-c2 cos C=_____________. 2ab

b 形式 sin B=_________ , 2R c sin C=_________. 2R
③a∶b∶c= ________________.

sin A∶sin B∶sin C

? 2.在△ABC中,已知a,b和A,解三角形时 解的情况
图形

A 为锐角

A 为钝角或直角

关系式 a<bsin A 解的 个数

a=bsin A

bsin A<a<b

a≥b

a>b

a≤b

无解 ______

一解 ______

两解 ______

一解 ______

一解 ______ 无解 ______

3.三角形常用的面积公式 1 (1)S=2a· ha(ha 表示 a 边上的高). 1 1 1 abc (2)S=2absin C=2acsin B=2bcsin A= 4R . 1 (3)S=2r(a+b+c)(r 为内切圆半径). 1 (4)设 p=2(a+b+c),则 S= p?p-a??p-b??p-c?.

? ? ? ? ? ?

1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.( √ ) (2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等.( × ) (3)已知两边及其夹角求第三边,用余弦定理.( √ ) (4)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( × ) (5)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.( √ )

解析: (1)正确. 由正弦定理和余弦定理的证明过程可知, 它们对任意三角形都成立. (2)错误.由正弦定理可知该结论错误. (3)正确.由余弦定理可知该结论正确. (4)错误.当已知三个角时不能求三边. a b (5)正确.由正弦定理知 sin A=2R,sin B=2R,由 sin A>sin B 得 a>b,即 A>B.

2.在△ABC 中,若∠A=60° ,∠B=45° ,BC=3 2,则 AC=( B ) A.4 3 B.2 3 C. 3 3 D. 2

3 2 3 2 2 BC AC AC 解析:由正弦定理得:sin A=sin B,即sin 60° =sin 45° ,所以 AC= × 2 =2 3. 3 2

3.在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则∠A=( C ) A.30° B.45° C.60° D.75°

b2+c2-a2 1+4-3 1 解析:∵cos A= 2bc = =2,又∵0° <A<180° ,∴A=60° . 2×1×2

? 4.在△ABC中,若a=18,b=24,∠A= 45°,则此三角形有( B ) ? A.无解 B.两解 C.一解 D.解的个数不确定
24 2 2 a b b 解析:∵sin A=sin B,∴sin B=a· sin A=18sin 45° ,∴sin B= 3 ,又∵a<b,∴∠ B 有两个.

? 5.在△ABC中,∠B=120°,AC=7,AB= 15 3 5,则△ABC的面积为________.
4

解析:设 BC=x,由余弦定理得 49=25+x2-10xcos 120° ,整理得 x2+5x-24=0, 1 1 3 15 3 即 x=3.因此 S△ABC=2AB×BC×sin B=2×3×5× 2 = 4 .

?一

利用正、余弦定理解三角形

? (1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理 时,只要知道其比值或等量关系就可以通过 约分达到解决问题的目的,在解题时要学会 灵活运用. ? (2)运用余弦定理时,要注意整体思想的运 用.

【例 1】 如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= 7. (1)求 cos∠CAD 的值; 7 21 (2)若 cos∠BAD=- 14 ,sin∠CBA= 6 ,求 BC 的长.

AC2+AD2-CD2 解析:(1)在△ADC 中,由余弦定理,得 cos∠CAD= 2AC· AD .故由题设知, 7+1-4 2 7 cos∠CAD= = 7 . 2 7

(2)设∠BAC=α,则 α=∠BAD-∠CAD. 2 7 7 因为 cos∠CAD= 7 ,cos∠BAD=- 14 , 所以 sin∠CAD= 1-cos ∠CAD= sin∠BAD= 1-cos ∠BAD=
2 2

?2 7? ?2 1-? ? 7 ?= ? ?

21 7 ,

? 7? ? ?2 3 21 1-?- ? = 14 . ? 14 ?

于是 sin α=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BAD· sin∠CAD= 3 21 2 7 ? 21 3 7? ? ? - 14 ?× 7 = 2 . 14 × 7 -? ? ? BC AC 在△ABC 中,由正弦定理得,sin α= , sin∠CBA 3 7× 2 AC· sin α 故 BC= = =3. sin∠CBA 21 6

?二 利用正、余弦定理判定三角形的 形状
? 利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路 ? (1)“角化边”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只 含边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从 而判断三角形的形状. ? (2)“边化角”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只 含内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出 内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A +B+C=π这个结论. ? 注意:在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式, 应移项提取公因式,以免漏解.

? 【例2】 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边, 且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. ? (1)求A的大小; ? (2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.
解析:(1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc, 1 由余弦定理得 a =b +c -2bccos A,故 cos A=-2,
2 2 2

2 又 0<A<π,所以 A=3π.

3 (2)由(1)得 sin A=sin B+sin C+sin Bsin C=4.
2 2 2

1 又 sin B+sin C=1,联立两式得 sin B=sin C=2. π π π 因为 0<B<2,0<C<2,故 B=C=6,所以△ABC 是等腰钝角三角形.

?三 与三角形面积有关的问题
与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略 1 1 1 (1)求三角形的面积.对于面积公式 S=2absin C=2ac· sin B=2bcsin A,一般是已 知哪一个角就使用含哪个角的公式. (2)已知三角形的面积解三角形.与面积有关的问题,一般要利用正弦定理或余 弦定理进行边和角的互化.

【例 3】 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求 C; 3 3 (2)若 c= 7,△ABC 的面积为 2 ,求△ABC 的周长.

解析:(1)由已知正弦定理,得 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, 2cos Csin(A+B)=sin C. 1 π 故 2sin Ccos C=sin C.可得 cos C=2,所以 C=3.

1 3 3 π (2)由已知,得2absin C= 2 .又 C=3,所以 ab=6. 由已知及余弦定理,得 a2+b2-2abcos C=7. 故 a2+b2=13,从而(a+b)2=25. 所以△ABC 的周长为 5+ 7.

1.(2017· 山西太原模拟)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 2 2 若 sin A= 3 ,a=2,S△ABC= 2,则 b 的值为( A ) A. 3 3 2 B. 2 C.2 2 D.2 3

2 2 解析:∵在锐角△ABC 中,sin A= 3 ,S△ABC= 2, 1 1 1 2 2 ∴cos A= 1-sin A=3,2bcsin A=2bc· 3 = 2,
2

∴bc=3 ①,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, ∴(b+c) =a
2 2

? 1? +2bc(1+cos A)=4+6×?1+3?=12, ? ?

∴b+c=2 3 ②.由①②得 b=c= 3,故选 A.

? 2.(2017·辽宁五校第一次联考)在△ABC中,角A,B,C所 对的边分别是a,b,c,若直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ ycos B+cos A=0平行,则△ABC一定是( ) ? CA.锐角三角形 B.等腰三角形 ? C.直角三角形 D.等腰或直角三角形
解析: 由两直线平行可得 bcos B-acos A=0, 由正弦定理可知 sin Bcos B-sin Acos 1 1 A=0,即2sin 2A=2sin 2B,又 A,B∈(0,π),且 A+B∈(0,π),所以 2A=2B 或 2A π +2B=π,即 A=B 或 A+B=2.若 A=B,则 a=b,cos A=cos B,此时两直线重合, π 不符合题意,舍去,故 A+B=2,则△ABC 是直角三角形,故选 C.

3.(2017· 东北育才五模)已知△ABC 是斜三角形,内角 A,B,C 所对的边的长分 别为 a,b,c.若 csin A= 3acos C. (1)求角 C; (2)若 c= 21,且 sin C+sin(B-A)=5sin 2A,求△ABC 的面积. a c 解析:(1)根据sin A=sin C,可得 csin A=asin C,
又∵csin A= 3acos C,∴asin C= 3acos C, sin C ∴sin C= 3cos C,∴tan C=cos C= 3, π ∵C∈(0,π),∴C=3.

(2)∵sin C+sin(B-A)=5sin 2A,sin C=sin(A+B), ∴sin(A+B)+sin(B-A)=5sin 2A, ∴2sin Bcos A=2×5sin Acos A. ∵△ABC 为斜三角形,∴cos A≠0,∴sin B=5sin A. 由正弦定理可知 b=5a,① 1 2 2 ∵c =a +b -2abcos C,∴21=a +b -2ab×2=a +b -ab,②
2 2 2 2 2

由①②解得 a=1,b=5, 1 1 3 5 3 ∴S△ABC=2absin C=2×1×5× 2 = 4 .

4.(2017· 广东茂名二模)如图,在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, π c.若 B=3,b= 7,c=2,D 为 BC 的中点. (1)求 cos∠BAC 的值; (2)求 AD 的值.

解析:(1)在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B,∴7=4+ 1 a - 2×2×a× 2 ,即 (a - 3)(a + 1) = 0 ,解得 a = 3(a =- 1 舍去 ) ,∴ cos ∠ BAC =
2

AB2+AC2-BC2 4+7-9 7 2AB· AC =2×2× 7= 14 . 3 (2)由(1)知 BC=3,则 BD=2. 9 3 1 在△ABD 中,由余弦定理得 AD =AB +BD -2AB· BD· cos B=4+4-2×2×2×2
2 2 2

13 13 = 4 ,∴AD= 2 .

?易错点 解三角形时出现增解与丢解
? 错因分析:在三角形中忽视“大边对大 角”“大角的正弦值也大”产生增解;由sin 2A=sin 2B得2A=2B或2A+2B=π时,容易 丢掉2A+2B=π. ? 【例1】 在△ABC中,a,b,c分别为内角A, B,C的对边,若tan A∶tan B=a2∶b2,试判 断△ABC的形状.

sin A sin B 2 2 解析:∵cos A∶cos B=a ∶b =sin2A∶sin2B, sin Acos B sin2A ∴cos Asin B=sin2B,整理得 sin 2A=sin 2B, π ∴2A=2B 或 2A+2B=π,即 A=B 或 A+B=2, ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

5 3 【例 2】 △ABC 中,sin A=13,cos B=5,则 cos C=______________. 4 解析:∵cos B>0,∴B 为锐角,sin B=5.
12 ∵sin A<sin B,∴A<B,cos A=13. ∴cos C=cos[ π-(A +B)] =-cos(A+B)
?12 3 5 4? 16 ? ? =- 13×5-13×5 =-65. ? ?

16 答案:-65


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