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高2016届高考专题:总结数列的性质和求和

数列的性质与求和 1 函数单调性与数列 例 1:函数 f ( x) ? x ? ; 变式 1:函数 f ( x) ? x ? ;

c ? ,若对任意的 x ? N ,都有 f ( x) ? f (2) ,则 c 的取值范围是 x c ? ,若对任意的 x ? N ,都有 f ( x) ? f (3) ,则 c 的取值范围是 x

?a x ?5 , x ? 6 ? 变式 2:已知函数 f ( x) ? ? ,数列 {an }满足an ? f (n)(n ? N ? ) ,且数列 a ?(4 ? ) x ? 4, x ? 6 2 ?

{an } 是单调递增数列,则实数 a 的取值范围是



?a x ?5 , x ? 6 ? 变式 3:已知函数 f ( x) ? ? ,数列 {an }满足an ? f (n)(n ? N ? ) ,且数列 a ?(4 ? ) x ? 4, x ? 6 2 ?

{an } 是单调递增数列,则实数 a 的取值范围是



变式 4:已知数列 {an } 是首项为 a ,公差为 1 的等差数列,若 f (n) ?

1 ? an 。若对任意的 an


n ? N ? ,都有 f (n) ? f (8) 成立,求实数 a 的取值范围
变式 5:定义: F ( x, y) ? y x ( x ? 0, y ? 0) ,已知数列 {an } 满足: an ? 若对任意正整数 n ,都有 an ? ak (k ? N ? ) 成立,则 ak 的值为 变式 6:设等差数列 {an } 的公差为 d,若函数 f (n) ? 2 A d ?0 B d ?0 C a1d ? 0
a1an

F (n,2) (n ? N ? ) , F (2, n)


(n ? N ? ) 为减函数,则( )

D a1d ? 0

变式 7 :在等差数列 {an } 中, a2 ? 5, a6 ? 21,记数列 {

1 } 的前 n 项和为 f (n) ,若 an


f (2n ? 1) ? f (n) ?

m ? 对 n ? N 恒成立,则正整数 m 的最小值为 15

2 等差,等比数列的性质求和 例 2 : 若 等 比 数 列 {an } 的 各 项 均 为 正 数 , 且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e
5

, 则

ln a1 ? ln a2 ? .....? ln a20 ?



1

变 式

1 : 等 比 数 列 {an } 的 各 项 均 为 正 数 , 且 a1a5 ? 4 , 则 ; ; ;

l o2 a g g g g g 1 ? l o2 a 2 ? l o2 a 3 ? l o2 a 4 ? l o2 a 5 ?

变式 2:等比数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 {lg an } 的前 8 项和等于 变式 3:已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a3 ? 3a7 ? a11 ? 15 ,则 S13 ? 变式 4:等差数列 {an } 满足: a2 ? a9 ? a6 ,则 S9 ?
2



变式 5:在公差不为零的等差数列 {an } 中, 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 ,数列 {bn } 是等比数列, 且 b7 ? a7 ,则 log2 (b6b8 ) ? 3 两个数列前 n 项和的比 例 3:设 {an },{bn } 是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ,若 ;

S n 3n ? 1 ,那 ? Tn 4n ? 3



an ? bn



变 式 1 : 已 知 设 {an },{bn } 是 两 个 等 差 数 列 , 它 们 的 前 n 项 和 分 别 为 Sn 和 Tn , 若

S n 7n ? 45 a7 ? , ? Tn n ? 3 b7



a9 ? b11



变式 2:设 {an },{bn } 是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ,若

S n 2n ? 1 , ? Tn 4n ? 2

那么

a10 a11 ? ? b3 ? b18 b6 ? b15



变式 3:设 {an },{bn } 是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ,若

S n 7n ? 45 , ? Tn n?3

那么使

an 为整数的个数是 bn



变式 4:设 {an },{bn } 是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ,若

S n 5n ? 63 ? , Tn n?3

那么使

an 为整数的个数是 bn



2

4 等差,等比数列的部分和 例 4:等差数列 {an } 的前 m 项和为 30,前 2 m 项和为 100,则它的前 3m 项和为 变式 1:各项均为实数的等比数列 {an } 前 n 项的和为 Sn ,若 S10 ? 10, S30 ? 70, 则S40 ? ; 变 式 2 : 给 定 比 为 ;

q(q ? 1)











{an }





b1 ? a1 ? a2 ? a3 , b2 ? a4 ? a5 ? a6 ,......,bn ? a3n?2 ? a3n?1 ? a3n ,...,则数列 {bn }
A 是等差数列 C 是是公比为 q3 的等比数列 B 是公比为 q 的等比数列 D 既非等比数列又非等差数列 ;

变式 3:正项等比数列 {an } 的前 n 项的和为 Sn ,若 S3 ? 3, S9 ? S6 ? 10, 则S6 ? 变式 4:设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S 4 ? 6, S8 ? 10, 则

S16 ? S12
;

;

变式 5:设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若

S6 S ? 3, 则 9 ? S3 S6

变式 6: 设等比数列 {an } 中, 前 n 项和为 Sn , 已知 S3 ? 8, S6 ? 7 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? 变式 7:已知等差数列 {an } , Sn ? a, S2n ? Sn ? b ,若 a ? b ? n ,则公差为
2

; ; ;

变式 8:已知等差数列 {an } 的前 13 项的和为 5 等差,等比数列的下标性质

13? ,则 tan( a5 ? a7 ? a9 ) ? 4

1 x 例 5:已知数列 {an } 等差数列,公差不为 0,其中 ? 2 ? 1, ak2 , ak3 ,......,akn 恰为等比 1? x 1? 1 2
数列,若 k1 ? 1, k2 ? 5, k3 ? 17, 求k1 ? k2 ? ...? kn ? ;

变式 1:已知数列 {bn } 的通向为 bn ? 3n ? 2 , {bn } 中的部分项 bk1 , bk2 ,.....,bkn ,....组成一个 等比数列 {cn } ,其中 k1? 2,k 2? 10, 求kn ? ;

变式 2:等差数列 {an } 中共有奇数项,且此数列中的奇数项之和为 77,偶数项之和为 66,

a1 ? 1 ,则其中间项为



3

变式 3: 设 {an } 是各项为正数的无穷数列, Ai 是边长为 ai , ai ?1 的矩形面积 (i ? 1,2,...) 则 { An } 为等比数列的充要条件是 A {an } 是等比数列 ;

B a1 , a3 , a5 ,......,a2n?1 ,... 或a2 , a4 ,.....,a2n ,.... 为等比数列

C a1 , a3 , a5 ,......,a2n?1 ,... 和a2 , a4 ,.....,a2n ,.... 均为等比数列 D a1 , a3 , a5 ,......,a2n?1 ,... 和a2 , a4 ,.....,a2n ,.... 均为等比数列,且公比相同 变式 4:已知数列 {an } 是等比数列,前 n 项和为 Sn ,设 k ? N ? , Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 是否 为等比数列?

变式 5:等差数列 {an } 中, a5 ? 0, a6 ? 0且a6 ? a5 , Sn 是数列的前 n 项,则下列正确的是 ( ) A S1,S2,S3均小于0, S4 , S5 , S6 ...... 均大于0 B S1,S2 ....S5均小于0, S6 , S7 ...... 均大于0 C S1,S2 ....S9均小于0, S10 , S11...... 均大于0 D S1,S2 ....S11均小于0, S12 , S13 ...... 均大于0 变式 6:若 {an } 是等差数列,首相 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和

Sn ? 0 成立的最大的 n=
6 等差数列前 n 项和的最值



例 6:在等差数列 {an } 中,若 a5 ? a7 ? 4, a6 ? a8 ? ?2 ,则数列 {an } 的公差等于 其前 n 项和为 Sn 的最大值是 ;



变式 1:等差数列 {an } 中, a1 ? 10, d ? ?2 ,求数列的前 n 项和的最大值;

变式 2:在等差数列 {an } 中, a3 ? ?13, a7 ? 3 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求 {Sn } 的最 小值;

4

变式 3:在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 20 ,前 n 项和为 Sn ,且 S10 ? S15 ,问当 n 取何值时,

Sn 有最大值,并求出它的最大值。

变式 4:已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1, a5 ? ?5 , {an } 前 n 项和 Sn 的最大值是 ; 变式 5: 已知 an ? ( 2 ?1)( 2 )n?1 , 数列 {lg 大,最大值为 ; ; ; ;

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n ? an

时,Tn 最

变式 6: 等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn , 已知 S10 ? 0, S12 ? 25,则 nSn 的最小值为 变式 7:设数列 {an } 的通向为 an ? 2n ? 7(n ? N ? ) 则 a1 ? a2 ? ....? a15 ? 变式 8: 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? n2 ?14n , 令 Tn ? a1 ? a2 ? . 7 等差数列前 n 项和的最值应用

? an =

例 7:在等差数列 {an } 中,满足 3a4 ? 7a, 且a1 ? 0, Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,若 Sn 取得 最大值时 n ? ;

变式 1:在等差数列 {an } 中, a1 ? 7 ,公差为 d,前 n 项和为 Sn ,当且仅当 n ? 8 时取得最 大值,则 d 的取值范围是 ; 时, 数列 {an }

变式 2: 若等差数列 {an } 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0, a7 ? a10 ? 0 , 则当 n ? 的前 n 项和取得最大值。

变式 3:已知是等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105 , a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,以 Sn 表示 {an } 的前 n 项 和,则使得 Sn 达到最大值的 n =
2 变式 4:已知等差数列 {an } 中,公差 d ? 0 ,且 a2009 , a2010 是方程 x ? 3x ? 5 ? 0 的两个根,

那么使得前 n 项和 Sn 为负数的最大的 n 的值是

; 时, Sn 最大;

变式 5 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 13, S13 ? S11 , n ?

变式 6:若 {an } 是等差数列,首相 a1 ? 0, a4 ? a5 ? 0, a4 a5 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立 的最大的正整数 n ? ;

5

变式 7:若数列 {an } 是等差数列,首相 a1 ? 0, a4 ? a5 ? 0, a4 a5 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn 取得 最大值的最大的正整数 n ? 8 线性规划法求最值 ;

例 8 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a4 的最大值是



变式 1:设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 1 ? a5 ? 4,2 ? a6 ? 3 ,则 S6 的取值范围是 ; 变式 2:等差数列的前 n 项和为 Sn , S4 ? 10, S5 ? 12 ,则 a5 的最大值是 ;

变 式 3 : 设 等 差 数 列 {an } 的 首 项 及 公 差 分 别 为 a1 , d , 前 n 项 和 为 Sn , 且

a1 ? 1, a4 ? 6, S3 ? 12 ,则 a2011 的最大值是

; ; ;

变式 4:等比数列 {an } 中,已知 1 ? a3 ? 3,1 ? a5 ? 5 ,则 a9 的取值范围是 变式 5:等差数列 {an } 中,已知 a2 ? 7, a6 ? 9 ,则 a10 的取值范围是 9 均值定理求最值

例 9 已知各项均为正数的等比数列 {an } 中, a4与a14 的等差中项为 2 2 ,则 2a7 ? a11 的最 小值是 ; ;

变式 1: 在等比数列 {an } 中,an ? 0 , 且 a1a2 ..... 则 a4 ? a5 的最小值为 a7 a8 ? 16 , 变式 2:在各项经均为正数的等比数列 {an } 中, A 数列 {an } 是递增数列 C 数列 {an } 是常数列 变式 3:若数列 {an } 满足

a3 ? a11 ? 2 ,则下列结论中正确的是( ) a7

B 数列 {an } 是递减数列 D 数列 {an } 有可能是递增数列也有可能为递减数列

1 1 。 ? ? d (n ? N ? , d为常数) ,则称数列 {an } 为“调和数列” an ?1 an


已知正项数列 {

1 } 为“调和数列”且 b1 ? b2 ? ....? b9 ? 90 ,则 b4b6 的最大值为 bn

变式 4: 已知正项等比数列 {an } 满足:a7 ? a6 ? 2a5 , 若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 , 则

1 4 ? 的最小值为 m n



10 公式法求和

6

例 10:已知 log3 x ?

?1 2 3 n ,那么 x ? x ? x ? ......? x ? log2 3



变式 1:已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1,2,....且 a5a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a3 ? ....? log2 a2n?1 ?

; ;

变式 2:数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an , n ? 1,2,....,则 a1 ? a2 ? ... ? an ? 变式 3:求和: 1 ? 3 ? 5 ? .......? (22013 ?1)

,.......的前 n 项和 变式 4:求 5,55,555

11 分组求和法 例 11 数 列 1, (1 ? 2), (1 ? 2 ? 22 ),......( 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ....? 2n?1 ) , . 的 . . 前 99 项 之 和 为 ;

变式 1:求数列 3 ,5 ,7

1 4

1 8

1 ,....的前 n 项的和 16

变 式 2 : 已 知 数 列 {an },{bn } 满 足 a1 ? 1,a 2 ? 2, b1 ? 2 , 且 对 任 意 的 正 整 数

i, j, k , l,当i ? j ? k ? l时都有ai ? bj ? ak ? bl ,则
1 (a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? ... ? an ? bn ) ? ; n n? 2 2 n? ? sin 2 ) ,求其前 n 项和 S n ? 变式 3:数列 {an } 的通项 an ? n (cos 3 3
12 裂项相消法求和 例 12:数列:



1 1 1 1 , , ,......., 的前 n 项和为 2 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n



1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) n( n ? k ) k n n ? k

7

1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ) 2 k k ?1 2 k ?1 k ? 1
变式 1:求和 S n ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2? ? ? k k ? 1 k (k ? 1) k k (k ? 1) k ? 1 k

1 1 1 ? ? ......? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)


变式 2:求和:

1 1 1 ? ? .....? ? 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2)(3n ? 1) 1 n ? n ?1
,且 Sn ? 9, 则n ?

变式 3:在数列 {an } 中, an ?



变式 4:数列 {an } 的通向公式为 an ? 变 式

1 n ? n ?1
n

,若前 n 项和为 10,则项数 n 为



5 : 等 差 数 列 {an } 的 前

项 和 为 Sn , a3 ? 20, S3 ? 36 , 则 ;

1 1 1 1 ? ? ?. . ? . . . ? S1 ? 1 S 2 ? 1 S3 ? 1 S15 ? 1
13 倒序相加法

例 13 求包含在正整数 m与n(m ? n) 之间的分母为 7 的所有不可约分数之和

0 1 2 n 变式 1:求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ....? (2n ?1)Cn ? (n ?1)2n

1 1 1 x2 变式 2: 已知 f ( x) ? , 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 2 2 3 4 1? x
变式 3:设 f ( x) ? 14 错位相减法 例 14 已知数列 {an } 的通向公式为 an ?



1 ,求 f (?5) ? f (?4) ? ... ? f (0) ? ....? f (6) ? 2 ? 2
x



1 n ,求数列 { } 的前 n 项和 Sn n 3 an

变式 1:求 Sn ? a ? 2a ? 3a ? .....? na (a为常数)
2 3 n

8

15 奇偶项的讨论 例 15 求和 Sn ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? .....? (?1)n (2n ?1)

变式 1:求和 Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ....? (?1)n (2n ?1) 变式 2:设数列 {an } 中, an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,求数列 {an } 的前 60 项的和为 变式 3:数列 {an } 满足 an ? ? ;

?n, n ? 2k ? 1 (k ? N ? ),设f (n) ? a1 ? a2 ? ... ? a2n ?1 ? a2n ,则 a , n ? 2 k ? k


f (2013 ) ? f (2012 )?

9


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