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2013版高中全程复习方略配套课件:3.7正弦定理和余弦定理(人教A版·数学理)浙江专用


第七节 正弦定理和余弦定理

三年16考

高考指数:★★★

掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考

考查的热点.
2.常与三角恒等变换相结合,综合考查三角形中的边与角、三

角形形状的判断等.
3.在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的距 离问题.

1.正弦定理
分类 定理 内容 b c a ? _____ ? _____ ? 2R (R是? ABC外接圆的半径) sinB sinC sinA 2RsinA 2RsinB 2RsinC ①a ? _______,b ? _______,c ? ________, 变形公 ②sinA sinB sinC ? __________, a b c ∶∶ ∶ ∶ b c 式 a ③sinA ? ,sinB ? ____,sinC ? ______ 2R 2R 2R 解决的 问题 ①已知两角和任一 边,求其他两边和另一角. ②已知两边和其中 一边的对角,求另一边的对角.

【即时应用】(1)思考:在△ABC中,sinA>sinB是A>B的什么

条件?
提示:充要条件. 因为 sinA ? sinB ? a ? b ? a ? b ? A ? B.
2R 2R

(2)在△ABC中,B=30°,C=120°,则a∶b∶c=______. 【解析】A=180°-30°-120°=30°, 由正弦定理得:a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=1∶1∶ 3 . 答案:1∶1∶ 3

2.余弦定理
分类
2


2 2 2


2 2

定理

在△ABC中,有a 2 ? b ? c ? 2bccosA ________________; b 2 ? c ? a ? 2cacosB ;c2 ? a ? b ? 2abcosC _______________ _______________
b 2 +c 2 -a 2 a 2 +c 2 -b 2 2bc cosA=_____________;cosB=__________; 2ac a 2 +b 2 -c 2 cosC=____________ 2ab

变形
公式

解决的
问题

①已知三边,求各角. ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.

【即时应用】(1)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么

它的顶角的余弦值为______.
(2)在△ABC中,已知a2=b2+bc+c2,则角A为______.

【解析】(1)设底边边长为a,则由题意知等腰三角形的腰长
4a 2+4a 2-a 2 7 为2a,故顶角的余弦值为 = . 2 ? 2a ? 2a 8

(2)由已知得b2+c2-a2=-bc,
b 2+c 2-a 2 1 ? cosA= =- , 2bc 2 又? 0<A<π, A= 2π . ? 3 7 答案:(1) (2)2π 8 3

3.三角形中常用的面积公式 (1)S= 1 ah(h表示边a上的高);
2 1 1 1 absinC acsinB (2)S= bcsinA=________=________; 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径). 2

【即时应用】(1)在△ABC中,A=60°,AB=1,AC=2,则
S△ABC的值为_________. (2)在△ABC中, = 5,AB= 2,cosA= 2 5 , △ABC=___. 则S AC
5

【解析】(1) ? ABC= 1 AB ? AC ? sinA=sin60?= 3 . S
2

(2)在△ABC中, cosA=
? sinA=

2 5 , 5

2

5 , 5 1 1 5 2 ? S? ABC= AB ? AC ? sinA= ? 2 ? 5 ? = . 2 2 5 2 答案:(1) 3 (2) 2 2 2

利用正、余弦定理解三角形

【方法点睛】 解三角形中的常用公式和结论
(1)A+B+C=π .

(2)<A,B,C<π,sin A ? B ? sin π ? C ? cos C , 0
2 2 2 cos A?B π?C C ? cos ? sin , 2 2 2

sin ? A ? B? ? sinC;cos ? A ? B? ? ?cosC,tan(A ? B) ?tanC. ?

(3)三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然;三角形中任 意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.

【例1】根据下列条件解三角形. (1)在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,又c = 21,b=4,且BC边上的高h= 2 3 ,则角C=______. (2)在△ABC中,已知A>B>C,且A=2C,b=4,a+c=8,则 a=______,c=______. (3)已知三角形的两边分别为4和5,它们的夹角的余弦值是方

程2x2+3x-2=0的根,则第三边长是______.

【解题指南】(1)作出高,利用直角三角形中的边角关系直接
求得;(2)正弦定理和余弦定理结合应用求得;(3)利用方 程求出余弦值,再利用余弦定理求得. 【规范解答】(1)由于△ABC为锐角三角形,过A作AD⊥BC于D 点,sinC= 2 3 = 3 ,则C=60°.
4 2

(2)由正弦定理 a ? c ,
sinA sinC a c 又A=2C,所以 ? , sin2C sinC a c 即 ? , 2sinCcosC sinC ∴ cosC ? a . 2c

由已知a+c=8=2b及余弦定理,得
a?c 2 2 a ?( ) ?c a 2 ? b2 ? c2 2 cosC ? ? 2ab a(a ? c)
2

? 5a ? 3c ?? a ? c ? 5a ? 3c ? ? . 4a ? a ? c ? 4a
? a 5a ? 3c 整理得(2a-3c)(a-c)=0, ? , 2c 4a

∵a≠c,∴2a=3c.

∵a+c=8, ? a ? 24 ,c ? 16 .
5 5

(3)解方程可得该夹角的余弦值为 1 ,由余弦定理得:
2 1 42+52-2 ? 4 ? 5 ? =21 ∴第三边长是 21. , 2 24 16 答案:(1)60° (2) (3) 21 5 5

【反思·感悟】1.应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形 时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意根据已知条件用

哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理.
2.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已

知a,b,A,则有两解、一解、无解三种情况.

A为锐角

A为钝角或直角

C

C b A B a b

图形
b A

C
b

C a

C a b B

C a b BA B

a

a
A B1

a B2 A

A

关系 式 解的 个数

a<bsinA

a=bsinA

bsinA<a<b

a≥b

a>b

a≤b

无解

一解

两解

一解

一解

无解

利用正、余弦定理判断三角形形状 【方法点睛】 1.三角形形状的判断思路 判断三角形的形状,就是利用正、余弦定理等进行代换、转化, 寻求边与边或角与角之间的数量关系,从而作出正确判断. (1)边与边的关系主要看是否有等边,是否符合勾股定理等;

(2)角与角的关系主要是看是否有等角,有无直角或钝角等.

2.判定三角形形状的两种常用途径 (1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出

三角形内角之间的关系进行判断;
(2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,

求出三条边之间的关系进行判断.
【提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注重 挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A、B、C 的范围对 三角函数值的影响.

【例2】(1)(2012·温州模拟)若△ABC的三个内角A、B、C满 足6sinA=4sinB=3sinC,则△ABC( )

(A)一定是锐角三角形
(B)一定是直角三角形

(C)一定是钝角三角形
(D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

π π (2)在△ABC中, 判断△ABC的形状. acos( -A)=bcos( -B), 2 2

【解题指南】上面两题主要是利用正弦、余弦定理转化成边或

角,作出判断即可.
【规范解答】(1)选C.设角A、B、C的对边边长分别为a,b,c,

∵6sinA=4sinB=3sinC ∴6a=4b=3c
设6a=4b=3c=12k(k>0),则a=2k,b=3k,c=4k.
a 2 ? b 2 ? c 2 4k 2 ? 9k 2 ? 16k 2 ? cosC ? ? ?0 2ab 2 ? 2k ? 3k π ,π)故△ABC为钝角三角形. 又C∈(0,π),∴C∈( 2

(2)方法一: acos( π -A)=bcos( π -B), ?
2 2

∴asinA=bsinB. 由正弦定理可得: ? a =b ? b ,? a 2 ? b 2, a=b, a ?
2R 2R

∴△ABC为等腰三角形. 方法二: acos( π ? A)=bcos( π ? B), ?
2 2

∴asinA=bsinB. 由正弦定理可得: 2Rsin 2 A=2Rsin 2 B,即sinA=sinB,

∴A=B.(A+B=π不合题意舍去)
故△ABC为等腰三角形.

【反思·感悟】三角形中判断边、角关系的具体方法: (1)通过正弦定理实施边角转换;

(2)通过余弦定理实施边角转换;
(3)通过三角变换找出角之间的关系;

(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论.

与三角形面积有关的问题 【方法点睛】 三角形的面积公式

(1)已知一边和这边上的高:
1 1 1 S ? ah a ? bh b ? ch c . 2 2 2

(2)已知两边及其夹角:
1 1 1 S ? absinC ? acsinB ? bcsinA. 2 2 2

(3)已知三边:
S ? p ? p ? a ?? p ? b ?? p ? c ? , 其中 p ?

a?b?c . 2

(4)已知两角及两角的共同边:
b2sinCsinA c2sinAsinB a 2sinBsinC S? ? ? . 2sin ? C ? A ? 2sin ? A ? B ? 2sin ? B ? C ?

(5)已知三边和外接圆半径R,则 S ? abc .
4R

【例3】(1)已知△ABC中,a=8,b=7,B=60°,则c=______, S△ABC=______.

(2)(2011·山东高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,
b,c.已知
sinA cosA ? 2cosC 2c ? a ? . cosB b

①求 sinC 的值;
②若 cosB ? 1 ,b ? 2, 求△ABC的面积S.
4

【解题指南】(1)可利用正弦定理求出角C的正弦值,再求出边长 c,进而求面积;也可利用余弦定理求出边长c,再求面积.

(2)①可由正弦定理直接转化已知式子,然后再由和角公式及
诱导公式求解;也可先转化式子,然后利用余弦定理推出边的关

系,再利用正弦定理求解.②应用余弦定理及①的结论求得a和c
的值,然后利用面积公式求解.

【规范解答】(1)方法一:由正弦定理得
8 7 ? , sinA sin60?

8 4 4 3 2 1 ? sinA ? sin60? ? 3,? cosA ? ? 1 ? ( ) ?? ; 7 7 7 7 5 3 3 3 ? sinC ? sin ? A ? B ? ? sinAcosB ? cosAsinB ? 或 . 14 14 由 7 ? c , sin60? sinC

得c1=5,c2=3.
1 1 ? S? ABC ? ac1sinB ? 10 3或S? ABC ? ac 2sinB ? 6 3. 2 2

方法二:由余弦定理得
b2=c2+a2-2cacosB, ∴72=c2+82-2×8×ccos60°, 整理得:c2-8c+15=0, 解得:c1=3,c2=5, ∴S△ABC = 1 ac1sinB ? 6 3,
2

或S? ABC ? 1 ac2sinB ? 10 3.
2

答案:3或5

6 3或10 3

(2)①方法一:在△ABC中,由 cosA ? 2cosC ? 2c ? a 及正弦定理
cosB b

可得 cosA ? 2cosC ? 2sin C ? sin A
cosB sin B

即cosAsinB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB, 则cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinB, sin(A+B)=2sin(C+B),而A+B+C=π, 则sinC=2sinA,即
sinC ? 2. sinA

方法二:在△ABC中,由 cosA ? 2cosC ? 2c ? a 可得
cosB b

bcosA-2bcosC=2ccosB-acosB,
b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? c2 ? b 2 由余弦定理可得 ? ? ? , 2c a a 2c 整理可得c=2a,由正弦定理可得 sinC ? c ? 2. sinA a ②由c=2a及 cosB ? 1 , b ? 2 可得 4

4 ? c2 ? a 2 ? 2accosB ? 4a 2 ? a 2 ? a 2 ? 4a 2 ,

则a=1,c=2,S ? 1 acsinB ? 1 ?1? 2 ? 1 ? cos 2 B ? 15 ,
2 2 4

即S=

15 . 4

【反思·感悟】1.运用正、余弦定理解决几何计算问题,要抓住

条件、待求式子的特点,恰当地选择定理、面积公式.
2.明确所需要求的边、角,(1)若已知量与未知量全部集中在一 个三角形中时,可选择正、余弦定理求解;(2)若涉及到两个 (或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的 三角形,再逐步求出其他三角形的解,其中往往用到三角形内角

和定理,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程求解.

【满分指导】解三角形问题的规范解答
【典例】(14分)(2011·辽宁高考)△ABC的三个内角A,B,C所 对的边分别为a、b、c,asinAsinB ? bcos2A ? 2a. (1)求 ;
b a

(2)若 c2 ? b2 ? 3a 2, 求B.

【解题指南】(1)根据正弦定理,先边化角,然后再角化边, 即得;(2)先结合余弦定理和已知条件求出cosB的表达式,再 利用第(1)题的结论进行化简即得.

【规范解答】(1)由正弦定理得,
sin 2 AsinB ? sinBcos2 A ? 2sinA,

即 sinB ? sin 2 A ? cos 2 A ? ? 2sinA. …………………………………3分

故sinB= 2sinA,所以 b ? 2 .…………………………………7分
a

(2)由余弦定理及 c2 ? b2 ? 3a 2,

得 cosB ? (1 ? 3)a .由(1)知b2=2a2,故 c2 ? (2 ? 3)a 2 .

……11分

2c 可得cos 2 B ? 1 , 又cosB>0,故cosB ? 2 , 所以B=45°.…………14分 2 2

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下失分警示与备考建议: 解答本题时有以下三点容易造成失分: (1)看到第一问所求是边的比值,进而在边角互化时将角 化为边,使问题复杂化而得不到正确答案. (2)利用余弦定理后没有结合第一问的结果而使后面求解 无法进行. 1 cos 2 B ? 求cosB时,忽略了判断角B的取值范围而 (3)由 2 产生错解.

失 分 警 示

备 考 建 议

在解决三角形问题时还有以下几点容易造成失分,在备考 时要高度关注: (1)忘记或不会应用三角形中的隐含条件. (2)求边、角时,忽略其范围. (3)应用正、余弦定理时计算失误. 另外,要熟练掌握正、余弦定理的几种变形和三角恒等变 换,才能快速正确地解决解三角形问题.

1.(2011· 浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为
a,b,c.若acosA=bsinB,则sinAcosA+cos2B=( (A)- 1
2

) (D)1

(B)1
2

(C)-1

【解析】选D.由acosA=bsinB可得sinAcosA=sin2B,所以 sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1.

2.(2011·安徽高考)已知△ABC的一个内角为120°,并且三边 长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为______.

【解析】设三角形中间边长为x,则另两边的长为x-4,
x+4,那么(x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)cos120°,

解得x=10,所以 S? ABC ? 1 ?10 ? 6 ? sin120? ? 15 3.
2

答案: 3 15

3.(2011·福建高考)如图,△ABC中, AB=AC=2,BC ? 2 3, 点D在BC边上,

∠ADC=45°,则AD的长度等于______.
【解析】在△ABC中,由余弦定理易得
AC 2 ? BC 2 ? AB2 4 ? 12 ? 4 3 cosC ? = = , 2 ? AC ? BC 2 2? 2? 2 3

∴C=30°,∴B=30°.在△ABD中,由正弦定理得:
AD AB AD 2 ? ,? ? ,? AD ? 2. 1 sinB sin?ADB 2 2 2 答案: 2

4.(2011·新课标全国卷)在△ABC中,B=60°,AC ? 3, 则 AB+2BC的最大值为______. 【解析】令AB=c,BC=a,则由正弦定理得
3 ? 2,? c ? 2sinC,a ? 2sinA, 且A ? C ? 120?, 3 2 ? AB ? 2BC ? c ? 2a ? 2sinC ? 4sinA ? 2sinC ? 4sin ?120? ? C ?
3 1 cosC ? sinC) ? 4sinC ? 2 3cosC ? 2 7sin(C ? φ) 2 2 (其中 tanφ ? 3 ) 2 ? 2sinC ? 4(

a c AC ? ? ? sin A sin C sinB

∴当C+φ=90°时,AB+2BC取最大值为 2 7 . 答案: 7 2

5.(2011·北京高考)在△ABC中,若b=5,B= π ,tanA=2,则
4

sinA=______;a=______.

【解析】∵tanA=2, cosA ? sinA , ?
2 ? sin 2 A ? ( sinA 2 ) ?1 , 2
5

又∵A∈(0,π), sinA ? 2 5 . ?
由正弦定理,得 a ? 5 , 所以 a ? 2 10.
2 5 5 2 2
2 答案: 5 5

2 10


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