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高考数学解题思想_图文

数学解题数学思想 方法

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函数与方程的思想 分类与整合的思想 数与形结合的思想 化归与转化的思想 特殊与一般的思想 有限与无限的思想 或然与必然的思想

一个故事
? 常常遇到这样的场面:在解某一道题目时,同 学甲是构造一个函数解决的,而同学乙没能解 出来,当同学甲向同学乙介绍自己的解法时, 同学乙会感慨地说:“我这么没有想到呢?”, 在解一道选择题时,同学丙是通过计算解出来 的,用了三分钟,而同学丁则是通过画图解决 的,用了一分钟,这时,同学丙也会感慨地说: “我这么没有想到呢?”,这里的想到和没想 到,本质上就是具备不具备数学思想,会不会 用数学思想指导解题,同学乙实际上是没有考 虑到用函数思想解题,没有用函数和变量去思 考,而同学丙则是对数形结合的数学思想不能 运用自如.

Richard Courant《什么是数学》
? “数学教学有时竟演变成空洞的解题训练,这 种训练虽然可以提高形式推导的能力,却不 能导致真正的理解与深入的独立思考.” ? 因此,要提高解题的能力和水平,首先就要站 在较高的观点上去研究解题,就要从数学本 质上去看待解题,就要在解题的规程中体现 数学思想并注意发挥数学思想的功能.

数学概念、数学思想的区别
? 学习了函数的定义和性质,并能基本运用,并 不一定具备函数思想,当题目明确了所研究 的对象是函数时,你可能会想到运用这个函 数的性质去解决问题,如果没有明确所研究 的对象是函数的时候,你是否想到用函数 与变化的观点去思考与解决问题呢?

数学思想方法的层次性
? 解方程中的消元法,恒等变形中的配方法,三角 函数中的诱导公式,几何中的割补法等都是把问 题向简单方向转化的具体方法,是化归与转化思 想的具体体现,但是,化归与转化思想相对于消 元法,配方法,诱导公式和割补法等来说,具有 较高的层次。 ? 数学中的一些具体方法都是在数学思想的指导下 产生的,我们在解题的时候,如果能够站在数学 思想的高度,抓住数学中最本质的东西去思考, 就会使解题更加科学与合理,就会使解题从被动 变为主动,就会形成较为完善的解题系统.

如何在数学思想的指导下解题 一道高考试题的解题过程,

2012年贵州卷理科20题

? 从“数形结合”的角度来解决问题比参考答案的 解法要简单,数学思想较构造不等式技巧在解决 问题中更具有优越性.

数学思想方法的三个层次:
? 数学基本方法包括:待定系数法,换元法, 配方法,割补法,反证法等; ? 数学逻辑方法(或思维方法)包括:分析 与综合。归纳与演绎,比较与类比,具体 与抽象等; ? 范围较大的方法:解析法、向量法

函数与方程的思想

F.克莱因 的观点
? “一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情使 用变量和函数来思考。” ? 函数思想,就是学会用变量和函数来思考,就是 从函数各部分内容的内在联系和整体角度考虑问 题,研究问题和解决问题,就是使用函数的方法研究 和解决函数的问题以及构建函数关系式来研究和 解决非函数问题. ? 方程思想,就是学会转化已知与未知的关系,解方程 的过程就是求函数的零点的过程,通过对解方程的 研究和对方程的根的研究考虑问题和解决问题.

我们重点研究函数思想. 能否用函数思想作指导解决问题,有以下几个想到没想到的问题. 1.是不是想到了把一个代数式看成一个函数?把方程化作函数?把字母看作变 量? 2.如果把一个代数式看成了函数,把一个或几个字母看成了变量,是不是想 到了运用函数的性质解题? 3.如果一个问题从表面上看不是一个函数问题,是不是想到了构造一个函数 来帮助解题? 4.对于一个等式是不是想到了把这个等式看作为一个含未知数的方程? 5.如果是一个方程,是不是想到了对这个方程的根(例如根的虚实,正负, 范围等)有什么要求?

1.是不是想到把字母看作变量或把代数式看作函数. x2 y2 【例 1】(2008 全国Ⅱ卷,理)设 a ? 1 ,则双曲线 2 ? ? 1 的离心率 e 的 2 a (a ? 1) 取值范围是( ) 2) A. ( 2, B. ( 2,5) C. (2, D. (2,5) 5)
c 2 a 2 ? (a ? 1)2 ? 1? 2 ? 1 ? ?1 ? ? , 【分析及解】 e ? ( ) ? 2 a a ? a?
2

? 1? 1 ? 1? 把 g ? a ? ? 1? ?1? ? 看作函数,因为 是减函数,则 g ? a ? ? 1 ? ?1 ? ? , a ? a? ? a? 1 所以当 a ? 1 时, 0 ? ? 1 ,所以 2 ? e 2 ? 5 ,即 2 ? e ? 5 .故选 B. a
2

2

【例 2】 (2006 湖北卷,理)已知二次函数 y ? f ? x ? 的图象经过坐标原点, 其导数为 f ? ? x ? ? 6 x ? 2. 数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,点 (n, Sn )(n ? N? ) 均在函数
y ? f ? x ? 的图像上.

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
3 m , n 是数列 {bn } 的前 n 项和, 求使得 Tn ? 对所有 n ?N? T a n a n ?1 20 都成立的最小正整数 m.

(Ⅱ) bn ? 设

【分析及解】 (Ⅰ)依题意得,设这二次函数 f ? x ? ? ax 2 ? bx ? a ? 0 ?
f ? ? x ? ? 2ax ? b ,又由于 f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,得 a ? 3, b ? ?2 .所以 f ? x ? ? 3x 2 ? 2 x .

,则

又因为点 (n, Sn )(n ? N? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn ? 3n2 ? 2n .
2 当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (3n 2 ? 2n) ? ?3 ?n ?1? ? 2(n ?1) ? ? 6n ?5 ; ? ? 当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ?1 ? 2 ? 1 ? 6 ?1 ? 5,

所以 an ? 6n ? 5(n ? N? ) .

(Ⅱ)由(Ⅰ)得
3 1 1? 1 1 ? bn ? ? ? ? ? ?, an an?1 (6n ? 5) ? 6(n ? 1) ? 5? 2 ? 6n ? 5 6n ? 1 ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? ? 1 故 Tn ? ? bi ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? = ?1 ? ? ?? ?. 2 ?? 7 ? ? 7 13 ? ? 6n ? 5 6n ? 1 ? ? 2 ? 6n ? 1 ? i ?1 1? 1 ? 把代数式 ?1 ? ? 看作 n 的函数 ? ? n ? , 2 ? 6n ? 1 ?
n

m 1 1 ? m 因此,使得 ? ? n ? ? ?1 ? 成立的 m 必须满足 ? ? n ? 的最大值 ? ? ?? 2 ? 6n ? 1 ? 20 20 1 m ?1 ? 1 ?? 1 ,即 m ? 10 , ? ? n ?max ? ? ?1 ? ? ? ? ,即 ≤ 2 20 ? 2 ? 6n ? 1 ? ? max 20 故满足要求的最小整数 m 为 10.

【例 3】 (2007 年北京卷,文)已知函数 y ? kx 与 y ? x 2 ? 2( x ? 0) 的图象相交 于 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , l1 , l2 分别是 y ? x 2 ? 2( x ? 0) 的图象在 A,B 两点的切 线, M,N 分别是 l1 , l2 与 x 轴的交点. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 t 为点 M 的横坐标,当 x1 ? x2 时,写出 t 以 x1 为自变量的函数式, 并求其定义域和值域; (Ⅲ)试比较 OM 与 ON 的大小,并说明理由( O 是坐标原点) . 【分析及解】 (Ⅰ)解得 k ? 2 2 . (Ⅱ)由 f ?( x) ? 2 x ,求得切线 l1 的方程为 y ? 2 x1 ( x ? x1 ) ? y1 , x 1 由 y1 ? x12 ? 2 ,并令 y ? 0 ,得 t ? 1 ? 2 x1 x1 , x2 是方程①的两实根,且 x1 ? x2 ,
k ? k2 ?8 4 ? 故 x1 ? ,k ? 2 2 , 2 2 k ? k ?8 这时需要把 x1 看作是 k 的函数, x1 是关于 k 的减函数,所以 x1 的取值范围是
(0,2) . t 是关于 x1 的增函数,定义域为 (0,2) ,所以值域为 (??,0) ,

(Ⅲ)略.

【例 4】(2005 江西卷,理)已知数列 {a n } 各项都是正数,且满足 1 a0 ? 1, an?1 ? an (4 ? an ), n ? N? . 2 (Ⅰ)证明 an ? an?1 ? 2, n ? N? ; (Ⅱ)求数列 {a n } 的通项公式 an.

1 【分析及解】 (Ⅰ)解法 1. 把 an?1 ? an (4 ? an ), n ?N?. 看作一个函数,其中 2
1 把 an 看作自变量,把 an?1 看作 an 的函数,即设 f ( x) ? x(4 ? x) . 2 1 1 1 2 2 由此启发得 ak ?1 ? ak (4 ? ak ) ? [4 ? (ak ? 2) ] ? ? ?ak ? 2? ? 2 ? 2. 2 2 2 于是 a k ? 2, 1 2 1 又因为 ak ?1 ? ak ? ? ak ? 2ak ? ak ? ? ak ? ak ? 2 ? ? 0, 所以 ak ?1 ? ak , 2 2 由以上有 an ? an?1 ? 2, n ? N? ;

解法 2. 用数学归纳法证明: 1 3 1° n ? 1 时, a0 ? 1, a1 ? a0 (4 ? a0 ) ? , 当 2 2 ∴ 0 ? a0 ? a1 ? 2 ; 2° 假设 n = k 时有 ak ?1 ? ak ? 2 成立, 1 令 f ( x) ? x(4 ? x) , f (x) 在[0,2]上单调递增, 2 所以由假设有: f (ak ?1 ) ? f (ak ) ? f (2), 1 1 1 即 ak ?1 (4 ? ak ?1 ) ? ak (4 ? ak ) ? ? 2 ? (4 ? 2), 2 2 2 也即当 n=k+1 时 ak ? ak ?1 ? 2 成立, 所以对一切 n ? N? , 有ak ? ak ?1 ? 2 . 比较这两个解法,用函数的观点求解的解法 1 更为简捷. (Ⅱ)略.

【例 5】 (2008 江苏卷) 已知函数 f (x) ? ax3 ? 3x ? 1( x?R ) 对于 x?[?11] , , , 总有 f ( x) ? 0 成立,则实数 a 的值为 . 【分析及解】当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ? 0 ; 当 x ? ? 0,1? 时, f (x) ? ax3 ? 3x ? 1 ? 0 可化为 a ? 把代数式
3 1 ? 3, 2 x x

3 1 3 1 看作函数设 g ? x ? ? 2 ? 3 , ? 3 2 x x x x 3 ?1 ? 2x ? 则 g? ? x? ? , 4 x ? 1? ?1 ? 所以, g ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增,在 ? ,1? 上单调递减, ? 2? ?2 ?
1 ?1? 因此,当 x ? 时, g ? x ? 最大, g ? x ?max ? g ? ? ? 4 ,从而 a ? 4 2 ?2?

当 x ? ? ?1, 0 ? 时,
3 1 a? 2 ? 3, x x

f (x) ? ax3 ? 3x ? 1 ? 0 可化为

当 x ? ? ?1, 0 ? 时, g ? ? x ? ?

3 ?1 ? 2 x ?
4

x 所以, g ? x ? 在 ? ?1, 0 ? 上单调递增,

?0,

因此,当 x ? ?1 时, g ? x ? 最小,
g ? x ? min ? g ? ?1? ? 4 ,从而 a ? 4 .

由以上, a ? 4.

【例 6】 (2007 广东卷,理,文)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a .如 果函数 y ? f ( x) 在区间 [?1,1] 上有零点,求 a 的取值范围. 【分析及解】 a ? 0 时,不符合题意,所以 a ? 0 ,又 ∴ f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a ? 0 在 ? ?1,1? 上有解
? (2 x 2 ? 1)a ? 3 ? 2 x 在 ? ?1,1? 上有解

1 2 x2 ?1 ? ? 在 ? ?1,1? 上有解. a 3 ? 2x 2 x2 ? 1 2 x2 ?1 把等式的右边看作函数 ,设 y ? , x ? ? ?1,1? . ? ? 3 ? 2x 3 ? 2x 2 x2 ?1 x ? ? ?1,1? 上的值域; 问题转化为求函数 y ? 3 ? 2x

设 t ? 3 ? 2x , x ? ? ?1,1? ,
1 (t ? 3)2 ? 2 1 7 ? (t ? ? 6) , 则 2x ? 3 ? t , t ? ?1,5? , y ? ? 2 t 2 t 7 t2 ? 7 设 g (t ) ? t ? , g ?(t ) ? 2 , t t t ? [1, 7) 时, g ?(t ) ? 0 ,此函数 g ? t ? 单调递减,
t ? ( 7,5] 时, g ?(t ) ? 0 , 此函数 g ? t ? 单调递增,

2 x2 ?1 ∴函数 y ? , x ? ? ?1,1? 上的值域是 [ 7 ? 3,1] , 3 ? 2x

∴ f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a ? 0 在 ? ?1,1? 上有解等价于 7 ? 3 ?
?3 ? 7 解得 a ? 1 或 a ? . 2

1 ?1 a

2.是不是想到运用函数和方程的性质. 【例 1】解方程 3x ? 4 x ? 5x ? 6 x ? x ? R ? . 【分析及解】不难验证, 33 ? 43 ? 53 ? 63 ,即 x ? 3 是方程的一个解. 但是,方程还有没有其它的解呢?我们把方程转化为函数,把方程化为
?1? ?2? ?5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1. ?2? ?3? ?6?
?1? ?2? ?5? 把方程的左边看作函数,设 f ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ?6? ?2? ?3? 我们研究当 x ? 3 时,函数 f ? x ? 的性质.
x x x
x x x

由于 y ? a x ,对于 0 ? a ? 1是 R 上的减函数, 则当 x ? 3 时,有
?1? ? 2? ?5? ?1? ? 2? ?5? f ? x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 , ?2? ?3? ?6? ? 2? ? 3? ?6? 当 x ? 3 时,有 ?1? ? 2? ?5? ?1? ? 2? ?5? f ? x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ?2? ? 3? ?6? ? 2? ? 3? ?6? 所以, 当 x ? 3 时,函数 f ? x ? ? 1 ,即方程没有 x ? 3 以外的解.
x x x 3 3 3 x x x 3 3 3

【例2】解方程 5 ? x ? 3x ? 2 ? x . 【分析及解】这个方程既有无理函数,又有指数函数,直接解有困难. 5 ? x ? 2 ? x ? 3x . 把方程的两边分别看作是 x 的函数.设

f ? x ? ? 5 ? x ? 2 ? x , g ? x ? ? 3x.

f ? x ? 和 g ? x ? 的共同定义域是 ? x x ? 2? .

显然, f ?1? ? 5 ? 1 ? 2 ?1 ? 3, g ?1 ? ? 31 ? 3. 所以, f ?1? ? g ?1? ,即 x ? 1 是方 程的根. 由于 f ? x ? 是定义域上的减函数, g ? x ? 是定义域上的增函数, 则当 x ? 1时, f ? x ? ? f ?1? ? g ?1? ? g ?1? , 当 1 ? x ? 2 时, f ? x ? ? f ?1? ? g ?1? ? g ?1? ,由此可知, x ? 1 是方程唯一的根.

【例 3】求函数 y ? x ? x -1 的值域. 【分析及解】 解法 1.通过方程的根求值域.方程化为 y ? x ? x -1 ,两边平方得 x 2 ? ? 2 y ? 1? x ? y 2 ? 1 ? 0 , ① 由于函数的定义域为 ? x x ? 1? ,则方程①至少有一个 ? 1 的根,这相当于解不 等式组(Ⅰ)与组(Ⅱ),并求解集的并集. ? 2 ? ? ? 2 y ? 1? ? 4 y 2 ? 1 ? 4 y ? 3 ? 0, ? ? 2 y ?1? 4 y ? 3 ? ? 1, (Ⅰ) ? x1 ? 2 ? ? 2 y ?1? 4 y ? 3 y ? x1 ? y ? ? 0. ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 y ? 1? ? 4 y 2 ? 1 ? 4 y ? 3 ? 0, ? ? 2 y ?1? 4 y ? 3 ? ? 1, 或(Ⅱ) ? x1 ? 2 ? ? 2 y ?1? 4 y ? 3 y ? x1 ? y ? ? 0. ? ? 2 解得 y ? 1 ,所以函数的值域为 ? y y ? 1? .

?

?

?

?

解法 2.通过换元进行转化成二次函数,运用函数的单调性求解. 由于函数的定义域为 ? x x ? 1? ,所以设 t ? x ? 1 , ? t ? 0 ? . 则函数化为 y ? ? ? t ? ? t 2 ? t ? 1? t ? 0 ? .
? 1? 3 y ? ? ? t ? ? t 2 ? t ? 1 ? ? t ? ? ? ? t ? 0 ? ,则函数 ? ? t ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数, 由 ? 2? 4 ? 1? 3 于是, y ? ? ? t ? ? ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ? 1 , ? 2? 4
2 2

所以函数的值域为 ? y y ? 1? .

解法 3.直接用函数的性质求解. 由于函数的定义域为 ? x x ? 1? ,且函数 y ? f ? x ? ? x ? x -1 在 ?1, ?? ? 上是增 函数, 所以, y ? f ? x ? ? f ?1? ? 1 ? 1-1 ? 1 ,即函数的值域为 ? y y ? 1? . 比较这三个解法,解法 3 优于解法 2,解法 2 又优于解法 1.这是因为,解法 3 直 接运用了函数的性质,解法 2,通过转化之后再运用函数的性质,可见,具备函数思 想,用函数性质求解的优越之处.

【例 4】(1997 年,全国卷)甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙 地,速度不得超过 c 千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由 可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v (千米/小时)的平方成正比,且 比例系数为 b ,固定部分为 a 元. (Ⅰ)把全程运输成本 y (元)表示为速度 v (千米/小时)的函数,并指出 这个函数的定义域. (Ⅱ)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大的速度行驶? S S 2 ? a? 【分析及解】 (Ⅰ) y ? a ? ? b ? ? v ? S ? bv ? ? ?0 ? v ? c ? v v v? ? a? ? (Ⅱ)为了求 y ? S ? bv ? ? 的最小值,有的人选择了用均值不等式求解: v? ? a? a ? y ? S ? bv ? ? ? S ? 2 bv ? ? 2S ab . v? v ? 从而, 全程运输成本的最小值是 2S ab .

这个解法有没有问题?我们来分析一下.
a a ,即 v ? ,但是,函数的定义域是 b v a a 0, c ? ,那么, v ? v? ? ? 0, c ? ,用均值不等式的方法 是否属于定义域呢?如果 ? b b 就不能求出全程运输成本的最小值.因此,这个方法并不完美. 而站在函数的角度,利用函数的性质,通过求函数的值域的方法求最小值,是 一个很好的选择.

上面的不等式取得等号的条件是 bv ?

a? ? ? b? 函数可化为 y ? S ? v ? ? v? ? ? ? ? ?

?0 ? v ? c?

a? ? ? a b ? 在 0 ? v ? c 时是减函数, ? c 时,函数 y ? S ? v ? ? (1)当 b v? ? ? ? ?a ? 所以 v ? c 时有最小值 y min ? S ? ? bc ? ; ?c ? a? ? ? a b ? 在 0 ? v ? a 时是减函数,在 a ? v ? c 时 ? c 时,函数 y ? S ? v ? ? (2)当 b b b v? ? ? ? 是增函数,

所以 v ?

a 有最小值 y min ? 2S ab . b

3.是不是想到构造函数. 构造函数解题是函数思想在解题方法中的具体体现. 【例 1】 (2007 全国Ⅰ卷,理)设函数 f ( x) ? e x ? e? x . (Ⅰ)证明: f ( x) 的导数 f ?( x) ? 2 ; (Ⅱ)若对所有 x ? 0 都有 f ( x) ? ax ,求 a 的取值范围. 【分析及解】 (Ⅰ) f ( x) 的导数 f ?( x) ? e x ? e? x . 由于 e x ? e- x ? 2 e x ? e? x ? 2 ,故 f ?( x) ? 2 .(当且仅当 x ? 0 时等号成立) . (Ⅱ)构造函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ,则 g ?( x) ? f ?( x) ? a ? e x ? e? x ? a , 若对所有 x ? 0 都有 f ( x) ? ax 等价于若对所有 x ? 0 ,都有 g ( x) ? 0 ,即等价 于 x ? ? 0, ?? ? 时, g ( x)min ? 0 .

(ⅰ)若 a ? 2 ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? e x ? e? x ? a ? 2 ? a ? 0 , ? 故 g ( x) 在 ? 0, ∞? 上为增函数,所以, g ( x) min ? g ? 0 ? , 所以, x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ,即 f ( x) ? ax .
a ? a2 ? 4 (ⅱ)若 a ? 2 ,方程 g ?( x) ? 0 的正根为 x1 ? ln , 2 此时, x ? (0,x1 ) , g ?( x) ? 0 , g ( x) 在该区间为减函数. x ? ? x1 , ?? ? , 若 则 若

g ( x) 在该区间为增函数,所以 g ( x)min ? g ? x1 ? .

然而, x ? (0,x1 ) 时,g ( x) ? g (0) ? 0 , g ( x)min ? g ? x1 ? ? 0 ,从而 x ? (0,x1 ) 即 时, f ( x) ? ax ,与题设 f ( x) ? ax 相矛盾.
2 综上,满足条件的 a 的取值范围是 ? ?∞,? .

【例 2】 (1997 全国卷)设二次函数 f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ? ,方程 f ? x ? ? x ? 0 的两个实根 x1 , x2 ,满足 0 ? x1 ? x2 ?
1 . a (Ⅰ) 当 x ? ? 0, x1 ? 时,证明 x ? f ? x ? ? x1 ;(Ⅱ) 略

上考虑 f ? x ? ? x ,为此,构造函数 F ? x ? ? f ? x ? ? x , 设 F ? x ? ? f ? x ? ? x ? a ? x ? x1 ?? x ? x2 ? .

【分析及解】(Ⅰ)由于 x1 , x2 是方程 f ? x ? ? x ? 0 的两个实根,所以可以从整体

要 证 明 x ? f ? x ? ? x1 , 就 需 要 证 明 F ? x ? ? f ? x ? ? x ? 0 , 以 及
x1 ? f ? x ? ? x1 ? x ? F ? x ? ? 0 .

1 ,则 a ? 0, x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0 , a 因此 f ? x ? ? x ? a ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? 0 ,即 x ? f ? x ? ,

因为 0 ? x1 ? x2 ?

又 x1 ? f ? x ? ? x1 ? x ? F ? x ? ? ? x1 ? x ? ? a ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? ? x1 ? x ??1 ? ax ? ax2 ? ,
1 得 1 ? ax2 ? 0 ,又有 x1 ? x ? 0 , a 于是, x1 ? f ? x ? ? 0, 即 f ? x ? ? x1 ,所以, x ? f ? x ? ? x1 .

由 x2 ?

(Ⅱ) 略

【例 3】 (2001 年,全国卷)已知 i, m, n 是正整数,且 1< i ≤ m < n . (Ⅰ) 略;(Ⅱ) 证明 (1 ? m) n > (1 ? n) m . 【分析及解】研究第(Ⅱ)问. ln ?1 ? m ? ln ?1 ? n ? n m ? . ?1 ? m ? ? ?1 ? n ? ? n ln ?1 ? m ? ? m ln ?1 ? n ? ? m n

ln ?1 ? x ? 只要证明 g ?x ? ? 为减函数就可以了. x x?1 ? ln ?1 ? x ?? ? ln ?1 ? x ? ? 0, 由 g ??x ? ? 2 x ?1 ? x ? ln ?1 ? x ? 则 g ?x ? ? 为减函数,由 2 ? m ? n 可得 g ?m? ? g ?n? x ln ?1 ? m? ln ?1 ? n ? ? 因而 , 于是, (1 ? m) n > (1 ? n) m 成立. m n

ln ?1 ? x ? ( x ? 2) , 为此,可以构造函数 g ? x ? ? x

【例 4】 (2006 年湖南卷,理)已知函数 f ( x) ? x ? sin x ,数列{ an }满足: 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ), n ? 1, 2,3,?. 1 证明: (Ⅰ) 0 ? an?1 ? an ? 1 ; (Ⅱ) an ?1 ? an 3 . 6 【分析及解】 (Ⅰ)先用数学归纳法证明 0 ? an ? 1 , n ? 1, 2,3,? , (i).当 n ? 1 时,由已知显然结论成立. (ii).假设当 n ? k 时结论成立,即 0 ? ak ? 1 .因为 0 ? x ? 1 时 从而 f (0) ? f (ak ) ? f (1),即0 ? ak ?1 ? 1 ? sin1 ? 1 .故 n ? k ? 1 时,结论成立. 由(i)、(ii)可知, 0 ? an ? 1 对一切正整数都成立. 又因为 0 ? an ? 1 时, an?1 ? an ? an ? sin an ? an ? ? sin an ? 0 , 所以 an?1 ? an ,综上所述 0 ? an?1 ? an ? 1 .

f ' ( x) ? 1 ? cos x ? 0 ,所以 f ? x ? 在(0,1)上是增函数. 又 f ? x ? 在[0,1]上连续,

(Ⅱ)构造函数 g ( x) ? sin x ? x ? x3 ,0 ? x ? 1 .由(Ⅰ)知,当 0 ? x ? 1时,
sin x ? x ,从而
2 x2 x2 ?x? x ' 2 x g ( x) ? cos x ? 1 ? ? ?2sin ? ? ?2 ? ? ? ? 0. 2 2 2 ?2? 2 所以 g ? x ? 在(0,1)上是增函数. 又 g ? x ? 在[0,1]上连续,且 g ? 0 ? ? 0 , 2

1 6

所以当 0 ? x ? 1时, g ? x ? ? 0 成立.
1 3 于是 g (an ) ? 0,即sin an ? an ? an ? 0 . 6 1 故 an ?1 ? an3 . 6

【例 5】 (据 2004 年全国卷Ⅱ,理改编)已知函数 g ? x ? ? x ln x, 设 0 ? a ? b .

? a?b? 证明 0 ? g ?a ? ? g ?b ? ? 2 g ? ? ? ?b ? a ?ln 2 ? 2 ? 【分析及解】 为证明这个不等式,参考 0 ? a ? b ,我们可以把字母 b 看作变量 x , 从而使待证明的不等式化为 ?a?x? 0 ? g ? a ? ? g ? x? ? 2g ? ? ? ? x ? a ? ln 2 ? 2 ? ?a?x? 由此启发我们构造函数 F ( x) ? g (a) ? g ( x) ? 2 g ? ?, ? 2 ? ? ? a ? x ??? a?x 由 g ?( x) ? ln x ? 1 可得 F ?( x) ? g ?( x) ? 2 ? g ? ? ln x ? ln . ?? 2 ? ? 2 ?? 当 0 ? x ? a时, F ?( x) ? 0, 在此 F ( x)在(0, a) 内为减函数. 当 x ? a时, F ?( x) ? 0,因此F ( x)在(a,??) 上为增函数. 从而,当 x ? a时, F ( x) 有极小值 F (a). a?b ). 因为 F (a) ? 0, b ? a, 所以F (b) ? 0, 即 0 ? g (a) ? g (b) ? 2 g ( 2

再构造函数 G( x) ? F ( x) ? ( x ? a)ln 2, a?x 则 G ?( x) ? ln x ? ln ? ln 2 ? ln x ? ln(a ? x). 2 当 x ? 0时, G?( x) ? 0. 因此 G( x)在(0,??) 上为减函数. 因为 G(a) ? 0, b ? a, 所以G(b) ? 0, a?b 即 g (a) ? g (b) ? 2 g ( ) ? (b ? a) ln 2. 2

【例 6】求证:对任意实数 x ,不等式

a?b 1? a ? b

?

a

1? a 1? b

?

b

成立.

【分析及解】这个不等式中的每一项的形式都相同,这就促使我们用一个共 同的式子来统一,即构造函数 f ? x ? ?

x ? x ? 0? 1? x

x 容易证明, f ? x ? ? 是 ? 0, ?? ? 上的增函数. 1? x 又 a+b ? a ? b ,因此, f ? a+b ? ? f ? a ? ? f ? b ? ,即
a?b 1? a ? b ? a?b 1? a ? b ? a 1? a ? b 1? a ? b ? b ? a 1? a 1? b ? b

.

4.是不是想到了把等式看作为一个含未知数的方程,是不是想到了对这个 方程的根(例如根的虚实,正负,范围等)有什么要求? 【例 1】已知 ? , ? , ? 都是锐角,且满足
cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2cos ? cos ? cos ? ? 1 . 求 ? ? ? ? ? 得值. 【分析及解】 这时一个与三角函数有关的求值题,表面上看,不是一个方程问题, 但是,如果我们想到把这个等式看作一个关于 cos ? ,cos ? ,cos ? 中的某一个的二 次方程,例如看作关于 cos? 的一元二次方程,问题就好解决得多: cos 2 ? ? ? 2 cos ? cos ? ? cos ? ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1? ? 0 ,
? ? 4 cos 2 ? cos 2 ? ? 4 ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1? ? 4sin 2 ? sin 2 ? ,

?2 cos ? cos ? ? 4sin 2 ? sin 2 ? ? ? cos ? ? ? ? ? . 所以, cos ? ? 2 因为 ? , ? , ? 都是锐角,所以, cos ? ? ? cos ? ? ? ? ? 应舍去.

因此, cos ? ? ? cos ? ? ? ? ? ,又因为 0 ? ? ?

?
2

, 0 ? ? ? ? ? ? ,所以,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ,即 ? ? ? ? ? ? ? .

sin 4 x cos 4 x 1 【例 2】已知: a, b 均为正实数,且 ? ? a b a?b sin 8 x cos8 x 1 ? 求证: 3 ? 3 a b3 ?a ? b?

【分析及解】把已知等式化作关于某个字母的方程. ? a ? b ? b sin 4 x ? ? a ? b ? a cos4 x ? ab ,

? cos x ? a
4

2

? b ? sin 4 x ? cos 4 x ? 1? a ? b 2 sin 4 x ? 0 ,
2



计算它的判别式:

? ? ?b ? sin 4 x ? cos4 x ? 1?? ? 4b2 cos4 x sin 4 x ? ? ? b 2 ? sin 4 x ? cos 4 x ? 1 ? 2sin 2 x cos 2 x ?? sin 4 x ? cos 4 x ? 1 ? 2sin 2 x cos 2 x ?
2 2 ? b2 ?? sin x ? cos x ? ? 1? ?? sin x ? cos x ? ? 1? ? 0 ? ?? ? ?b ? sin 4 x ? cos 4 x ? 1? a sin 2 x 方程①的解为 a ? ,即 ? . 4 2 2 cos x b cos x a b 从而 sin 2 x ? , , cos 2 x ? a?b a ?b 4 4 ? a ? ? b ? ? ? sin 8 x cos8 x ? a ? b ? 1 ? ? ? ? a?b? ? a?b ? ? ? . 4 3 3 3 3 3 a b a b ?a ? b? ?a ? b?

【例 3】已知数列 ? xn ? 和 ? yn ? 满足下列关系:
? x1 ? 1, ? xn ?1 ? 2 xn ? 3 yn , 且? 试求实数 a ,使 ? xn ? ayn ? 成等比数列. ? ? y1 ? 0. ? yn ?1 ? xn ? 2 yn . ? x ? 1, ? x2 ? 2, ? x3 ? 7, 【分析及解】由题设可得 ? 1 ? ? y1 ? 0. ? y2 ? 1. ? y3 ? 4. ?

因为数列 ? xn ? ayn ? 成等比数列,则前三项也成等比数列,即 1, 2 ? a,7 ? 4a 成 等比数列. 这时,可以建立一个关于 a 的方程, ? 2 ? a ? ? 7 ? 4a ,解得
2

a?? 3.

下面证明数列 xn ? 3 yn 是等比数列.
xn ?1 ? 3 yn ?1 ? ? 2 xn ? 3 yn ? ?

?

?

? 2 ? 3 xn ? 3 yn .

于是,数列 xn ? 3 yn 是以 2 ? 3 为公比的等比数列. 我们是用特殊的前三项建立方程的方法把待定的系数 a 求出来,再对于一般 情形进行证明的. 这种方法是待定系数法, 本题的解题思路也是特殊与一般数学 思想的反映.

?

?

?

??

?

3xn ? 2 yn ? 2 ? 3 xn ? 3 ? 2 3 yn

?

? ?

?

?

?

【例 4】已知数列 ?an ? 中, a1 ? 10 ,且 an ? 15an-1 ? 2 ? 5n ,求 ?an ? 的通项公式. 【分析及解】先对递推式进行变形, 设 bn ?
an 15an-1 an a -1 ? n ? 2 , n ? 3 ? nn?1 ? 2 , 5n 5 5 5

an ? n ?N? ? ,则 bn ? 3bn-1 ? 2 . 5n 我们引入待定的系数 ? , ? ,使 ? , ? 满足 bn ? ? ? ? ? bn-1 ? ? ? ,

① ② ③

从而能出现等比数列.展开②式得, bn ? ? bn-1 ? ?? ? ?

? ? ? 3, 对照③式和①式,可得方程组 ? 解得 ? ? 3, ? ? ?1 , ???? ? ? ? 2. a1 10 即数列 ?bn ? 1? 是以 b1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 3 为首项, 3 为公比的等比数列. 5 5 an n n ?1 n n bn ? 1 ? 3 ? 3 ? 3 , bn ? 3 ? 1 ,于是, bn ? n ? 3 ? 1 , an ? 15n ? 3n . ? n ? N ? ? 5

【例 5】 (2007 广东卷,理,文)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a .如 果函数 y ? f ( x) 在区间 [?1,1] 上有零点,求 a 的取值范围. 【分析及解】我们曾用函数思想解决了这个题目,现在,换一个角度. 函数 y ? f ( x) 在区间 ? ?1,1? 上有零点,等价于 方程 f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a ? 0 在 ? ?1,1? 上有解,
3 当 a ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 是一次方程, 2x ? 3 ? 0 ,解为 x ? ? ? ?1,1? 不符合 2 题意,当 a ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 是二次方程, 方程 f ? x ? ? 0 在 ? ?1,1? 上有解,对解的的要求是:

(1) f ? x ? ? 0 在 ? ?1,1? 上有一个解(另一个解不属于区间 ? ?1,1? ,这时应满 足 f (?1) ? f (1) ? 0 ,

?af (?1) ? 0, ?af (1) ? 0, ? ? (2) f ? x ? ? 0 在 ? ?1,1? 上有两个解,这时应满足 ?? ? 4 ? 8a (3 ? a ) ? 0, ? ??1 ? ? 1 ? 1. ? a ? 解(1)得 f (?1) ? f (1) ? ? a ? 1?? a ? 5 ? ? 0 得 1 ? a ? 5 ,

?3 ? 7 或a ?5 2 ?3 ? 7 由(1)和(2)得 a ? 或 a ? 1. 2 ?3 ? 7 所以实数 a 的取值范围是 a ? 或 a ? 1. 2 解决这个题目的关键是明确二次方程 f ( x) ? 0 在在 ? ?1,1? 上有解,相当于这

解(2)得不等式组得 a ?

个方程在区间 ? ?1,1? 上有一个解或者有两个解,弄清这个要求,问题就容易解决 了。

2.分类讨论与整合思想
在解题时,我们常常遇到这样一种情况,解到某一步之后,不能再以统一的 方法,统一的式子继续进行了,因为这时被研究的问题包含了多种情况,这就 必须在条件所给出的总区域内,正确划分若干个子区域,然后分别在多个子区 域内进行解题,这就是分类讨论的思想方法.分类思想是以概念的划分,集合 的分类为基础的思想方法,这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般 化为特殊的解决问题的方法,其研究方向基本是“分”, 但分类解决问题问题之后, 还必须把它们总合在一起,这种“合-分-合”的解决问题的过程,就是分类与 整合的思想方法.

对分类讨论思想的考查, 一方面,是有没有分类的意识,遇到应该分类的情况, 是否想到要分类. 有哪些情况需要分类呢? (1) 有些概念就是分类定义的, 例如绝对值的概念, x 要分为 x ? 0, x ? 0 和 对
x ? 0 三类;又如三角形可分为锐角三角形,直角三角形,钝角三角形三类,函数 f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ,当 a ? 0 时是一次函数,当 a ? 0 时,是二次函数等等;

(2) 有的运算法则和定理,公式是分类给出的, 例如等比数列的求和公式就分 为 q ? 1 和 q ? 1 两种情况,对数函数的单调性就分为 a > 1 , a < 1 两种情况,不等 式 ax2 ? bx ? c ? 0 的 解 又 分 为 a ? 0 , a ? 0 时 ? ? 0, ? ? 0,? ? 0 及 a ? 0 时 ? ? 0, ? ? 0,? ? 0 共 7 种情况,直线的斜率分为存在与不存在两种情况等等; (3) 图形位置的相对变化也会引起分类,例如两点在同一平面的同侧,异侧, 二次函数图像的对称轴相对于定义域的不同位置,求不等式 ? x ? 1?? x ? a ? ? 0 时, 在数轴上,要区别 a 在 1的左侧,重合与右侧三种情况等; (4) 对于一些题目如排列组合的计数问题,概率问题又要按题目的特殊要求, 分成若干情况研究. (5) 涉及到整数或自然数的问题,或 ? ?1? 时,可对整数分为奇数和偶数两类,
n

或者把整数按以 3 或以 4 ,以 5 等为模的同余类分类. 所以,考察分类讨论思想的第一个内容就是想到想不到要分类,

第二方面则是是如何分类,即要会科学地分类,分类要标准统一,不重不 漏; 第三方面是分类之后如何研究,要会在不同情况下进行讨论; 第四方面是如何把分类讨论的结果进行整合.

1.遇到概念的分类定义,是否想到分类 【例 1】 (2004 北京卷,理) 某段城铁线路上依次有 A、B、 三站,AB=5km, C BC=3km,在列车运行时刻表上,规定列车 8 时整从 A 站发车,8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟,8 时 12 分到达 C 站.在实际运行中,假设列车从 A 站正点发 车,在 B 站停留 1 分钟,并在行驶时以同一速度 vkm/h 匀速行驶,列车从 A 站 到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差. (I)分别写出列车在 B、C 两站的运行误差; (II)若要求列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,求 v 的取值 范围.

【分析及解】 (I)列车在 B,C 两站的运行误差(单位:分钟)分别是 300 480 ?7 和 ? 11 . v v (II)由于列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,所以 300 480 ?7 ? ? 11 ? 2 . (*) v v 不等式(*)是一个含绝对值符号的不等式,要去掉绝对值符号就要根据 300 480 ?7和 ? 11 的正负进行分类. v v 300 300 480 300 当0 ? v ? 时, (*)式变形为 ; ?7? ? 11 ? 2 ,解得 39 ? v ? 7 v v 7 300 480 300 480 300 480 当 时, *) ( 式变形为 7 ? ; ?v? ? ? 11 ? 2 ,解得 ?v? 7 11 v v 7 11 480 ?00 480 480 195 当v ? 时, (*)式变形为 7 ? . ? 11 ? ? 2 , 解得 ?v? 11 v v 11 4 ? 195 ? 综上所述, v 的取值范围是 ?39, ? . 4 ? ?

1 1 【例 2】 (2006 辽宁卷,理)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,则 2 2 ). f ( x) 的值域是(
? 2 ? ? ? 2? 2? ,1? A. ? ?1,1? B. ? ? C. ? ?1, D. ? ?1, ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 【分析及解】本题给出的函数是一个含有绝对值符号的函数,就要针对 sin x ? cos x 的正负进行分类,写成分段函数 ?cos x(sin x ? cos x) 1 1 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? ? 2 2 ?sin x(sin x ? cos x) ? 5? 当 sin x ? cos x ,即 2k? ? ? x ? 2k? ? ? k ? Z ? 时, 4 4 ? 2? f ? x ? ? cos x, f ? x ? ? ? ?1, ?, 2 ? ? 3? ? 当 sin x ? cos x ,即 2k? ? ? x ? 2k? ? ? k ? Z ? 时, 4 4 ? 2? f ? x ? ? sin x, f ? x ? ? ? ?1, ? .故选(C). 2 ? ?

【例 3】2008 广东卷, 已知 a ?R , ( 理) 若关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 有实根,则 a 的取值范围是

1 ? a ?0 4

. 1 【分析及解】本题有两个绝对值符号 a ? 和 a ,为去掉绝对值符号,就要把 4 全体实数分为 5 种情形讨论.
1? 1 ? (1) 当 a ? 0 时, 方程为 x 2 ? x ? ? 2a ? 0 ,此时 ? x ? ? ? 2a ? 0 ,方程无解; 2? 4 ? 1 1 (2) 当 a ? 0 时,方程为 x 2 ? x ? ? 0 ,有实根 x ? ? ; 4 2 1 1 1 (3) 当 0 ? a ? 时, 方程为 x 2 ? x ? ? 0 ,有实根 x ? ? 4 4 2 1 1 1 (4) 当 a ? 时, 方程为 x 2 ? x ? ? 0 ,有实根 x ? ? ; 4 4 2 1 1 (5) 当 a ? 时, 方程为 x 2 ? x ? ? 2a ? 0 , 此时 ? ? 2 ? 8a ? 0 ,方程无解. 4 4 ? 1? 综合以上, a 的取值范围是 ?0, ? . ? 4?
2

【例 4】 (2005 浙江卷,理)已知函数 f ?x ? 和 g ?x ? 的图象关于原点对称,且 f ?x ? ? x 2 ? 2 x . (Ⅰ)求函数 g ?x ? 的解析式; (Ⅱ)解不等式 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1 ; 【分析及解】 (Ⅰ) g ? x ? ? ? x 2 ? 2 x . (Ⅲ)若 h? x ? ? g ?x ? ? ?f ?x ? ? 1 在 ?? 1,1? 上是增函数,求实数 ? 的取值范围.

(Ⅱ)由 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1 可得 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 , 需对 x ? 1和 x ? 1分类. 当 x ? 1时, 2 x2 ? x ? 1 ? 0 ,此时不等式无解, 1 ? 1? 2 当 x ? 1时, 2 x ? x ? 1 ? 0 ,解为 ?1 ? x ? ,因此,原不等式的解集为 ? ?1, ? . 2 ? 2?

(Ⅲ) h ? x ? ? ? ?1 ? ? ? x 2 ? 2 ?1 ? ? ? x ? 1 . 首先,要针对 h ? x ? 是一次函数还是二次函数进行分类,对于二次函数,又要对
h ? x ? 图像的开口方向的不同进行分类.

(1)当 ? ? ?1 时, h ? x ? 是一次函数, h ? x ? ? 4 x ? 1 在 ?? 1,1? 上是增函数,∴
1? ? (2)当 ? ? ?1 时,对称轴的方程为 x ? . 1? ? ①当 ? ? ?1时, 二次函数 h ? x ? 的图象开口向上,若 h? x ? ? g ?x ? ? ?f ?x ? ? 1

? ? ?1 ;

1? ? 在 ?? 1,1? 上是增函数,应满足 ? ?1 ,解得 ? ? ?1; 1? ? ②当 ? ? ?1 时, 二次函数 h ? x ? 的图象开口向上,若 h? x ? ? g ?x ? ? ?f ?x ? ? 1

在 ?? 1,1? 上是增函数,应满足 综上, ? ? 0

1? ? ? 1 ,解得 ?1 ? ? ? 0 。 1? ?

? 1, x ? 0, 【 例 5 】 2004 浙 江 卷 , 理 ) 已 知 f ?x ? ? ? ( 则不等式 ?? 1 x ? 0 . x ? ?x ? 2? f ?x ? 2? ? 5 的解集是 【分析及解】已知函数是一个分段函数,因此,要根据分段函数的定义域 的划分进行分类. 3 (1)当 x ? 2 ? 0 ,即 x ? ?2 时,不等式化为 x ? ? x ? 2 ? ? 5 ,解得 ?2 ? x ? ; 2 (2)当 x ? 2 ? 0 ,即 x ? ?2 时,不等式化为 x ? ? x ? 2 ? ? 5 ,解得 x ? ?2 .

3? ? 由(1),(2)得,不等式的解集为 ? ??, ? . 2? ?

【例 6】设 A ? ? x | x 2 ? 2 x ? lg(9a ? 2a 2 ) ? 0? , B ? ?x x ? 0? ,且 A ? B ? ? , 求实数 a 的取值范围. 【分析及解】由 A ? B ? ? ,可知,集合 A 可能是空集或非空集,对集合 A 是否 为空集分类. (1)当 A 是空集时,有 ? 9a ? 2a 2 ? 0, 5 ? ? 22 ? 4lg ? 9a ? 2a 2 ? ? 0 ? lg ? 9a ? 2a 2 ? ? 1 ? ? ?2?a? . 2 9a ? 2a 2 ? 10. ? (2)当 A 不是空集时, B 是空集,必须使方程 x2 ? 2 x ? lg(9a ? 2a 2 ) ? 0 有二负根, 其充要条件是 ?? ? 4 ? 4lg ? 9a ? 2a 2 ? ? 0, ? ? 9a ? 2a 2 ? 1, 9 ? 73 5 9 ? 73 ? ? a ? 2或 ? a ? ?? ? ? x1 ? x2 ? ?2 ? 0, 2 2 4 4 ?9a ? 2a ? 10. ? 2 ? lg ? 9a ? 2a ? ? 0. ? 综合(1),(2)得
9 ? 73 9 ? 73 ?a? . 4 4

2.遇到定理,法则的分类给出,是否想到分类 【例 1】 (2006 安徽卷,文)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 满足条件
S 2 n 4n ? 2 ? , n ? 1, 2,? , Sn n ?1

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ? an p an ( p ? 0) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 【分析及解】Ⅰ) ( 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由
S 2 n 4n ? 2 a ?a 得: 1 2 ? 3 , ? a1 Sn n ?1

所以 a2 ? 2 ,即 d ? a2 ? a1 ? 1 ,又
an ? nd ? a1 ? 2n 2(a ? nd ? a1 ) 2(an ? n ? 1) 4n ? 2 S 2 n 2 = , ? ? ? n an ? a1 an ? 1 n ? 1 Sn an ? a1 ?n 2 所以 an ? n .

(Ⅱ) bn ? an p an , bn ? np n 。 Tn ? p ? 2 p 2 ? 3 p3 ? ? ? (n ? 1) p n?1 ? np n , 由 得 所以 由于涉及到等比数列求和,要对公比 p 按是否等于 1 分类: n ?1 当 p ? 1时, Tn ? ; 2 当 p ? 1 时, pTn ? p 2 ? 2 p3 ? 3 p 4 ? ? ? (n ? 1) p n ? np n?1 ,
(1 ? p)Tn ? p ? p ? p ? ? ? p
2 3 n ?1

? p ? np
n

n ?1

p(1 ? p n ) ? ? np n?1 1? p

? n ?1 , p ?1 ? 2 ? 即 Tn ? ? . n ? p(1 ? p ) ? np n ?1 , p ? 1 ? 1? p ?

【 例 2 】 (2005 全 国 卷 Ⅰ, 理 ) 设 等 比 数 列 ?an ? 的 公 比 为 q , 前 n 项 和
Sn ? 0 ? n ? 1, 2,?? .

(Ⅰ)求 q 的取值范围; 3 (Ⅱ)设 bn ? a n ? 2 ? a n ?1 , 记 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,试比较 S n 和 Tn 的大小. 2 【分析及解】 (Ⅰ)因为 ?an ? 是等比数列,由 Sn ? 0 可得
a1 ? S1 ? 0, q ? 0. Sn ? 0,

首先对 q 分类,分为 q ? 1 和 q ? 1 讨论, 当 q ? 1时, S n ? na1 ? 0;
a1 (1 ? q n ) 1 ? qn ? 0, 即 ? 0, (n ? 1, 2,?) 当 q ? 1 时, Sn ? 1? q 1? q ?1 ? q ? 0, , ( n ? 1,2, ?) 上式等价于不等式组: ? ① 1? qn ? 0 ? ?1 ? q ? 0, , ( n ? 1,2, ?) 或? ② n ?1 ? q ? 0 解①式得 q ? 1 ; 解②, n 要分为奇数和偶数研究, 对 由于 n 可为奇数、 可为偶数, ?1 ? q ? 1 . 得 再把上述的分类讨论结果进行整合,整合时要注意等比数列的公比 q ? 0 . 综上,q 的取值范围是 (?1,0) ? (0,??).

3 3 3 (Ⅱ)由 bn ? aa ?2 ? an?1 得 bn ? an (q 2 ? q), Tn ? (q 2 ? q) S n . 2 2 2 3 1 2 于是 Tn ? S n ? S n (q ? q ? 1) ? S n (q ? )(q ? 2). 2 2 下面的讨论中,要结合已知条件和(Ⅰ)的结果进行分类.即注意 Sn ? 0, 且 ? 1 ? q ? 0或q ? 0, 于是 1 当 ?1 ? q ? ? 或q ? 2 时, Tn ? Sn ? 0, 即Tn ? Sn ; 2 1 当 ? ? q ? 2且q ? 0 时, Tn ? Sn ? 0, 即Tn ? Sn ; 2 1 当 q ? ? , 或q ? 2 时, Tn ? Sn ? 0, 即Tn ? Sn . 2

3.遇到图形位置的相对变化,是否想到分类
x2 【例 1】 (2005 江西卷,理)已知函数 f ?x ? ? (a, b 为常数 ),且方程 ax ? b f ?x ? ? x ? 12 ? 0 有两个实根为 x1 ? 3 , x2 ? 4 . (Ⅰ) 求函数 f ? x ? 的解析式; ?k ? 1?x ? k . (Ⅱ) 设 k ? 1 ,解关于 x 的不等式: f ?x ? ? 2? x x2 【分析及解】(Ⅰ) f ? x ? ? ? x ? 2? 2? x x2 ?k ? 1?x ? k , 进而有 x 2 ? ?k ? 1?x ? k ? 0 . ? (Ⅱ)不等式可化为 2? x 2? x 2? x 这等价于 ?x ? 2??x ? 1??x ? k ? ? 0, 解到这里就要针对 k 与 1,2 的大小关系进行分类: (1) 当 1 ? k ? 2 时,解集为 x ? ?1, k ? ? ? 2, ?? ? ;

(2) 当 k ? 2 时, 解集为 x ? ?1, 2 ? ? ? 2, ?? ? ; (3) 当 k ? 2 时, 解集为 x ? ?1, 2 ? ? ? k , ?? ? .

【例 2】若二次函数 f ?x ? ? ? 为 2b ,求 ?a, b ? .

1 2 13 ,在区间 ?a, b ? 上的最小值为 2a ,最大值 x ? 2 2

1 2 13 的图象的对称轴为 x ? 0 , 所以, x ? 2 2 要对区间 ?a, b ? 相对于对称轴 x ? 0 的不同位置, x ? 0 在区间 ?a, b ? 的左边, 即 中间 和右边进行分类. (1)当 0 ? a ? b 时(图 2-1), f ? x ? 在 ?a, b ? 上递减,则
? 1 2 13 ? ? a ? ? 2b, ?? 2 a ? 2 ? 2b, 解得 a ? 1, b ? 3, ? a, b ? ? ?1, 3?. ?? b ? ? 2a. 1 2 13 ? ?? b ? ? 2a. ? 2 ? 2

【分析及解】 因为二次函数 f ?x ? ? ?

?f ? ? ?f ?

图2-1

图2-2

图2-3

(2)当 a ? 0 ? b 时 (图 2-2) f ? x ? 在 ? a, 0? 上递增,在 ? 0,b ? 上递减,所以 f ? 0 ? 最 ,
1 ? 13 ? 13 39 13 13 大,有 f ? 0 ? ? ? 2b, b ? .此时有 f ? b ? ? ? ? ? ? ? ? 0, 2 ? 4 ? 2 32 2 4 1 13 而最小值 2a ? 0 ,所以,应有 f ? a ? ? 2a ,解 ? a 2 ? ? 2a, 得 a ? ?2 ? 17 . 2 2 13 ? ? 于是 ? a, b? ? ? ?2 ? 17, ? 4? ? (3)当 a ? b ? 0 时(图 2-3), f ? x ? 在 ?a, b? 上递增,
2

? 1 2 13 ? a ? ? 2a, ? f ? a ? ? 2a , ? 2 ?a 2 ? 4a ? 13 ? 0, ? ? 2 ?? ?? 2 ? ? f ? b ? ? 2b. ? ? 1 b 2 ? 13 ? 2b. ? b ? 4b ? 13 ? 0. ? ? 2 ? 2 此时, ab ? ?13 ? 0, 与 a ? b ? 0 矛盾,无解. 13 ? ? 由以上, ? a, b? ? ?1,3? , ? a, b? ? ? ?2 ? 17, ? . 4? ?

【例 3】 (2006 全国卷Ⅰ,理)已知函数 f ? x ? ? (Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 y ? f ? x ? 的单调性;

1 ? x ? ax e . 1? x

(Ⅱ)若对任意 x ? ? 0,1? 恒有 f ? x ? ? 1 ,求 a 的取值范围。 【分析及解】 (Ⅰ) f ? x ? 的定义域为 ? ??,1? ? ?1, ?? ? .对 f ? x ? 求导数得
f ?? x? ? ax 2 ? 2 ? a

?1 ? x ?

2

e ? ax .为研究 y ? f ? x ? 的单调性,就要根据 2 ? a 的正负,对 a 分类
2x2 e ?2 x , f ? ? x ? 在 ? ??, 0 ? , ? 0,1? 和 ?1, ?? ? 均大于 0, 2

(1)当 a ? 2 时, f ? ? x ? ?

?1 ? x ?

所以 f ? x ? 在 ? ??,1? 和 ?1, ?? ? 上均为增函数. (2)当 0 ? a ? 2 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? ??,1? 和 ?1, ?? ? 上均为增函数;

(3)当 a ? 2 时, 0 ?

a?2 a?2 a?2 , x2 ? .. ? 1 ,, 令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? ? a a a

当 x 变化时, f ? ? x ? 和 f ? x ? 的变化情况如下表:

x

? a?2 ? ? ??, ? ? ? a ? ? ?

? a?2 a?2 ? , ?? ? ? a a ? ? ?

? a?2 ? ,1 ? ? ? ? a ? ?

?1, ?? ?
+ 增

f ?? x? f ? x?

+ 增

- 减
? a?2 ? ,1 ? , ?1, ?? ? 为增函数, ? ? ? a ? ?

+ 增

? a?2 ? f ? x ? 在 ? ??, ? ?, ? a ? ? ?

? a?2 a?2 ? , f ? x? 在 ? ? ? 为减函数. ? a a ? ? ?

(Ⅱ)在本问中,除对 2 ? a 的正负进行分类外,还要对 a 的正负进行分类. (1)当 0 ? a ? 2 时, 由(Ⅰ)知: 对任意 x ? ? 0,1? 恒有 f ? x ? ? f ? 0 ? ? 1 .
1 a?2 ? ? 0,1? ,则由(Ⅰ)知 f ? x0 ? ? f ? 0 ? ? 1 . 2 a 1? x (3) 当 a ? 0 时 , 对 任 意 x ? ? 0,1? , 恒 有 ? 1 且 e?ax ? 1 , 得 1? x 1 ? x ? ax f ? x? ? e ? 1. 1? x 本题的两问都需要分类,但由于给出的条件不同,分类也有区别,主要还是根 据参数 a 与 0 或 2 的大小关系进行分类. 分类讨论之后,还要对讨论的结果进行整合,当且仅当 a ? ? ??, 2? 时,对任意

(2)当 a ? 2 时, 取 x0 ?

x ? ? 0,1? 恒有 f ? x ? ? 1 .

4.遇到题目的特殊要求,是否想到分类 【例 1】 (2008 天津卷,理)有 8 张卡片分别标有数字 1, 2,3, 4,5,6,7,8, 从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列,要求 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5 ,则不 同的排法共有( ). (A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种 【分析及解】 8 张卡片中两张卡片上的数字之和为 5 的仅有两种情 况: 2 ? 3 ? 5,1 ? 4 ? 5 .所以,第一次分类是针对这两个等式分类,要分为两类讨论. 2 第 1 类: 2,3 在中间一行,有 A2 种排法,这时,又可以进行第 2 次分类,由于 1 ? 4 ? 5 ,所以针对取出的余下 4 张卡片中是否有 1 或 4 进行第二次分类.可分为 (1)有 1 有 4. 这时,1 和 4 不能在同一行,而分别在第 1,3 行,有 8 种排法,剩下 2 的 5,6,7,8 种选两个排在其余位置有 A4 ? 12 种排法.共有 8 ?12 ? 96 种排法;
4 (2)无 1 无 4. 这时有 A4 ? 24 种排法;
3 4 (3)有 1 无 4. 在从 5,6,7,8 中选 3 个与 1 共同排列,有 C4 A4 ? 96 种排法; 3 4 (4)无 1 有 4. 同(3), 有 C4 A4 ? 96 种排法.

2 所以,第 1 类共有 A2 ? 96 ? 24 ? 96 ? 96 ? ? 624 种排法.

2 第 2 类:1,4 在中间一行,同第 1 类,有 A2 ? 96 ? 24 ? 96 ? 96 ? ? 624 种排法.

所以共有 2 ? 624 ? 1248 种排法.故选 B. 在解题中,我们进行了两次分类,再最后整合. 这一方法虽然麻烦一些,但是,条理清楚,把一道大题分成了若干小题求解,思 路来得自然.

【例 2】 (2006 全国卷Ⅰ,理)设集合 I ? ?1, 2,3, 4,5? 。选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法共有( ). A. 50种 B. 49种 C. 48种 D. 47种 【分析及解】这是一个计数问题,关键在于对题目的条件如何思考, (1) 是 A 和 B 是非空子集, (2)是 B 中最小的数大于 A 中最大的数,怎样实现这两 个条件?最好的方法是分类讨论.从条件(2)中的“B 中最小的数”入手, 显然有四种 情形: ① B 中最小的数为 2.此时 A 仅有 1 中选法,即 A ? ?1? ,而 B 可以有 8 中选法, 即 3,4,5 三个元素可以在 B 中,也可以不在 B 中. ② B中最小的数为 3,此时 A 有 3 种选法,即 A ? ?1? , ?2? , ?1, 2? ,而 B 有 4 种选法, 即 4,5 两个元素可以在 B 中,也可以不在 B 中. ③ B 中最小的数为 4, 此时 A 有 7 种选法,即 A 为 ?1, 2,3? 的非空子集,而 B 有 2 种选法,即 5 可以在 B 中,也可以不在 B 中. ④ B 中最小的数为 5, 此时 A 有 15 种选法,即 A 为 ?1, 2,3, 4? 的非空子集,而 B 仅有 1 种选法,即 5 在 B 中. 由以上, 不同的选择方法共有 1? 8 ? 3? 4 ? 7 ? 2 ? 15 ?1 ? 49 种.

【例 3】 (2004 湖北卷,文)为防止某突发事件发生,有甲、乙、丙、丁四 种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发 事件不发生的概率(记为 p )和所需费用如下表: 预防措施 甲 乙 丙 丁 p 0.9 0.8 0.7 0.6 90 60 30 10 费用(万元) 预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施,在总费用不超 过 120 万元的前提下,请确定一个预防方案, 使得此突发事件不发生的概率最大。 【分析及解】由于不超过 120 万元的情形有三种:只有甲,甲和丙,乙,丙,丁,所 以有三个方案,就要对三个方案分别讨论. 方案 1:单独采用一种预防措施的费用均不超过 120 万元.由表可知,采用 甲措施,可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为 0.9. 方案 2:联合采用两种预防措施,费用不超过 120 万元,由表可知.联合甲、 丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为 1—(1—0.9)(1—0.7)=0.97. 方案 3:联合采用三种预防措施,费用不超过 120 万元,故只能联合乙、丙、 丁三种预防措施,此时突发事件不发生的概率为 1—(1—0.8)(1—0.7)(1—0.6)=1—0.024=0.976. 综合上述三种预防方案可知,在总费用不超过 120 万元的前提下,联合使用乙、 丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.

5.遇到同余类问题,是否想到分类 【例 1】(2008 北京卷,理)某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地 设计植树方案如下:第 k 棵树种植在点 Pk ( xk,yk ) 处,其中 x1 ? 1 , y1 ? 1 , k ? 2 时, 当
? ? ? k ? 1 ? ? k ? 2 ?? ? xk ? xk ?1 ? 1 ? 5 ?T ? ? ?T ? ??, ? ? ? 5 ? ? 5 ?? ? ? y ? y ? T ? k ? 1 ? ? T ? k ? 2 ?. ? k k ?1 ? 5 ? ? 5 ? ? ? ? ? ? T (a) 表示非负实数 a 的整数部分,例如 T (2.6) ? 2 , T (0.2) ? 0 . 按此方案,第 6 棵树种植点的坐标应为 第 2008 棵树种植点的坐标应为 ? k ?1 ? ? k ? 2 ? 【分析及解】 根据 T (a) 的定义,在计算 T ? ? ?T ? ? 时,要对正整数 k ? 5 ? ? 5 ? 按以 5 为模进行分类.

(1)当 k ? 5m ? 1 时, 1? ? k ?1 ? ? k ?2? ? 5m ? ? 5m ? 1 ? ? T? ?T ? ?T ? ?T ? ? T ? m ? ? T ? m ? ? ? m ? ? m ? 1? ? 1 . ? ? ? ? 5? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? (2)当 k ? 5m ? 2 时, 1? ? k ?1 ? ? k ?2? ? 5m ? 1 ? ? 5m ? ? T? ? ?T ? ? ?T ? ? ?T ? ? ? T ? m ? ? ? T ? m? ? m ? m ? 0 . 5? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? ? k ?1 ? ?k ?2? ? 5m ? 2 ? ? 5m ? 1 ? ?T ? ?T ? ?T ? (3)当 k ? 5m ? 3 时, T ? ? ? ? ? ? m?m ? 0 ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? k ?1 ? ?k ?2? ? 5m ? 3 ? ? 5m ? 2 ? (4)当 k ? 5m ? 4 时, T ? ? ?T ? ? ?T ? ? ?T ? ? ? m?m ? 0 ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? (5)当 k ? 5m 时, ? k ?1 ? ? k ?2? ? 5m ? 1 ? ? 5m ? 2 ? T? ?T ? ?T ? ?T ? ? ? ? ? ? ? m ? 1? ? ? m ? 1? ? 0 . ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? k ?1 ? ? k ?2? T? ?T ? 所以, ? ? 组成的数列为 1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,? , 5 ? 5 ? ? ? 数列 ?x n ?为 1, 2,3, 4,5,1, 2,3, 4,5,1, 2,3, 4,5,? ; 数列 ?y n ?为 1,1,1,1,1, 2, 2, 2, 2, 2,3,3,3,3,3, 4, 4, 4, 4, 4,? . 因此,第 6 棵树种在 ?1, 2 ? ,第 2008 棵树种在 ? 3, 402 ? .

【例 2】(2008 广东卷,文)设数列 ?an ? 满足
1 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? (an?1 ? 2an?2 )(n ? 3, ?) . 4, 3 数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 , bn (n ? 2,?) 是非零整数,且对任意的正整数 m 和自 3,

然数 k ,都有 ?1 ? bm ? bm?1 ? ? ? bm?k ? 1 .

(Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;
2, (Ⅱ)记 cn ? nanbn (n ? 1, ?) ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n .
?1 (当n为奇数时) 【分析及解】 (Ⅰ) bn ? ? ??1 (当n为偶数时) ? 8 3 ? 2 ?n?1 (当n为奇数时) ? n ? n? ? ?5 5 ? 3 ? (Ⅱ) cn ? nanbn ? ? n ?1 ? 8 3 ?2? (当n为偶数时) ?? 5 n ? 5 n ? 3 ? ? ? ? Sn ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn .

因为,数列 ?cn ? 是分为奇数和偶数给出的,所以,要对 n 分为奇数和偶数讨论.

当 n 为奇数时, 8 8 8 8 ? ?8 Sn ? ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? ? n ? ? 5 5 5 5 ? ?5 0 1 2 3 n ?1 3? ?2? 2? 2? 2? 2? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ? 0 1 2 3 n ?1 3? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ? 0 1 2 3 n ?1 4( n ? 1) 3 ? ? 2 ? 2? 2? 2? 2? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? . 5 5? ?3? ?3? ?3? ? 3? ? 3? ? ? ? 当 n 为偶数时, 8 8 8 8 ? ?8 Sn ? ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? ? n ? ? 5 5 5 5 ? ?5 0 1 2 3 n ?1 3? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ? 0 1 2 3 n ?1 4n 3 ? ? 2 ? ?2? ?2? ?2? ?2? ? ? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? . 5 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ?

?2? ?2? ?2? ?2? ?2? 令 Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? 2 ① ? 得: 3

0

1

2

3

n ?1





2 ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? Tn ? 3 ?3? ?3? ?3? ?3? ?3?
1 2 3 4

1

2

3

4

n


n ?1

1 ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ① ? ②得: Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?3? ?3? ?3? ?3? ?3?
n

?2? ? n? ? ?3?

n

?2? 1? ? ? n n n 2? 2? 2? ? 3 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 3 ? (3 ? n) ? ? ,? Tn ? 9 ? (9 ? 3n) ? ? . 2 ?3? ?3? ?3? 1? 3 ? 4n ? 23 9(n ? 3) ? 2 ?n ? (当n为奇数时) ? ? ? 5 ?3? ? 5 因此 Sn ? ? n ? 4n ? 27 9(n ? 3) ? 2 ? ?? 5 ? 5 ? 3 ? (当n为偶数时). ? ? ?

【例 3】(2008 天津卷,理)在数列 ?an ? 与 ?bn ? 中, a1 ? 1, b1 ? 4, 数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足
nSn ?1 ? ? n ? 3? Sn ? 0, 2an ?1 为 bn 与 bn ?1 的等比中项, n ?N?.

(Ⅰ) 求 a2 , b2 的值;
a1

(Ⅱ) 求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (Ⅲ) 设 Tn ? ? ?1? b1 ? ? ?1? b2 ? ? ? ? ?1? bn , n ? N? , 证明 Tn ? 2n2 , n ? 3.
a2 an

【分析及解】(Ⅰ) a2 ? 3 , b2 ? 9. (Ⅱ) an ?
n ? n ? 1? 2
a

, bn ? ? n ? 1? , n ? N? .
2
a a

(Ⅲ) Tn ? ? ?1? 1 b1 ? ? ?1? 2 b2 ? ? ? ? ?1? n bn
n ? n ? 1?

? ?2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ? ? ?1?
2 2 2 2 2

n? n ?1? 2

? n ? 1?

2

.

2 以要对 n 以 4 为模分为四种情况讨论.

由于

当 n ? 1, 2,3,? 时的奇偶状况是: 奇,奇,偶,偶,奇,奇,偶,偶,?,所

(1) 当 n ? 4k , k ? N? 时,
Tn ? ?22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? ? ? ? 4k ? 2 ? ? ? 4k ? 1? ? ? 4k ? ? ? 4k ? 1? .
2 2 2 2

因为 ? ? 4k ? 2 ? ? ? 4k ? 1? ? ? 4k ? ? ? 4k ? 1? ? 32k ? 4 ,所以
2 2 2 2

Tn ? 32 ? ?1 ? 2 ? ? ? k ? ? 4k ? ? 4k ? ? 3 ? 4k ? n 2 ? 3n.
2

(2) 当 n ? 4k ? 1, k ? N? 时,
Tn ? ? 4k ? ? 3 ? 4k ? ? 4k ? 1? ? ? n ? 1? ? 3 ? n ? 1? ? ? n ? 2 ? ? n.
2 2 2 2

(3) 当 n ? 4k ? 2, k ? N? 时,
Tn ? ? 4k ? ? 3 ? 4k ? ? 4k ? 1? ? ? 4k ? ? 3 ? n ? 2 ? ? ? n ? 3? ? ?n 2 ? 3n ? 3.
2 2 2 2

(4)当 n ? 4k ? 3, k ? N? 时,
Tn ? ? 4k ? ? 3 ? 4k ? ? 4k ? 1? ? ? 4k ? ? ? 4k ? 1? ? ?n ? 3.
2 2 2 2

? ? n ? 3, ? ? n 2 ? 3n ? 3, ? 所以, Tn 的表达式有 Tn ? ? ? n, ? n 2 ? 3n, ? ? 1 3 ? n ? n 2 ? 2, ? ?1 ? 3 ? 3 ? 2, Tn ? n n 2 从而当 n ? 3 时,有 2 ? ? n ? 1 ? 2, ? n ? 3 ?1 ? ? 2, ? n Tn 因此, 当 n ? 3 时,有 2 ? 2, 即 Tn ? 2n 2 . n

n ? 4k ? 3, n ? 4k ? 2, n ? 4k ? 1, n ? 4k , k ? N?

n ? 5, 9,13,? , n ? 6.10,14,? , n ? 3, 7,11,? , n ? 4 ,8,12,? ,

6.分类讨论的避免与简化 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题 不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的 提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨 论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以 避免和简化. 【例 1】2006 天津卷) ( 已知函数 y ? f ? x ? 的图象与函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 ) 的图象关于直线 y ? x 对称,记 g ? x ? ? f ? x ? ? f ? x ? ? f ? 2 ? ? 1? ,若 y ? g ? x ? 在区间 ? ?
?1 ? ? 2 , 2? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( ? ?

).
?1 ? C. ? ,1? ?2 ? ? 1? D. ? 0, ? ? 2?

A. ? 2, ?? ?

B. ? 0,1? ? ?1, 2 ?

【分析及解】一般的解法是
a g ? x ? ? log a x ? log a x ? log a 2 ? 1? ,设 t ? log a x ,则化为 g ? x ? ? h ? t ? ? t ? t log a 2
2

需要对对数的底 a 分为 a ? 1 和 0 ? a ? 1两类讨论. ?1 ? 当 a ? 1 时,区间 x ? ? , 2? 化为 t ? ? ? log a 2,log a 2? ,若 h ? t ? 在 t ? ? ? log a 2,log a 2? ?2 ? 1 a a 1 1 上增,则图象对称轴 t ? log a ? ? log a 2 ? log a ? log a ? a ? 与 a ? 1 矛盾. 2 2 2 4 2 ?1 ? 当 0 ? a ? 1时, 区间 x ? ? , 2? 化为 t ? ?log a 2, ? log a 2? , ?2 ? 若 h ? t ? 在 t ? ?log a 2, ? log a 2? 上增,注意到,此时 log a x ? t 为减函数,
1 a a 1 1 则 其 图 象 的 对 称 轴 t ? log a ? ? log a 2 ? log a ? log a ? a ? , 即 2 2 2 4 2 1 0 ? a ? .故选 D. 2

上面的解法对于一道选择题,显然繁琐一些,但是,如果运用对数函数的特征, 可以避免分类讨论. 1 g ? x ? ? log a x ? log a x ? log a 2 ? 1? ? 2 ?lg 2 x ? ? lg a ? lg 2 ? lg x ? ? lg a ? 设 t ? lg x , g ? x ? ? ? ? t ? ? t 2 ? ? lg a ? lg 2 ? t .
?1 ? 则区间 x ? ? , 2? 化为 t ? ? ? lg 2,lg 2? , ?2 ? 1 ?1 ? 由 y ? g ? x ? 在区间 ? , 2? 上是增函数及 2 ? 0 , lg a ?2 ? lg a ? lg 2 1 1 可得 ? ? lg 2 ? lg a ? lg 2 ? ?2lg 2 ? lg a ? lg ? a ? . 2 2 2 ? 1? 即 a ? ? 0, ? .故选 D. ? 2?

【例 2】过点 M ?1, 0 ? 作直线 L 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点,O 为原点, 求 ?AOB 的面积的最大值. 【分析及解】解法 1.作 ON ? AB 于 N ,则 N 为 AB 的中点. 对过点 M ?1, 0 ? 作直线 L 要分斜率存在和斜率不存在两类讨论.

(1)当直线 L 的斜率存在时,设直线 L 的方程为 L : y ? k ? x ? 1? .则 ON ?
? y ? k ? x ? 1? , 解? 2 2 ? x ? y ? 16.
2

k 1? k 2

? 2k 2 ? x1 ? x2 ? 1 ? k 2 , ? 得 ?1 ? k 2 ? x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 16 ? 0, 有 ? 2 ? x x ? k ? 16 . ? 1 2 1? k 2 ?

于是 AB ? 1 ? k ?
1 S?AOB ? ? AB ? ON ? 2

? x1 ? x2 ?

2

16 ? 15k 2 ? 4 x1 x2 ? 2 , 2 1? k

k 2 ?16 ? 15k 2 ?

?1 ? k ?

2 2

,

1 设 t ? 2 , ? 0 ? t ? 1? ,则 S?AOB ? g ? t ? ? ?t 2 ? 14t ? 15 ? 15 , k ?1 (2) 当直线 L 的斜率不存在时,直线 L 的方程为 L : x ? 1 ,

此时, A 1, 15 , B 1, ? 15 , S?AOB ? 15 .

?

? ?

?

? 于是, S?AOB ? 15 ,当直线 L 的倾斜角为 时, S?AOB 有最大值为 15 . 2

解法 2.作 ON ? AB 于 N ,则 N 为 AB 的中点. 如果设直线 L 的方程为 x ? my ? 1 ,则可以不必分类.
ON ? 1 1? m
2

,

? x ? my ? 1, 则? 2 得 ?1 ? m2 ? y 2 ? 2my ? 15 ? 0, 2 ? x ? y ? 16. 2m ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? m2 , 16m2 ? 15 2 ? 2 AB ? 1 ? m ? ? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ? 2 , ? 2 1? m ? y y ? ? 15 . ? 1 2 1 ? m2 ?

S?AOB

1 16m 2 ? 15 , ? AB ? ON ? 2 2 ?1 ? m2 ?

设 t ? m2 ? 1, ? t ? 1? ,则 S?AOB ? ? ? t ? ? 由 S?AOB

16 1 ? 2 , ? t ? 1? , t t ? ? ? t ? 是 t ? ?1, ?? ? 上的减函数,则 S?AOB ? 15 .

当 t ? 1, 即 m ? 0 ,直线 L 的倾斜角为

? 时, S ?AOB 有最大值为 15 . 2

【例 3】解不等式 3 ? 3 ? x ? ? 3 ? 2 x 【分析及解】一般的解法是分 3 ? 2x ? 0 和 3 ? 2x ? 0 两种情形求解. (1)当 3 ? 2x ? 0 时,解 9 ? ? 3 ? 3 ? x ? ? 3 ? 2 x, ?0 ? x ? 4 , 3 ? ? 解得 ? 即0? x ? . ? 2 ? 3 ? 2 x ? 0. ?x ? 3 ? ? 2 ? ? 3 ? 3 ? x ? ? 0, 3 (2)当 3 ? 2x ? 0 时,只需 ? 解得 ? x ? 3 , 2 ?3 ? 2 x ? 0. 由(1),(2)得不等式的解为 0 ? x ? 3 . 为了避免这种分类求解,可以采取补集思想求解. 不等式中 x 的允许值的集合 ? x x ? 3? 作为全集. 解不等式 3 ? 3 ? x ? ? 3 ? 2 x 得 ? x x ? 0? , 其补集 ? x 0 ? x ? 3? 就是原不等式的解集.

【例 4】(2008 山东卷,理第(Ⅱ)问) 已知函数 f ( x) ?

x ? N* ,

1 ? ln( x ? 1) ,其中 (1 ? x) n 证明:对任意的正整数 n ,当 x ? 2 时,有 f ( x) ? x ? 1 .
n

【分析及解】证法 1.由函数的定义域知, x ? 1 ,因此,为判断 ?1 ? x ? 的正负, 需对 n 分奇数和偶数讨论.
1 ? ln( x ? 1) , n (1 ? x) n 1 x?2 n ? ? ? ? 0( x ?2) 则 g ?( x) ? 1 ? . ( x ? 1) n ?1 x ? 1 x ? 1 ( x ? 1) n ?1 ? 所以当 x ? ? 2, ? ? 时, g ( x) 单调递增, 又 g (2) ? 0 ,

当 n 为偶数时, 令 g ( x) ? x ? 1 ?

1 ? ln( x ? 1) ? g (2) ? 0 恒成立,所以 f ( x) ? x ? 1 成立. n ( x ? 1) 1 ?0 , 所 以 只 需 证 当 n 为 奇 数 时 , 要 证 f ( x) ? x ? 1 , 由 于 (1 ? x) n ln( x ? 1) ? x ? 1 , 1 x?2 令 h( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1) , 则 h?( x) ? 1 ? , ? ? 0(x?2) x ?1 x ?1 ? 所以当 x ? ? 2, ? ? 时, h( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1) 单调递增,又 h(2) ? 1 ? 0 ,

因此 g ( x) ? x ? 1 ?

所以当 x ? 2 时,恒有 h( x) ? 0 , 即 ln( x ? 1) ? x ? 1 命题成立. 综上所述,结论成立.

证法 2. 当 x ? 2 时,对任意的正整数 n ,恒有 故只需证明 1 ? ln( x ? 1) ? x ? 1.

1 ? 1, n (1 ? x)

? 令 h( x) ? x ?1 ? (1 ? ln( x ?1)) ? x ? 2 ? ln( x ? 1) , x ? ? 2, ? ? ,

则 h?( x) ? 1 ?

1 x?2 , ? x ?1 x ?1

? 当 x ? 2 时, h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 ? 2, ? ? 上单调递增,

因此当 x ? 2 时, h( x) ? h(2) ? 0 , 即 1 ? ln( x ? 1) ? x ? 1成立. 故当 x ? 2 时,有
1 ? ln( x ? 1) ? x ? 1 . n (1 ? x)

即 f ( x) ? x ? 1 .

总之,在解题中,既要运用分类与整合思想对数学解题过程中,出现的各种不 同情况进行缜密地思考,又要注意避免不必要的分类,从而室内解题更灵活,更简 便,更优化.

3.数形结合思想
数形结合思想是一种很重要的数学思想,数与形是事物的两个方面,正是 基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科,才能使人们能够从不同侧面 认识事物,把数量关系的研究转化为图形性质的研究,或者把图形性质的研究 转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略, 就是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结 合起来,使抽象思维与形象思维结合起来. 华罗庚先生说过:“数与形本是两依倚,焉能分作两边飞. 数缺形时少直观, 形少数时难入微.”,“切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离.” 高考对数形结合思想的考查,一方面是通过解析几何或者平面向量考查对 一些几何问题如何用代数方法来处理,另一方面,有一些代数问题则依靠几何 图形的构造和分析帮助解决,下面仅介绍 2004 年高考试题中用图形帮助解题的 一些例子。 在使用的过程中,由“形”到“数”的转化,往往比较明显,而由“数”到“形” 的转化却需要转化的意识,因此,数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到 “形”的转化。 考试中心对考试大纲的说明中强调: “在高考中,充分利用选择题和填空题 的题型特点,为考查数形结合的思想提供了方便,能突出考查考生将复杂的数 量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识,而在解答题中,考虑到推理 论证的严密性,对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的 方法,解答题中对数形结合思想的考查以由?形?到?数?的转化为主.” 这里只讨论运用图形分析帮助解决问题的例子.

1.对于方程或方程组的解的个数问题, 用图形分析帮助解决问题的关键是 讨论图象交点的个数. ?| lg | x ? 1 ||, x ? 1 【例 1】(2005 年,上海卷)设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ? , 0, x ?1 ? 则关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不同实数解的充要条件是( ) (A) b ? 0 且 c ? 0 ( B) b ? 0 且 c ? 0 (C) b ? 0 且 c ? 0 (D) b ? 0 且 c ? 0 【分析及解】画出函数 f ?x ? 的图象(图 3-1),该图像关于 x ? 1 对称,且 f ?x ? ? 0 , 令 f ?x ? ? t , 若 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不同实数解, 则方程 t 2 ? bt ? c ? 0 有 2 个不同实数解,且为一正根,一零 根. 因此, b ? 0 且 c ? 0 ,故选(C).
图3-1

【例 2】 (2004 湖北卷)两个圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 与 C 2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的公切线有且仅有( A. 1 条 B.2 条 C. 3 条 D. 4 条 )

【分析及解】画出圆 C1 和 C2(图 3-2),可知,两圆相交,故只有两条外公切线.

图3-2

【例 3】(1991 全国卷) 圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距 离等于 2 的点共有( ). (A)1 个 (B)2 个 (C) 3 个 (D)4 个 【分析及解】本题涉及到圆与直线的位置关系,为求点的个数,就要解方程组, 有一定的运算量,但是,题目只要求点的个数,而不要求点的坐标,所以可以不解出 方程,因此,可以借助于图形求解. 画出圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 2? ? 2 2 ,
2 2 2

? ?

圆心 C ? ?1, ?2 ? 直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离
2 所以过圆心 C ? ?1, ?2 ? 且与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行 d? ?1 ? ? ? 2 ? ? 1 ? 2,

的直线与圆的交点 A, B 符合题目要求. 又因为圆的半径是 2 2 ,设半径 CD 垂直于已知 直线 x ? y ? 1 ? 0 ,则 D 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离也是
2 ,于是点 D 也符合题目要求. 因此符合题目要求的点共有三个: A, B , D .故选(C).
图3-3

2.对于参数范围的问题, 用图形分析帮助解决问题的关键是讨论参数的几 何意义的范围. 【例 1】 (2007 全国Ⅱ卷,理,文)函数 y ? sin x 的一个单调增区间是( )
? ? ?? ? ? 3? ? ? ?? ? ? 3? ? 2 A. ? ? , ? B. ? , ? C. ? ?, ? D. ? ,? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 【分析及解】只要画出 y ? sin x 的图象(图 3-4),就可以得到要选的选项.

图3-4

【例 2】 (1989 全国卷) f (x) 是定义在区间 (??,??) 上以 2 为周期的函数, 设 对于 k ? Z ,用 I k 表示区间 (2k ? 1,2k ? 1] ,已知当 x ? I 0 时, f ( x) ? x 2 . (Ⅰ)求 f (x) 在 I k 上的解析表达式; 实根}. 【分析及解】 (Ⅰ)由题意, f ? x ? ? ? x ? 2k ? , ? x ? I k ? ,
2

(Ⅱ)对自然数 k ,求集合 M k ? ?a 使方程 f ( x) ? ax 在 I k 上有两个不相等的

(Ⅱ)代数解法需解方程 ? x ? 2k ? ? ax. 即方程
2

g ? x ? ? x 2 ? ? 4k ? 1? x ? 4k 2 ? 0

在区间 (2k ? 1,2k ? 1] 内有两个不相等的实根,其充要条件是
?? ? ? 4k ? 1?2 ? 16k 2 ? 0, ? ? 2k ? 1 ? 4k ? 1 ? 2k ? 1, ? ? 2 ? g ? 2k ? 1? ? 0, ? ? g ? 2k ? 1? ? 0. ? 由这个不等式组解得 k 的取 图3-5 值范围. 用 数 形 结 合 思 想 则 比 较 直 观 . 由 图 3-5 中 , 立 即 可 得 , a 的 取 值 范 围 为 1 0?a? . 2k ? 1

【例 3】 (2006 湖南卷,理)若圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不 同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是( ). ?? ? ? ? ? 5? ? ?? ? ? ? ?? (A) ? , ? (B) ? , ? (C) ? , ? (D) ?0, ? ?12 4 ? ?12 12 ? ?6 3? ? 2? 【分析及解】 圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 整理为
( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? (3 2) 2 ,

∴圆心坐标为(2,2),半径为 3 2 , 要求圆上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的 距 离 为 2 2 , 则 圆 心 到 直 线

l : ax ? by ? 0 的距离 d 应小于等于 2 (图 3-6) ,
?a? ?a? ≤ 2 ,∴ ? ? ? 4 ? ? ? 1 ? 0 , ∴ d? ?b? ?b? a 2 ? b2 a ?a? ∴ ?2 ? 3 ? ? ? ? ?2 ? 3 , k ? ? , b ?b? ? 5? ∴ 2 ? 3 ? k ? 2 ? 3 ,即 tan ? tan ? ? tan , 12 12 ? ? 5? ? 直线 l 的倾斜角的取值范围是 ? , ? ,选 B. ?12 12 ?

| 2a ? 2b |

2

图3-6

【例 4】已知方程 x 2 ? a ? x ? 3 ? 0 ? a ? 0 ? 有两个不相等的 实数根,求实数 a 的取值范围. 【分析及解】已知方程化为 x 2 ? a ? x ? 3 . 作函数 y ? x 2 ? a , y ? x ? 3 的图象, 已知方程 x 2 ? a ? x ? 3 ? 0 有两个实数根就是两个函数的 图象有两个交点,由图 3-7 可知,只有 a ? 3 ,即 a ? 9 时。才 有可能。故实数 a 的取值范围是 a ? 9 .
图3-7

【例 5】已知方程 x ? 4 ? x ? ? ax ? 4 ? 0 有两个不相等的实数根,求实数 a 的 取值范围. 【分析及解】已知方程化为 x ? 4 ? x ? ? ax ? 4 . 作函数 y ? x ? 4 ? x ? 的图象,这是以 ? 2, 0 ? 为圆心,以 2 为半径,在 x 轴上方的半圆, 再作函数 y ? ax ? 4 ? ax ? 4 ? 0 ? 的图象,这是以 a 为斜率. 且过 ? 0, 4 ? 点的直线. 已知方程 x ? 4 ? x ? ? ax ? 4 ? 0 有两个实数根就是直线 与半圆有两个交点,设 AT 切半圆于 T ,由图 3-8 可知,斜 率 a 应满足 k AB ? a ? k AT 。
3 ? 2 ,解得 k AT ? ? , 4 a2 ? 1 3 所以,实数 a 的取值范围为 ?1 ? a ? ? . 4
2a ? 4
O A(0,4) T x y

B(4,0)

图3-8

k AB ? ?1, 因为 AT 为圆的切线, 所以, 圆心 ? 2, 0 ? 到直线 y ? ax ? 4 ? ax ? 4 ? 0 ?

的距离等于半径 2 ,即

? x 2 ? y 2 ? y ? 0, 【例 6】 若方程组 ? 2 有且仅有三组不同的实数解,试求 a, b 应 ax ? bxy ? x ? 0. ?

满足的条件.
1? 1 ? ?1? ? 1? 【分析及解】 方程①可化为 x 2 ? ? y ? ? ? ? ? ,这是以 ? 0, ? 为圆心, 为半 2? 2 ? ?2? ? 2? 径的圆.方程②可化为 x ? ax ? by ? 1? ? 0 ,
2 2

当 x ? 0 时,代入方程①得 y1 ? 0, y2 ? 1 ,因此,有两组解 ? 0, 0 ? 和 ? 0,1? .
2 2 ? 2 ? 1? ?1? ?x ? ? y ? ? ? ? ? , 于是,方程组 ? 2? ? ? 2 ? 只有一组解,且这组解 ? ax ? by ? 1 ? 0. ?

不同于 ? 0, 0 ? 和 ? 0,1? ,这时,只有两种可能:

(1)直线与圆相切(图 3-9),. (2)直线过圆上的 ? 0,1? 点(图 3-10). 当 直 线 与 圆 相 切 时 , 有 1 a ? 0 ? b ? ?1 1 2 ? ,即 a 2 ? 4b ? 4 ? a ? 0 ? ; 2 a 2 ? b2 当 直 线 过 圆 上 的
1

y
1

y
1

T
(0, ) 2

1 (0, ) 2

O

x

? 0,1?

点 时 , 有

图3-9

O 图3-10

x

a ? 0且b ? ?1. 所以, 方程组有且仅有三组不同的实数解得条件是 a ? 0 且 a 2 ? 4b ? 4 或 b ? ?1 .

3.对于最大值或最小值的问题, 用图形分析帮助解决问题的关键是讨论图 形的极端位置. ?a , a ? b 【例 1】 (2006 浙江卷,理)对 a, b ? R ,记 max ?a, b? ? ? ,函数 ?b, a<b
f ? x ? ? max ? x ? 1 , x ? 2 ?

? x ? R ? 的最小值是

.

【分析及解】画出函数 y ? x ? 1 和 y ? x ? 2 的图 象(图 3-11) ,由 f ? x ? 的定义,可得
? ? x ?1 ? f ?x ? ? ? ?x?2 ? ? ? ?x ? ? 1? ? 2?

1? ? ?x ? ? 2? ? 3 ?1? 1 则 f min ?x ? ? f ? ? ? ? 1 ? . 2 ?2? 2



图3-11

【例 2】(1990 全国卷)如果实数 x, y 满足等式 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 3, 那么
2

y 的最大 x

值是( (A)

).

3 3 1 (B) (C) (D) 3 3 2 2 【分析及解】 根据已知等式,画出以 ? 2, 0 ? 为圆心,以 3 为

y 的几何意义是圆上一点 ? x, y ? 与原点 ? 0, 0 ? 所 x 连直线的斜率. y 显然, 的最大值是过原点 ? 0, 0 ? 与圆相切的直线 OA 的 x ? 斜率(图 3-12),由 OC ? 2, CA ? 3 可得 ?AOC ? . 3 ? y 于是, 的最大值是 tan ? 3 ,故选(D 3 x

半径的圆,则

图3-12

【 例 3 】 (2008 四 川 卷 , 理 16) 设 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 若 . S4 ? 10,S5 ? 15 ,则 a4 的最大值为 【分析及解】 4. 4?3 ? ?4a1 ? 2 d ? 10 ? 由题意, ? , ?5a ? 5 ? 4 d ? 15 ? 1 ? 2 ?4a1 ? 6d ? 10, 即 , ? ?5a1 ? 10d ? 15. d ? 2a1 ? 3 ? 5 , 图3-13 , a4 ? a1 ? 3d . ? ? a1 ? 2d ? 3 . ?2a1 ? 3d ? 5 建立平面直角坐标系 a1 ? O ? d ,画出可行域 ? (如图 3-13) , ?a1 ? 2d ? 3 画出目标函数即直线 a4 ? a1 ? 3d , 当直线 a4 ? a1 ? 3d 过可行域内 (1,1) 点时截距最大,此时目标函数取最大值 a4 ? 4 .

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【例 4】已知向量 OB ? (2, 0) , CA ? ( 2 cos ? , 2 sin ? ) ,OC ? (2, 2) ,则 OA 与

??? ? OB 夹角的最小值和最大值依次是( ). ? 5? ? 5? 5? ? ? (A) 0, (B) , (C) (D) , , 4 12 12 12 12 2 4 【分析及解】 本题用直接法相当麻烦,下面先用直接法求解. ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? 由 OA ? OC ? CA ? 2 ? 2 cos ? , 2 ? 2 sin ? 及 OB ? (2, 0) 可知,向量 OA 与向 ??? ? ??? ? 量 OB 的夹角就是直线 OA 的倾斜角, 向量 OA 是直线 OA 的方向向量,于是

?

?

tan ? ?

2 ? 2 sin ? ? 2 ? 2 cos ?

2 ? sin ? . 2 ? cos ?

设 k ? tan ? ?

2 ? sin ? ,则 2 ? cos ?

2k ? k cos ? ? 2 ? sin ? ,
2 ? k ? 1? k ?1
2

sin ? ? k cos ? ?

2 ? k ? 1? , sin ?? ? ? ? ?

,

由于 sin ?? ? ? ? ? 1 ,则 即 于是
tan

2 k ?1 k ?1
2

? 1,

解得 2 ? 3 ? k ? 2 ? 3 ,
5? , 12

?
12

? 2 ? 3 ? k ? tan ? ? 2 ? 3 ? tan

?

12

?? ?

5? ? 5? ,? max ? , ? min ? .故选(C). 12 12 12

而根据向量的几何意义用图形解题就比较简单. ??? ? ? , 2 sin ? 由 OA ? 2 ? 2 c o s ? 2

?

?

则点 A 在以 C ? 2, 2 ? 为圆心, 2 为半径的圆上,又由已知, ??? ??? ? ??? ? OB ? (2,0) ,则 OB 是 Ox 轴上的一个向量,所以圆 C 上的点与 ??? ??? ? ? ? 0,0 ? 点的连线的倾斜角即为 OA 与 OB 的夹角. 如图 3-14,可以求出, ?AOx ? 因而, ? min ?

图3-14

? 5? ,?max ? ,选(C). 12 12

? ? ? ? ? 5? ? ? , ?DOx ? ? ? . 4 6 12 4 6 12

4.对于求值或比较大小的问题, 用图形分析帮助解决问题的关键是借助于 图形,进行观察与计算。
?1? 【例 1】 (2007 天津卷,理)设 a, b, c 均为正数,且 2a ? log 1 a, ? ? ? log 1 b, ?2? 2 2
b

?1? ? ? ? log 2 c, 则( ). ?2? A. a ? b ? c B. c ? b ? a 【分析及解】由题意画出函数
x

c

C. c ? a ? b

D. b ? a ? c

?1? y ? 2 x , y ? ? ? , y ? log 2 x, y ? log 1 x 的 图 象 ?2? 2 (图 3-15: 从图象可得 a ? b ? c ,故选(A).
图3-15

? , BC ? 3, 则△ ABC 的周长为( 3 ? ? A. 4 3 sin( B ? ) ? 3 B. 4 3 sin( B ? ) ? 3 3 6 ? ? C. 6sin( B ? ) ? 3 D. 6sin( B ? ) ? 3 3 6 【分析及解】 本题用三角恒等变形和正弦定理 通过一定量的计算可以完成,但是注意到数形结合, 可以很快解决问题. 为此,延长 CA 到 D ,使 AD ? AB (图 3-16),则 ? ? CD ? AB ? AC , ?CBD ? ?B ? , ?D ? , 6 6
【例 2】 (2005 江苏卷)△ ABC 中, A ? 由 正 弦 定 理
BC AB ? AC ? ?? sin D ? sin? B ? ? 6? ?

).

, 即

图3-16

?? ? AB ? AC ? 6 sin? B ? ? ,由此,选(C). 6? ?

【例 3】 (2007 全国Ⅰ卷,理)抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A ,AK ⊥ l , 垂足为 K , 则 △AKF 的面积是( ) A. 4 B. 3 3 C. 4 3 D. 8 【分析及解】如图 3-17,过 A 作 AB ? x 轴于 B,设准线 l 与 x 轴交点为 C,直线 FA: y ? 3( x ? 1) ,代入 y 2 ? 4 x ,解得 xA ? 3 , AK ? 4 , 又直线的斜率为 3 ,则 ?A ? ?AFx ? 60? ,再由抛物线的定 义知 AF ? AK ,从而 ?AFK 是边长为 4 的正三角形. ∴ S?AFK
3 2 ? ? 4 ? 4 3 .故选 C. 4
图3-17

【例 4】 (2007 全国Ⅱ卷,理)在 △ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 ? ? ???? ??? ??? 1 ??? ??? ? ? CD AD ? 2 DB, ? CA ? ? CB ,则 ? ? ( ) 3 2 1 1 2 A. B. C. ? D. ? 3 3 3 3 【分析及解】本题可以通过向量运算求出 ? 的值,但 A 是画图会更简单. 作出 ?ABC ,过 D 作 DF // AC 交 BC 于 F ,作 DE // AC 交 D E ???? ??? ??? 1 ??? ??? 2 ??? ? ? ? ? ? AC 于 E (图 3-18),由 AD ? 2DB 得 CE ? CA, CF ? CB , B C F 3 3 ??? ??? ??? 1 ??? 2 ??? ? ? ? ? ? 于 是 , CD ? CE ? CF ? CA ? CB , 对 照 题 设 等 图3-18 3 3 2 式, ? ? ,故选 A. 3

【例 5】 (2007 全国Ⅰ卷,理)下面给出的四个点中,到直线 x ? y ? 1 ? 0 的
? x ? y ? 1 ? 0, 2 距离为 ,且位于 ? 表示的平面区域内的 2 ?x ? y ?1 ? 0 点是( ) A. (11) B. (?11) C. (?1, 1) D. (1, 1) , , ? ? ? x ? y ? 1 ? 0, 【分析及解】 画出 ? 表示的平面区域 (图 ?x ? y ?1 ? 0

2 的点在直线 2 y ? x ? 2 及 y ? x 上,显然,符合要求的点在直线 y ? x 上, 结合选项可得 C.

3-19), 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为

图3-19

【例 6】设 0 ? x1 ? x2 ? ? ,试比较 a ?

sin x1 sin x2 和b ? 的大小. x1 x2

sin x 【分析及解】由式子 的结构可知, x sin x 的 的 几 何 意 义 是 连 接 两 点 O ? 0,0 ? x T ? x,sin x ? 的直线的斜率.,于是,

可以画出 y ? sin x 的图象(图 3-20), 研 究 两 点 A ? x1 ,sin x1 ? 和 B ? x2 ,sin x2 ? 与
O ? 0,0 ? 连线的斜率.
图3-20

由图象可知, kOA ? kOB ,即 a ? b .

5.对于解方程或不等式的问题, 用图形分析帮助解决问题的关键是研究图 像的相对位置或交点的位置。 【例 1】 (2004 湖南卷) 设 f ( x), g ( x) 分别为定义在 R 上的奇函数和偶函数, 当 x ? 0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 ,且 g (?3) ? 0 ,则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解 集是( ). (A) (?3,0) ? (3,??) (B) (?3,0) ? (0,3 ) (C) (??,3) ? (3,??) (D) (??,?3) ? (0,3 ) 【 分 析 及 解 】 f ( x), g ( x) 一 为 R 上 奇 函 数 , 一 为 R 上 偶 函 数 , 则 F ( x) ? f ( x) g ( x) 为奇函数, 而 f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? ( f ( x) g ( x))' ? F(x) 0 ,则 F (x) 在 x ? 0 时为增函 ' ? 数, 本题等价于函数 F (x) 为奇函数, F (?3) ? 0 ,且 x ? 0 时, F (x) 为增函数, 求 F ( x) ? 0 的解集,画出图像(图 3-24) ,不难求出 F ( x) ? 0 的解集为(D).

图3-21

显然, F ? x ? ? f ( x) g ( x) ? 0 的解为 ? ??, ?3? ? ? 0,3?

【例 2】 (1991 全国卷)已知 n 为自然数,实数 a > 1 ,解关于 x 的不等式: 1 ? (?2) n n ?1 log a x ? 4 log a2 x ? 12 log a3 x ? ? ? n(?2) log an x ? log a ( x 2 ? a) . 3 【分析及解】由 n log an x ? log an x n ? log a x ,不等式的左边化为
?1 ? 2 ? ? ?2 ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ?2 ? ? log a x ? log a x ? ? 3 首先,对 n 按奇数和偶数分类,再画出图象求解。
2 3 n ?1

1 ? ? ?2 ?

n

(1)当 n 为奇数时,

1 ? ? ?2 ? 3

n

? 0 ,不等式化为 log a x ? log a ( x 2 ? a) ,

? x ? 0, ? 即化为不等式组 ? x 2 ? a ? 0, ? x ? x 2 ? a. ?

(2)当 n 为偶数时,

1 ? ? ?2 ? 3

n

? 0 ,不等式化为 log a x ? log a ( x 2 ? a) ,

? x ? 0, ? 即化为不等式组 ? x 2 ? a ? 0, ? x ? x 2 ? a. ?

画出 y ? x ? x ? 0 ? , y ? x 2 ? a x ? a 图象,两个图象的交点是 A(图 3-22). 因 为 x ? 0 , 则 x ? x2 ? a 的 解 为 x ?
xA ?

?

?

1 ? 4a ? 1 ,则 2

1 ? 4a ? 1 2 当 n 为 奇 数 时 , 不 等 式 的 解 为 x ? xA , 即

x?

1 ? 4a ? 1 , 2 当 n 为偶数时,不等式的解为
1 ? 4a ? 1 . 2

a<x ? x A , 即

a ?x?

图3-22

【例 3】(2000 全国卷) 设函数 f ? x ? ? x 2 ? 1 ? ax ,其中 a ? 0 ,解不等式
f ? x? ? 1 .

【分析及解】本题只是试题的第(Ⅰ)问. 不等式 f ? x ? ? 1 可化为 x 2 ? 1 ? ax ? 1 , 作函数 y ? x 2 ? 1 的图象,它是双曲线 y 2 ? x 2 ? 1的上支, 作函数 y ? ax ? 1 的图象,它是过 ? 0,1? 的直线系, 不等式的意义是双曲线在直线的下方时,横坐标 x 的取 值.从图象可以看出, 当 a ? 1 时, 函数 y ? x 2 ? 1 的图象的右半部分在直线 y ? ax ? 1 的下方,因此,不等式的解是 x ? 0 , 当 0 ? a ? 1 时, 直线 y ? ax ? 1 与 y ? x 2 ? 1 的图象交 于 A, B 两点. 2a 解 方 程 x 2 ? 1 ? ax ? 1 得 xA ? 0, xB ? ,于是解为 1 ? a2 2a 0? x? . 1 ? a2

图3-23

? 2a ? 由以上,不等式的解集为: 当 a ? 1 时, x ? ? 0, ?? ? , 当 0 ? a ? 1时, x ? ?0, 2 ? 1? a ? ?

?2 ? x ? 1 x ? 0 【例 4】(2003 全国卷)设函数 f ( x) ? ? 1 ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x 0 的取 ? 2 x?0 ?x ?

值范围是( ). A.( ? 1,1) B.( ? 1, ? ? ) C.( ? ? , ? 2 ) ? (0, ? ? ) D.( ? ? , ? 1) ? (1, ? ? ) 【分析及解】本题可以直接求解,但需要解两个不等式组,如果画出函数
?2? x ? 1, x ? 0, ? f ( x) ? ? 1 ? x 2 , x ? 0. ?

的图象,再画出直线 y ? 1的图象(如图 3-24) , 从图象可以看出,两图象的交点是 ? ?1,1? , ?1,1? , 由此而得, x 0 的取值范围是 x0 ? ?1, 或 x0 ? 1 ,因而 选(D).

图3-24

6.运用图形分析法解题需要注意的问题 在运用图形分析帮助解题的过程中也容易出现一些误区,例如,图形画得不 够完整,不够准确, 观察图形不够仔细,图形的选择不够合理等,都会出现解题 错误,所以,在解题时,有时还要与运算相结合. (1) 图形画得不够完整,导致解题失误. 【例 1】求方程 x2 ? 2x 的解的个数. 【分析及解】有的同学在是这样作的: 画出 y ? x 2 和 y ? 2 x 的图象,观察图象(图 3-25)的交 点,得到解的个数为 2 . 这个结论是错误的,原因在于图象画得不够完整,忽 略了函数 y ? 2 x 的图象比 y ? x 2 图象的增长速度要快.
图3-25

事实上,这两个函数的图象在 x ? 0 时,有一个交点, 而在 x ? 0 时,有两个交点 B ? 2, 4 ? , C ? 4,16 ? (图 3-26),因此, 方程 x2 ? 2x 有三个解.

图3-26

(2) 图形画得不够准确
? 1? 【例 2】求方程 ? ? ? log 1 x 的解的个数. ? 16 ? 16
x

?1? 【分析及解】有的同学画出 y ? ? ? 和 y ? log 1 x 的草图(图 3-27),就断言, ? 16 ? 16 方程只有一个解,

x

.

图3-27

图3-28

实际上,室内图象画得不准确所致,准确地画出图象(图 3-28),可知有三个解.

(3)观察图形不够仔细 【例 3】求方程 x ? 2 sin x 的解的个数. 【 分 析 及 解 】 由 于 2 sin x ? 2 , 而 x ? 2 , 则 ?8 ? x ? 8 , 因 此 , 只 需 画 出
1 3
1 3

? ?3? , 3? ? 的图象即可.

图3-29

有的同学观察图象(图 3-29),得出有 7 个交点,实际上,观察得不够仔细,因为 1 5 当 x ? 8 时, x 3 ? 2 ,而当 x ? ? ? 8 时, 2sin x ? 2 ,所以,点 ? x, 2 ? 不是两个函数图象 2 的交点,故在 ? 2? , 3? ? 上, 两个函数图象有两个交点,而不是一个交点,因此, 方程
x ? 2 sin x 的解的个数为 9 而不是 7.
1 3

x2 y 2 【例 4】若椭圆 2 ? 2 ? 1与抛物线 y ? x 2 ? m 有四个公共点,试探讨 a, b, m a b 应满足的关系. x2 y 2 【分析及解】作出椭圆 2 ? 2 ? 1 和抛物线 a b y ? x 2 ? m ,观察图象(图 3-30) ,可以得到,当抛 物线的顶点在椭圆的下方, m ? ?b ) ( ,且抛物线穿 过椭圆的内部( ?m ? a )时,即 ?a2 ? m ? ?b 时, 两条曲线有四个交点. 作为充分条件,这个结论是正确的,
图3-30

但是,对这个图形观察和分析的还不够仔细,,我们 考虑了 ?m ? a 的情形,当 ?m ? a 时,在 x 轴的下方,抛 物线与椭圆仍有交点,例如, ? x2 2 ? ? y ? 1, 的解为 ?4 ? y ? x 2 ? 4. ? ? 15 ? 15 x3 ? , ? x4 ? ? , ? x1 ? 2, ? x2 ? ?2, ? ? ? 2 2 (图 3-31). ? ? ? ? ? y1 ? 0. ? y2 ? 0. ? y ? ? 1 . ? y ? ? 1 . 图3-31 ? 3 ? 4 ? 4 ? 4 所以,有四个交点的一个极端情形应该是两条曲线相切, ? x2 y2 4a 4 ? b 2 ? 2 ? 2 ? 1, 2 2 2 2 2 由 ?a b 得 a y ? b y ? ? m ? a ? b ? 0 ,解 ? ? 0 得 m ? ? , 2 4a ? y ? x 2 ? m. ?
4a 4 ? b 2 ? m ? ?b 于是, 两条曲线有四个交点的条件是 ? 2 4a

(4)图形的选择不够合理 【例 5】若圆 ? x ? a ? ? y 2 ? 4 与抛物线 y 2 ? 6 x 没有公共点,求 a 的取值范围.
2

【分析及解】由于圆的半径为 2 ,当圆与抛物 线外切时, a ? ?2 ,于是, a ? ?2 时,圆与抛物线没有 公共点. 当圆与抛物线内切时,由 ?? x ? a ?2 ? y 2 ? 4, ? 得 ? 2 ? y ? 6x . ? x 2 ? ? 2a ? 6 ? x ? a 2 ? 4 ? 0 , ①
13 . 6 13 25 然而,把 a ? 代入方程①得 3x 2 ? 5 x ? ? 0 , 图3-32 6 12 5 此时,解为 x ? ? 是负根,显然, 圆与抛物线不能内 6 切. 因此,对 x ? 0 ,可以用图形帮助解决,而对 x ? 0 ,则需要用计算的方法.
2

? ? ? 2a ? 6 ? ? 4 ? a 2 ? 4 ? ? 0 ,解得 a ?

当 x ? 0 时,本题等价于圆心 ? a, 0 ? 到抛物线的距离 d 的最小值大于 2 ,求 a 的 取值范围.
d ? ? x ? a ? ? y ? ? x ? a ? ? 6 x ? x ? ? 2a ? 6 ? x ? a ? ? x ? ? a ? 3 ? ? ? 6a ? 9 . ? ?
2 2 2 2 2 2 2

设 f ? x ? ? ? x ? ? a ? 3 ? ? ? 6a ? 9 , ? x ? 0 ? . ? ?
2

当 a ? 3 ? 0 ,即 a ? 3 时, f ? a ? 3? 最小,所以, d min

到 a ? 3 ,所以, a ? 3 . 当 a ? 3 ? 0 即 a ? 3 时, f ? 0 ? 最小,所以, d min ? a ? 2 ,此时为 2 ? a ? 3 . 综合以上得, a ? 2 .
2

13 ? 6a ? 9 ? 2 ,解得 a ? ,考虑 6

于是, 圆 ? x ? a ? ? y 2 ? 4 与抛物线 y 2 ? 6 x 没有公共点时, a 的取值范围为
a ? ?2 或 a ? 2 . 用图形分析的方法解决问题,一方面要发挥图形的直观,形象地作用,另一方 面则要注意画图的准确性,完整性和对图形观察的细致,并注意结合数学运算来 完成.

4.化归与转化思想
化归与转化的思想确是指在解决问题时,采用某种手段使之转化,进而使问 题得到解决的一种解题策略,是数学学科与其它学科相比,一个特有的数学思 想方法,化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上,解题的过程就 是一个缩小已知与求解的差异的过程,是求解系统趋近于目标系统的过程,是 未知向熟知转化的过程,因此每解一道题,无论是难题还是易题,都离不开化 归。例如,对于立体几何问题,通常要转化为平面几何问题,对于多元问题, 要转换为少元问题,对于高次函数,高次方程问题,转化为低次问题,特别是 熟悉的一次,二次问题,对于复杂的式子,通过换元转化为简单的式子问题等 等.事实上,前面讲的函数和方程思想就是把表面不是函数的问题化归为函数问 题求解,分类与整合思想是把一个复杂的题目分解成若干个小题求解,而数形结 合思想则是把代数问题转化为图形求解,或者把几何问题转化为代数运算求解.

在高考中,对化归思想的考查,总是结合对演绎证明,运算推理,模式构建 等理性思维能力的考查进行,因此可以说高考中的每一道试题,都在考查化归 意识和转化能力. 运用化归与转化的思想,有这样的三个问题必须明确: (1) 化归的对象:解题中需要变更的部分; (2) 化归的目标:把化归的对象化为熟知的问题,规范性的问题; (3) 化归的途径:从未知到熟知,从多元到少元,从空间到平面,从高维道 低维,从复杂到简单。

1.把未知转化为已知或熟知 解题的过程就是一个把生题转化为熟题的过程,有一些题目,初看比较陌 生,过去未解过,未见过,在制定解题计划时,就要设法转化,使之成为一个 曾经解过的熟悉的问题,或曾经见过的类似的问题. 【例 1】已知 P ? x ? , Q ? x ? 是两个实系数多项式,且对所有实数 x ,满足恒等 式
P ?Q ? x ? ? ? Q ? P ? x ? ? . ? ? ? ?

若方程 P ? x ? ? Q ? x ? 无实数解,证明方程 P ? P ? x ? ? ? Q ?Q ? x ? ? 也无实数解. ? ? ? ? 【分析及解】这种复合函数方程的题目,可能没有遇到过,已知条件与所证结 论之间有什么联系,也不清楚,那么,有没有与此相关的问题?有.函数与图象之间 向来是互相联系的,我们能否转化为我们熟悉的图象问题来思考呢? 方程 P ? x ? ? Q ? x ? 没有实数解得含义是两个函数的图象没有交点,或者是函 数 F ? x ? ? P ? x ? ? Q ? x ? 的图象与 x 轴没有交点,即函数 F ? x ? 的图象或者永远在 x 轴的上方, 或者永远在 x 轴的下方. 不妨设函数 F ? x ? 的图象或者永远在 x 轴的上方. 因 此 , 要 证 明 方 程 P ? P ? x ? ? ? Q ?Q ? x ? ? 没 有 实 数 解 , 只 要 证 明 ? ? ? ?
P ? P ? x ? ? ? Q ?Q ? x ? ? 永远大于零或永远小于零就可以. ? ? ? ?

于是,方程无实数解得问题就转化为函数图象永远在 x 轴的上方, 或者永远 在 x 轴的下方的问题,方程的问题化归为函数图象问题. 这一思路,使我们获得了下面的解法.

因为方程 P ? x ? ? Q ? x ? 没有实数解,,不妨设 F ? x ? ? P ? x ? ? Q ? x ? ? 0 , 由 P ?Q ? x ? ? ? Q ? P ? x ? ? 得 ? ? ? ?
P ? P ? x ? ? ? Q ? Q ? x ? ? ? P ? P ? x ? ? ? Q ? P ? x ? ? ? Q ? P ? x ? ? ? Q ?Q ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? P ? P ? x ? ? ? Q ? P ? x ? ? ? P ?Q ? x ? ? ? Q ?Q ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0. 于是, 方程 P ? P ? x ? ? ? Q ?Q ? x ? ? 没有实数解. ? ? ? ?

?

? ?

?

【例 2】 (2006 天津卷,理)已知数列 ? xn ? , ? yn ? 满足 x1 ? x2 ? 1, y1 ? y2 ? 2 ,并且
xn ?1 x y y ? ? n , n ?1 ? ? n (? 为非零参数, n ? 2,3, 4,?) xn xn ?1 yn yn ?1 (Ⅰ) 若 x1 , x3 , x5 成等比数列,求参数 ? 的值; x x (Ⅱ) 当 ? ? 0 时,证明 n ?1 ? n ? n ? N? ? ; yn ?1 yn x ?y x ?y x ?y ? (Ⅲ) 当 ? ? 1 时,证明 1 1 ? 2 2 ? ? ? n n ? ? n ? N? ? . x2 ? y2 x3 ? y3 xn ?1 ? yn ?1 ? ? 1 【分析及解】 (Ⅰ) ? ? ?1 . x x 而第(Ⅱ)问证明的关键就是能否把递推式 n ?1 ? ? n 转化为等比数列,以及 xn xn ?1 yn ?1 yn ?? 对不等式 能类比等比数列求解.或者由求证的不等式 yn yn ?1 xn ?1 xn ? ? n ? N? ? 是一个与正整数 n 有关的命题,而选择数学归纳法.这两种证明 yn ?1 yn 方法都是把生题转化为熟题的方法.

解法 1. 由已知, ? ? 0 , x1 ? x2 ? 1, y1 ? y2 ? 2 ,可得 xn ? 0, yn ? 0 , 于是有, xn ?1 xn 2 xn ?1 n ?1 x2 ① ?? ?? ?? ? ? ? ? n ?1 , xn xn ?1 xn ?2 x1 yn ?1 y y y ② ? ? n ? ? 2 n ?1 ? ? ? ? n ?1 2 ? ? n ?1. yn yn ?1 yn ? 2 y1 y x x x 由①,②得 n ?1 ? ? n ?1 ? n ?1 ,于是, n ?1 ? n ? n ? N? ? 。 yn ?1 yn yn xn

解法 2.用数学归纳法。 x 1 x (1)当 n ? 1 时, 2 ? ? 1 ,不等式成立; y2 2 y1 xk ?1 xk xk ?1 yk ?1 ? (2)假设 n ? k 时不等式成立,即 ? ?k ? N ? , ? ? k ? N? ? yk ?1 yk xk yk 那么, n ? k ? 1 时,由题设, xk ? 2 x y y ? ? k ?1 ? ? k ?1 ? k ? 2 , xk ?1 xk yk yk ?1 x x 即 k ? 2 ? k ?1 ,因此, n ? k ? 1 时,不等式成立。 yk ? 2 yk ?1 xn ?1 xn ? ? 成立。 由(1)(2) , ,对所有的 n ?N ,不等式 yn ?1 yn

第(Ⅲ)问要证明一个分式不等式
x ?y x1 ? y1 x2 ? y2 ? ? ?? ? n n ? ? n ? N? ? ,关键在于能否把不等式的左边 x2 ? y2 x3 ? y3 xn ?1 ? yn ?1 ? ? 1

的分式的和转化为熟知的数列的和,这正是解决本问的努力方向. x x y y 由 n ?1 ? n 得 n ?1 ? n , yn ?1 yn xn ?1 xn yn ?1 y y ?x y ?x y ?x x ? 1 ? n ? 1 ? n ?1 n ?1 ? n n ? n ?1 n ?1 ? n ?1 ? ? n?1 xn ?1 xn xn ?1 xn yn ? xn xn x ?y 因此, n n ? ?1?n , xn ?1 ? yn ?1 x ?y x1 ? y1 x2 ? y2 ? ? ? ? n n ? 1 ? ? ?1 ? ? ?2 ? ? ? ?1?n x2 ? y2 x3 ? y3 xn ?1 ? yn ?1
?1? 1? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 1 1 ? ?1 1? 1? ? ?
n

【例 3】(2003 新课程卷)已知常数 a ? 0 ,向量 c ? (0, a) ,i ? (1,0) ,经过 原点 O 以 c ? ? i 为方向向量的直线与经过定点 A(0, a) 以 i ? 2? c 为方向向量的直 线相交于点 P ,其中 ? ?R ,试问:是否存在两个定点 E, F ,使得 PE ? PF 为 定值,若存在,求出 E, F 的坐标,若不存在,说明理由。 【分析及解】本题是一个存在性问题,又是一个定点和定值问题: “是否存在 两个定点 E, F ,使得 PE ? PF 为定值”,这是一个生疏的问题,但是,一个动点到 两个定点的距离之和为定值却是一个熟悉的结论,即动点的轨迹是椭圆,而动点 P 是两条直线的交点,这又是一个熟悉的问题,因此,本题就转化为,两条直线交点 的轨迹是否为椭圆的问题.解题的方向明确了.求出直线方程,再求交点的轨迹,然 后判断这一轨迹是否为椭圆,其焦点是否为定点. ? ? ? ? 因为 c ? (0, a) , i ? (1,0) ,,所以 c ? ? i ? ? ? , a ? , i ? 2? c ? ?1, ?2? a ? . 因此,直线 OP 和 AP 的方程分别为 ? y ? ax 和 y ? a ? ?2? ax .

y( y ? a) ? ?2a 2 x 2 . 消去参数 ? 得到方程

把这个方程朝着椭圆方程的目标整理,得

因为 a

? 0, 所以

a? ? y? ? x2 ? 2? ? ? ? 1. 2 1 ?a? ?2? 8 ? ?

2



(1)当 a ?

2 时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点 E 和 F ; 2 ?1 1 2 a? 2 (2) 当 0 ? a ? 时 , 方 程 ① 表 示 椭 圆 , 焦 点 E? 和 ?2 2 ?a ,2? ? 2 ? ?

? 1 1 2 a? 为合乎题意的两个定点; F ?? ? 2 2 ?a ,2? ? ? ?

? 1 1 ? 2 2 (3) 当 a ? 时 , 方 程 ① 也 表 示 椭 圆 , 焦 点 E ? 0, (a ? a ? ) ? 和 ? 2 2 ? 2 ? ?

? 1 1 ? 2 F ? 0, (a ? a ? ) ? 为合乎题意的两个定点. ? 2 2 ? ? ?

2.把多元转化为少元 一个题目含有较多的元素,它们之间有一定的联系,,我们在解题时,总是希望 通过一定的变形,转化来减少题目中的元素,从而变成一个较容易的题目,这是一 种从多元向少元的化归,实现这一化归的主要方法是消元法.例如,解二元一次方 程组时,遇到两个未知数,我们用消元法变成一个一元一次方程就是一种典型的 从多元向少元的化归. 【例 1】已知 a1 , a2 , a3 成等差数列 ? a1 ? 0 ? , a2 , a3 , a4 成等比数列, a3 , a4 , a5 的 倒数也成等差数列,问 a1 , a3 , a5 之间有什么关系? 【分析及解】题目中有 5 个元素: a1 , a2 , a3 .a4 , a5 ,而解题目标是探讨 a1 , a3 , a5 之间有什么关系,因此, a2 , a4 对求解目标是多余的,需要从多元向少元化归, 即在解题时,设法把 a2 , a4 消去.
? a ?a a2 ? 1 3 , ? ? 2 2 a ?a ? 由 题 设 , ? a3 ? a2 a4 , 为 消 去 a2 , a4 , 可 从 方 程 组 中 解 出 a2 ? 1 3 和 2 ? 2 1 1 ? ? ? . ? a4 a3 a5 ?
a4 ?

?a ? a ? a 2a3 a5 a ? a 2a a 2 2 ,代入 a3 ? a2 a4 得 a3 ? 1 3 ? 3 5 ,因为 a3 ? 0 ,则 a3 ? 1 3 5 , a3 ? a5 2 a3 ? a5 a3 ? a5

2 整理得 a3 ? a1a5 .因此, a1 , a3 , a5 成等比数列.

M , N 两点,直线 MN 交 y 轴于点 Q ? 0, y0 ? ,当 ?MON 为锐角时,求 y0 的取值范围.

【例 2】已知 y ? 5 x 2 的图象是曲线 C1 ,,过坐标原点 O 作 OM , ON 交 C1 于

【分析及解】设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , ???? ???? ? ???? ???? ? 因为 OM , ON 不共线,且 ?MON 为锐角,则 OM ? ON ? 0, 即 x1x2 ? y1 y2 ? 0,



本题要求 y0 的取值范围,这时,就涉及到 5 个参数:x1 , x2 , y1 , y2 , y0 ,而题目的最 终结果是只有一个参数 y0 ,需要去掉 4 个参数, 由 y ? 5 x 2 知, y1 ? 5 x12 , y2 ? 5 x22 ,代入①得 x1 x2 ? 25 x12 x22 ? 0, 由②式,还有 3 个参数: x1 , x2 , y0 , 下面就要求出 y0 与 x1 , x2 的关系,这要从 M , Q, N 共线去寻找. ②

因为 M , Q, N 共线,则有

k MQ ? k MN ,

2 y1 ? y0 y2 ? y1 5 x12 ? y0 5 x2 ? 5 x12 即 ? , ? , x1 x2 ? x1 x1 ? 0 x2 ? x1 解得 y0 ? ?5 x1 x2 . y 2 把此等式代入②得 ? 0 ? y0 ? 0, 5 这时就只剩下一个参数 y0 了. 1 y0 ? 0 , 或 y0 ? , 解③得 5 ?1 ? ??,0 ? ? ? , ?? ? 于是, y0 的取值范围是 ? ?5 ?

5 x12 ? y0 ? 5 ? x2 ? x1 ? , x1



x2 x 【例 3】 A ? x1 , y1 ? 为椭圆 ? y 2 ? 1上任意一点, 设 过点 A 作一条斜率为 ? 1 2 2 y1 的直线 l ,又设 d 为原点到直线 l 的距离,r1 , r2 分别为点 A 到两个焦点的距离,试

证明: r1r2 d 为常数. 【分析及解】题目中出现的字母有 x, y, x1 , y2 , r1 , r2 , d ,而求证中只有 r1 , r2 , d ,而 且要求 r1r2 d 为常数.显然,需要把 x, y, x1 , y2 在运算过程中去掉,并且要借助这些 字母来表示 r1 , r2 , d .这就是我们的解题方向.
2 由椭圆方程可知, a ? 2, b ? 1, c ? 1, e ? . 2 而 r1 , r2 分别为点 A 的焦半径,于是由焦半径公式得

r1 ? a ? ex1 ? 2 ?

2 x1 , 2

r2 ? a ? ex1 ? 2 ?

2 x1 , 2

1 2 所以, r1r2 ? 2 ? x1 , 2 这里, r1 与 r2 的积用 x1 的代数式来表示.



直线方程为

y ? y1 ? ?

x1 ? x ? x1 ? , 2 y1

即 x1 x ? 2 y1 y ? 2 y12 ? x1 ? 0 ,
x2 因为 A ? x1 , y1 ? 为椭圆 ? y 2 ? 1上的点,则 x12 ? 2 y12 ? 2 2 于是, 直线方程②化为 x1 x ? 2 y1 y ? 2 ? 0 ,



因为 d 为原点到直线 l 的距离,则 2 d? , 2 2 x1 ? 4 y1 这里, d 是用 x1 和 y1 表示的. 对照①式,需要从③式中消去 y1 ,由 x12 ? 2 y12 ? 2 ,③式化为 2 2 d? ? , 2 2 2 x1 ? 4 y1 4 ? x1 由①,④得 所以,
1 2 r1r2 d ? 2 ? x12 ? ? 2. 2 2 4 ? x1





r1r2 d 为常数 2 .

3.把复杂化为简单 对于一些比较复杂的题目,往往不能直接找到解决问题的方法,需要通过一定 的手段把复杂的问题转化为简单的问题,或者转化为虽不简单但是规范化的问题, 这种解题思想在解题中经常用到,例如,平面几何的割补法,就是把复杂的几何图 形分解成简单的图形或不成熟知的图形,代数中的配方法则是把代数式化为规范 的平方式,换元法则是通过适当的代换把式子简化. 【例 1】 (2004 全国卷Ⅲ)已知球 O 的半径为 1 , A, B, C 三点都在球面上,且每 两点间的球面距离均为 (A)

?
2

,则球心 O 到平面 ABC 的距离为(

).

3 6 1 2 (B) (C) (D) 3 3 3 3 【分析及解】由已知条件,分析所给出的几何体的特征,可作如下转化: 球心 O 到平面 ABC 的距离(图 4-3) ? 正三棱锥 O ? ABC 的高(图 4-4) ? 正方体的对角线(图 4-5). 这两个转化,都使问题从复杂变为简单,从生题变为熟题. 由此,可立即得出球心 O 到平面 ABC 的距离=棱长为 1 的正方体对角线的 3 1 = . 3 3

图4-3

图4-4

图4-5

【例 2】四面体的四个面由四个全等三角形构成,若 ? 是相对棱 BC 和 AD 的 sin ? ? ? ? ? 交角,并令 ? ? ?ABC, ? ? ?BCA ,求证: cos ? ? . sin ? ? ? ? ? 【分析及解】由四个全等三角形构成的四面 体我们并不熟悉,但是,可以把这个四面体补成一 个长方体,使四面体各面的三角形的边城为长方 体的各面的对角线(图 4-6). 如图,设长方体的三条棱长分别为 a, b, c . ? b 则 cos ? , 2 2 2 a ?b

? b2 ? a 2 cos ? ? 2 cos ? 1 ? 2 2 . 2 a ?b
2

图4-6

由正弦定理得 AC AB CD CD , ? ? ? sin ? sin ? sin CAD sin ? ? ? ? ?
a2 ? c2 b2 ? c2 a 2 ? b2 ? ? , sin ? sin ? sin ? ? ? ? ?
a 2 ? b2 所以, a ? c ? 2 ? sin 2 ? , sin ? ? ? ? ?
2 2

a 2 ? b2 b ?c ? 2 ? sin 2 ? , sin ? ? ? ? ?
2 2

图4-6

a 2 ? b2 两式相减得 b ? a ? 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? , sin ? ? ? ? ?
2 2

b 2 ? a 2 sin 2 ? ? sin 2 ? cos 2 ? ? cos 2? ? 从而 2 2 ? 2 a ?b sin ? ? ? ? ? 2sin 2 ? ? ? ? ?

?

cos ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2sin 2 ? ? ? ? ?

?

sin ? ? ? ? ?

sin ? ? ? ? ?

所以, cos ? ?

sin ? ? ? ? ?

sin ? ? ? ? ?

.

x2 ? 1 ? ?1 ?? 【例 2】求函数 f ? x ? ? x ? ? ,1? ? 的值域. 3x ? 1 ? ?2 ?? ? 【分析及解】我们设法把函数的表达式变得简单一些.一个思路是把分母变 简单,. t ?1 ?1 ? 为此设 3x ?1 ? t ,则 t ? ? , 2 ? , x ? . 2 ? 3 ?
? t ?1 ? ? ? ? 1 t 2 ? 2t ? 10 3 ? 函数化为 f ? x ? ? ? ? t ? ? ? , ? t 9t t 2 ? 2t ? 10 1 ? 10 ? ?1 ? ? ? t ? ? 2 ? , t ? ? , 2? , 即 f ? x ? ? ? ?t ? ? 9t 9? t ? ?2 ? 1 ? 10 ? 由 ? ? ? t ? ? ?1 ? 2 ? ,则 t ? 0, 10 ? 时是减函数, ? 9? t ? ?1 ? ?1 ? 又 ? , 2 ? ? 0, 10 ? ,所以,函数 ? ? t ? 是 ? , 2 ? 上的减函数, ? ?2 ? ?2 ? 5 ?1? 于是, ? ? 2 ? ? ? ? t ? ? ? ? ? ,即 1 ? ? ? t ? ? . 2 ?2? x2 ? 1 ? ? 5? ?1 ?? x ? ? ,1? ? 的值域是 ?1, ? . 所以, 函数 f ? x ? ? 3x ? 1 ? ? 2? ?2 ?? ?
2

?

?

【例 3】 设对所有实数 x ,不等式 4(a ? 1) 2a (a ? 1) 2 x 2 log 2 ? 2 x log 2 ? log 2 ?0 2 a a ?1 4a 恒成立,求 a 的取值范围. 【分析及解】这是一个含有参数的不等式的恒成立的问题,但是,这个题目的 表面比较复杂,我们可以通过换元法,化为简单的参数的的一元二次不等式. (a ? 1)2 2a 4(a ? 1) 8(a ? 1) ? ?2t . 设 log 2 ? t , 则 log 2 ? log 2 ? 3 ? t , log 2 2 4a a ?1 a 2a 于是,已知的不等式化为 ? 3 ? t ? x2 ? 2tx ? 2t ? 0 . 该不等式对所有实数 t 恒成立的充要条件是 ? 3 ? t ? 0, ? ? ? 4t 2 ? 8t ? 3 ? t ? ? 0. ?
t ? 0. 2a ? 0 ,进一步解得 0 ? a ? 1. 即 log 2 a ?1

解得

4.把立体转化为平面 在数学解题中,对立体几何问题常常需要化归到熟知的平面几何问题,化归的 手段主要有平移,旋转,展开,射影和截面等. 【例 1】(2006 江西卷,理)如图 4-7,在直三棱柱 C ABC ? A1 B1C1 中 , 底 面 为 直 角 三 角 形 , A
? ACB ? 90?, AC ? 6, BC ? CC1 ? 2 , 是 BC1 上一 P 动点,则 CP ? PA1 的最小值是___________ 【分析及解】连 A1B ,沿 BC1 将 ?CBC1 展开与
?A1 BC1 在同一个平面内,如图 4-8 所示,
B

P A1 B1 C1

连 AC ,则 AC 的长度就是所求的最小值. 1 1 通过计算可得 AB ? A1B1 ? 38, A1B ? 40 , A1C1 ? 6 , BC2 ? 2, 所以 ?AC1B ? 90? ,又 ?BC1C ? 45? , A1 1 于是, ?AC1C ? 135? 1 由余弦定理可求得 A1C=5 2

图4-7
B 40 6 2 2 P C 2 C1

图4-8

本题把立体几何问题通过展开转化为平面几何问题,把沿表面两点的距离问 题转化为平面上两点间的距离问题,

【 例 2】 设 长 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 的 三 条 棱 A1 A ? a, A1B1 ? b, A1D1 ? c , M , N , P, Q 分别是 A1B1 , A1D1 , BC , CD 的中点,求 ?AMN 和 ?CPQ 的重心间的距离. 【分析及解】这是一个空间距离问题,直接求解可能有一些困难,我们试图把 空间距离转化为平面距离.

C1 D1 C Q D F
图4-9

B1 E A1 B A M

C1 G2 H2 C H H1
图4-10

E G

A1

N

H G P

G1

A

设长方体的对角面 AC1 分别与平面 ?AMN , ?CPQ 交于 AE , C1 F ,则 AE , C1 F 分别是 ?AMN 和 ?CPQ 的中线 9 图 4-9). 设 ?AMN , ?CPQ 的重心分别为 G, H . 于是,空间的问题转化为平面 AC1 的问题.如图 4-10,只要求出矩形 AA1C1C 中, G, H 的距离即可.

设 G, H 在 AC , C1C 上的射影是 G1 , H1 , G2 , H 2 , C1 1 1 则 G2 H 2 ? A1 A ? a , 3 3 G2 4 G1H1 ? AC ? CH1 ? G1 A ? AC ? CF . H2 H 3 1 C 2 2 H1 因为 AC ? b ? c , CF ? AC , 4 4 1 2 2 2 2 于是, G1H1 ? AC ? CF ? AC ? AC ? AC ? b ? c , 3 3 3 3 1 2 2 2 所以, GH ? G2 H 2 ? G1H1 ? a ? 4b2 ? 4c 2 . 3 本题通过截面,射影等方法,把空间问题转化为平面几何问题.

E G

A1

G1

A

5.特殊与一般的思想
由特殊到一般,再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程 之一对数学而这种由特殊到一般,再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的 过程,就是数学研究的特殊与一般的思想. 1.用一般性结论解决特殊性问题 【例 1】 (2006 江西卷 ,理) 对于 R 上可导的任意函数 f ? x ? ,若满足

? x ? 1? f ? ? x ? ? 0 ,则必有( ). (A) f ? 0 ? ? f ? 2 ? ? 2 f ?1? (C) f ? 0 ? ? f ? 2 ? ? 2 f ?1?

(B) f ? 0 ? ? f ? 2 ? ? 2 f ?1? (D) f ? 0 ? ? f ? 2 ? ? 2 f ?1?

【分析及解】依题意,当 x ? 1时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在(1,+?)上是 增函数;当 x ? 1时, f ? ? x ? ? 0 ,f(x)在(-?,1)上是减函数,故 f ? x ? 当 x ? 1 时取得最小值, 即有 f ? 0 ? ? f ?1? , f ? 2 ? ? f ?1? ,即 f ? 0 ? ? f ? 2 ? ? 2 f ?1? 故选 C 本题首先考虑的是一般性的结果: 任意函数 f ? x ? 当 x ? 1 时取得最小值,然后 再根据题目的要求,对特殊的函数值进行比较.

【例 2】(2008 江苏卷)请先阅读:在等式 cos 2 x ? 2cos2 x ?1 ( x ?R )的两 边求导,得: ( cos 2 x)? ? (2cos 2 x ? 1)? , 由求导法则,得 ( ? sin 2 x) ? 2 ? 4cos x ? ( ? sin x) , 化简得等式: sin 2x ? 2cos x? x . sin (Ⅰ)利用上题的想法(或其他方法) 结合等式( 1+x)n= , n C0 ? C1 x ? C2 x 2 ? ? ? Cn x n ( x ?R ,正整数 n ? 2 ) ,证明: n n n
n ??1 ? x ? ? 1? ? ? kCk x k ?1 . ? ? k ?2 n
n -1 n

(Ⅱ)对于正整数 n ? 3 ,求证:
k (1) ? (?1) k kCn =0; n k ?1 n

k (2) ? (?1)k k 2Cn =0; k ?1
n

1 k 2n ?1 ? 1 Cn ? (3) ? . n ?1 k ?1 k ? 1

n 【分析及解】 (Ⅰ)将等式(1+x) n= C0 ? C1n x ? C2 x 2 ? ? ? Cn x n 两边求导 n n

得: n ?1 ? x ? ? C ? 2C x ? 3C x ? ? ? nC x =n+ ? kC k x k ?1 . n
n -1 1 n 2 n 3 2 n n n ?1 n

n

k ?2

所以 n ??1 ? x ? ? 1? ? ? kCk x k ?1 . ? ? k ?2 n
n -1

n

(Ⅱ) 证明这三个结论可以使用(Ⅰ)已经得到的一般性结论和方法. (1)由(Ⅰ)的结果,有 n ?1 ? x ? ? n ? ? kCnk x k ?1 ? ? kCnk x k ?1 ,
n -1 k ?2 k ?1 n n

k 令 x ? ?1 ,则有 ? (?1)k kCn = (?1)? kCk (?1)k ?1 ? ? ?1? ? n ? ?1 ? 1? n k ?1 k ?1

n

n

n ?1

?0

(2)对等式 n ?1 ? x ? =C ? 2C x ? 3C x ? ? ? nC x
n -1 1 n 2 n 3 n 2 n n

n ?1

= ? kC k x k ?1 n
k ?1

n

再一次求导得
n ? n ? 1??1 ? x ?
n k
n?2 k ? ? k (k ? 1)Cn x k ? 2 . k ?2 n

所以 ? (?1) k C = ? (?1) k (k ? 1)C ? ? (?1) k kCk n
2 k ?1 k n
k k ?1 k n k ?1

n

n

? ? k (k ? 1)C (?1)
k ?1 k n

n

k ?2

? ? kCk (?1) k ?1 ? n ? n ? 1??1 ? 1? n
k ?1

n

n?2

? n ?1 ? 1?

n ?1

?0

1 1 n! n! Ck ? ? ? n k ?1 k ? 1 k !(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )! 1 (n ? 1)! 1 (n ? 1)! 1 ?1 ? ? ? ? Ck ?1 = n n ? 1 (k ? 1)!(n ? k )! n ? 1 (k ? 1)![(n ? 1) ? (k ? 1))! n ? 1 n n 1 1 1 2n ?1 ? 1 k k ?1 1 1 n ?1 Cn ? ? Cn ?1 ? (Cn ?1 ? Cn ?1 ? ? ? Cn ?1 ) ? 所以 ? . n ?1 n ?1 k ?0 k ? 1 k ?0 n ? 1

(3)因为

2.从特殊性结果归纳出一般性结论 【例 1】 (2005 北京卷, 理)已知 n 次多项式 Pn ( x) ? a0 x n ? a1 x n?1 ? ? ? an?1 x ? an , 如果在一种算法中,计算 x0 k (k=2,3,4,…,n)的值需要 k-1 次乘法, 计算 P3 ( x0 ) 的值共需要 9 次运算(6 次乘法,3 次加法) ,那么计算 Pn ( x0 ) 的值共 需要 次运算. 下面给出一种减少运算次数的算法: P0 ( x) ? a0 , Pk ?1 ( x) ? xPk ( x) ? ak ?1 (k=0, 1,2,…,n-1) .利用该算法,计算 P3 ( x0 ) 的值共需要 6 次运算,计算 Pn ( x0 ) 的 值共需要 次运算. 【分析及解】 本题给出了一个求特殊的多项式的值的算法的运算次数的示范, 要求归纳出求一般的多项式的值的运算的次数,这是对特殊与一般的思想和归纳 抽象能力的考查. n?n ? 3? 第一种算法, 计算 Pn ( x0 ) 的值共需要 n ? (n ? 1) ? ? ? 1 ? n 次运算,即 2 次运算; 第二种算法, 计算 Pn ( x0 ) 的值可以采用递推的方法.设计算 Pn ( x0 ) 的值的次数 为 bn ,则 bn ? bn?1 ? 2 ,由 ?bn ? 是等差数列及 b1 ? 2 可得 bn ? 2n .

【例 2】 (2002 年北京卷)在研究并行计算的基本算法时,有以下简单的模 型问题: 用计算机求 n 个不同的数 v1 , v2 , ? , v n 的和 ? vi ? v1 ? v2 ? ? ? vn ,计算开始
i ?1 n

前,n 个数存贮在 n 台由网络连接的计算机中,每台机器有一个数,计算开始后, 在一个单位时间内,每台机器至多到一台其它机器中读数据,并与自己原有数 据相加得到新数据,各台机器可同时完成上述工作. 为了用尽可能少的单位时间,使各台机器都得到这 n 个数的和,需要设计一 种读和加的方法,比如 n ? 2 ,一个单位时间即可完成计算,方法可用下表表示: 机 初 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间 器 始 被读机 被读机 被读机 结果 结果 结果 号 时 号 号 号 v1 v1 ? v2 1 2 v2 v2 ? v1 2 1

(Ⅰ)当 n ? 4 时,至少需要多少单位时间可完成计算?把你设计的方法填入 下表 机 器 号 1 2 3 4 初 始 时
v1

第一单位时间 被读 机号 2 1 4 3 结果
v1 ? v2

第二单位时间 被读 机号 3 4 1 2 结果
v1 ? v2 ? v3 ? v4 v2 ? v1 ? v3 ? v4 v3 ? v4 ? v1 ? v2 v4 ? v3 ? v2 ? v1
n i ?1

第三单位时 间 被读 结 机号 果

v2 v3

v2 ? v1 v3 ? v4
v4 ? v3

v4

(Ⅱ)当 n ? 128 时,要使所有机器都得到 ? vi ,至少需要多少单位时间可 完成计算?(结果不要求证明)

【分析及解】 (Ⅰ)由 n ? 2 得到启发,当 n ? 4 时,在第一单位时间,1 号机与 2 号机互相读取,都得到 v1 ? v2 ,3 号机与 4 号机互相读取,都得到 v3 ? v4 . 在第二单位时间, ,1 号机与 3 号机互相读取,都得到 v1 ? v2 ? v3 ? v4 , 2 号机与 4 号机互相读取,都得到 v1 ? v2 ? v3 ? v4 . 因此, 至少需要两个单位时间可完成计算. (Ⅱ)当 n ? 128 时,要使所有机器都得到 ? vi ,由 27 ? 128 可知,至少需要
i ?1 n

7 个单位时间可完成计算.

【例 3】(2008 湖北卷,理 15)观察下列等式: n 1 1 i ? n 2 ? n, ? 2 2 i ?1 n 1 1 1 i 2 ? n3 ? n 2 ? n, ? 3 2 6 i ?1 n 1 1 1 i 3 ? n 4 ? n3 ? n 2 , ? 4 2 4 i ?1 n 1 1 1 1 i 4 ? n5 ? n 4 ? n3 ? n, ? 5 2 3 30 i ?1 n 1 1 5 1 i 5 ? n 6 ? n5 ? n 4 ? n 2 , ? 6 2 12 12 i ?1 n 1 7 1 6 1 5 1 3 1 6 ? i ? 7 n ? 2 n ? 2 n ? 6 n ? 42 n, i ?1 ……………………………………
i k ? ak ?1n k ? 2 ? ak n k ? ak ?1n k ?1 ? ak ?2 n k ?2 ? ??? ? a1n ? a0 , ?
i ?1 n

1 1 可以推测, x ≥2 k ?N ) ak ?1 ? 当 ( 时, , ak ? , ak ?1 ? k ?1 2
*

, ak ?2 ?

.

【分析及解】由观察可知当 k ? 2时 , 每一个式子的第三项的系数是成等差数列的, k 所以 ak ?1 ? , 12 第四项均为零,所以 ak ? 2 ? 0 。

其首项分别为 a1 , b1 ,且 a1 ? b1 ? 5 , a1 , b1 ? N? ,设 cn ? abn ? n ? N ? ? ,则数列 ?cn ? 的前 10 项和等于( ). (A) 55 (B) 70 (C) 85 (D) 100 【分析及解】用特殊化策略.设 b1 ? 1, 则 a1 ? ab1 ? 4. 从而 bn ? n ,于是有
cn ? abn ? ab1 ? ? bn ? 1? ?1 ? 4 ? n ? 1 ? n ? 3. c1 ? c2 ? ? ? c10 ? ?1 ? 2 ? ? ? 10 ? ? 30 ? 85.

3.用特殊化方法解决一般性问题 【例 1】 (2006 天津卷,理)已知数列 ?an ? , ?bn ? 都是公差为 1 的等差数列,

本题根据选择题的特点,对 b1 赋予特殊值,求出数列 ?cn ? 的前 10 项和,从而排 除错误的结果,选出符合题目要求的选项.

【例 2】 (2004 全国卷) 已知 a, b 为不垂直的异面直线, 是一个平面, a, b 则 ? 在 ? 上的射影有可能是 ① 两条平行直线 ② 两条互相垂直的直线 ③ 同一条直线 ④ 一条直线及其外一点 在上面结论中,正确结论的编号是 (写出所有正确结论的编号) 【分析及解】这是一个命题判断题,本题判断的关键词是“有可能是”,即只 要找到一种正确的特殊的情况,就“有可能是”,反之,必须对于所有情况都不成立 才没有“可能是”.所以,对这道命题判断,其思维的依据就是特殊于一般的数学思 想. 解决这个问题的方法,可以用特殊化的方法,我们选取具有平行和垂直明显特 征的一个特殊几何体,即正方体.
D1 A1 E D B1 C1
A1 D1 B1 C1

D1 A1 B1

C1

C B
A

D B

C

D A B

C

A

图5-1

图5-2

图5-3

D1 A1 E D B1

C1
A1

D1 B1

C1

D1 A1 B1

C1

C B
A

D B

C

D A B

C

A

图5-1

图5-2

图5-3

如图 5-1, BE 和 CD1 是不垂直的异面直线,它们在平面 ABCD 上的射影是

AB和CD ,是两条平行直线,所以,命题①正确? 如图 5-2, A1B和CB1 是不垂直的异面直线,它们在平面 ABCD 上的射影是 AB和BC ,是两条互相垂直的直线,所以,命题②正确; 如图 5-3, A1B和C1C 是不垂直的异面直线,它们在平面 ABCD 上的射影是 AB 和点 C ,是一条直线及其外一点;所以,命题④正确; 而命题③不正确,用反证法.假设 a, b 在 ? 上的射影是同一条直线 c ,则 a, b, c 三线共面,与 a, b 为异面直线相矛盾,故命题③不正确. 所以, 正确结论的编号是①, ②, ④.

4.从特殊性入手解决一般性结论 【例 1】(2000 全国卷,理) (Ⅰ)已知数列 ?cn ? ,其中 cn ? 2n ? 3n ,且数列 ?cn ?1 ? pcn ? 为等比数列,求 常数 p ; (Ⅱ)设 ?an ? , ?bn ? 是公比不相等的两个等比数列, cn ? an ? bn ,证明:数列

?cn ? 不是等比数列.
【分析及解】 (Ⅰ)从特殊性入手,因为数列 ?cn ?1 ? pcn ? 为等比数列,则对特 殊的 n ? 1, 2,3 ,即 c2 ? pc1 , c3 ? pc2 , c4 ? pc3 也成等比数列,于是

? c3 ? pc2 ?
? 35 ? 13 p ?
整理得
2

2

? ? c2 ? pc1 ?? c4 ? pc3 ?

由题设, c1 ? 5, c2 ? 13, c3 ? 35, c4 ? 97.
? ?13 ? 5 p ?? 97 ? 35 p ? ,

p 2 ? 5 p ? 6 ? 0, 解得 p ? 2 或 p ? 3 .

下面研究一般情况,即 p ? 2 或 p ? 3 时, 数列 ?cn ?1 ? pcn ? 是否为等比数列.

当 p ? 2 时,cn ?1 ? 2cn ? 2n ?1 ? 3n ?1 ? 2 ? 2n ? 3n ? ? 3n , ?cn ?1 ? pcn ? 为等比数列. 则 当 p ? 3 时, cn ?1 ? 3cn ? 2n ?1 ? 3n ?1 ? 3 ? 2n ? 3n ? ? ?2n ,则 ?cn ?1 ? pcn ? 为等比数列. 于是,当 p ? 2 或 p ? 3 时, ,数列 ?cn ?1 ? pcn ? 为等比数列.

(Ⅱ)要证明数列 ?cn ? 不是等比数列,只要证明一个特殊的情形, 即 c1 , c2 , c3 不是等比数列就可以了.
2 2 2

为此,设 ?an ? , ?bn ? 的公比分别为 p, q, p ? q. 则由 cn ? an ? bn 得
c1c3 ? ? a1 ? b1 ? ? a1 p 2 ? b1q 2 ? ? a12 p 2 ? b12 q 2 ? a1b1 ( p 2 ? q 2 ),
c ? ? a1 p ? b1q ? ? a12 p 2 ? b12 q 2 ? 2a1b1 pq,

进而, 数列 ?cn ? 不是等比数列.

由于 p ? q ,则 p 2 ? q 2 ? 2 pq ,因此, c22 ? c1c3 ,所以 c1 , c2 , c3 不是等比数列,

【例 2】(1989 全国卷)是否存在常数 a, b, c 使得等式 n ? n ? 1? 2 1? 22 ? 2 ? 32 ? ? ? n ? ? n ? 1? ? ? an2 ? bn ? c ? 12 对一切正整数 n 都成立?并证明你的结论. 【分析及解】这是一个探索性问题,问题是能否求出 a, b, c 的值,使等式对一 切正整数 n 都成立,我们可以从特殊性入手,通过特殊的 n ,建立方程,解出 a, b, c ,再 证明这些由特殊方程得到的 a, b, c ,能适合所有的正整数 n . 因为要确定三个系数,所以可以建立三个方程. 取 n ? 1, 2,3 ,代入题设的等式, 1? 2 ? 4? ?a ? b ? c?, ? 12 ? a ? 3, ? 2?3 ? ? 22 ? ? 4a ? 2b ? c ? , 解得 ?b ? 11, ? 12 ? c ? 10. ? ? 3? 4 ? ? 70 ? 12 ? 9a ? 3b ? c ? ? n ? n ? 1? 2 2 2 题设的等式化为 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n ? 1? ? ?3n2 ? 11n ? 10 ? . 12 这一等式至少对 n ? 1, 2,3 成立,我们只要用数学归纳法就可以证明所得结果 对一切正整数 n 都成立,这里就不再证明了.

a 有如下性质: 如果常数 a ? 0 , x 那么该函数在 0, a ? 上是减函数,在 ? a , ?? 上是增函数. ? ? 2b (Ⅰ)如果函数 y = x + ( x >0)的值域为 ? 6, ?? ? ,求 b 的值; x c (Ⅱ)研究函数 y ? x 2 ? 2 (常数 c ? 0 )在定义域内的单调性,并说明理由; x a a (Ⅲ)对函数 y = x + 和 y = x 2 + 2 (常数 a >0)作出推广,使它们都 x x 是你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必 1 1 1 证明) ,并求函数 F (x) = ( x 2 ? ) n + ( 2 ? x) n ( n 是正整数)在区间[ ,2]上的 x 2 x 最大值和最小值(可利用你的研究结论) .

【例 3】 (2006 上海卷, 已知函数 y = x + 理)

?

?

2b 【分析及解】(Ⅰ) 函数 y ? x ? ? x ? 0 ? 的最小值是 2 2 b ,则 2 2b ? 6 , x ∴ b ? log 2 9 . c (Ⅱ)对函数 y ? x 2 ? 2 求导得 x 2 x ? 4 c x ? 4 c x2 ? c 2c y? ? 2 x ? 3 ? x x3 c 分别对 x ? 0 和 x ? 0 解不等式 y? ? 0 和 y? ? 0 可得函数 y ? x 2 ? 2 的增区间是 x ? 4 c , ?? 和 ? ? 4 c , 0 ,减区间是 0, 4 c ? 和 ??, ? 4 c ? . ? ? ? ?

?

??

??
?

?

?

?

?

(Ⅲ) 可以把函数推广为 y ? x n ? 当 n 是奇数时,函数 y ? x n ?

a (常数 a ? 0 ),其中 n 是正整数. n x

a , n x 在 0, 2 n a ? 上是减函数,在 ? 2 n a , ?? 上是增函数, ? ? 在( ??, ? 2 n a ? 上是增函数, 在 ? ? 2 n a , 0 上是减函数. ? ? a 当 n 是偶数时,函数 y ? x n ? n x 在 0, 2 n a ? 上是减函数,在 0, 2 n a ? 上是增函数, ? ?

? ?

?

?

? 在 ? ??, ?

?

2n

a ? 上是减函数, 在 ??, ? 2 n a ? 上是增函数. ? ?

?

7.或然与必然的思想
世间的事物千姿百态,千变万化,有些事物和现象是确定的, 有些事物和现象 则是不确定的.模糊的或随机的. 随机现象有两个最基本的特征,一是结果的随机 性,这是偶然,二是频率的稳定性,这是必然.为了了解随机现象的规律性,产生了概 率论这一数学分支. 概率所研究的随机现象,研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”,然后再用 “必然”的规律去解决“偶然”的问题,这其中所体现的数学思想就是或然与必然 的思想。 随着新教材的实施,高考中对概率内容的考查已经放在了重要的位置,通过 对古典概型,几何概型,条件概率,互斥事件有一个发生的概率, 相互独立事件同时 发生的概率, 次独立重复试验发生了 k 次的概率以及随机事件的分布列与数学 n 期望等重点内容,一方面考查基本概念和基本方法,另一方面考查在解决实际 问题中能否运用或然与必然的辩证关系,从而体现了或然与必然的思想, 下面的例题,可以从求古典概型,几何概型,条件概率及统计等不同的角度反 映或然与必然的数学思想.

【例 1】(古典概型)(2008 北京卷,文 18)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分 到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率. 【分析及解】 (Ⅰ)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 E A ,那么
A33 1 P( E A ) ? 2 4 ? , C5 A4 40

1 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 . 40
A44 1 (Ⅱ) 设甲、 乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E , P( E ) ? 2 4 ? , 那么 C5 A4 10 9 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( E ) ? 1 ? P( E ) ? . 10

【例 2】(几何概型)(2007 海南和宁夏卷,文) 设有关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2ax ? b2 ? 0 . (Ⅰ)若 a 是从 0,2,四个数中任取的一个数, b 是从 0,2 三个数中任取的 1 3 , 1 , 一个数,求上述方程有实根的概率. (Ⅱ)若 a 是从区间 [0, 任取的一个数,b 是从区间 [0, 任取的一个数,求 3] 2] 上述方程有实根的概率. 【分析及解】设事件 A 为“方程 a 2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实根” . 当 a ? 0 , b ? 0 时,方程 x 2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实根的充要条件为 a ? b . (Ⅰ)基本事件共 12 个: (0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, . 0) (0 1) (0 2) (1 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2) (3 0) (31) (3 2) 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率 b 9 3 为 P( A) ? ? . 12 4 2 (Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为 a>b 0 ?(a,b) | 0 ? a ? 3, ? b ? 2? . 构 成 事 件 的 A 0 ?(a,b) | 0 ? a ? 3, ? b ? 2,a ? b? . 区 域 为

O
图7-1

3

a

1 3 ? 2 ? ? 22 2 2 所以所求的概率为 ? ? 3? 2 3

【例 3】(几何概型)把长为 a 米的线段分成三段,能组成三角形的概率是多 少? 【分析及解】设分成的三段为 x, y, a ? x ? y. 则 x ? y ? a. 如果这三段能组成三角形,则满足 y a ? ?x ? y ? 2 , A ? x ? y ? a ? x ? y, ? a ? ? x ? (a ? x ? y ) ? y, 解得 ? x ? , F ? D 2 ? y ? (a ? x ? y ) ? x. ? ? a ? y? , ? O E 2 ? S?DEF 1 图7-2 ? . 所以,所求的概率为 P ? S?OAB 4

B

x

【例 4】(n 次独立重复试验发生了 k 次的概率)(2007 江苏卷)某气象站天气 预报的准确率为 80% ,计算(结果保留到小数点后第 2 位) : (Ⅰ)5 次预报中恰有 2 次准确的概率; (Ⅱ)5 次预报中至少有 2 次准确的概率; (Ⅲ)5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率. 【分析及解】 (Ⅰ) 5 次预报中恰有 2 次准确的概率为 P5 (2) ? C52 ? 0.82 ? (1 ? 0.8)5?2 ? 10 ? 0.82 ? 0.23 ? 0.05 . (Ⅱ) 5 次预报中至少有 2 次准确的概率为 1 ? P5 (0) ? P5 (1)
1 ? 1 ? C50 ? 0.80 ? (1 ? 0.8)5?0 ? C5 ? 0.81 ? (1 ? 0.8)5?1

? 1 ? 0.00032 ? 0.0064 ? 0.99 . (Ⅲ) 5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确”的概率为 “ 1 0.8 ? C4 ? 0.8 ? (1 ? 0.8)4?1 ? 4 ? 0.82 ? 0.23 ? 0.02 .

【例 5】 (互斥事件有一个发生的概率)(2008 全国Ⅰ卷,理文 20)已知 5 只动物 中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果 呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方案: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患 病动物为这 3 只中的 1 只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结 果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验. 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率. 【分析及解】设 A1 、 A2 分别表示依方案甲需化验 1 次、2 次。 B 表示依方案乙需化验 3 次; A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。 依题意知 A2 与 B 独立,且 A ? A1 ? A2 B
1 1 A4 1 C42 ? C2 2 1 1 P( A1 ) ? 1 ? , P ( A2 ) ? 2 ? , P( B) ? 3 1 ? A5 5 C5 ? C3 5 C5 5 1 1 2 7 P( A) ? P( A1 ? A2 B) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( B) ? ? ? ? 5 5 5 25 8 ∴ P( A) ? 1 ? P( A) ? ? 0.72 25

【例 6】(分布列与数学期望)(2008 广东卷,理 17)随机抽取某厂的某种产品 200 件, 经质检, 其中有一等品 126 件、 二等品 50 件、 三等品 20 件、 次品 4 件. 已 知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件 次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ? . (Ⅰ)求 ? 的分布列; (Ⅱ)求 1 件产品的平均利润(即 ? 的数学期望) ; (Ⅲ)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1% ,一等品率 提高为 70% .如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率 最多是多少? 【分析及解】 (Ⅰ) ? 的所有可能取值有 6,2,1, ?2 ; 126 50 P(? ? 6) ? ? 0.63 , P(? ? 2) ? ? 0.25 , 200 200 20 4 P(? ? 1) ? ? 0.1, P(? ? ?2) ? ? 0.02 . 200 200 故 ? 的分布列为

? 6 2 1 ?2 0.63 0.25 0.1 0.02 P (Ⅱ) E? ? 6 ? 0.63 ? 2 ? 0.25 ? 1? 0.1 ? (?2) ? 0.02 ? 4.34 . (Ⅲ)设技术革新后的三等品率为 x ,则此时 1 件产品的平均利润为
E ( x) ? 6 ? 0.7 ? 2 ? (1 ? 0.7 ? 0.01 ? x) ? (?2) ? 0.01 ? 4.76 ? x(0 ? x ? 0.29) 依题意, E ( x) ? 4.73 ,即 4.76 ? x ? 4.73 ,解得 x ? 0.03 . 所以三等品率最多为 3%.

【例 7】 (茎叶图 )(2008 海南,宁夏卷,理,文)从甲、乙两品种的棉花中各抽 测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm) ,结果如下: 甲品种: 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种: 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图
甲 7 5 5 8 7 3 9 8 5 7 3 5 4 3 4 5 4 1 0 2 1 0 3 1 2 27 28 29 30 31 32 33 34 35 4 2 4 2 0 1 3 6 乙

5 6 3 2 3

7 5 5 6 8 8 2 4 7 9 6 7

根据以上茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计 结论: ① ; ② .

【分析及解】 (1)乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均 长度(或:乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度) . (2)甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. (或:乙品 种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定) .甲品种棉花的纤维 长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大) . (3)甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm,乙品种棉花的纤维长度的 中位数为 318mm. (4)乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值 附近) .甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布 较均匀.

【例 8】 (方差)(2008 海南,宁夏卷,理) A,B 两个投资项目的利润率分别为 随机变量 X1 和 X2.根据市场分析,X1 和 X2 的分布列分别为 X1 P 5% 0.8 10% 0.2 X2 P 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3

(Ⅰ)在 A,B 两个项目上各投资 100 万元,Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润,求方差 DY1,DY2; (Ⅱ)将 x(0 ? x ? 100) 万元投资 A 项目,100 ? x 万元投资 B 项目, f ( x) 表 示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和.求 f ( x) 的最 小值,并指出 x 为何值时, f ( x) 取到最小值. (注: D(aX ? b) ? a 2 DX )

【分析及解】 (Ⅰ)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为 Y1 P 5 0.8 10 0.2 Y2 P 2 0.2 8 0.5 12 0.3

EY1 ? 5 ? 0.8 ? 10 ? 0.2 ? 6 , DY1 ? (5 ? 6)2 ? 0.8 ? (10 ? 6)2 ? 0.2 ? 4 , EY2 ? 2 ? 0.2 ? 8 ? 0.5 ? 12 ? 0.3 ? 8 ,
DY2 ? (2 ? 8)2 ? 0.2 ? (8 ? 8)2 ? 0.5 ? (12 ? 8)2 ? 0.3 ? 12 .

? 100 ? x ? ? x ? ? 100 ? x ? ? x ? Y1 ? ? D ? Y2 ? ? ? (Ⅱ) f ( x) ? D ? ? DY1 ? ? ? DY2 ? 100 ? ? 100 ? ? 100 ? ? 100 ? 4 4 2 2 ? 2 ? x ? 3(100 ? x) ? ? 2 (4 x 2 ? 600 x ? 3 ?1002 ) , ? 100 100 ? 600 ? 75 时, f ( x) ? 3 为最小值. 当x? 2? 4
2 2

【例 9】 (正态分布) (2006 湖北卷,理)在某校举行的数学竞赛中,全体参 赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 N ?70,100 ? .已知成绩在 90 分以上 (含 90 分) 的学生有 12 名. (Ⅰ)试问此次参赛的学生总数约为多少人? (Ⅱ)若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生,试问设奖的分数线约 为多少分? 可供查阅的(部分)标准正态分布表 ? ?x0 ? ? P?x ? x0 ?
x0

0 0.884 9 0.903 2 0.919 2 0.971 3 0.977 2 0.982 1

1 0.886 9 0.904 9 0.920 7 0.971 9 0.977 8 0.982 6

2 0.888 8 0.906 6 0.922 2 0.972 6 0.978 3 0.983 0

3 0.890 7 0.908 2 0.923 6 0.973 2 0.978 8 0.983 4

4 0.892 5 0.909 9 0.925 1 0.973 8 0.979 3 0.983 8

5 0.894 4 0.911 5 0.926 5 0.974 4 0.979 8 0.984 2

6 0.896 2 0.913 1 0.927 8 0.975 0 0.980 3 0.984 6

7 0.898 0 0.914 7 0.929 2 0.975 6 0.980 8 0.985 0

8 0.899 7 0.916 2 0.930 6 0.976 2 0.981 2 0.985 4

9 0.901 5 0.917 7 0.931 9 0.976 7 0.981 7 0.985 7

1. 2 1. 3 1. 4 1. 9 2. 0 2. 1

【分析及解】 (Ⅰ)设参赛学生的分数为 ? ,因为 ? ~N(70,100),由条件 知,
P ?? ? 90 ? ? 1 ? P ?? ? 90 ? ? 1 ? F ? 90 ?

? 90 ? 70 ? ? 1? ? ? ? ? 1 ? ? ? 2 ? =1-0.9772=0.228. ? 10 ? 这说明成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生人数约占全体参赛人数的 2.28

%,
12 ≈526(人) 。 0.0228 (Ⅱ)假定设奖的分数线为 x 分,则 50 ? x ? 70 ? P ?? ? x ? ? 1 ? P ?? ? x ? ? 1 ? F ? x ? ? 1 ? ? ? = =0.0951, ? ? 10 ? 526 x ? 70 ? x ? 70 ? ? 0.9049 ,查表得 即?? ≈1.31,解得 x=83.1. ? 10 ? 10 ? 故设奖得分数线约为 83.1 分。

因此,参赛总人数约为





问 题 解 决 与 数 学 教 学

引言: 数学教学的一个判定定理---科学发展 观
“科学发展观, 第一要义是发展, 核心是以人为本, 基本要求是全面协调可持续,根本方法是统筹兼顾” 。

1. 发展是现代社会的主旋律,是现代学校的主旋律,也是数学教 学的主旋律。“发展是第一要义”。 数学教学的发展概念,基本点是人的发展就是要注重学生的发展 空间。新课程标准的第一个理念就是构建共同基础,提供发展平台. 为了学生的发展,就要求我们不断更新教学理念,不断探索教学规 律,不断研讨新的教学模式,最终达到不断提高教学水平的目的。而 且这种教学水平的发展和提高是没有止境的,是不断渐进的过程。世 界是不断发展变化的,就要求我们的数学教学必须是动态的,变化的, 任何一成不变的教学方法最终都会是落后的。课堂教学的发展无法用 量化的标准来统一判断,教无定法,因材施教,教学方法没有新与旧 的区分,只有合理与否,科学与否的差别。

2. “核心是以人为本”。 就是要求我们在数学教学中,坚持以学生为主体,爱护,关怀学 生,平等的对待学生,努力形成人性化的课堂氛围。所谓人性化课堂, 以前我们强调的是爱护和关怀,其实人性化最关键的词是“尊重”和“自 由”。人最本质的价值恰恰就是这两个词。我们在数学课堂教学中能否 真正与学生民主平等相处,并给与学生自由的思想空间,这是个大课 题,也是现在课堂教学存在的大问题。我们一方面试图在改变这种状 态,另一方面又在用新的教条束缚着学生。同时要提出,教师也是课 堂教学中不可或缺的一部分,人性化课堂的指向不仅仅对学生,也是 对教师的。教师如果自己对自己缺少人文关怀的能力,也就很难真正 经营好课堂的人性化。

3. “基本要求是全面协调可持续”。 就是要求我们在数学课堂教学中,以科学的精神,充分依据最新 的科学成就和教育的基本规律,争取学生整体素质,教师自身素质的 可持续发展。“全面”强调的全体学生和学生的各方面,是在个性发展 基础上共同提高。“协调”强调的是课堂教学中各个组成部分的有机整 合,强调教学的整体效果。“可持续”强调课堂教学效果的持续辐射, 强调教学对师生智慧的启迪和智力的开拓。

4.“根本方法是统筹兼顾”。就是要求我们要有大课堂的意识,充分 挖掘课堂教学的有效资源,用开阔的视野,灵活和艺术的方法来安排 课堂教学。其中包括:课堂内和课堂外的兼顾,师与生的兼顾,文化 教学与思想素质教育的兼顾,传统教学手段与现代教育技术的兼顾, 学科与学科之间的兼顾等等,课堂教学是一门综合的科学和艺术,需 要有大气魄和大胸怀。实际教学中,我们常常会有意无意的把自己的 路越走越窄,也越来越顾此失彼,结果使教学的各个要素之间相互矛 盾和抵触。

一.问题、问题解决与问题解决教学
美国数学家哈尔莫斯曾经说过:“数学究竞是由什么组成的?是公 理?定理?概念?定义?理论?公式?方式?诚然,没有这些组成部 分,数学就不存在,这些都是数学的组成部分,但是他们中的任何一 个都不是数学的心脏,因为数学的真正组成部分是问题和解,问题才 是数学的心脏”。从中学数学的角度讲,哈尔莫斯的话是正确的,问题 不仅是数学的心脏,也是数学教学的心脏,一节数学课就是由一个一 个的问题,一层一层深入的问题组成的,因此,问题是数学教学的载 体,好的问题也是培养创新意识和实践能力的载体。发现问题、提出 问题、分析问题、解决问题、发展问题正是数学教学的重要目标,问 题解决已成为当今中学数学教学的一个热点。

美国全国教师协会(NCTM)在 1980 年 4 月公布的一个名叫《关 于行动的议程》的文件,其中第一条就明确指出“问题解决”作为“学校 教学的核心”“把学生引到问题解决中去”“数学课程应当围绕问题解决 来组织”“数学教师应当创造更有利解题的课堂气氛”“为所有的年级编 制传授解题技能的适当教材”“教学科研应侧重于调查研究问题的本 质,找到提高解题者能力的有效途径”。

英国 80 年代的数学教学纲领性文件《Cockcroft 报告》中着重指 出数学教学都应有以下六种教学活动机会:一、教师讲授;二、教师 与学生及学生之间的讨论;三、适当的实践活动;四、基本技能与常 规的巩固与学习;五、问题解决;六、探究工作。 日本,已把提高问题解决能力纳入了 1994 年实施的《中小学课程 改善的方案》 ,并把问题解决做为当前数学教育研究的中心问题之一。 在近几届国际数学教育大会中,“问题解决、模型化和应用”被列 入几个主要的研究问题之一,提出“问题解决,模型化和应用必须成为 从中学到大学所有数学课程的一部分。”

我国数学教学大纲对问题解决也有明确的要求与界定,在过去的 大纲中就提出“逐步形成运用知识来分析问题和解决问题的能力”,后 来又修订为“能运用所学知识解决简单实际问题,逐步培养分析问题和 解决问题的能力,形成用数学的意识”。在新修订的高中教学大纲(试 验修订版)中提出:“进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想 象能力、解决实际问题的能力以及创新意识”

新课程标准中在界定数学教学性质时明确指出 “高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系, 认识数学的科学价值、文化价值,提高提出问题、分析和解决问题的 能力,形成理性思维,发展智力和创新意识具有基础性的作用。” “高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值,增强应用意识, 形成解决简单实际问题的能力。” 也提出“注重提高学生的数学思维能力”,“发展学生的数学应用意 识”,“关注对学生数学地提出、分析、解决问题等过程的评价”等理念,

从根本上讲,教学的目标是为了发展,所以问题解决与发展性教 学相结合就成为当今教学的一个趋势,问题在发展中提出,问题的解 决又利于发展,因此,有人提出了“问题解决——可以发展的问题”的 教学,这种教学的特点是在问题解决的过程中,比其它教学活动具有 深层的数学思考过程,即学生不是仅仅停留在解出某一个题目,而是 在教师的指导下,对给定的问题作如下的思考: ? ? ? ? 问题是否有一般的意义及规律性; 考虑问题的逆命题; 问题是否可以发展,制作新问题; 问题的结论是否可以迁移到其它问题的情景之中去。

经过这样的问题解决活动可以使学生对问题获得深刻的认识,发 现一般规律,并在积极的追求过程中,去获得数学思维方法和形成数 学观念的能力。 因此,问题解决是现代教育学、心理学都关注的问题,

问题解决教学就是从问题出发,以数学思想方法为线索,以问题 解决为目的,使数学教学成为数学活动的教学,数学思维的教学,再 创造、再发现的教学。 在问题解决教学中,问题是数学的心脏,是思维的起点。知识、 能力、思想、观念等都是在解决问题的过程中形成和发展起来的,在 问题解决教学中,学生参与教学的全过程,要求学生亲身经历发现问 题,提出问题,分析问题,解决问题,发展问题的全过程,使数学家 的思维活动,数学教师的思维活动和学生的思维活动得到较好统一。 从“问题解决教学”到“问题解决——可以发展的教学”是一个发 展,从这个角度讲,重视问题解决能力培养,发展问题解决的能力, 其目的倒不是单纯为了尽量多地、尽量好地解决新问题,而是为了学 生的发展,为了学习在这个充满疑问,有时是问题和答案都是不确定 的世界里生存的本质。

二、问题解决与教学目标
我们必须弄清数学教学目标,以及问题解决教学的教学目标。 关于数学教学目标,教学大纲有明确的规定,我们为什么还要研 究呢?我觉得这有一个如何理解的问题。一个数学教师的基本职责是 什么?是不是仅仅是教给学生有哪些概念、定义、定理、定律、公式? 是不是仅仅教给学生有哪些解题方法和解题技巧。这样做显然不行。 教育是什么?教育就是当知识忘记了,还剩下的东西。

让我们先看两个例子。 第一个例子是,1984 年,李政道教授在谈到人才培养问题时,曾 风趣地打了一个比方:一个上海学生对上海马路十分了解,另一个学 生从来没到过上海。若给他们一张上海地图。告诉他们明天考画上海 的地图和填写街道名称,则后者可能考得比前者好,但过了一天,把 他们放到上海市中心,假定所有的路牌子都拿掉了,那么谁能正确地 走到目的地呢? 答案是显然的。李政道教授接着说:“真正的学习是要 没有路牌子也能走路,最后能走出来,这才是学习的本质”

第二个例子是张奠宙、朱成杰先生编著的《现代数学思 想讲话》 一书中举过的一个例子: “在联合国教科文组织的一 套数学教育论文专辑中曾举例说:我们能确信计算三角形面 积的公式一定是重要的吗? 很多人们在校外生活中使用这个 公式最多不超过一次,更重要的是要获得这样的思想方法、 就是通过分割一个表面成一些简单的小块,并且用一种不同 的方式重新组成这个图形来求它的面积值。当然,获得这种 能力的最简单的练习会涉及到平行四边形和三角形,这个见 解无疑是正确的”。

这两个例子很有启发: 第一个例子表明应试教育所培养的是那种能背着画地图 的学生,这样的学生模仿、记忆能力很强,但不会自己走路, 学习、考试取得成绩固然重要,但更重要的是学会走路,培 养独创精神与独立工作能力。

第二例子也告诉我们三角形面积公式除了在进一步学习感到需要 之外,这个公式在校外生活中,有多少人使用它呢?从应试教育与素质 教育的观念来对待它,显然有两种不同的处理方法,在应试教育下, 教学的重点肯定在于三角形面积公式的结果,即如何记忆三角形面积 公式,并给出一些数据,比如底与高的值,面积与高的值。面积与底 的值去求另一些数据,这种教学充其量只能训练运算能力,而在素质 教育下,则重视三角形面积的推导过程,重视分析如何把所求三角形 面积化归为平行四边形进而矩形的面积,从而学会一种把生疏问题化 归为熟悉问题的思想方法,并且可以把这种思想方法迁移到对其它问 题的规律性认识和研究上。

以上两个例子向我们提出了这样的问题:如何去评价一个学生和 一节课,学生应该学习什么样的知识,怎样学习才算是学会数学,会 学数学? 知识就是力量,教给学生数学知识是数学课的任务。但是有一个 重要问题,这就是什么样的知识最有价值? 打开辞典,对“知识”一词的注释是这样的:“人们在改造世界的实 践中所获得的认识和经验的总和”这个总和包括什么内容?

如果从静态的角度去理解知识,则注重的是结果,就以三角形面 积公式为例,往往就注意它的确定性和静止性,是面积公式本身,在 教学中强调记忆,强调模仿,强调大量练习,在整个数学课教学中, 则注意的是定理、公式的结论,有些教师在教学中,把课本仅仅做为 习题集,就是把知识用静态的观点看待的结果,数学的概念、定理、 公式、法则等等是知识的一个本质特征,

但是从动态的角度去看,这个总和不仅包括结果,更包括获得知 识的过程,获得知识的方法。知识的一个重要本质就在于对知识的探 索和创造。根据从多维的角度,从静态与动态的角度去认识知识的观 念,数学教学就不再是强调对基础知识、基本技能的记忆、模仿,而 是强调认识数学概念的本质,强调数学概念的产生过程、定理和公式 的发现与证明过程,强调思考问题和独立解决问题的能力和探究精神、 这样不仅有了获取旧知识的能力,也有了探索新知识的意识和能力, 对数学知识认识的不同思考维度是采取不同态度,不同思维,不同方 法进行数学教学的一个认识基础。

概念、定义、定理、法则的结果 静态的孤立的知识 数学知识 概念、定义、定理、法则发现过程 动态的联系的知识 探索的过程 开放性、探索性习题 探索新知识 模仿性习题 沉淀旧知识

一个数学教师不仅应该教给学生学习必须具备的数学知识,而且 还应该让学生学会数学,会学数学,提高数学素养,这是因为教育的 首要任务是人的素质教育,是育人,教师的首要任务是提高学生的素 质,数学教师的首要任务是提高学生的数学素质,是让学生理解数学 的价值,学习数学思想方法、学会数学地思考,从而使分析问题和解 决问题的能力得到提高,创新意识和创新能力得到培养,创造性思维 品质得到优化,善问善思,知难而进的精神品格得到发展,并为他们 的终身学习和发展打下基础。

数学教师的工作主要是通过一节一节数学课来进行的,一节课教 什么?一节课的教学目的是什么? 这是一个值得重视的问题。 教学目标 是预期的教学效果。“有效地教学始于准确地知道需要达到的教学目标 是什么?”

新课程标准提出了高中数学课程的总目标和具体目标 高中数学课程的总目标是:使学生在九年义务教育数学课程的基 础上,进一步提高作为未来公民所必要的数学素养,以满足个人发展 与社会进步的需要。具体目标如下。 1.获得必要的数学基础知识和基本技能,理解基本的数学概念、 数学结论的本质,了解概念、结论等产生的背景、应用,体会其中所 蕴涵的数学思想和方法,以及它们在后续学习中的作用。通过不同形 式的自主学习、探究活动,体验数学发现和创造的历程。 2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等 基本能力。

3.提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的 能力,数学表达和交流的能力,发展独立获取数学知识的能力。 4.发展数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中蕴涵的一些 数学模式进行思考和作出判断。 5.提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,形成锲而不舍的 钻研精神和科学态度。 6.具有一定的数学视野,逐步认识数学的科学价值、应用价值和 文化价值,形成批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,体会数学 的美学意义,从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。

我是这样认识数学教学的各个目标的:认知性目标是指一节课应 该教给学生什么? 教育性目标是在教会知识的过程中向学生渗透了什 么? 发展性目标是当某些具体的数学知识全都忘了,还剩下什么? 基 于这种理解,我认为数学教学目标的内涵应该这样界定:

1、 认知性目标包括: ★了解、掌握运用基础知识和基本技能。 ★培养学科能力包括数学观察力、数学记忆力、逻辑思维能力、 运算能力、空间想象能力,数学化能力和分析问题和解决问题能力。 ★学会学科思想方法:包括抽象与概括,分析与综合,归纳与演 绎,联想与类比,实验与记忆,分解与组合,系统化与结构化等一般 思想方法和函数与方程的思想,化归与转化的思想,数形结合的思想; 分类与整合的思想,特殊与一般的思想,有限与无限的思想,必然与 或然的思想等数学学科思想,观察实验,尝试猜想,合情推理,严格 论证等研究数学的方法。

2. 教育性目标包括: ★进行德育渗透:数学知识本身体现的爱国主义内容,实践第一 的观点,辩证唯物主义的观点。 ★养成良好的学习习惯。 ★完善人格品质,通过数学的严格性训练,养成独立思考,客观 公正的品质,严密的工作作风,善问善思,乐于创新的精神品格。

3.发展性目标包括: ★优化智能结构,主要是通过逻辑思维、形象思维、直觉思维、 辩证思维等数学思维形成灵活性、深刻性、批判性、广阔性及创造性 良好的思维品质。 ★健全心理素质,通过对学习兴趣与学习动机培养学生对数学的 好奇心与爱好,以及遇到困难百折不挠的耐挫力和知难而进的心理素 质。 ★增强审美意识,使学生体会数学本身体现的简洁美、和谐美、 奇异美、创造美等数学美,使数学学习与数学欣赏统一。 ★培养创新意识,使学习在数学学习的全过程中,能够永不满足 现状,永远追求新知,学会提出问题,能够收集、提取和处理信息, 并通过信息的收集处理获得新的体验。

在制定数学教学目标时,必须遵守下列原则 ★整体性原则。在制定数学教学目标时必须使数学课面向每一个 学生,把数学做为大众数学,让每一个学生都能学会数学地思考。因 此,在制定目标时要有层次,考虑到分层教学,因材施教的需要。 ★特定化原则。是指一般教育目标与数学教学的特定目标在培养 学生素质的作用上相结合的原则,数学课必须承担数学课在育人中的 作用,要研究数学课在育人中的特定的不可替代的作用,例如思维能 力的培养,思想方法的建立等必须纳入数学教育目标。 ★细化原则。把数学教学的整体教学目标细化到每一章、每一单 元、每一节,从而通过每一节课来体现数学的整体教学目标,使得每 一节课都可以预期实现学生素质发生哪些变化,使学生除了“知识点” 之外,还能学到他们终身有用的东西,使整个数学教学目标可以有序、 有效地运转与落实。

★同步化原则。在数学课上制定的教学目标决不是给每一节课贴 上一个素质教育的标签,不是也不仅仅是在教案的教学目的栏内加上 一两句素质教育的名词,而是把认知性目标、教育性目标、发展性目 标等纳入教学计划,并且与传授知识,训练能力同步进行,从而通过 教师设定教学情境,激发学生学习兴趣,使学生感到学习需要而产生 心理体验,使他们在学数学的过程中,学会思想方法,形成思维品质, 得到美的享受,接受正确观念。 ★主动行为化原则。即实现每一节课的教学目标变为教师和学生 的主动行为。明确一个教师教什么,为什么要教这些内容和怎么教, 明确学生学什么,为什么要学这些内容和怎么学,使得教师和学生能 够自觉、主动地展开教学活动。 ★发展性开放性原则。即数学教学应该相信每一个学生的发展水 平,使每个学生通过数学教学活动得到自身发展,也要为学生发展创 造良好的条件。因此,在课堂教学中还要注意开放性,使内容有开放 性,时间有开放性,给学生自己独立钻研、动口动脑,大胆创新的机 会。

让学生学会数学,让学生会学数学是从教书匠到教师的一个转变, 要做到这一点,就必须明确一个教师的任务是什么?教学目标是什 么?如何确定你的教学目标,如何实现你的教学目标。教师往往是用 昨天的知识,面对今天的学生,培养明天的人才,对于“昨天、今天、 明天”,我觉得应该变为教师以昨天的知识为载体,面对今天的学生, 通过师生的共同努力,使学生掌握明天有用的知识,使他们能够持续 发展。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴涵于 数学知识发生、发展和应用的过程中,数学思想和方法蕴涵于数学知 识的教学之中,又相对超脱于知识的教学,单纯的知识教学,只是见 于学生知识的积累,而思想和方法的教学则默化于能力的提高过程 , “方法是技巧的积累,思想是方法的升华”,只有用数学思想武装起来 的学生,解决问题才有远见和洞察力。所以,在教学中培养学生的数 学思想方法是数学教学中必须引起高度重视的内容,也是激励学生进 行创新和探索不可缺少的内容。

三、问题解决与教学艺术
进行问题解决教学,把问题解决教学变成可以发展问题的教学,就 必须注重教学艺术,进行问题解决首先要创设问题情境,引起学生学 习兴趣,当进入问题情境之后,又必须激活问题,从而使课堂活跃起 来,学生的思维活跃起来,使分析问题、解决问题,变化问题、引申 问题成为可能,在分析问题、解决问题过程中,又必须激励发现,真 正体现数学教学是再创造、再发现的教学,并使学生在发现探索的同 时获得成功的喜悦,会提出新问题,向新问题进军。 所以问题解决的教学艺术,在于激趣——激活——激励。激发兴 趣,作用于学生就会使学生产生内心的体验,激发他们的情感,而激 活问题的教学活动又必然使学生能够主动地参与课堂教学过程,使课 堂充满生命的活力,激励发现的不断累加,就促进了学生的发展

(一)激发兴趣,让情感走进课堂
兴趣是人们积极认识某种事物,愉快地接近或探索某种事物,或 从事某种活动的心理倾向,这种倾向是影响学生学习自觉性与学习积 极性的直接因素。 在教学中,教师向学生输出信息,并引导学生获得信息,学生又 要向教师反馈信息。因此,教师在输出信息时,能够拨动学生的心弦, 激发学生求知的渴望,唤起他们学习的动机,才能学有所乐,学有所 得,才能跃跃欲试,不断探索。但是,兴趣需要激发,需要培养,对 学生学习兴趣的激发又要求教师对教学的激情,对学生的激情。 情感是人对客观事物是否得到满足而产生的内心体验, 在知识教学 中,苏霍姆林斯基认为,情感是获取知识的土壤和动力,他写道:“情 感如同肥沃的土壤,知识的种子就播种在这块土壤上。种子会萌发出 幼芽来,儿童边认识边干得越多,对劳动快乐的激动情感体验得越深, 他就想知道的更多, 他的求知欲望, 钻研精神、 学习劲头也就越强烈。 ” 列宁也说过:“没有人的情感,就从来没有也不可能有人对真理的追 求。”

激发兴趣,让情感走进课堂,是教学的需要,也是一门教学艺术。 一个学生对数学有兴趣,他就会把数学看作一个美丽的花园,而每 一个数学问题就是花园里一朵绚丽的花,他会全神贯注地欣赏花,他 会心情愉快地去采摘花园中的花朵。虽然他为了解题会冥思若想,会 昼夜不眠,会不思娱乐;然而,如果一个学生对数学没有兴趣,他就 会把数学看作是枯燥的符号的幽灵,一些受公式、定理这些铁的法则 制约了的毫无生气的机械结构。为了升学、为了应付考试,他也会认 真地,但不情愿地演算每一道习题,但是他只能把数学做为一种负担, 一种苦役,他真的感到了“学海无涯苦作舟”。 教师的主要活动在课堂,因此在课堂上创设问题情境,就会激发学 生渴求新知识的心理状态,促进学生对数学学习的全部投入,产生最 佳的教学效果。

那么,创设怎样的教学情境才能激发学生的学习兴趣呢?

根据对教 材 重、难点分析

幽默情境 创 设 问 题 情 境 悬念情境 新异情境 疑虑情境 优美情境 愤悱情境 激发兴趣 激发情感

根据学生 的 思维水平 的现状

1.创设悬念情境 侦探电影,推理电影所以能抓住观众,一个重要的原因是导演善 于制造悬念,在影片的开头或发展过程中,一个案件发生了,留下一 些蛛丝马迹,然而,谁做的案?什么时间做的案?为什么要做案?这 些蛛丝马迹又说明了什么?这些疑问非解决不可,这就使观众非看下 去不可。 电视连续剧则是在每一集的结尾留下一个悬念, 后事如何呢? 请看下回分解。于是明天又准时打开了电视机,制造悬念是电影、电 视和小说常用的手法,很值得数学教学中借鉴。 悬念在心理学上是指学生对所学对象感到困惑不解而产生急切等 待的心理状态,在数学课中设置悬念,可以激发学生的好奇心和求知 欲,集中注意力,产生积极探求的激情。

例如, (2006 年辽宁卷)设 O(0,0) , A(1,0) , B(0,1) ,点 P 是线段 AB ??? ? ??? ? ??? ??? ??????? ? ? ? 上的一个动点, AP ? ? AB ,若 OP ? AB ? PA ?PB ,则实数 ? 的取值范围是
2 1 (A) ? ? ? 1 (B) 1 ? ? ? ?1 2 2 1 2 2 2 (C) ? ? ? 1 ? (D) 1 ? ? ? ? 1? 2 2 2 2 ? ? ? ??? ??? ??? ??? ? 由题设条件,需要先求出向量 OP , AB, PA 和 PB , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 由 AP ? ? AB 得, OP ? (1 ? ? )OA ? ? OB ? (1 ? ? , ? ), ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? AB ? OB ? OA ? ? ?1,1? , PB ? AB ? AP ? (1 ? ? ) AB ? (? ? 1,1 ? ? ), ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP ? ? AB ? (?? , ? ) , PA ? ?? AB ? ? ? , ?? ? ??? ??? ??????? ? ? ? OP ? AB ? PA ?PB ? (1 ? ? , ? )(?1,1) ? (? , ?? )(? ? 1,1 ? ? )
? 2? 2 ? 4? ? 1 ? 0 2 2 解得, 1 ? ,故选 D。 ? ? ? 1? 2 2

解到这里,可能有人根据上面的结果而选(D),但是, (D)是一个陷阱, 因为,还有一个已知条件被忽略了,这个条件是 “点 P 是线段 AB 上的一个动点,”正因为点 P 是线段 AB 上的一个 动点,所以 0 ? ? ? 1, 满足条件的实数 ? 的取值范围应是
1? 2 2 2 ? ? ? 1? ? ? ? 1 ,故选 B 和 0 ? ? ? 1的交集,即 1 ? 2 2 2

又如,在高考复习时,提出下面的“形似质异”的问题让同学对照, 类比,辨析 ? 1? x ? 2 1. (1)已知集合 M ? x y ? x ? x , T ? ? x y ? ? ,求 M ? T ; 1? x ? ?

?

?

? 1? x ? (2)已知集合 M ? y y ? x 2 ? x , T ? ? y y ? ? ,求 M ? T ; 1? x ? ? ? 1? x ? ( 3 ) 已 知 集 合 M ? ? x, y ? y ? x 2 ? x , T ? ?? x, y ? y ? ? ,求 1? x ? ? M ?T ; 2. (1)若函数 y ? lg ? kx 2 ? x ? k ? 的定义域是 R ,求 k 的取值范围;

?

?

?

?

(2)若函数 y ? lg ? kx 2 ? x ? k ? 的值域是 R ,求 k 的取值范围;

3. (1)已知对所有 x ? ? 0,1? ,使 x 2 ? x ? m 成立,求实数 m 的取值范围; (2)已知存在 x ? ? 0,1? ,使 x 2 ? x ? m 成立,求实数 m 的取值范围;

ax ? 3 的值域为 ? ?1, 4? ,求 a 的值; 2 x ?1 ax ? 3 (2)若函数 y ? 2 对定义域内的任意 x 值,都有 y ? ? ?1, 4? ,求 a 的 x ?1 取值范围; 5. (1)若函数 y ? x3 ? ax ? 6 的一个单调增区间为 ?1. ? ? ? ,求 a 的值;

4. (1)若函数 y ?

(2)若函数 y ? x3 ? ax ? 6 在区间 ?1. ? ? ? 为增函数,求 a 的取值范围. 6.(2000 年日本宫城教育大学入学试题) g 已知两个函数 f ( x) ? 8 x 2 ? 16 x ? k, ( x) ? 2 x3 ? 5 x 2 ? 4 x ,其中 k 为 实数. 3? (1)若对任意的 x ? ?? 3, ,都有 f ( x) ? g ( x) 成立,求 k 的取值范围; 3? 都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , k 的取值范围. (2)若对任意的 x1、x2 ? ?? 3, , 求 7. (1)在等比实数列 ?an ? 中, a4 a6 ? 36, a5 ? a8 ? 54 ,求 a8 的值. (2)在等比实数列 ?an ? 中, a4 a6 ? 36, a5 ? a9 ? 54 ,求 a9 的值.

8 . (1) 设 x, a1 , a2 , a3 , y 成 等 差 数 列 , x, b1 , b2 , b3 , y 成 等 比 实 数 列 , 求

? a1 ? a3 ?
b1b3

2

的取值范围;

(2) 设 x, a1 , a2 , y 成等差数列, x, b1 , b2 , y 成等比实数列,求

? a1 ? a2 ?
b1b2

2

的取值范围; 9.(1)已知 a 2 ? b2 ? 1, c 2 ? d 2 ? 1 ,求 ac ? bd 的最大值; (2) 已知 a 2 ? b2 ? 1, c 2 ? d 2 ? 4 ,求 ac ? bd 的最大值. 10.甲袋中有 3 只白球,7 只红球,15 只黑球, (1) 从甲袋中有放回地摸球,求恰好第 k 次才摸到红球的概率. (2) 从甲袋中不放回地摸球,求恰好第 k 次才摸到红球的概率. 11.甲袋中有 3 只白球,7 只红球,15 只黑球 (1) 从甲袋中有放回地摸 5 次球,求恰有 3 次摸到红球的概率. (2) 从甲袋中有放回地摸 5 次球,求第 2,3,5 次摸到红球的概率. (3) 从甲袋中有放回地摸球,有 3 次摸到红球即停止,求恰好摸 5 次 停止的概率.

2.创设新异情境 在数学课中,如果总是从定义讲到定理、公式,再从定理、公式讲 到解题,在解题中又从已知讲到求证,这样下去,循环往复,学生没 有新鲜感,再加上为了应试,经常进行题型加方法的练习,把学生变 成解题的熟练工具,常常使学生感到乏味,在教学中要常常创设新异 情境,给出新方法,提出新思路,解决新问题。

例如:解方程: 8 x 3 ? 8 3x 2 ? 6 x ? 3 ? 1 ? 0 这个题目怎么解, 在中学里没有学过一元三次方程的解法, 同学们 一时感到束手无策,冥思苦想,真是“山重水复疑无路”,教师的作用 就是在于调动学生的学习积极性,去寻找“柳暗花明又一村”的境地。 纠缠着 x 看来不好解决了,能不能换一个角度,反主为客。例如,方 程中出现两次 3 ,能不能把 3 暂时看做变量,设 3 ? y ,这是方程 一下子变成了 2 xy 2 ? (8 x 2 ? 1) y ? (8 x 3 ? 1) ? 0 这就变成了一个以 y 为未知数的(其实 y ? 3 )的方程,对于解 二次方程,同学们轻车熟路,可以解出用 x 的表达式来表示 y ? 3 , 这时, x 也就解出来了,踏破铁鞋无觅处,得来全不费功夫,这样学 生就会感到新鲜,感到欣喜,不仅渗透了换元的思想,而且也使他们 的思维得到启迪,数学需要灵活,解题的欲望得到调动。

再如在讲不等式证明时,为了讲用图形分析法帮助解题,我出了这 样一个题目,证明 对 所 有 实 数 x , 都 有
x 2 ? 4 x ? 8 ? x 2 ? 6 x ? 10 ? 26 同学们算了一段时间,越算越 麻烦,我指导学生对不等式变形为

y B(-2,2) C(3,1) x

( x ? 2) 2 ? 4 ? ( x ? 3) 2 ? 1 ? 26

让同学思考,小组讨论的结果让同 学兴奋。因为可以把上面左边的两 O A(x,0) 个式子看做两个两点间距离公式, 涉及的点是 A( x,0), B(?2,2), C(3,1) 问题变成了证明 | AB | ? | AC |?| BC | 这是一个 很明显的事实,难题的解通过画图解决了,数形结合思想得到培养, 用图形帮助解题变成同学们的需要。

又如,已知 | m |? 2 ,解关于 x 的不等式 mx 2 ? 2 x ? 1 ? m ? 0 ,这是 一个已知参数范围解不等式的题目,怎样求解?这个问题又与平时解 2 不等式不一样,把不等变成 (1 ? x )m ? (2 x ? 1) ? 0 ,这是关于 m 的一次 不等式,于是变成一个新的问题了,这样一个反主为客的变化,使问 题容易解决了。

3.创设幽默情境 数学教学需要幽默,数学教师要学会幽默,学生希望他们的教师 幽默。在教学中教师要善于运用幽默这个武器创设教学情境。教师巧 妙地运用风趣幽默的语言,并形象地描述数学问题,就会改变学生对 数学是枯燥无味的成见。 例如, 在三角恒等变形中, 的巧用会给解题带来意想不到的方便, 1 这是因为 1 可以代为许多三角恒等式,例如, 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? , 1 ? tan? ? ctg? ? sin? ? csc? ? sec? ? cos? , 1 ? sin 2 ? ? tan2 ? , 1 ? cos 2? ? 2 sin 2 ? , 1 ? 2 cos2 ? ? cos 2? , ? ? 1 ? sin ? cos 0 ? tan 等,其实在小学、初中进行数学运算中, 2 4 也常常活用 1,如 a 2 ? 2a ? 1 中的 1 可看做 12 , 1? 25% 的 1 看做 当启发学生回忆与 1 有关的运算时, 发现 1 的变化太多了, 100% 等等, 这时教师用一句“1 大十八变, 越变越好算”进行概括, 这里运用了一句 俗话“女大十八变越变越好看”变来的,学生兴趣变浓,而且对 1 的活 用有了自觉性,甚至可以创造性地运用。

? 例如,当 ? , ? ? (0, ) 时,求证 2 1 1 1 ? 2 ? 2 ?9, 2 2 2 cos ? sin ? cos ? sin ? sin ? 学生联想到对正数 a, b, c 1 1 1 ( ? ? )(a ? b ? c) ? 9 ,运用了 a b c 1 ? cos2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? 得到 1 1 1 ( 2 ? 2 ? 2 )(cos 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? ) ? cos ? sin ? cos2 ? sin ? sin 2 ? 问题一下子得到解决。

4、创设疑虑情境 “学贵有疑,小疑则小进,大疑则大进,疑者觉悟之机也,一番觉 醒,一番长进”。数学教师在教学中创设疑虑情境,就要善于设疑(其 实设疑也是一种悬念) ,还要引导学生解疑,从而吸引学生的注意力。 1 例如:求三角函数 y ? 的值域,许多同学对于解这个问 3 ? 2 sin x 题并不感到困难,只要把 sin x ? ?1 和 sin x ? ?1 代入函数表达式就可以 1 得出 y ? [ ,1] ,结果是正确的,有一部分同学说不出理由来,这时我 5 1 又出了一个题目,求 y ? 的值域,有一学生也按上面的解法 3 ? 4 sin x ? 1? 求解,把 sin x ? ?1 代入原解析式得 y ? ?? 1, ? ,这个结果对不对 ? 7? 1 呢?让学生自己检验,比如 sin x ? ,这时 y ? 1 不在这位学生所求的 2 值域的范围内,显然是求错了,

为什么呢?这两个题目为什么不能用同一个方法解呢?疑虑产生 了,他们产生了一种求知的渴望,大疑有可能大进,这时教师引导学 1 生分析,对 y ? 因为 sin x ? [?1,1] ,而 3 ? 2 sin x 3 1 因为 sin x ? 可以证明这个函数是一个增函数,而 y ? 2 3 ? 4 sin x 3 ,这个函数就不是一个增函数,如果把 sin x 换成 sin x 有可能等于 4 1 1 , t ? [?1,1] 与 y ? , t ? [?1,1] 的图象分别为: t ,则 y ? 3 ? 2t 3 ? 4t

显然这两个问题的结果不同, 函数思想帮助学生解决了疑虑, 也使 对函数思想的认识有了提高。

再如,已知 tan? ? 2 ,求 sin 2? ,学生中出现了两种解法,一种 4 是由 tan? ? 2 ,求出 tan 2? ? ? ? 0 判断 2? 在第Ⅱ ,第Ⅳ象线, 3 4 于 是 sin 2? ? ? ,另一种解法是学生用万能置换公式只解出 5 4 sin 2? ? ,我把这两种解法摆在学生面前,哪一种解法正确,哪一种 5 解法不正确,道理是什么?疑虑引起了讨论,讨论活跃了思想,同时 也找出解这类问题常常发生错误的原因。 教师创设疑虑情境,使学生的学习兴趣在设疑、解疑的过程中,随 之增加。

5、创设优美情境 罗素有句名言:“数学,如果正确地看,不但拥有真理,而且也具 有至高的美。”数学王国是美的世界, 数学美学有它独特的表现。 例如, 有简洁美、和谐美、奇异美等等,数学教师在教学中巧妙地运用数学 的美,创设一个优美的境界,引导学生用美的观念去感悟,理解、变 通数学知识,就会使学生在美的追求中激发兴趣,丰富思想,提高创 造能力。 比如,当学生学会等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d 之后,在 讲等比数列的通项公式时,就引导学生猜测其通项公式,让学生从等 差数列与等比数列的定义中得到启发, 这两个定义的关键是一个是差, 一个是比,学生就能联想 到通项公式要把加号变成乘号,把乘法变成乘方,于是有 a n ? a1 q n ?1 , 这是数学和谐美的胜利。

再如,课本上有一道求值的题目: 求 sin 2 10? ? cos2 40? ? sin10? cos 40? 的值, 这个题目有许多解法,但是一种颇具对称美的解法引起学生的兴 趣,解法是这样的,设 A ? sin 2 10? ? cos2 40? ? sin10? cos 40? 再设出 A 的对称式 然后计算出 A ? B 与 A ? B 就能 B ? cos2 10? ? sin 2 40? ? cos10? sin 40? 。 算出 A 的结果。

6、创设愤悱情境 《论语· 述而》 有一句话 :“不愤不启,不悱不发”朱熹作注曰:“愤 者,心求通而未得之意;悱者,口欲言而未能之貌。”在教学中创设愤 悱情境,就是把学生带进“引而不发”的境地,让学生感到“心求通而未 得,口欲言而未能”,这样他们就会跃跃欲试,就会迫切地要求表达自 己的情感和见解。 例 如 , 我 曾 出 过 这 样 一 个 题 目 : 已 知 tan? ? cot? ? 2 , 求 tan? ? cot? 的值,同学们大多数都这样做 (tan x ? cot x) 2 ? (tan x ? cot x) 2 ? 4 tan x cot x ? ( 2 ) 2 ? 4 ? ?2 ? 0 一个平方数竟然小于 0,毛病出在哪?解题过程错了吗?没有! 大家的思维立即活跃了,原来同学们经过思考找到了原因,实际上是 题目错了。 因为两个互为倒数的实数和其范围是 (??, ?2] ? [2, ??) ,不可能 得 2 ,问题解决了,思维的批判性得到锻炼,更重要的是在解决问题 的过程中,学生学习数学,钻研教学的热情得到了激发,追求真理的 品格得到了培养。 创设最佳课堂教学情境, 培养学生学习数学的兴趣, 就要求教师自 己不断提高业务水平,要求教师自己对数学有浓厚的兴趣,要求教师 发挥自己的数学天才,艺术地驾驭课堂。

激发学习兴趣还要和学生一起玩数学 “学数学就是玩数学”这是我常说的一句话,一个数学教师在教学 中,调动学生的积极性的一个最好的办法就是把教师做为学生中的一 员,和学生一起去创设问题情境,进入问题情境和学生一起去探讨数 学的奥秘。 例如,高一讲解一元二次不等式时, 解不等式 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ,这个不等式当然很好解,如果一节课到 此为止,也无可非议,但是我提出让学生以这个题目为基础,自己出 题,看谁出得活,这是一种出题游戏,一种变题游戏,题目在学生手 中激活,他们的创造性被调动起来了,出现了许多好题目(当时在课 堂上没有让学生去解,只是出题目) 。 变化 1:解关于 x 的不等式: x 2 ? 5x ? a ? 0. 变化 2:解关于 x 的不等式: ax 2 ? 5 x ? 6 ? 0. 变化 3:已知关于 x 的不等式 ax2 ? 5x ? 6 ? 0 的解是全体实数,求 a 的取值范围。 变化 4:已知关于 x 的不等式 x 2 ? 5 x ? a ? 0 的解集为(2,3)求 a 的值。 变化 5:已知关于 x 的不等式, ax2 ? 5x ? 6 ? 0 在 x ? [0,1] 时恒成 立,求 a 的取值范围。 变化 6:已知关于 x 的不等式, ax2 ? 5x ? 6 ? 0 在 x ? [0,1] 时有解, 求 a 的取值范围。

又如讲二次函数的图象时,让学生画了一个 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的图 象,这个问题很容易,我又让学生在解析式上任意添加绝对值,并画 出这些图象。这时,学生确实感到是在玩数学,他们的创新意识很强 烈,由于头脑中没有什么框框,变起来就自如地多,例如他们把函数 式变为 y ? x 2 ? 2 x ? 3 , y ? x 2 ? 2 x ? 3, y ? x 2 ? 3 ? 2 x, y ? x 2 ? 2 x ? 3, y ? x x ? 2 x
y ? x x ? 2 x ? 3 , y ? x 2 ? 2 x ? 3 , y ? x x ? 2 x ? 3 ,等等,一下子变

出十几种,这样一来,含绝对值函数的图象就在玩中学会了。

(二)激活问题,让课堂焕发生命的活力
问题是数学的心脏,问题也是数学教学的心脏,一节数学课就是 由一个一个问题,一层一层深入的问题组成的,教学艺术的核心是教 师要善于创设问题情境, 教师在课堂教学中常常是设计了一系列问题, 但是,是不是凡是提问题就能启发学生呢?凡是提问题就能调动学生 思维的积极性呢?一节课举手如林,答声如雷,一定是一节好课吗? 教师设计的问题总是能够很容易解答或者得出唯一的标准答案,一定 是好问题吗?当然这样做的结果是教师能控制教学的具体过程,能引 导学生按照自己设计的路线前进,但是这样做,多于模仿,少于创造, 多于重复,少于创新。因此,教师在教学中,不断地创设问题情境, 不断地激活问题,从而使学生调动起自己的经验,意向和创造力,通 过独立思考、小组讨论和信息交流,进行分析、思考、选择、发现、 重组,从而达到内化知识,总结思想方法,发展思维能力和思维水平, 使分析问题、解决问题的进程上速度,上质量、上层次,因此激活问 题,激活课堂是教学的一个核心。

在数学教学过程中,以什么样的目标对问题定向,引导认知过程, 用什么样的言语、信息、智慧、规划和认知策略启发诱导,是教学中 的一个关键问题。 对问题的设置可以有两种方式,一种是事先给出一个规范性问题, 然后引导学生按照已经学习过的知识进行分析,推理解决问题,这种 认知过程多是陈述性的,往往缺乏创造 另一种是事先给出一个开放性、探索性问题,然后引导学生根据 学习过的知识,法则去探索、发现,最后解决问题,这种过程是程序 性的,往往需要创造性,这两种方法的区别在于“从心理特征看,前者 主要从命题和命题网络的形式表征,后者以产生式或产生式系统表征, 从激活和提取来看,前者激活速度慢,其提取往往是一个有意识的搜 寻过程,后者激活速度快,能相互激活,从学习与遗忘速度看,前者 习得速度快,遗忘也快,后者习得速度慢,遗忘也慢”。 要在教学中 提出开放性,探索性问题,就必须把静止的、陈述性的问题激活,激 活问题可采取下面的几个策略。

1.给出已知条件,藏起结论,变为探索性问题。 一个数学命题是由条件和结论两部分组成的,在通常的教学中, 为了讲清一个命题,往往是先把条件与结论都给出来,然后引导学生 去理解、去证明,这样做对培养学生逻辑思维能力也能达到教学目的。 但是学生的思维往往是禁锢在一个固定的程序中,在讲述这些命题时, 可以采取给出条件,而不给出结论,即把结论藏起来的办法,就可以 激励学生自己去探索。 例如, 给出一个含参数 m 的二次函数 y ? f ( x) ? x 2 ? mx ? m ? 2 原 题是求证:无论实数 m 取何值,二次函数的图象都经过一个定点。

在教学中,可以不把原题写出来,而是只写出这个含参数 m 的二 次函数,让学生通过计算机自己任意输入数据,观察输入不同数据后 的函数的图象进行数学实验,引导学生自己去探索和发现结论,结果 同学们自己发现出这样一些结论: (1)这些图象的开口都向上; (2) 这些图象与 x 轴都有两个交点; (3)这些图象都通过(-1,-1)点,然 后我又启发学生观察这些图象的顶点的规律,大家又发现,这些顶点 都在同一条开口向上的抛物线上。因此,又可以得出第(4)条结论, 已知函数的最小值的最小值是 4,在同学自己发现结论之后,再让同学 们对自己发现的结论进行证明,用同学自己的话说:“感觉就是不一 样”。

2.藏起部分已知条件,给出结论,提出一个开放性问题。 如果说第一种给出条件,藏起结论是让学生寻找必要条件的话, 那么一种逆向的思考就是藏起部分条件,给出结论,让学生发现题目 的充分条件,就象给出条件之后,结论不是一个一样,同一个结论也 可能有不同的充分条件。 例如,现有命题:若 c > b ,且 f (x) 在两个区间 [a, b] ,[c, d ] 上都 是增函数,则 f (x) 在集合 [a, b] ? [c, d ] 上是增函数,若认为该命题为 真,请给出证明.若认为该命题为假,请对原命题予以补充(不允许 变更原命题的内容,不允许举例)使原命题能成立.先写出补充条件, 然后证明给出的新命题.

3.把问题参数化,得到讨论性问题 在讲述例题时,如果就题论题,当然是一潭死水,但是把一些题 目中添进一个参数,由于参数取值的任意性,就使得原来的问题产生 一定的活力,甚至于变得波涛汹涌。 如在数列一章中有一道习题,已知 {a n } 的前 n 项和 S n ? 5n 2 ? 3n , 求数列 n 通项公式,也可以改造为已知数列的前 n 项和公式为 S n ? 5n 2 ? bn ? c ,问 b, c 为何值时,数列 {a n } 是一个公差为 10 的等差 数列。 又如, an?1 ? an ? d 是等差数列的递推公式,如果参数化,改为
an ?1 ? kan ? d ? k ? 1? ,如何求通项公式?

总之,参数有一种活力,参数的活力在于它本身是运动着,变化 着的,一道普普通通的题目,由于引进了参数,就变得灵活起来,就 变得有了生气,就可以用运动的观点,变化的观点去探讨它,解决它。

3.把问题参数化,得到讨论性问题 在讲述例题时,如果就题论题,当然是一潭死水,但是把一些题 目中添进一个参数,由于参数取值的任意性,就使得原来的问题产生 一定的活力,甚至于变得波涛汹涌。 如在数列一章中有一道习题,已知 {a n } 的前 n 项和 S n ? 5n 2 ? 3n , 求数列 n 通项公式,也可以改造为已知数列的前 n 项和公式为 S n ? 5n 2 ? bn ? c ,问 b, c 为何值时,数列 {a n } 是一个公差为 10 的等差 数列。 又如, an?1 ? an ? d 是等差数列的递推公式,如果参数化,改为
an ?1 ? kan ? d ? k ? 1? ,如何求通项公式?

总之,参数有一种活力,参数的活力在于它本身是运动着,变化 着的,一道普普通通的题目,由于引进了参数,就变得灵活起来,就 变得有了生气,就可以用运动的观点,变化的观点去探讨它,解决它。

变化 1:已知点 A(?2,4) 和 B(4,2) , 如果直线 l : y ? kx ? 2 和直线 段 AB 恒相交,求 k 的取值范围。 变化 2:已知点 A(?2,4) 和 B(4,2) ,如果点 A 和点 B 分别在直线 l : y ? kx ? 2 的两侧,求 k 的取值范围。 变化 3:已知集合 A ? {( x, y) | x ? 3 y ? 10 ? 0,?2 ? x ? 4} ,
B ? ?( x, y) | y ? kx ? 2 ?,求 K ? ?k | A ? B ? ?? 。

变化 4:若三角方程

10 ? (3 cos? ? 1) ? 3k cos? ? k ? 2 有解,求 k 的 3

取值范围 变化 5:已知点 A(?2,4) 和 B(4,2) ,如果抛物线 y ? x 2 ? mx ? m ? 3 与线段 AB 总有两个不同的公共点 P, Q ,求线段 PQ 的长的最小值。 前四种变化,本质上是原题,不过改成了解析几何,集合或三角 题而第五种变化,则把直线变成了抛物线,加大了难度。 通过对一个题目的多种变化,可以让学生从多个角度展开思维, 使思维更加广阔和灵活。

5.引导解题后反思,提出引申性问题 一个题目解完了,这个题目的使命就算完成了吗?能不能继续激 活它呢?这是一种有没有创新意识的体现,一个教师在解题时,总是 要带领学生不满足于现状,不断地求知、求新,不断地深入、不断地 提出问题。 一个题目用一种方法解完了,能满足吗?有没有别的解法,有没 有更好的方法。 a2 ?1 例如,课本上有一个练习题:证明不等式 ? 1 ? 2 ? 1 ,这个题 a ?1 目是在讲述分析法证明不等式时设置的,一般学生也是用分析法进行 证明。 当解完之后,进一步引导学生进行反思,这个题目有没有其它的解法, 对用分析法解这个题目是不是满意、满足?在学生的参与下,又想出 了许多解法

a2 ?1 a2 ?1 2 2a 2 例如把 2 分离常数, 化为 2 ? 1 ? 2 ? ?1 ? 2 可直接 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 得到结果。 a2 ?1 ? 又如联想到万能公式,设 a ? tan ,则 2 ? ? cos? 也很容易 2 a ?1 证明。 再如,由一个明显的不等式 a 2 ? 1 ? a 2 ? 1 ,也可一步到位,其它 ? y ?1 ? 0 ,用定比分点法,比较法等等都可以证明, 还有用反求 a ? y ?1 集思广益,一个题目出现了七种解法,思维开阔了,办法灵活了,思 维能力训练的目的达到了。
2

例如:一个三角函数求值问题 求值: sin 2 20? ? cos2 50? ? sin 20? cos50? 一般的解法是把所求的式子降幂,然后利用和差化积和积化和差 公式化简,再利用特殊角的三角函数求值,教科书上也是这样讲的, 许多同学也是这样做的,但是教学任务完成了,提高数学素质的任务 并没有完成,因为只有不满足于现状,才能不断创新,

解题后可以在反思上做文章,把原式化为: sin 2 20? ? sin 2 40? ? sin 20? sin 40? 让学生研究这个变化了的式子,能联想到什么?第一, 20? ? 40? ? 60? 是一个特殊角,第二,上述式子很象余弦定理的结构, 于是又启发了一种新的特点,即构造一个以 20?,40? 为内角的三角形, 则另一个角是 120 ? ,于是用余弦定理及正弦定理可得 4 R 2 sin 2 120 ? ? 4 R 2 (sin 2 20? ? sin 2 40? ? 2 sin 20? sin 40? cos120 ?)
? sin 2 120 ? ? sin 2 20? ? sin 2 40? ? sin 20? sin 40?

A

120? 原来所求的式子的值为 3 20? 40? 2 B sin 120 ? ? C 4 这个解法与原来的解法全 然不同, 抓住了题目的特殊性和数形结合思想, 是不是到此结束了呢? 又可以让大家总结规律,从特殊到一般,因为题目中的角不一定是 20?,40? ,只要两个角加在一起是 60? 就可以,同时还可以类似地编拟 两角和为 45?,135 ?,120 ?,150 的例子。

激活问题的策略的核心就是“活”。 因此,不一定要拘泥于这些方法,只要能把题激活,把课堂激活, 把思维训练激活,只要能打破课堂的沉寂状

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