当前位置:首页 >> 高二数学 >>

北师大版高中数学选修4-1几何证明选讲_测试题

北师大版选修 4-1《几何证明选讲》测试题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.

1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作

圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =( B )

A.15?

B. 30?

C. 45?

D. 60?

【解析】由弦切角定理得 ?DCA ? ?B ? 60? ,又 AD ? l ,故 ?DAC ? 30? ,

故选B.

第 1 题图

2.在 Rt?ABC 中, CD 、 CE 分别是斜边 AB 上的高和中线,是该图中共有 x 个三角形与

?ABC 相似,则 x ? ( C )

A.0

B.1

C.2

D.3

【解析】2 个: ?ACD 和 ?CBD ,故选 C.

3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为 12 cm 和 18 cm 两段,另一弦被分为 3 : 8 ,则另一弦的长

为( B )

A.11cm

B. 33cm

C. 66cm

D. 99cm

【解析】设另一弦被分的两段长分别为 3k,8k(k ? 0) ,由相交弦定理得 3k ?8k ?12?18 ,解得

k ? 3,故所求弦长为 3k ?8k ?11k ? 33 cm .故选 B.

4.如图,在 ?ABC 和 ?DBE 中, AB ? BC ? AC ? 5 ,若 ?ABC 与

A

DB BE DE 3 ?DBE 的周长之差为10cm,则 ?ABC 的周长为( D )

D B

C

A. 20 cm

B. 25 cm 4

C. 50 cm 3

D.25 cm

【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案 D.

E 第 4 题图

5. O 的割线 PAB 交 O 于 A, B 两点,割线 PCD经过圆心,已知 PA ? 6, PO ? 12, AB ? 22 , 3
则 O 的半径为( D )

A.4

B. 6 ? 14

C. 6 ? 14

D.8

【解析】设 O 半径为 r ,由割线定理有 6? (6 ? 22) ? (12 ? r)(12 ? r) ,解得 r ? 8.故选 D. 3

6.如图, AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, CD ? AB 于点 D ,

且 AD ? 3DB ,设 ?COD ? ? ,则 tan2 ? =(A ) 2

A. 1

B. 1

C. 4 ? 2 3

3

4

D. 3

第 6 题图

【解析】设半径为 r ,则 AD ? 3 r, BD ? 1 r ,由 CD2 ? AD ? BD 得 CD ? 3 r ,从而? ? ? ,故

2

2

2

3

tan2 ? ? 1 ,选 A. 23

7.在 ?ABC 中, D, E 分别为 AB, AC 上的点,且 DE // BC , ?ADE 的面积是 2cm2 ,梯形 DBCE

的面积为 6cm2 ,则 DE : BC 的值为( B)

第 页共6页

1

A.1: 3

B.1: 2

C.1: 3

D.1: 4

【解析】 ?ADE ?ABC ,利用面积比等于相似比的平方可得答案 B.

8.半径分别为 1 和 2 的两圆外切,作半径为 3 的圆与这两圆均相切,一共可作( D )个.

A.2

B.3

C.4

D.5

【解析】一共可作 5 个,其中均外切的 2 个,均内切的 1 个,一外切一内切的 2 个,故选 D.

9.如图甲,四边形 ABCD是等腰梯形, AB // CD .由 4 个这样的

等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形,

则四边形 ABCD中 ?A 度数为 ( A )

A. 30?

B. 45?

C. 60?

D. 75?

第 9 题图

【解析】 6?A ? 360?,从而 ?A ? 60? ,选 A.

10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠

压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑

直径为 10mm,若所用钢珠的直径为 26 mm,则凹坑深度为(A )

A.1mm

B.2 mm

C.3mm

D.4 mm

【解析】依题意得 OA2 ? AM 2 ? OM 2 ,从而 OM ?12mm ,

故 CM ?13?12 ?1mm,选 A.

第 10 题图

11.如图,设 P,Q 为 ?ABC 内的两点,且 AP ? 2 AB ? 1 AC , AQ = 2 AB + 1 AC ,则 ?ABP

55

3

4

C

的面积与 ?ABQ 的面积之比为( B )

A. 1

B. 4

C. 1

D. 1

5

5

4

3

【解析】如图,设 AM ? 2 AB , AN ? 1 AC ,则 AP ? AM ? AN . A

5

5

由平行四边形法则知 NP // AB ,所以 ?ABP ? AN = 1 , ?ABC AC 5
N

Q P
B
第 11 题图
C
Q P

同理可得 ?ABQ ? 1 .故 ?ABP ? 4 ,选 B. ?ABC 4 ?ABQ 5

A

M

B

12.如图,用与底面成 30? 角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的 离心率为 ( A )

A. 1 2

B. 3 3

C. 3 2

D.非上述结论

第 12 题图

【解析】用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念,考虑椭

圆所在平面与底面成 30? 角,则离心率 e ? sin 30? ? 1 .故选 A. 2
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上.

13.一平面截球面产生的截面形状是__圆__;它截圆柱面所产生的截面形状是_圆或椭圆_

【解析】圆;圆或椭圆.

14.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠C=720,⊙O 过 A、B 两点且

A

第 页共6页

2 O?
D

B

C

与 BC 相切于点 B,与 AC 交于点 D,连结 BD,若 BC= 5 ?1,

则 AC= 2

【解析】由已知得 BD ? AD ? BC , BC2 ? CD ? AC ? ( AC ? BC) AC ,

解得 AC ? 2 .

15.如图, AB 为 O 的直径,弦 AC 、 BD 交于点 P ,

若 AB ? 3,CD ?1 ,则 sin ?APD =

【解析】连结 AD ,则 sin ?APD ? AD ,又 ?CDP ?BAP ,

AP

从而 cos ?APD PD ? CD ? 1 , PA BA 3

第 15 题图
R

30

所以 sin ?APD ? 1? (1)2 ? 2 2 .

3

3

135

16.如图为一物体的轴截面图,则图中 R 的值

180

是 R ? 25

第 16 题图

【解析】由图可得 R2 ? (30)2 ? (180 ?135 ? R)2 ,解得 R ? 25 . 2
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 12 分)

如图: EB, EC 是 O 的两条切线, B,C 是切点, A, D 是

O 上两点,如果 ?E ? 46?, ?DCF ? 32?,试求 ?A 的度数.

【解析】连结 OB,OC, AC ,根据弦切角定理,可得

?A ? ?BAC ? ?CAD ? 1 (180? ? ?E) ? ?DCF ? 67? ? 32? ? 99? . 2
18.(本小题满分 12 分) 如图,⊙ O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P , E

E 为⊙O 上一点, AE ? AC , DE 交 AB 于点 F ,且 AB ? 2BP ? 4 , A

求 PF 的长度.

C

【解析】连结 OC,OD,OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系

第 17 题图

FB

O

P

D

第 18 题图

结合题中条件 AE ? AC 可得 ?CDE ? ?AOC ,又 ?CDE ? ?P ? ?PFD, E

?AOC ? ?P ? ?C ,从而 ?PFD ? ?C ,故 ?PFD

?PCO ,∴ PF ? PD , PC PO A

O

FB

P

由割线定理知 PC? PD ? PA? PB ?12,故 PF ? PC ? PD ? 12 ? 3 .

C

D

PO 4

19.(本小题满分 12 分) 已知:如右图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,
AB=DC,过点 D 作 AC 的平行线 DE,交 BA 的延长线于

E

A

D

点 E.求证:(1)△ABC≌△DCB (2)DE·DC=AE·BD.

【解析】证明:(1) ∵四边形 ABCD 是等腰梯形,∴AC=DB ∵AB=DC,BC=CB,∴△ABC≌△BCD

B

C

第 19 题图

(2)∵△ABC≌△BCD,∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB

第 页共6页

3

∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC ∵ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC ∴∠EDA=∠DBC,∠EAD=∠DCB ∴△ADE∽△CBD ∴DE:BD=AE:CD, ∴DE·DC=AE·BD. 20.(本小题满分 12 分)
如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,P 为 AD 上一点,CF∥AB,BP 延长线交 AC、CF 于

E、F,求证: PB 2 =PE?PF.

【解析】连结 PC ,易证 PC ? PB,?ABP ? ?ACP

∵ CF // AB ∴ ?F ? ?ABP ,从而 ?F ? ?ACP

又 ?EPC 为 ?CPE 与 ?FPC 的公共角,

从而 ?CPE ?FPC ,∴ CP ? PE ∴ PC2 ? PE ? PF 第 20 题图 FP PC

解答用图

又 PC ? PB , ∴ PB2 ? PE ? PF ,命题得证.

E

21.(本小题满分 12 分)

如图, A 是以 BC 为直径的 O 上一点, AD ? BC 于点 D , 过点 B 作 O 的切线,与 CA 的延长线相交于点 E,G 是 AD

A F

的中点,连结 CG 并延长与 BE 相交于点 F ,

G

延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P . (1)求证: BF ? EF ;

P

B

DO

C

(2)求证: PA 是 O 的切线;

(3)若 FG ? BF ,且 O 的半径长为 3 2 ,求 BD 和 FG 的长度. 【解析】(1)证明:∵BC 是 O 的直径, BE 是 O 的切线,
∴EB ? BC .又∵AD ? BC ,∴AD∥BE .

第 21 题图 E

易证 △BFC ∽△DGC , △FEC ∽△GAC .

A

∴ BF ? CF ,EF ? CF .∴ BF ? EF . DG CG AG CG DG AG

F H
G

∵G 是 AD 的中点,∴DG ? AG (2)证明:连结 AO,AB .∵BC

.∴BF ? EF . P 是 O 的直径,∴?BAC

?

90°.

B

DO

C

在 Rt△BAE 中,由(1),知 F 是斜边 BE 的中点,

∴AF ? FB ? EF .∴?FBA ? ?FAB .又∵OA ? OB ,∴?ABO ? ?BAO .

∵BE 是 O 的切线,∴?EBO ? 90°.

∵?EBO ? ?FBA? ?ABO ? ?FAB ? ?BAO ? ?FAO ? 90°,∴PA是 O 的切线.

(3)解:过点 F 作 FH ? AD于点 H .∵BD ? AD,FH ? AD ,∴FH ∥BC .

由(1),知 ?FBA ? ?BAF ,∴BF ? AF .

由已知,有 BF ? FG ,∴AF ? FG ,即 △AFG 是等腰三角形.

∵FH ? AD,∴AH ? GH .∵DG ? AG ,∴DG ? 2HG ,即 HG ? 1 . DG 2
∵FH ∥BD,BF ∥AD,?FBD ? 90°,∴四边形 BDHF 是矩形, BD ? FH .

∵FH ∥BC ,易证 △HFG ∽△DCG .∴ FH ? FG ? HG ,即 BD ? FG ? HG ? 1 . CD CG DG CD CG DG 2

∵ O 的半径长为 3 2 ,∴BC ? 6 2 .∴ BD ? BD ? BD ? 1 . CD BC ? BD 6 2 ? BD 2

第 页共6页

4

解得 BD ? 2 2 .∴BD ? FH ? 2 2 .∵ FG ? HG ? 1 ,∴FG ? 1 CG .∴CF ? 3FG .

CG DG 2

2

在 Rt△FBC 中,∵CF ? 3FG , BF ? FG ,由勾股定理,得 CF 2 ? BF 2 ? BC2 .

∴(3FG)2 ? FG2 ? (6 2)2 .解得 FG ? 3 (负值舍去).∴FG ? 3 .

[或取 CG 的中点 H ,连结 DH ,则 CG ? 2HG .易证 △AFC ≌△DHC ,∴FG ? HG ,

故 CG ? 2FG ,CF ? 3FG .由 GD ∥FB ,易知 △CDG ∽△CBF ,∴ CD ? CG ? 2FG ? 2 . CB CF 3FG 3

由 6 2 ? BD ? 2 ,解得 BD ? 2 2 .又在 Rt△CFB 中,由勾股定理,得 62 3

(3FG)2 ? FG2 ? (6 2)2 ,∴FG ? 3 (舍去负值).]

22.(本小题满分 14 分)

如图

1,点 C 将线段 AB 分成两.部分,如果

AC AB

?

BC AC

,那么称点 C 为线段 AB 的黄金分

割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄 金分割线”的定义:直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为 S1 , S2 ,
如果 S1 ? S2 ,那么称直线 l 为该图形的黄金分割线. S S1
(1)研究小组猜想:在 △ABC 中,若点 D 为 AB 边上的黄金分割点(如图 2),则直线 CD 是 △ABC 的黄金分割线.你认为对吗?为什么?
(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线? (3)研究小组在进一步探究中发现:过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E ,再过点 D 作直 线 DF ∥CE ,交 AC 于点 F ,连接 EF (如图 3),则直线 EF 也是 △ABC 的黄金分割线.请你 说明理由. (4)如图 4,点 E 是 ABCD 的边 AB 的黄金分割点,过点 E 作 EF ∥AD,交 DC 于点 F , 显然直线 EF 是 ABCD 的黄金分割线.请你画一条 ABCD的黄金分割线,使它不经过 ABCD各边黄金分割点.

【解析】(1)直线 CD 是 △ABC 的黄金分第割2线2 题.理图由如下:设 △ABC 的边 AB 上的高为 h .

S△ ADC

? 1 AD 2

h , S△BDC

? 1 BD 2

h , S△ABC

? 1 AB 2

h ,所以 S△ADC S△ ABC

?

AD , S△BDC AB S△ADC

?

BD AD

又因为点 D 为边 AB 的黄金分割点,所以有 AD ? BD .因此 S△ADC ? S△BDC .

AB AD

S S △ABC

△ ADC

所以,直线 CD 是 △ABC 的黄金分割线.

(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时 s1

?

s2

?

1 2

s ,即

s1 s

?

s2 s1

,所

以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.

(3)因为 DF ∥CE ,∴ △DEC 和 △FCE 的公共边 CE 上的高也相等,所以有 S△DEC ? S△FCE

设直线 EF 与 CD 交于点 G .所以 S△DGE ? S△FGC .所以 S△ADC ? S四边形AFGD ? S△FGC

第 页共6页

5

? S四边形AFGD ? S△DGE ? S△AEF , S△BDC ? . S四边形BEFC

又因为 S△ADC ? S△BDC ,所以 S△AEF ? S四边形BEFC .

S S △ABC

△ ADC

S△ ABC

S△ AEF

DN F G

C

因此,直线 EF 也是 △ABC 的黄金分割线. A E M B

(4)画法不惟一,现提供两种画法;

(第 22 题答图 1)

DN F

C

A EM B (第 22 题答图 2)

画法一:如答图 1,取 EF 的中点 G ,再过点 G 作一条直线分别交 AB , DC 于 M , N 点,

则直线 MN 就是 ABCD 的黄金分割线.

画法二:如答图 2,在 DF 上取一点 N ,连接 EN ,再过点 F 作 FM ∥NE 交 AB 于点 M ,

连接 MN ,则直线 MN 就是 ABCD 的黄金分割线.

第 页共6页

6


相关文章:
北师大版高中数学选修4-1几何证明选讲_测试题.doc
北师大版高中数学选修4-1几何证明选讲_测试题 - 北师大版选修 4-1《几何证
北师大版高中数学选修4-1专题练习(含答案).doc
北师大版高中数学选修4-1专题练习(含答案) - 北师大版高中学数学选修 4-1 《几何证明选讲》习题一 考试大纲说明的具体要求: 1.了解平行线截割定理,会证直角...
高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题(打印版).doc
高二数学选修4-1几何证明选讲》综合复习题(打印版) - 高二数学选修 4-1几何证明选讲》综合复习题 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60...
北师大版高中数学选修4-1几何证明选讲截面欣赏_图文.ppt
北师大版高中数学选修4-1几何证明选讲截面欣赏 - 截面欣赏 要点阐释 1.平面
高中数学 《几何证明选讲》测试题 新人教A版选修4-1.doc
高中数学几何证明选讲测试题 新人教A版选修4-1_数学_高中教育_教育专区。精品文档 人教(A)版选修 4-1几何证明选讲》综合复习 一、选择题:本大题共 ...
北师大版高中数学选修4-1:几何证明选讲-截面欣赏_课件1....ppt
北师大版高中数学选修4-1:几何证明选讲-截面欣赏_课件1 - 截面欣赏 要点阐
北师大版高中数学选修4-1几何证明选讲全套PPT课件_图文.ppt
北师大版高中数学选修4-1几何证明选讲全套PPT课件 - 北师大版高中数学选 修4-1几何证明选讲全 套PPT课件 全等与相似 1.图形变化的不变性与平移、旋转、反射 ...
高中数学选修4-1 几何证明选讲知识点梳理.doc
高中数学选修4-1 几何证明选讲知识点梳理 - 《选修 4-1 1. 平行线等分
北师大版高中数学选修4-1几何证明选讲圆与四边形_图文.ppt
北师大版高中数学选修4-1几何证明选讲圆与四边形 - 圆与四边形 1.圆内接四边
北师大版高中数学选修4-1几何证明选讲圆锥曲线的几何性....ppt
北师大版高中数学选修4-1几何证明选讲圆锥曲线的几何性质 - 椭圆的定义 平面内
北师大版高中数学选修4-1几何证明选讲柱面与平面的截面....ppt
北师大版高中数学选修4-1几何证明选讲柱面与平面的截面 - 柱面与平面的截面 柱
1407班 选修4-1 《几何证明选讲》测试.doc
1407班 选修4-1几何证明选讲测试_数学_高中...___ 姓名: ___ 一填空题 1. (2008 梅州一模文...暂无评价 5页 1下载券 2015-2016高二数学北师大....
第33讲:选修4-1几何证明选讲模块综合检测题-高中数学单....doc
第33讲:选修4-1几何证明选讲模块综合检测-高中数学单元检测题 含解析 精品 - 选修 4-1《几何证明选讲》模块综合检测题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(...
北师大版高中数学选修4-1:几何证明选讲-柱面与平面的截....ppt
北师大版高中数学选修4-1:几何证明选讲-柱面与平面的截面_课件1 - 柱面与平
...第1课时几何证明选讲试题精选 新人教A版选修4-1 精....doc
最新-高中数学 第1课时几何证明选讲试题精选 新人教A版选修4-1 精品 - 1
北师大版高中数学选修4-1:几何证明选讲-直线与球、平面....ppt
北师大版高中数学选修4-1:几何证明选讲-直线与球、平面与球的位置关系_课件1
选修4-1几何证明选讲.doc
选修4-1几何证明选讲_数学_高中教育_教育专区。选修4-1几何证明选讲 ...
高中数学选修4-1,4-4,4-5几何证明不等式选讲极坐标参数....doc
高中数学选修4-1,4-4,4-5几何证明不等式选讲极坐标参数方程部分测试题及答案(一)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学选修4-1,4-4,4-5几何证明不...
高中数学 第1课时几何证明选讲试题精选 新人教A版选修4-1.doc
高中数学 第1课时几何证明选讲试题精选 新人教A版选修4-1 - 1.如图,已知
北师大版高中数学选修4-1几何证明选讲截面欣赏_图文.ppt
北师大版高中数学选修4-1几何证明选讲截面欣赏 - 截面欣赏 要点阐释 1.平面