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全国卷试题——专题二解答题

题型十四: 空间立体几何

解答题——题型十四

空间立体几何

高考说明:本题型属于中等题,出现在选择题或填空,分值 5-10 分 必做大题第二题或第三题也是空间立体几何题,分值 12 分。因此, 空间立体几何题总计分值 17-22 分。

历年高考题回顾:
1.(2014年全国卷1卷文)如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O ,且 AO ? 平面

BB1C1C .
(I)证明: B1C ? AB; (II)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60? , BC ? 1, 求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高. 【参考答案】 : (I)连结 BC1 ,则 O 为 BC1 与 B1C 的交点,因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以

B1C ? BC1 ?,又 AO ? 平面 BB1C1C ,故 BC ? AO ? B1C ? 平面 ABO ,由于 AB ? 平 1
面 ABO , 故 B1C ? AB (II)作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为H, 由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC. 又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC. 因为 ?CBB1 ? 60 , , 所以△ BC ? 1, CBB1 为等边三角形,又BC=1,
?

可得OD=

1 1 3 ,由于 AC ? AB1 ,所以 OA ? B1C ? ,由 2 2 4
2 2

OH·AD=OD·OA,且 AD ? OD ? OA ?

7 21 ,得OH= 4 14 21 21 ,故三棱柱ABC-A1B1C1 的高为 7 7

又O为B1C的中点,所以点B1 到平面ABC 的距离为

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高考全国卷专题 题

全国卷试题——专题二解答题

题型十四: 空间立体几何

2. (2014 年全国卷 2 卷文) 如图, 四凌锥 p—ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PA 上面 ABCD, E 为 PD 的点。 (I)证明:PP//平面 AEC; (II)设置 AP=1,AD= 3 ,三棱锥 P-ABD 的体积 V= 【解析】 (1) 设 AC 的中点为 G, 连接 EG。 在三角形 PBD 中, 中位线 EG//PB,且 EG 在平面 AEC 上, 所以 PB//平面 AEC. (2)

3 ,求 A 到平面 PBC 的距离。 4

? PA⊥ 面ABCD∴ PA⊥ BC, PA是三棱锥P - ABD的高.设x = AB, A到面PBD的距离为h 3 1 1 1 3 , VP - ABD = S ΔABD ? PA = ? ? 3 ? x ?1, ∴x = 4 3 3 2 2 ? AB ⊥ BC, PA⊥ BC, AB∩ P A = A ∴BC ⊥ 面P AB,BC ⊥ P B,BC为三棱锥C - P AB的高, ?VP - ABD = ?VP - ABC = VA- PBC ? PA? AB ? BC = BC ? PB ? h,由勾股定理解得 PB2 = 所以,A到面PBC的距离为 3 13 13 13 3 13 ∴h = 4 13

BE ? 平面ABCD , 3. (2015 年全国卷 1 卷文) 如图四边形 ABCD 为菱形, G 为 AC 与 BD 交点,

(I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120 , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为
?

6 求该三棱锥的侧面积. 3

18、解: (I)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD. 因为 BE⊥平面 ABCD,所以 AC⊥BE,故 AC⊥平面 BED.
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全国卷试题——专题二解答题
又 AC ? 平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 BED. (II)设 AB= x ,在菱形 ABCD 中,又∠ABC= 120
o

题型十四: 空间立体几何
……5 分 ,可得

AG=GC=

x 3 x ,GB=GD= . 2 2

因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中,可的 EG=

3 x. 2 2 x. 2

由 BE⊥平面 ABCD,知△EBG 为直角三角形,可得 BE=

由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积 VE ? ACD = 故 x =2 从而可得 AE=EC=ED= 6 .

1 1 6 3 6 × AC·GD·BE= . x ? 3 2 24 3
……9 分

所以△EAC 的面积为 3,△EAD 的面积与 △ECD 的面积均为 5 . 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5 . ……12 分

4. (2015 年全国卷 2 卷文) 如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 AB=16,BC=10, AA 1 ? 8 ,点 E,F 分别在 A 1B 1, D 1C1 上, A 1E ? D 1F ? 4. 过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一 个正方形.

D1 A1 E D A

F

C1 B1 C B

(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由) ; (II)求平面 ? 把该长方体分成的两部分体积的比值. 解: (I)在 AB 上取点 M,在 DC 上取点 N,使得 AM=DN=10,然后连接 EM,MN,NF,即组成正 方形 EMNF,即平面α 。 (II)两部分几何体都是高为 10 的四棱柱,所以体积之比等于底面积之比,即

V1 S AMEA1 4 ? 10 7 ? ? ? . V2 S EMBB1 6 ? 12 9
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衍生题练习:

题型十四: 空间立体几何

1.(2013 课标全国Ⅰ,文 19)(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB =AA1,∠BAA1=60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)若 AB=CB=2,A1C= 6 ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积. (1)证明:取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB, 所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60°, 故△AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)解:由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形, 所以 OC=OA1= 3 . 又 A1C= 6 ,则 A1C =OC + OA12 ,
2 2

故 OA1⊥OC. 因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC-A1B1C1 的 高. 又△ABC 的面积 S△ABC= 3 ,故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=S△ABC×OA1=3. 2. (2013 课标全国Ⅱ,文 18)(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点. (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=2,AB= 2 2 ,求三棱锥 C-A1DE 的体积. 解:(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1 平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥CD. 由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1 = AC = CB = 2 , AB ? 2 2 得∠ ACB =90°, CD ? 2 ,

A1D ? 6 , DE ? 3 ,A1E=3,
故 A1D +DE =A1E ,即 DE⊥A1D. 所以 VC-A1DE= ?
2 2 2

1 1 ? 6 ? 3 ? 2 =1. 3 2

3. 如图, AA1 , BB1 为圆柱 OO1 的母线, BC 是底面圆的直径, D, E 分别是 AA1 , CB1 的 中点, DE ? 平面 CBB1 ; (1)证明: DE / / 平面 ABC ;

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(2)证明: A1B1 ? 平面 A ; 1 AC

题型十四: 空间立体几何

(3)假设这是个大容器,有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意 地方游弋,如果鱼游到四棱锥 C ? ABB1 A 1 捕的概率. 【解析】 (1)证明:连结 分别为 又 ∴四边形 即 母线,所以 因为 又 由 垂直于圆 是底面圆 所在平面,故 的直径,所以 . 与圆柱 .∴ 是底面圆 的直径,得 的体积比, , ,且 , , , ,所以 , ,且 是平行四边形, . ∴ . (2) 证明: , 为圆柱 的 , , . . 内会有被捕的危险,求鱼被

的中点,∴

,所以

(3)解:鱼被捕的概率等于四棱锥 由 ∴ ∴ 则 ∴ : , ,即 . ,且由(1)知 ,∴ ,即 .因

为四棱锥的高.设圆柱高为 ,底半径为 , ,

4. 如图, ABCD 是块矩形硬纸板,其中 AB ? 2 AD , AD ? 2 , E 为 DC 的中点,将它沿

AE 折成直二面角 D ? AE ? B . (1)求证: AD ? 平面 BDE ; (2)求棱锥 D ? ABCE 的体积。
(1)方法一:证明:由题设可知 AD ? DE ,取 AE 的中点 O ,连结 OD, BE .

? AD ? DE ? 2

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? OD ? AE . 又? 二面角 D ? AE ? B 为直二面角 ? OD ? 平面 ABCE ? OD ? BE
又? AE ? BE ? 2

题型十四: 空间立体几何

AB ? 2 2
? BE ? AD

? AE ? BE ? AB 2 ? AE 2 ? BE 2 ? BE ? 平面 ADE 又? OD ? AE ? O ? AD ? 平面 BDE 又? BE ? DE ? E
方法二:证明:由题设可知 AD ? DE ,取 AE 的中点 O ,连结 OD, BE .

? AD ? DE ? 2
? OD ? AE . 又? 二面角 D ? AE ? B 为直二面角 ? OD ? 平面 ABCE
又? AE ? BE ? 2

AB ? 2 2

? AB 2 ? AE 2 ? BE 2
? OF ? AE

? AE ? BE

取 AB 的中点为 F ,连结 OF ,则 OF // EB

以 O 为原点, OA, OF , OD 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系(如图) 则 A(1,0,0) , D(0,0,1) , B(?1,2,0) , E (?1,0,0) , 于是 AD ? (?1,0,1) , BD ? (1,?2,1) , EB ? (0,2,0) 设 n ? ( x, y.z) 是平面 BDE 的法向量,则 ? 令 x ? 1 ,则 z ? ?1 ,于是 n ? (1,0. ? 1) ——————6

? ? n ? EB ? 0, ? 2 y ? 0, 即? ? n ? BD ? 0 , ? x ? 2 y ? z ? 0, ?

? n ? ? AD
OD ? 1

?n // AD S ABCE ? 3

? AD ? 平面 BDE .

(2)由(1)知 OD ? 平面 ABCE ,所以 OD 为棱锥 D ? ABCE 的高.

1 ?VD ? ABCE ? ? S ABCE ? OD ? 1 3
5. 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱垂直于底面, AB ? BC , AA 1 ? AC ? 2 ,

BC ? 1 , E , F 分别为 A1C1 , BC 的中点.
(1)求证: C1 F // 平面 ABE ;
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(2)求三棱锥 E ? ABC 的体积.

题型十四: 空间立体几何

(1)设 G 为 AB 的中点,连结 FG, EG ,

? E , F 分别是为 A1C1 , BC 的中点, ? FG // AC 且 FG ?

1 AC 2

—————3

? AC // A1C1 且 AC ? A1C1 ? FG // EC1 且 FG ? EC1

? 四边形 FGEC 1 为平行四边形
又? EG ? 平面 ABE

? C1 F // EG ? C1 F // 平面 ABE

————5 ————7 ————9

C1 F ? 平面 ABE

(2)? AA 1 ? AC ? 2 , BC ? 1 , AB ? BC

? AB ? 3

? 三棱锥 E ? ABC 的体积
1 1 1 3 VE ? ABC ? S ?ABC ? AA1 ? ? ? 3 ?1? 2 ? 3 3 2 3
6. 如图,矩形 ABCD 中,对角线 AC 、BD 的交点为 G,AD ⊥平面 ABE , AE ? EB ,AE ? EB ? BC ? 2,F 为 CE 上的点,且 BF ? CE . (I) 求证: AE ⊥平面 BCE ; (II)求三棱锥 C ? GBF 的体积. 【解析】 (I)证明:? AD ? 面 ABE , AD / / BC , ? BC ? 面 ABE , AE ? 平面 ABE ? AE ? BC .…………………………………4 分 又? AE ? EB ,且 BC ? EB ? B , D G F A E B ———12

C

? AE ? 面 BCE .……………………………………………………5 分 (II)∵在 ?BCE 中, EB ? BC ? 2 , BF ? CE , ∴点 F 是 EC 的中点,且点 G 是 AC 的中点,…………………… 7 分 1 ∴ FG / / AE 且 FG ? AE ? 1 . …………………………………8 分 2 ? AE ? 面 BCE ,? FG ? 面 BCE .
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题型十四: 空间立体几何

∴ GF 是三棱锥 G ? BFC 的高 ………………9 分 在 Rt ?BCE 中, EB ? BC ? 2 ,且 F 是 EC 的中点,

? S?BCF ?

?VC ? BFG

1 1 1 S?BCE ? ? BE ? BC ? 1 …………………………11 分 2 2 2 1 1 ? VG ? BCF ? S?BCF ? FG ? .…………………12 分 3 3

7. 如图 5,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等边 三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点. (Ⅰ)求证: AF // 平面 BCE ; (Ⅱ)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; (Ⅲ)若 AB ? 1 ,求四棱锥 C ? ABED 的体积. 证明: (Ⅰ)证:取 CE 的中点 G ,连 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF ? C ………… 1 分

B

E

A

F 图5

D

1 DE . 2

∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , ∴ AB // DE , ∴ GF // AB . 又 AB ?

1 DE ,∴ GF ? AB . 2
…… 2 分

∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG . ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE . (Ⅱ)证明:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点, ∴ AF ? CD ∵ DE ? 平面 ACD , AF ? 平面 ACD , ∴ DE ? AF . 又 CD ? DE ? D ,故 AF ? 平面 CDE . ∵ BG // AF ,∴ BG ? 平面 CDE . ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE . (Ⅲ)解:过点 C 作 CH ? AD 于点 H , ∵面 ACD ? 面 BAD ? AD ,面 ACD ? 面 BAD , ∴ CH ? 面 BAD , ∵ AB ? 1 ,∴ AD ? DE ? 2 ,

………… 4 分

………… 5 分

………… 6 分 ………… 7 分

…………8 分 ………9 分

…………10 分

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∵△ ACD 为等边三角形, ∴四棱锥 C ? ABED 的体积 V ? ∴ CH ? 3 ,

题型十四: 空间立体几何
…………11 分

1 1 1? 2 ? S ABED ? CH ? ? ( ? 2) ? 3 ? 3 .………12 分 3 3 2

8. 如图,四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正 三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是 ?ABC ? 60? 的菱形, M 为 PC 的中点. ⑴ 求证: PC ? AD ; ⑵ ⑵ 求点 D 到平面 PAM 的距离.

【解析】 ⑴ 方法一:取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC , 依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三角形, …………………1 分 所以 OC ? AD , OP ? AD ,又 OC ? OP ? O , OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC , 所以 AD ? 平面 POC ,又 PC ? 平面 POC ,所以 PC ? AD . 方法二:连结 AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三角形, 又 M 为 PC 的中点,所以 AM ? PC , DM ? PC , 又 AM ? DM ? M , AM ? 平面 AMD , DM ? 平面 AMD , 所以 PC ? 平面 AMD ,又 AD ? 平面 AMD ,所以 PC ? AD .
P

……………6 分 …………1 分 ……………4 分 …………6 分

Q A B C

M O D

⑵ 点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离,由⑴可知 PO ? AD ,又平 面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , PO ? 平面 PAD ,所以 PO ? 平 面

ABCD , 即 PO 为 三 棱 锥 P ?

A C的 D 体 高 . 在 Rt?POC

中, PO ? OC ? 3 , PC ?

6, 6 ,边 PC 上的高 AM ? PA2 ? PM 2 ?
10 , 2

在 ?PAC 中, PA ? AC ? 2 , PC ?

所以 ?PAC 的面积 S?PAC ?

1 1 10 15 , PC ? AM ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

…………8 分

设点 D 到平面 PAC 的距离为 h ,由 VD? PAC ? VP? ACD 得

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全国卷试题——专题二解答题
1 1 1 S ?PAC ? h ? S ?ACD ? PO ,又, S△ACD ? ?2 3 ? 3 3 3 2
所以

题型十四: 空间立体几何
……………10 分

1 15 1 ? ?h ? ? 3? 3 , 3 2 3

解得 h ?

2 15 , 所 以 点 D 到 平 面 PAM 的 距 离为 5
…………12 分

2 15 . 5

9. 右图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , EC // PD ,且

PD ? AD ? 2 EC ? 2 , N 为线段 PB 的中点.
(1)证明: NE ? PD ; (2)求四棱锥 B ? CEPD 的体积.

解:(1)连结 AC 与 BD 交于点 F ,则 F 为 BD 的中 点,连结 NF , ∵ N 为线段 PB 的中点,

1 PD , …………………3 分 2 1 又 EC / / PD 且 EC ? PD 2 ∴ NF / / EC 且 NF ? EC.
∴ NF // PD, 且 NF ? ∴四边形 NFCE 为平行四边形, ∴ NE / / FC , 即 NE / / AC . ………………………………………………5 分 又∵ PD ? 平面 ABCD , AC ? 面 ABCD , ∴ AC ? PD ,

∵ NE / / AC , ∴ NE ? PD , ……………………………………………6 分 (2)∵ PD ? 平面 ABCD , PD ? 平面 PDCE , ∴平面 PDCE ? 平面 ABCD . ………………………………………………8 分 ∵ BC ? CD ,平面 PDCE ? 平面 ABCD ? CD , BC ? 平面 ABCD , ∴ BC ? 平面. PDCE . ∴ BC 是四棱锥 B ? PDCE 的高. ……………………………………………10 分

1 1 ( PD ? EC ) ? DC ? ? 3 ? 2 ? 3 ………………………………11 分 2 2 1 1 ∴四棱锥 B ? CEPD 的体积 VB ?CEPD ? S梯形PDCE ? BC ? ? 3 ? 2 ? 2 . ……12 分 3 3
∵ S梯形PDCE ? 10. 如图,将一副三角板拼接,使他们有公共边 BC,且使这两个三角形所在的平面互相垂 直, ?BAC ? ?CBD ? 90? , AB ? AC , ?BCD ? 30? ,BC=6. (1)证明: 面ADC ? 面ADB ;
第 10 页 题 高考全国卷专 题

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(2)求 B 到平面 ADC 的距离.

题型十四: 空间立体几何

(1)证明:因为 面ABC ? 面BCD, BD ? BC, 面ABC ? 面BCD ? BC, BD ? 面BCD , 所以 BD ? 面ABC . 又 AC ? 面ABC ,所以 BD ? AC . 又 AB ? AC ,且 BD ? AB ? B , 所以 AC ? 面ADB . (5 分)

A
(3 分) (4 分)

C

B

又 AC ? 面ADC ,所以 面ADC ? 面ADB .(6 分) (2)在 Rt ?BCD 中, BC ? 6, ?BCD ? 300 ,得 BD ? BC ? tan 30 ? 2 3 ,
0

D

在等腰 Rt ?ABC 中, BC ? 6 ,得 AB ? AC ? 3 2 . 由(1)知 BD ? 面ABC ,所以 BD ? AB , 在 Rt ?ABD 中, AB ? 3 2 , DB ? 2 3 ,得 AD ? 又 AC ? 面ADB ,设 B 到面 ADC 的距离为 h , 由 VC ? ABD ? VB? ACD , 得 ? ( ? AB ? BD) ? AC ? 解得 h ? (11 分) (8 分) (9 分) AB2 ? DB2 ? 30 ,

1 3

1 2

1 1 ? ( ? AC ? AD) ? h , 3 2
(12 分)

6 5 6 5 ,即 B 到平面 ADC 的距离 . 5 5

11. 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点. (1) 设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. E1 E A 证明:(1)在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,取 A1B1 的中点 F1, 连接 A1D,C1F1,CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD, // 所以 CD=A1F1,A1F1CD 为平行四边形,所以 CF1//A1D, A1 F1 E1 E A F B D C D1 F C1 B1 B D C D1 A1 C1 B1

第 11 页 题

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全国卷试题——专题二解答题
又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点,所以 EE1//A1D,

题型十四: 空间立体几何

所以 CF1//EE1,又因为 EE1 ? 平面 FCC 1 , CF1 ? 平面 FCC 1 , 所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 ………6 分 (2)连接 AC,在直棱柱中,CC1⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, 所以 CC1⊥AC,因为底面 ABCD 为等腰梯形,AB=4, BC=2, F 是棱 AB 的中点,所以 CF=CB=BF,△BCF 为正三角形, E1 E A F B D C A1 D1 C1 B1

?BCF ? 60? ,△ACF 为等腰三角形,且 ?ACF ? 30?
所以 AC⊥BC, 又因为 BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C, 所以 AC⊥平面 BB1C1C,而 AC ? 平面 D1AC, 所以平面 D1AC⊥平面 BB1C1C……………12 分

12. 如图 1,平面五边形 SABCD 中 SA ?
?ABC ?

15 , AB ? BC ? CD ? DA ? 2, 2

2? , ?SAD 沿 AD 折起成.如图 2,使顶点 S 在底面的射影是四边形 ABCD 的中 3

心 O , M 为 BC 上一点, BM ?

1 . 2

(1)证明: BC ? 平面SOM ; (2)求四棱锥 S ? ABMO 的体积 S D O A 如图 1 B A 如图 2 M B C

D S

C

解: (1)证明:因为四边形 ABCD 为菱形, O 为菱形中心,连结 OB , 则 AO ? OB , 因 ?BAD …………………………………………1 分

?

?
3

,故 OB ? AB ? sin ?OAB ? 2sin

?
6

?1

……………………2 分

第 12 页 题

高考全国卷专 题

全国卷试题——专题二解答题
又因为 BM

题型十四: 空间立体几何

?

1 ? ,且 ?OBM ? ,在 ?OBM 中 3 2
2

1 ? 3 ?1? OM 2 ? OB2 ? BM 2 ? 2OB ? BM ? cos ?OBM ? 12 ? ? ? ? 2 ?1? ? cos ? 2 3 4 ? 2?
2 2 2 所以 OB ? OM ? BM ,故 OM ? BM ,即 OM ? BC

又顶点 S 在底面的射影是四边形 ABCD 的中心 O ,有 SO ? 平面ABCD, 所以 SO ? BC , ………………5 分 ………6 分

从而 BC 与平面 SOM 内两条相交直线 OM,SO 都垂直,所以 BC ? 平面SOM (2)解:由(Ⅰ)可知, OA ? AB ? cos ?OAB ? 2 ? cos

?
6

? 3
……………7 分 ……………………9 分

由题意及如图 2 知由 SO ? 底面 ABCD , SO ? OA 所以 SO ?

SA2 ? OA2 ?

15 3 ?3 ? 4 2

此时 S ABMO ? S?AOB ? S?OMB ?

1 1 1 1 1 3 5 3 ? AO ? OB ? ? BM ? OM ? ? 3 ?1 ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 8

所以四棱锥 S ? ABMO 的体积 VP ? ABMO ?

1 1 5 3 3 5 ? S ABMO ? SO ? ? ? ? 3 3 8 2 16

……12 分

13. 右图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , EC // PD ,且

PD ? AD ? 2 EC ? 2 , N 为线段 PB 的中点.
(1)证明: NE ? PD ; (2)求四棱锥 B ? CEPD 的体积.

第 13 页 题

高考全国卷专 题

全国卷试题——专题二解答题

题型十四: 空间立体几何

解析: (1)连结 AC 与 BD 交于点 F ,则 F 为 BD 的中点,连结 NF , ∵ N 为线段 PB 的中点,

∴ NF // PD, 且

NF ?

1 PD , 2 …………………3 分 1 PD 2
∴四边形 NFCE 为平行四边形, ……………………4 分

又 EC / / PD 且

EC ?

∴ NF / / EC 且 NF ? EC.

∴ NE / / FC , 即 NE / / AC . …………………………………………………………5 分 又∵ PD ? 平面 ABCD , AC ? 面 ABCD , ∴ AC ? PD ,

∵ NE / / AC , ∴ NE ? PD , ……………………………………………………6 分 (2)∵ PD ? 平面 ABCD , PD ? 平面 PDCE , ∴平面 PDCE ? 平面 ABCD . …………………………………………………8 分 ∵ BC ? CD ,平面 PDCE ? 平面 ABCD ? CD , BC ? 平面 ABCD , ∴ BC ? 平面. PDCE . ………………………………………………………………9 分 ∴ BC 是四棱锥 B ? PDCE 的高. ……………………………………………………10 分



S梯形PDCE ?

1 1 ( PD ? EC ) ? DC ? ? 3 ? 2 ? 3 2 2 ……………………………………11 分

1 1 VB ?CEPD ? S梯形PDCE ? BC ? ? 3 ? 2 ? 2 3 3 ∴四棱锥 B ? CEPD 的体积 . ………12 分
14. 在三棱锥 S ? ABC 中, ?ABC 是边长为 2 3 的正三角 形,平面 SAC ⊥平面 ABC , SA ? SC ? 2 , M 、 N 分别 为 AB 、 SB 的中点。 (1)证明: AC ⊥ SB ; (2)求三棱锥 B ? CMN 的体积.

S

N . C

A
第 14 页 题 高考全国卷专 题

. M

B

全国卷试题——专题二解答题

题型十四: 空间立体几何

证明: (1)如图,取 AC 中点 O ,连结 SO , BO .………1 分 ∵ SA ? SC , ∴ SO ? AC . ………………………2 分 又∵ ?ABC 是正三角形, ∴ BO ? AC . …………………………4 分 ∵ SO ? BO ? O , ∴ AC ⊥平面 SOB . …………………… ……5 分 又∵ SB ? 平面 SOB , ∴ AC ⊥ SB . …………………………6 分 M AB 解: (2)∵ 是 的中点, ∴

S ?CMB ?

1 1 1 3 3 3 . S ?ABC ? ? ? 2 3 ? 2 3 ? ? 2 2 2 2 2
∵平面 SAC ⊥平面 ABC , SO ? AC , ∴ SO ? 平面 ABC . 又∵ SA ? 2 , AO ? 3 ,

……………………………8 分

…………9 分

∴ SO ? 1 ,即点 S 到平面 ABC 的距离为 1. ∵ N 是 SB 的中点, ∴点 N 到平面 ABC 的距离为 ∴ VB ?CMN ? VN ?CMB ?

1 . 2

………11 分

1 3 3 1 3 ? ? ? 3 2 2 4

………………12 分

15. 如右图,在底面为平行四边形的四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, D1D ? 底面

D1 B1

C1

ABCD , AD ? 1 , CD ? 2 , ?DCB ? 60? .
(1)求证:平面 A1BCD1 ? 平面 BDD1B1 ;

A1

D (2)若 D1D ? BD ,求四棱锥 D ? A1BCD1 的体积. A 第 15 题图 解 : ( 1 ) 证 明 : 在 B 理 得 D1 :

C

?ABD



,









BD ? AD2 ? AB2 ? 2 AD ? AB cos ?DCB ? 3 ,
所以 AD2 ? BD2 ? AB 2 ,所以 ?ADB ? 90? ,即 AD ? BD ,……………3 分 A1 又四边形 ABCD 为平行四边形,所以 BC ? BD , 又 D1D ? 底面 ABCD , BC ? 底面 ABCD ,所以 D1D ? BC ,…………4 分 又 D1D ? BD ? D ,所以 BC ? 平面 BDD1B1 , …………………5 分 A

C1 B1 M

D B
解法一图

C

第 15 页 题

高考全国卷专 题

全国卷试题——专题二解答题
(2)法一:连结 BD1 ,∵ DD1 ? BD ? 3 ,∴ BD1 ? 6

题型十四: 空间立体几何

又 BC ? 平面 A 1B 1 .……………………6 分 1BCD 1 ,所以平面 A 1 BCD 1 ? 平面 BDD

∵ BC ? 平面 BDD1B1 ,所以 BC ? BD1 ,……………………………8 分 所以四边形 A1BCD1 的面积 S A1BCD1 ? 2 ?

1 ? BC ? BD1 ? 6 ,…………9 分 2

取 BD1 的中点 M ,连结 DM ,则 DM ? BD1 ,且 DM ?

6 , 2
D1 A1 B1

又平面 A1BCD1 ? 平面 BDD1 ,平面 A1BCD1 ? 平面 BDD1 ? BD1 , 所以 DM ? 平面 A 1BCD 1 ,……………………………………11 分 所以四棱锥 D ? A1BCD1 的体积: C1

1 V ? ? S A1BCD1 ? DM ? 1 . ……………………………………12 分 3
法二: 四棱锥 D ? A1BCD1 的体积V ? VD? A1BD1 ? VD?BCD1 ,……………8 分 A 而三棱锥 D ? A1BD1 与三棱锥 D ? BCD1 底面积和高均相等,……………10 分 所以V ? VD? A1BD1 ? VD?BCD1 ? 2VD?BCD1 ? 2VD1 ? BCD ? 2 ? ? S BCD ? DD1 ? 1 .

D B
解法二图

C

1 3

……12 分

16. 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=2,∠PDA=45° ,点 E、 F 分别为棱 AB、PD 的中点. (1)求证:AF∥平面 PCE; (2)求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (3)求三棱锥 C-BEP 的体积.
E A C D F P

证明: (1)取 PC 的中点 G,连结 FG、EG, ∴FG 为△ CDP 的中位线, ∴FG //
1 CD, 2

B

(第 16 题图)

∵四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点, ∴AE //
1 CD, 2

P

∴FG // AE,
F

∴四边形 AEGF 是平行四边形,

∴AF∥EG,

G

又 EG ? 平面 PCE,AF ? 平面 PCE, ∴AF∥平面 PCE;………………………………4 分 (2)∵ PA⊥底面 ABCD,
第 16 页 题 高考全国卷专 题
B E A C D

全国卷试题——专题二解答题
∴PA⊥AD,PA⊥CD,又 AD⊥CD,PA ? AD=A, ∴CD⊥平面 ADP, 又 AF ? 平面 ADP, ∴CD⊥AF,直角三角形 PAD 中,∠PDA=45° , ∴△PAD 为等腰直角三角形,∴PA=AD=2, ∵F 是 PD 的中点, ∴AF⊥PD,又 CD ? PD=D, ∴AF⊥平面 PCD, ∵AF∥EG, ∴EG⊥平面 PCD, 又 EG ? 平面 PCE,

题型十四: 空间立体几何

平面 PCE⊥平面 PCD;……………………………………………… 8 分 (3)三棱锥 C-BEP 即为三棱锥 P-BCE,………………………………… 9 分 PA 是三棱锥 P-BCE 的高, Rt△ BCE 中,BE=1,BC=2, ∴三棱锥 C-BEP 的体积 V 三棱锥 C-BEP=V 三棱锥 P-BCE=

1 1 1 1 1 2 S?BCE ? PA ? ? ? BE ? BC ? PA ? ? ?1? 2 ? 2 ? … 12 分 3 3 2 3 2 3

第 17 页 题

高考全国卷专 题


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