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习文教育高二上学期数学寒假作业 (六)


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习文教育高二上学期寒假作业(六) 姓名 学号 ) (C)2 ) (D)(0, ?) (D)4

一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、等轴双曲线的离心率为( (A)1

(B){ EMBED Equation.2 | 2

2、已知抛物线 y=2x2,则焦点坐标为( (A)(, 0) ( ) (A)抛物线 则抛物线方程为( (A)x =8y 为( ) (A) (A)8 (A) 直线有( (A)4 (A)1 (A)0 ( ) (A)相交 (A) (B)1 (B)相切 (C)2 (C)相离 (D)3 )条 (B)3 (B)2
2 2

(B)(0, )
2

(C)(0, )
2

3、一动圆与圆 O1:(x+3) +y =1 外切,与圆 O2:(x?3)2+y2=81 内切,则动圆圆心的轨迹是 (B)双曲线 ) (B)x2=?8y (C)x2=?16y (D)x2=16y (C)椭圆 (D)圆

4、已知抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 P(m, 1)到焦点的距离为 5,

5、已知双曲线=1 (a>0)的一条准线与抛物线 y2=?6x 的准线重合,则该双曲线的离心率 (B) (B)10 (B) (C) (C)12
2 2

(D) ) ) (D)14

6、椭圆 1 上,一点 P 到右准线的距离为 10,则该点在左焦点的距离(

7、若直线 y=kx+2 与双曲线 x ?y =6 的右支有两个没的交点,则 k 的取值范围是(

8、过双曲线 2x2?y2=2 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,当|AB|=4 时,这样的 (C)2
2

(D)1 ) ) (D) (D)
2

9、已知点 P(8, 1)平分双曲线 x ?4y2=4 的一条弦,则该弦所在直线的斜率为( (C)
2

10、已知点 P 在圆 x +(y?2) =1 上,点 Q 在抛物线 x2=y 上,则|PQ|的最小值为( (B)1 (C)?1

11、 已知 AB 是经过抛物线 y =2px(p>0)焦点的弦, 则|AB|为直径的圆必与抛物线的准线 (D)无关系 )

12、 如图, 是椭圆 =1 上的一点, 是右焦点, P F 且=(), ||=4, P 到右准线的距离为( 则

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)将答案直接写在题中横线上。 13、点 P(x, y)在椭圆 4x2+y2=4 上,则 x+y 的最大值为 。

14、双曲线 C 与椭圆=1 有相同的焦点,直线 y=x 是 C 的一条渐近线方程,则双曲线 C 的方程为 轨迹方程为
2

。 。 。

15、已知定点 Q(4, 0),P 是 x2+y2=1 上的动点,M 分 PQ 所成的比为 1:3,则动点 M 的 16、抛物线 y=x ?x+的焦点坐标为 17、(本小题 12 分) 已知直线 y=ax+1 与抛物线 y2=8x 只有一个公共点,求 a 的值。

三、简答题:(本大题共小题,共 74 分)解答应写出必要的文字说明,证明或推演步骤。

18、(本小题 12 分) 已知一双曲线离心率为 2, 1、 2 分别是其左、 F F 右焦点, 为双曲线上的点, P 且?F1PF2=60?, ?PF1F2 的面积为 12,求双曲线标准方程。

19、(本小题 12 分) 已知直线 l 与椭圆 9y2+4x2=36 相交于 A、B 两点,弦 AB 中点为 E(1, 1),求直线 AB 的 方程。

20、(本小题 12 分) 已知圆 O:x2+y2?4ax?2ay+20a?25=0 (1)无论 a 为何实数,求圆 O 恒经过的定点; (2)当 a 变化时,求圆心的轨迹方程,并求这些圆中面积最小的圆的方程。

21、(本小题 12 分) 已知直线 y=x+m 与椭圆 x2+4y2=4 相交于 A、B 两点,O 为坐标原点,求: (1)|AB|; (2)三角形 ABO 面积的最大值,并求此时 m 的值。

22、(本小题 14 分) 已知椭圆 G: (a>b>0)的两个焦点 F1(?c, 0)、 2(c, 0), 为椭圆上一点, F1M· 2M=0 =1 F M 且 F (1)求离心率 e 的取值范围; (2)当离心率 e 取得最小值时,点 N(0, 3)到椭圆上的点的最远距离为 5, ①求此时椭圆的方程; ②设斜率为 k(k?0)的直线 l 与椭圆 G 相交于不同两点 A、B,设 Q 为 AB 中点,问:A、 B 两点能否关于过点 P(0, ?),Q 的直线对称?若能,求出 k 的取值范围;若不能,请说明理 由。

习文教育高二上学期寒假作业(六)答案 一、选择题: 1 B 13、 2 C 14、 3 B 4 D 15、 5 D 16、 6 C 7 D 8 B 9 B 10 C 11 B 12 A

二、填空题: 三、解答题: 17、 (1)当 a=0 时, 解: 直线方程为 y=1, 解方程组: , 得: 即直线与抛物线只有一个交点(,1). (2)当 a?0 时,由方程组:得:ay -8y+8=0,要直线与抛物线只有一个交点,则必有?=8 -4?8?a=64-32a=0,解得 a=2. 综上所述,符合条件的 a 的值为 0 或 2。 18、解:设所求双曲线实半轴长为 a,半焦距为 c,虚半轴长为 b。 由于 P 是双曲线上一点,由双曲线的定义有:||PF1|-|PF2||=2a,所以有 |PF1| -2|PF1||PF2|+|PF2| =4a ………………① 又因为三角形 PF1F2 的面积等于 12,且?F1PF2=60 ,所以有|PF1||PF2|sin60 =12,从而得 |PF1|.|PF2|=48…………………………② 在三角形 PF1F2 中由余弦定理得:|F1F2| =|PF1| +|PF2| -2|PF1||PF2|cos60 ,所以有: |PF1| +|PF2| -|PF1||PF2|=4c ……………………③ 由①②③得 48+4c -96=4a ,即 a -c +12=0,又因为双曲线的离心率为 2,所以=2 即 c=2a, 解方 程组:得: ,因为 b =c -a =16-4=12,所以所求双曲线的标准方程为:=1 19、解:设点 A 与 B 的坐标分别是 A(x1,y1),B(x2,y2),设直线 AB 的斜率为 k。 由于 A 与 B 都在椭圆上,所以有:9y2 +4x2 =36, 9y1 +4x1 =36。 两式相减得:9(y2 -y1 )-4(x2 -x1 )=0,即:9(y2-y1)(y2+y1)-4(x2-x1)(x2+x1)=0, 又因为点 E(1,1)是点 A 与 B 的中点,所以有:(x1+x2)=1,(y1+y2)=1,即 x1+x2=2,y1+y2=2, 代入上式得 9?2?(y2-y1)-4?2?(x2-x1),所以有:k== 由点斜式得所求直线的方程为:y=(x-1)+1,即:4x-9y-13=0 20、 (1)由原方程得: +y -25+a(-4x-2y+20)=0, 解: x 这表示过圆 x +y =25 与直线-4x-2y+20=0 的交点的圆系方程,解方程组:得:或。 所以无论 a 为何实数,圆 O 恒经过定点(3,4)及(5,0)。 (2)由原方程配方得:(x-2a) +(y-a) =5(a -4a+5),所以这个圆的圆心 O(x,y)必然满足: ,从 两式中消去 a 得圆心运动的轨迹方程为:x-2y=0。 由上式配方得已知圆的半径 r 满足:r =5(a -4a+5)=5[(a-2) +1]?5,当且仅当 a=2 时半径
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2

r 取最小值,这时圆的方程为(x-4) +(y-2) =5 21、解:(1)由于直线 y=x+m 与椭圆 x2+4y2=4 交于 A、B 两点,所以设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则两个点的坐标是方程组:的解。
由方程组得 5x +8mx+4m -4=0……………………(*) 对于方程(*),必然有?=64m -4?5?(4m -4)>0,整理得 m <5,-<m<。 且 x1,x2 是这个方程的两个实根。 由根与系数的关系得:x1+x2=-m,x1x2=(m -1)。 由弦长公式得:|AB|== =。
2 2 2 2 2 2

2

2

(2)设点 O 到直线 y=x+m 的距离为 d,则由点到直线的距离公式得 d=. 所以三角形 ABO 的面积 S=.|AB|.d=??=
?=

到等号的条件是:3m =5-3m ,即 m =,m=?. 所以当 m=?时,三角形 ABO 面积最大,其最大值为。 22、解: (1)因为点 M 是椭圆上的一点,设 M 的坐标为(x0,y0)。 由椭圆的定义有:|MF1|+|MF2|=2a,所以有:|MF1| +2|MF1||MF2|+|MF2| =4a ………………① 由于有:=0,所以有 F1M?F2M,所以在三角形 F1F2M 中由勾股定理得: |MF1| +|MF2| =|F1F2| =4c 代入①式得:|MF1||MF2|=2b 。 由三角形面积公式有:=|MF1||MF2|=b ,而=|F1F2||y0|=c|y0|。 所以有|y0|=。 由于点 M(x0,y0)在椭圆上,所以有: ,从而得:x0 =a -. 因为: ,所以由上式得:1-?0,c ?b ,c ?a -c ,2c ?a ,e =?,从而得 1>e?。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

所以所求椭圆的离心率的范围是[,1)。 (2)由(1)得当离心率 e==时,取得最小值,即=,设 c=k,a=k,则由于 b =a -c =2k -k =k , 所以有 b=k。 这样椭圆的方程变为:x +2y =2k 。 设 P(x,y)是椭圆上任意一点,则必有 x +2y =2k ,x =2k -2y 。 由两点间距离公式得:|PN| =x +(y-3) =2k -2y +y -6y+9=-y -6y+2k +9,其中-k?y?k。 由于|PN| 是关于 y 的二次函数,且这个二次函数开口向下,对称轴为 y=-3. 所以当-3?-k,即 0<k?3 时,函数在 y=-k 时取得最大值,为 |PN| max=-k +6k+2k +9=k +6k+9=(k+3) ,即|PN|max=|k+3|,由已知|PN|max=5。 所以有|k+3|=5,k=-3?5,而 k=-3-5<0,k=-3+5>3 均不合题意,舍去。 当-k<-3,即 k>3 时,函数在 y=-3 时取得最大值,为|PN| max=-9+18+2k +9=2k +18, 由已知|PN|max=5,所以 2k +18=50,从而有 k =16,k=4 符合题意。 这时 a=4,b=4,椭圆的方程为: 。 (3)设符合条件的点 A 与 B 的坐标分别是 A(x1,y1),B(x2,y2),其中点坐标为 Q(x0,y0)。 由于点 A 与 B 都在椭圆上,所以有: ,两式相减得: ,即 由中点坐标公式得:x0=(x1+x2),y0=(y1+y2),代入上式得:x0=2ky0。 从而点 Q 的坐标为(2ky0,y0),设直线 PQ 的斜率为 k1。 由斜率公式得直线 PQ 的斜率 k1=。 由于 PQ 与 AB 垂直,所以有.k=-1,从而可得:y0=-,所以 x0=-k。 所以点 Q 坐标为(-k, -). 直线 AB 的方程为 y=k(x+k)-. 由已知该直线与椭圆即:x +2y =32 有二交点,所以方程组: 必有两组实数解。 消去 y 得关于 x 的一元二次方程:(1+2k )x +4k(k -)x+2(k -) =0 按已知, 这个方程应有二不等实数根, 所以必有: ?=[4k(k -)] -4(1+k ). 2(k -) =-8(k -) >0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

但这不可能。 综上所述,符合条件的点不存在。


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