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高中数学苏教版选修2-1课件:第3章 空间向量与立体几何3.2.3


阶 段 一

阶 段 三

3.2 3.2.3
阶 段 二

空间向量的应用 空间的角的计算
学 业 分 层 测 评

1.理解空间三种角的概念,能用向量方法求线线、线面、面面的夹 角.(重点、难点) 2.二面角的求法.(难点) 3.空间三种角的范围.(易错点)

[ 基础· 初探] 教材整理 空间角的向量求法

阅读教材 P106~P108 的部分,完成下列问题. 1.两条异面直线所成角的向量求法 若异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 a,b,l1,l2 所成的角为 θ,则 cos θ=

|cos ? a,b ? | ____________.

2.直线和平面所成角的向量求法 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,a 与 n 的夹角为 θ1,l 与 α
|a· n| |cos θ1| |a||n| 所成的角为 θ2,则 sin θ2=_________=______.

(1)

(2)

3.二面角的向量求法 设二面角 αlβ 的大小为 θ,α,β 的法向量分别为 n1,n2,则|cos θ|= |n1· n2| |cos ? n1,n2 ? | |n1||n2| ,θ 取锐角还是钝角由图形确定. ______________=________

图 3219

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( )

(2)若向量 n1,n2 分别为二面角的两半平面的法向量,则二面角的平面角的 n1· n2 余弦值为 cos〈n1,n2〉=|n ||n |.( 1 2 )

(3) 直 线 的 方 向 向 量 与 平 面 的 法 向 量 所 成 的 角 就 是 直 线 与 平 面 所 成 的 角.( ) )

(4)二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角相等或互补.(

【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120° ,则直线 l 与平 面 α 所成的角为________. 【解析】 由题意得,直线 l 与平面 α 的法向量所在直线的夹角为 60° ,∴ 直线 l 与平面 α 所成的角为 90° -60° =30° . 【答案】 30°

3.异面直线 l 与 m 的方向向量分别为 a=(-3,2,1),b=(1,2,0),则直线 l 与 m 所成的角的余弦值为__________.
【解析】 ∵a· b=-3+4=1,|a|= 9+4+1= 14,|b|= 5,∴cos〈a, 1 70 a· b b〉= = = . |a||b| 14· 5 70
【答案】 70 70

4.已知二面角 αlβ,α 的法向量为 n=(1,2,-1),β 的法向量为 m=(1, -3,1),若二面角 αlβ 为锐角,则其余弦值为________.
66 n· m 1-6-1 【解析】 cos〈n,m〉=|n||m|= =- 11 . 6· 11 66 又因二面角为锐角,所以余弦值为 11 .
【答案】 66 11

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
求两条异面直线所成的角

(1)如图 3220,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠ ACB=90° ,AC=BC=2,AA1=4,若 M,N 分别是 BB1,CC1 的中点,则异面直线 AM 与 A1N 所成角的大小为________. 【导学号:09390086】
图 3220 AC=2,AB⊥AC,E 为 BC 中点,F 为 CD 中点,则异面直线 AE 与 BF 所成角

(2)在三棱锥 DABC 中,DA⊥平面 ABC,DA=4,AB=

的余弦值为________.

【精彩点拨】

→ → → → → (1)思路一:以C1A1,C1B1,C1C为基向量,表示AM,A1N,

→ → → → → 求 cos〈AM,A1N〉的余弦值;思路二:以C1A1,C1B1,C1C分别为 x 轴,y 轴, → → z 轴建立空间直角坐标系, 求出相关向量的坐标, 利用坐标求 cos 〈AM, A1N〉 . (2) 题思路如(1)题.

【自主解答】

→ 1→ → (1)法一:A1N=2C1C-C1A1,

→ → → → → 1→ AM=AB+BM=C1B1-C1A1-2C1C,
? 1 → → ? → → ? → 1→? ?1 → ? ? → ? ∴ A1N· AM = ? C1C-C1A1?· ?C1B1-C1A1-2C1C? =- 4 ×16 + 4 = 0 ,∴ A1N ⊥ 2 ? ? ? ?

→ AM,即异面直线 AM 与 A1N 所成的角为 90° .

法二:如图所示,建立空间直角坐标系:

则 A1(2,0,0),N(0,0,2),A(2,0,4),M(0,2,2), → → ∴A1N=(-2,0,2),AM=(-2,2,-2), → → ∴A1N· AM=4+0-4=0, → → 即A1N⊥AM,故异面直线 A1N 与 AM 所成的角为 90° .

→ 1 → → → → → 1→ 1→ → (2)法一:如图所示,AE=2(AB+AC),BF=AF-AB=2AD+2AC-AB.

?? → → ? 1→ →? ?1 → 1 → ? ?1 → ? AE· BF=? AB+ AC?· AD+2AC-AB? 2 ?? ?2 ?2 ?

1 1 =-2×4+4×4=-1, → 又易知|AE|= 2, 1 →2 1 → |BF| =4×16+4×4+4=9,∴|BF|=3. → → AE· BF 2 → → ∴cos〈AE,BF〉= =- 6 , → → |AE||BF| 2 则异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为 6 .

法二:建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),E(1,1,0),B(2,0,0), F(0,1,2),

→ → ∴AE=(1,1,0),BF=(-2,1,2), → → ∴AE· BF=-2+1=-1. → → ∵|AE|= 2,|BF|=3, → → AE· BF -1 2 → → ∴cos〈AE,BF〉= = =- 6 . → → 3 2 |AE||BF| 2 所以异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为 6 . 2 【答案】 (1)90° (2) 6

1.利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直 线的方向向量所成的角,若求出的两向量的夹角为钝角,则异面 直线所成的角应为两向量夹角的补角. 2.向量法求异面直线所成角的步骤 (1)建立坐标系(或选取基向量), 求直线方向向量坐标(或用基 向量线性表示); (2)求〈a,b〉 ; (3)利用 cos θ=|cos〈a,b〉|,求 θ.

[ 再练一题] 1.如图 3221 所示,三棱柱 OABO1A1B1 中,平面 OBB1O1⊥平面 OAB,∠O1OB=60° ,∠AOB=90° ,且 OB =OO1=2, OA= 3, 求异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦 值的大小.

【解】 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 O(0,0,0),O1(0,1, 3),A( 3,0,0), A1( 3,1, 3),B(0,2,0), → → → ∴A1B=OB-OA1 =(- 3,1,- 3),

图 3221

→ → → O1A=OA-OO1=( 3,-1,- 3). → → A1B· O1A → → ∴cos〈A1B,O1A〉= → → |A1B|· |O1A| ?- 3,1,- 3?· ? 3,-1,- 3? = 7· 7 1 =-7. 1 异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值为7.

求线面角

如图 3222,在直棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AD∥BC,∠BAD=90° , AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.

(1)证明:AC⊥B1D;

图 3222

(2)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值.

【精彩点拨】

以 A 为原点,AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z

轴建立空间直角坐标系. → → → → (1)求出AC和B1D,证明AC· B1D=0; (2)求出直线 B1C1 的方向向量与平面 ACD1 的法向量.

【自主解答】

(1)证明:易知,AB,AD,AA1 两

两垂直.如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 所在直 线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.设 AB =t,则相关各点的坐标为 A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3), C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).

→ → → 从而B1D=(-t,3,-3),AC=(t,1,0),BD=(-t,3,0). → → 因为 AC⊥BD,所以AC· BD=-t2+3+0=0, 解得 t= 3或 t=- 3(舍去). → → 于是B1D=(- 3,3,-3),AC=( 3,1,0). → → 因为AC· B1D=-3+3+0=0, → → 所以AC⊥B1D,即 AC⊥B1D.

→ → → (2)由(1)知,AD1=(0,3,3),AC=( 3,1,0),B1C1=(0,1,0). 设 n=(x,y,z)是平面 ACD1 的一个法向量, ? → ?n· AC=0, 则? → ? AD1=0, ?n·
? ? 3x+y=0, 即? ? ?3y+3z=0.

令 x=1,则 n=(1,- 3, 3). 设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ,则 → ? ? B1C1 ? 3 21 → ? n· sin θ=|cos 〈n,B1C1〉|=? = = 7 . → ? 7 |B1C1|? ?|n|· 21 即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为 7 .

利用向量法求直线与平面所成角的解题步骤为: ?1?根据题设条件、图形特征建立适当的空间直角坐标系; ?2?得到相关点的坐标,进而求出相关向量的坐标; a· b ?3?利用公式 cos〈a,b〉=|a||b|,进行计算,其中向量 a 是直 线的方向向量,b 可以是平面的法向量,也可以是直线在平面内 射影的方向向量; ?4?将 〈a, b〉 转化为所求的线面角.向量夹角为锐角或直角时, 线面角与这个夹角互余;向量夹角为钝角或平角时,线面角等于 这个夹角减去 90° .

[ 再练一题] 2.如图 3223 所示,已知直角梯形 ABCD,其中 AB=BC=2AD,AS⊥ 平面 ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,且 AS=AB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 θ 的余弦值.

图 3223

【解】 由题设条件知,以点 A 为坐标原点,分别 以 AD,AB,AS 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空 间直角坐标系(如图所示). 设 AB = 1 , 则 A(0,0,0) , B(0,1,0) , C(1,1,0) ,
?1 ? D?2,0,0?,S(0,0,1). ? ?

→ → ∴AS=(0,0,1),CS=(-1,-1,1). π → → 显然AS是底面的法向量,它与已知向量CS的夹角 β=2-θ, →→ AS· CS 1 3 故有 sin θ=cos β= = = . → → 1× 3 3 |AS||CS|
? π? ∵θ∈?0,2?, ? ?

6 ∴cos θ= 1-sin θ= 3 .
2

求二面角

如图 3224, 在直三棱柱 A1B1C1ABC 中, AB⊥AC, AB=AC=2,A1A=4,点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值.
图 3224

【精彩点拨】 (1)先建系求出 A1B 和 C1D 的方向向量,再求其余弦值; (2)求出平面 ADC1 与平面 ABA1 的法向量, 用向量法求余弦值再转化为正弦 值.

【自主解答】

(1)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直

角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0), → → A1(0,0,4) ,C1(0,2,4),所以A1B=(2,0,-4),C1D= (1,-1,-4). → → A1B· C1D 18 3 10 → → 因为 cos〈A1B,C1D〉= = = 10 , → → 20× 18 |A1B||C1D| 3 10 所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 10 .

→ → (2)设平面 ADC1 的法向量为 n1=(x,y,z),因为AD=(1,1,0),AC1=(0,2,4), → → 所以 n1· AD=0,n1· AC1=0,即 x+y=0 且 y+2z=0,取 z=1,得 x=2,y=-2, 所以 n1=(2,-2,1)是平面 ADC1 的一个法向量.取平面 AA1B 的一个法向量为 n2=(0,1,0),设平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的大小为 θ. 由|cos
? n1· n2 ? ?= θ|=?|n |· | n | ? 1 2?

2 2 5 = ,得 sin θ= 3 . 9× 1 3

5 因此平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为 3 .

求二面角的步骤如下: ?1?建立空间直角坐标系,确定两平面的法向量; ?2?求两法向量的夹角; ?3?确定二面角与面面角的关系,要通过观察图形来确定二面角.

[ 再练一题] 3.如图 3225,在直三棱柱 ABCA1B1C1(侧棱和底面垂直的棱柱)中,AB⊥ BC, AB=BC=AA1=3, 线段 AC, A1B 上分别有一点 E, F, 且满足 2AE=EC,2BF =FA1.

图 3225 (1)求证:平面 A1BC⊥平面 A1ABB1;

(2)求二面角 FBEC 的平面角的余弦值.

【解】 (1)证明:∵BC⊥AB,BC⊥AA1,∴BC⊥平面 A1ABB1.又∵BC?平 面 A1BC,∴平面 A1BC⊥平面 A1ABB1.
(2)由(1)知,以点 B 为坐标原点,以 BC,BA, BB1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所 示的空间直角坐标系. ∴B(0,0,0), A(0,3,0), C(3,0,0), A1(0,3,3).

又∵线段 AC,A1B 上分别有一点 E,F,

满足 2AE=EC,2BF=FA1, → → ∴E(1,2,0), F(0,1,1), ∴BE=(1,2,0),BF=(0,1,1). ∴平面 BEF 的法向量 n=(2,-1,1), 此时,平面 BEC 的法向量 n=(0,0,-1),设所求二面角的平面角为 θ,则 6 cos θ=- 6 .

[ 探究共研型]
夹角的向量求法

探究 1 利用向量法求异面直线所成的角时,需要注意什么?

【提示】

(1)异面直线所成的角与这两直线的方向向量的夹角范围不同,

? π? 其中异面直线所成的角的范围是?0,2?,向量夹角的范围[0,π] . ? ?

(2)应用向量法求两异面的夹角时,若求得余弦值为正数,夹角即为所求; 若求得余弦值为负数,则夹角为其补角.

探究 2 利用向量法求直线与平面所成的角时,需要注意什么?
【提示】 (1)直线与平面所成角 θ
? π? 的范围是?0,2?,斜线和平面所成角的定 ? ?

义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线 所成的锐角. (2)设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 u,直线 l 与平面 α 所成的 角为 θ,a 与 u 的夹角为 φ,则有: π ①当 φ 为锐角时,θ=2-φ,sin θ=cos φ,cos θ=sin φ; π ②当 φ 为钝角时,θ=φ-2,sin θ=-cos φ,cos θ=sin φ. 综上所述,sin θ=|cos φ|或 cos θ=sin φ.

探究 3 两平面的夹角与二面角的平面角有什么不同?
【提示】 (1)两平面的夹角是两平面相交所成的角中较小的一个,范围是

π 0≤θ≤2,二面角的大小是指其两个半平面的张开程度,这可以用其平面角 θ 的 大小来定义,范围是 0≤θ≤π. (2)用向量法求二面角的大小时,要注意〈n1,n2〉与二面角的平面角的关系 是相等的还是互补的,在求出〈n1,n2〉后,一定要观察分析图形,看所求二面 角是与〈n1,n2〉相等的还是互补的.一般地,当 n1,n2 的方向一进一出时,θ =〈n1,n2〉 ;当 n1,n2 同进同出时,θ=π-〈n1,n2〉 .

如图 3226 所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,二面角 ABD1C的 大小为________.

图 3226

【解析】

连结 DA1,DC1,以 D 为原点,建立如图

→ 所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为 1,则DA1= (1,0,1)是平面 ABD1 的一个 → 法向量,DC1=(0,1,1)是平面 BCD1 的一个法向量, → → DA1· DC1 1 → → → → 所以 cos〈DA1,DC1〉= =2,所以〈DA1,DC1〉=60° , → → |DA1||DC1| 又二面角 ABD1C 为钝角, 所以二面角 ABD1C 的大小为 120° . 【答案】 120°

[ 构建· 体系]

1.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量,若 cos〈m, 1 n〉=-2,则 l 与 α 所成的角为________.

1 【解析】 设 l 与 α 所成的角为 θ,∵cos〈m,n〉=-2, 1 ∴sin θ=|cos〈m,n〉|=2. 又∵直线与平面所成角 θ 满足 0° ≤θ≤90° ,∴θ=30° .
【答案】 30°

2. 若平面 α 的一个法向量为 n=(4,1,1),直线 l 的一个方向向量为 a=(-2, -3,3),则 l 与 α 所成角的正弦值为________. 【导学号:09390087】
【解析】 ∵n· a=-8-3+3=-8,|n|= 16+1+1=3 2,|a|= 4+9+9 = 22, -8 4 11 n· a ∴cos〈n,a〉= = =- 33 . |n|· |a| 3 2× 22 4 11 又 l 与 α 所成角记为 θ,即 sin θ=|cos〈n,a〉|= 33 .

4 11 【答案】 33

3.在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中点,E, F 分别是 CC1,AD 的中点,那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于 ________.

【解析】

以 D 为原点,分别以 DA,DC,DD1 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空

间直角坐标系, ∴F(1,0,0),D1(0,0,2),O(1,1,0),E(0,2,1), → → ∴FD1=(-1,0,2),OE=(-1,1,1), 1+2 15 → → ∴cos〈FD1,OE〉= = 5 . 5· 3 15 【答案】 5

4.将正方形 ABCD 沿对角线折成直二面角,则二面角 ABCD 的平面角的 余弦值是________.
【解析】 取 BD 中点 O,连结 AO,CO,则 AO⊥平面 BCD,建立如图所 示的空间直角坐标系. 设正方形边长为 2,则 O(0,0,0),A(0,0, 2),B( 2,0,0),C(0, 2,0), → → 所以AB=( 2,0,- 2),BC=(- 2, 2,0). 设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z). → → 则 n· AB= 2x- 2z=0,n· BC=- 2x+ 2y=0,

所以 x=z,且 x=y,取 n=(1,1,1), 1 m· n 又平面 BCD 的一个法向量为 m=(0,0,1),所以 cos〈m,n〉= = = |m||n| 3· 1 3 3. 3 故二面角 ABCD 的平面角的余弦值是 3 . 3 【答案】 3

5.如图 3227,在几何体 ABCDE 中,△ABC 是等腰直角三角形,∠ABC =90° ,BE 和 CD 都垂直于平面 ABC,且 BE=AB=2,CD=1,点 F 是 AE 的中 点.求 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值.

图 3227

【解】 以点 B 为原点,BA,BC,BE 所在的直线分别为 x,y,z 轴,建立 如图所示的空间直角坐标系,

则 B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,2,1),E(0,0,2),F(1,0,1), → → → ∴BD=(0,2,1),DF=(1,-2,0),BA=(2,0,0). → → 设平面 BDF 的一个法向量为 n=(2,a,b).∵n⊥DF,n⊥BD,

? → ?n· DF=0, ∴? → ? BD=0, ?n·

? ?2-2a=0, 即? ? ?2a+b=0,

解得 a=1,b=-2, ∴n=(2,1,-2). 又设 AB 与平面 BDF 所成的角为 θ, → BA· n 4 2 则 sin θ= = = , → 2×3 3 |BA|· |n| 2 即 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值为3.

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________


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