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知识讲解_任意角和弧度制_基础

任意角和弧度制 编稿:丁会敏 审稿:王静伟 【学习目标】 1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。 2.了解弧度制的意义;掌握角的不同度量方法,能对弧度制和角度制进行正确的换算. 3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式,并能结合具体问题进行正确地运算。 【要点梳理】 要点一:任意角的概念 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释: 角的概念是通过角的终边的运动来推广的,既有旋转方向,又有旋转大小,同时没有旋转也是一个角, 从而得到正角、负角和零角的定义. 2.终边相同的角、象限角

360? ? ?,k ? Z 终边相同的角为 ? ? ? | ? ? k ?

?

?

角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合.那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们 就说这个角是第几象限角. 要点诠释: (1)终边相同的前提是:原点,始边均相同; (2)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同; (3)终边相同的角有无数多个,它们相差 360? 的整数倍. 3.常用的象限角 角的终边所在位置 x 轴正半轴 y 轴正半轴 x 轴负半轴 y 轴负半轴 x轴 角的集合

?? | ? ? k ? 360?,

k ? Z?

?? | ? ? k ? 360? ? 90?, ?? | ? ? k ? 360? ? 180?, ?? | ? ? k ? 360? ? 270?, ?? | ? ? k ?180?,

k ? Z? k ? Z? k ? Z?

k ? Z?

y轴 坐标轴

?? | ? ? k ?180? ? 90?, ?? | ? ? k ? 90?,
k ? Z?

k ? Z?

? 是第一象限角,所以 ?? | k ?360? ? ? ? k ?360? ? 90? , ? k ? Z ?? ? 是第二象限角,所以 ?? | k ?360? ? 90? ? ? ? k ?360? ? 180? , ? k ? Z ?? ? 是第三象限角,所以 ?? | k ?360? ? 180? ? ? ? k ?360? ? 270? , ? k ? Z ?? ? 是第四象限角,所以 ?? | k ?360? ? 270? ? ? ? k ?360? ? 360? , ? k ? Z ??
要点二:弧度制 1.弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角, 记作 1 rad , 或 1 弧度, 或 1(单位可以省略不写). 2.角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式: 180 ? ? rad
?

? ? 180 ? 1rad= ? ? ≈57.30°=57°18′,1°= 180 ≈0.01745(rad) ? ? ?
3.弧长公式: l ?| ? | r ( ? 是圆心角的弧度数), 扇形面积公式: S ? 要点诠释:

0

1 1 l r ? | ? | r 2. 2 2

? 2? 等等,一般地, 正角的弧度数 (1)角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如 ??,
是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角 ? 的弧度数的绝对值是: ? ? 【典型例题】 类型一:角的概念的理解 例 1.下列结论: ①第一象限角都是锐角; ②锐角都是第一象限角; ③第一象限角一定不是负角; ④第二象限角是钝角; ⑤小于 180°的角是钝角、直角或锐角。 其中正确的结论为________。 【思路点拨】比较锐角和第一象限角的关系,比较负角和第一象限角的关系,这种问题可以通过列举 出特殊角来得到结论. 【答案】② 【解析】 ①390°角是第一象限角,可它不是锐角,所以①不正确。 ②锐角是大于 0°且小于 90°的角,终边落在第一象限,故是第一象限角,所以②正确。 ③-330°角是第一象限角,但它是负角,所以③不正确。

l ,其中, l 是圆心角所对的弧长, r 是半径. r

④480°角是第二象限角,但它不是钝角,所以④不正确。 ⑤0°角小于 180°,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故⑤不正确。 【总结升华】正确解答角的概念问题,关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等 概念,另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反 例即可。 举一反三: 【变式 1】 (1)一个角为 30°,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度是多少? (2)时钟走了 3 小时 20 分,则分针所经过的角的度数为多少?时针所转过的角的度数是多少? 【答案】 (1)1110°(2)-1200° -100° 【解析】 (1)终边按逆时针方向旋转三周,转过的角为 360°×3=1080°,再加上原来的角度 30°, 所以旋转后的角是 1110°。 (2)时针、分针都是顺时针方向旋转,故所转过的角度数为负值。3 小时 20 分,分针转了 3 故转过的角度数为-360°× 3

1 周, 3

1 5 5 =-1200°,时针转了 周,故转过的角度数为-360°× =-100°。 3 18 18

类型二:终边相同的角的集合 例 2.在与 10030°角终边相同的角中,求满足下列条件的角。 (1)最大的负角; (2)360°~720°内的角。 【思路点拨】根据终边相同的角之间相差周角的整数倍,我们可以表示出与 10030°的角终边相同的 角 ? 的集合,找出满足条件的 k 值,即可得到答案. 【答案】 (1)―50°(2)670° 【解析】 (1)与 10030°角终边相同的角的一般形式为 ? =k·360°+10030°(k∈Z) ,由-360° <k· 360°+10030°≤0°, 得-10390°<k· 360°≤-10030°, 解得 k=―28, 故所求的最大负角为 ? =― 50°。 (2)由 360°≤k·360°+10030°<720°,得-9670°≤k·360°<―9310°,解得 k=―26。故所 求的角为 ? =670°。 【总结升华】把任意角化为 ? +k·360°(k∈Z 且 0°≤ ? <360°)的形式,关键是确定 k。可以用 观察法( ? 的绝对值较小) ,也可用竖式除法。 举一反三: 【变式 1】已知 ? =-1910°。 (1)把 ? 写成 ? ? k ? 360? (k∈Z,0°≤ ? <360°)的形式,指出它是第几象限的角。 (2)求 ? ,使 ? 与 ? 的终边相同,且-720°≤ ? ≤0°。 【答案】 (1)-6×360°+250° 第三象限的角(2)-470° 【解析】 (1)∵-1910°÷360°=-6 余 250°, ∴-1910°=-6×360°+250°, 相应的 ? =250°,从而 ? =-6×360°+250°是第三象限的角。 (2)令 ? =250°+k·360°(k∈Z) , 取 k=―1,―2 就得到满足―720°≤ ? ≤0°的 ? 角; 250°-360°=-110°,250°-720°=-470°。

类型三:角

? 所在象限的研究 n

例 3.若 ? 是第二象限角,试分别确定 2? ,

【思路点拨】因为 ? 是第二象限的角,所以 k·360°+90°< ? <k·360°+180°,把上式两边都乘 以 2、

? ? , 的终边所在的位置。 2 3

1 1 ? ? 、 ,然后对 k 进行讨论,就可得 2? , , 的终边所在的位置。 2 3 2 3

【答案】第三、第四象限的角或角的终边在 y 轴的负半轴上;第一或第三象限的角;第一或第二象限 或第四象限的角 【解析】 因为 ? 是第二象限的角,所以 k·360°+90°< ? <k·360°+180°(k∈Z) 。 2 ? 2 ? (1)因为 2k·360°+180°< <2k·360°+360°(k∈Z) ,故 是第三、第四象限的角或角的 终边在 y 轴的负半轴上。

? ? <k·180°+90°(k∈Z) ,当 k=2n(n∈Z)时,n·360°+45°< 2 2 ? ? <n·360°+90°;当 k=2n+1(n∈Z)时,n·360°+225°< <n·360°+270°(k∈Z) ,所以 是 2 2
(2)因为 k·180°+45°< 第一或第三象限的角。

? ? <k·120°+60°(k∈Z) 。当 k=3n(n∈Z)时,n·360°+30°< 3 3 ? <n·360°+60°;当 k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+150°< <n·360°+180°;当 k=3n+2(n∈Z) 3 ? ? 时,n·360°+270°< <n·360°+300°,所以 是第一或第二象限或第四象限的角。 3 3 ? 【总结升华】已知 ? 的范围,确定 的范围,一般应先将 ? 的范围用不等式表示,然后再两边同除 n ? 以 n,根据 k 的取值进行分类讨论,以确定 的范围,讨论角的范围时要做到不重不漏,尤其对象限界角 n
(3)因为 k·120°+30°< 应引起注意。 举一反三: 【变式 1】 (1)已知 ? 是第三象限角,求 (2)已知 ? 是第二象限角,求

? 是第几象限角。 3

? 是第几象限角; 2

【答案】 (1)第二或第四象限角(2)第一、第三或第四象限角 【解析】 (1)由下图(左)可知 (2)由下图(右)可知

? 是第一、第二或第四象限角。 3

? 是第二或第四象限角。 2

类型四:弧度制与角度制的互化 例 4.用弧度表示顶点在原点,始边重合于 x 轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合,如图所 示(不包括边界) 。

【思路点拨】这类题只要找到两射线对应的角,然后写成 ? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? (k ? z ) 即可,注意

? ??。
【答案】 (1) ?? | 2k? ?

? ?

?
6

? ? ? 2k? ?

5? 3? 3? ? ? ? , k ? Z ? (2) ?? | 2k? ? ? ? ? 2k? ? ,k ?Z? 12 4 4 ? ? ?

【解析】 (1)如下图①,以 OB 为终边的角为 330°,可看成是-30°,化为弧度,即 ? 而 75? ? 75 ?

?
6



?
180

?

5? ? 5? ? ? rad,∴所求集合为 ?? | 2k? ? ? ? ? 2k? ? ,k ?Z? 。 12 6 12 ? ? 3? , 4

(2)如上图②,以 OB 为终边的角 225°,可看成是-135°,化成弧度,即 ? 而 135? ? 135 ?

?
180

?

3? 3? 3? ? ? rad,∴所求集合为 ?? | 2k? ? ? ? ? 2k? ? ,k ?Z? 。 4 4 4 ? ?

【总结升华】在表示角的集合时,一定要使用统一的单位,只能用角度制或弧度制中的一种,不能混 用。 例 5. (1)填空:①18°=______rad;②67°30′=______rad;③ ?

9 ? =______°;④2 rad=______°。 4

(2)已知两角和为 1 弧度,且两角差为 1°,则这两个角的弧度数分别是________。

? 3? ; ;-405;114.6 10 8 1 ? 1 ? (2) ? , ? 2 360 2 360 ? ? 【解析】 (1)①18°= rad×18= rad; 180 10 ? 3? ②67°30′=67.5°= rad×67.5= rad; 180 8
【答案】 (1) ③?

9 ?9 ? ? ? ? ? ?180? ? ? ?405? ; 4 ?4 ? ? 180 ? ? ? ? 57.30?? 2 ? 114.6? 。 ? ? ?

④ 2 rad ? 2 ? ?

(2)设两个角的弧度数分别为 x,y,因为 1? ?

?
180

rad ,

1 ? ? x? ? ?x ? y ? 1 ? ? ? 2 360 所以有 ? 。 ? ,解得 ? 1 ? x? y ? ? ? y? ? 180 ? ? 2 360 ?
即所求两角的弧度数分别为

1 ? 1 ? ? , ? 。 2 360 2 360

【总结升华 】 (1)进行角度与弧度换算时,要抓住关系:π rad=180°; (2)度数×

?
180

=弧度数,弧度数× ?

? 180 ? ? ? =度数。 ? ? ?


举一反三: 【变式 1】下列转化结果错误的是(

3? 8 7? C.―150°化成弧度是 ? 6
A.67°30′化成弧度是 【答案】C

B. ? D.

? 化成度是 15° 12

10? 化成度是―600° 3

【变式 2】分别使用角度制与弧度制表示下列角的集合: (1) 与 ? 终边相同的角 (2) 终边在 y 轴正半轴上的角的集合 (3) 终边在 y 轴负半轴上的角的集合 (4) 终边在 y 轴上的角的集合 【答案】
? (1) S | S ? k ? 360 ? ? , k ? z , ?S | S ? 2k? ? ? , k ? z?

?

?

? ? (2) S | S ? k ? 360 ? 90 , k ? z , ? S | S ? 2k? ?

? ?

?

? ? ? ?

? ?

? , k ? z? 2 ?

? ? (3) S | S ? k ? 360 ? 90 , k ? z , ? S | S ? 2k? ?

?

? , k ? z? 2 ?

? ? (4) S | S ? k ?180 ? 90 , k ? z , ? S | S ? k? ?

?

?

? ?

?

? , k ? z? 2 ?

类型五:扇形的弧长、面积与圆心角问题 【高清:任意角和弧度制 385946 例 6】 例 6.已知弧长 50cm 的弧所对圆心角为 200 度,求这条弧所在的圆的半径(精确到 1cm) 。 【思路点拨】用弧长公式 l ?| ? | r ( ? 是圆心角的弧度数)去求解。 【答案】15 【解析】? 200 ? 200 ?
?

?
180

?

10? 9

10 ? ?R, 9 45 ?R ? ? 15 (cm) ? 50 ?

?

【总结升华】弧度制下扇形的弧长公式、面积公式均得到简化,解决这类问题通常采用弧度制。 举一反三: 【变式 1】一个扇形的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数。 【答案】2 rad。

? 2r ? l ? 4 ?r ? 1 ? ?? 【解析】 由已知得 ? 1 。 l ? 2 rl ? 1 ? ? ?2
所以 | ? |?

l 2 ? ? 2 (rad) 。 r 1


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