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解析几何中求参数范围的五种策略


解析几何中求参数范围的五种策略
朱庆华 解析几何中求参数范围或与参数有关的问题,往往是高考的热点之一。本文 总结出五种求解这类问题的思考途径与策略。 一、利用题设条件中的不等关系 若题设条件中有不等关系,可直接利用该条件求参数的范围。

例 1. (2004 全国卷 IV)双曲线 的焦距为 2c,直线 l 过 点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 ,求双曲线的离心率 e 的取值范围。

解析:直线 l 的方程为

,即

由点到直线的距离公式,且

,得到点(1,0)到直线 l 的距离

同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离



,即

于是得

,即

,解得

由于

,所以 e 的取值范围是[



]。

二、应用判别式建立不等式关系

若题设中给出直线(或曲线)与曲线有公共点或无公共点时,可以把直线方 程(或曲线方程)与曲线方程联立起来,消去某一个未知数,得到含另一个未知 数的一元二次方程,就能利用判别式建立所含参数的不等式。 例 2. (2005 年全国卷 III)设 , 两点在抛物线 上,l 是 AB 的垂直平分线。 当直线 l 的斜率为 2 时, 求直线 l 在 y 轴上截距的取值范围。 解析:设直线 l 在 y 轴上的截距为 b,依题意得 l 的方程为

过点 A、B 的直线方程可写为

由 即

,消 y 得 是方程①的两个不同的解,得



,且

设 AB 的中点 N 的坐标为(

),则









于是



即得直线 l 在 y 轴上截距的取值范围为



点评:该题含有两个参数 b,m,先由直线 AB 与抛物线有两个不同的交点,应 用判别式求出参数 m 的范围,再由题意找出两个参数 b,m 之间的关系式,最后求 出参数 b 的取值范围。

三、根据曲线的范围建立不等关系 由椭圆的简单几何性质知,椭圆上任一点的横、纵坐标是有界的,通过有界 性就可能找到变量间的不等关系。

例 3. (2004 年辽宁卷)设椭圆方程 于点 A、B,O 是坐标原点,点 P 满足

,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆 ,点 N 的坐标为 。

当 l 绕点 M 旋转时,求:(1)动点 P 的轨迹方程;(2)

的最小值与最大值。

解析:(1)动点 P 的轨迹方程是

,即

(1)由点 P 的轨迹方程知

,即



所以,

故当 大值为

时, 。

取得最小值,最小值为 ;当

时,

取得最大值,最

点评:这种求最值问题,实质上是先建立目标函数,再由椭圆的范围确定自变量 的取值范围,最后求函数的最值。 四、挖掘曲线的隐含不等式 对于一些特殊曲线,它们自身都包含了一些不等关系。如椭圆长轴长大于短 轴长,也大于焦距长,双曲线的实轴、虚轴长小于焦距长。对于圆与椭圆,当点

位于其内部或外部时,都满足一定的不等关系。当然有些情况下,不等关系比较 隐蔽,只有认真地分析题设中的条件与结论,才能找到所需的含参不等式。 例 4. (2002 年京皖)已知某椭圆的焦点是 于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B,且 ( )、 满足条件: ,过点 F2 并垂直 。椭圆上不同的两点 A 成等差数列。

(1)求该椭圆的方程;(2)求弦 AC 中点的横坐标;(3)设弦 AC 的垂直平分线 的方程为 ,求 m 的取值范围。

解析:(1)椭圆方程为 (2)设弦 AC 中点 (3)由 ,可得

。 。

在椭圆上,得

两式相减得











代入上式,得

9×4+25 由点 P(4,

,即

(当 k=0 时也成立)。 ,

)在弦 AC 的垂直平分线上,得





由 P(

)在线段 BB”上(B”与 B 关于轴对称),得

所以



五、利用基本不等式建立不等关系 对于某些与参数范围有关的题目,如果利用上述四种方法不易建立符合题意 的不等关系,就看能否利用代数中的基本不等式 等关系。 例 5. (2005 年浙江卷)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 轴 的长为 4,左准线 l 与 x 轴的交点为 M, 建立符合题意的不

在 x 轴上,长 。

(1)求椭圆的方程; (2)若点 P 在直线 l 上运动,求∠F1PF2 的最大值。

解析:(1)求得椭圆的方程为

(2) P 设



, 则直线

的斜率

, 直线 PF2 的斜率



因为

,所以

为锐角。

所以 当 的最大值为 。

。 时, tan∠F1PF2 取得最大值, 此时∠F1PF2 最大, 故∠F1PF2


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