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高中数学3-2-2直线的两点式方程课件新人教A版必修_图文

第三章
3.2.2 直线的两点式方程

课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答

温故知新 1.直线的点斜式方程 ①过点P(x0,y0),斜率为k的直线的方程为 y-y0=k(x-x0) . ②过点P (0,b) ,斜率为k的直线方程为 y=kx+b (斜截式)

2.两点的斜率公式 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),过P1、P2的直线的斜率k= y2-y1 x2-x1 . 3.利用斜率公式证明A、B、C三点共线.即 kAB=kBC .

4.过点P(2,0),斜率是3的直线的方程( A.y=3x-2 C.y=3(x-2) B.y=3x+2 D.y=3(x+2)

)

[答案] C

5.已知直线的斜截式方程是y=x-1,那么此直线的斜率 是 1 ,倾斜角是 45° . 6.已知直线l在y轴上的截距等于它的斜率,则直线l一定 经过点 (-1,0) .

新课引入 如何将一根木棍固定在墙上呢? 答:可以用两根钉子.这里面蕴含的数学思想是两点确 定一条直线,那么这种思想如何反映在解析几何上呢?本节 我们共同研究——直线的两点式方程.

自主预习 阅读教材P95~97,回答下列问题. 1.直线的两点式方程

(1)定义:如图所示,直线l经过点P1(x1,y1),P2(x2, x-x1 y-y1 y2)(其中x1≠x2,y1≠y2),则方程 = x2-x1 叫做直线l的 y2-y1 两点式方程,简称两点式. (2)说明:与坐标轴 垂直 的直线没有两点式方程.

[破疑点]直线的两点式方程应用的前提条件是:x1≠x2, y1≠y2,即直线的斜率不存在及斜率为零时,没有两点式方 程. 当x1=x2时,直线方程为x=x1; 当y1=y2时,直线方程为y=y1.

过点A(5,6)和点B(-1,2)的直线方程的两点式是( y-5 y+1 A. = x-6 x-2 2-6 1-5 C. = y-6 x-5 y-6 x-5 B. = 2-6 -1-5 x-6 y-5 D. = 2-6 -1-5

)

[答案]

B

2.直线的截距式方程 (1)定义:如图所示,直线l与两坐标轴的交点分别是

P1(a,0),P2(0,b)(其中a≠0,b≠0),则方程为 做直线l的截距式方程,简称截距式.

x y a+b=1



(2)说明:一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线 在x轴上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距 式.

[破疑点](1)截距式是两点式的特例,当已知直线上的两点 分别是与两坐标轴的交点(原点除外)时,由两点式可得直线方 x y 程的形式为 a + b =1(ab≠0),即为截距式.用截距式可以很方 便地画出直线.

(2)直线方程的截距式在结构上的特点: x y 直线方程的截距式为 + =1,x项对应的分母是直线在x a b 轴上的截距,y项对应的分母是直线在y轴上的截距,中间以 “+”相连,等式的另一端是1,由方程可以直接读出直线在 x y x y 两轴上的截距,如: - =1, + =-1就不是直线的截距 3 4 3 4 式方程.

[拓展]求直线方程时方程形式的选择技巧 一般地,已知一点的坐标,求过该点的直线方程时,通 常选用点斜式方程,再由其他条件确定直线的斜率;已知直 线的斜率,通常选用点斜式或斜截式方程,再由其他条件确 定一个定点的坐标或在y轴上的截距;已知直线在两坐标轴上 的截距时,通常选用截距式方程;已知直线上两点时,通常 选用两点式方程.不论选用哪种形式的方程,都要注意各自 的限制条件,以免漏掉一些特殊情况下的直线.

在x,y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是( x y A. + =1 -3 4 x y C. - =1 -3 4 x y B. + =1 3 -4 x y D.4+ =1 -3

)

[答案] A

3.中点坐标公式 若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段P1P2

的中点M的坐标为(x,y),则有 此公式为线段P1P2的中点坐标公式.

点P1(5,-2),点P2(-7,6),则线段P1P2的中点M的坐标 为________.

[解析]

5-7 -2+6 M( , ),即M(-1,2). 2 2

直线的两点式方程
学法指导 对直线的两点式方程的理解:

y-y2 x-x2 (1)方程也可写成 = ,两者形式有异但实质 y1-y2 x1-x2 相同; (2)当直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为零(y1=y2)时,不 能用两点式表示;

(3)如果将直线两点式转化为:(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x -x1),此时只要直线上两点不重合,都可以用它表示出来(即 这个变形方程可以表示过任意已知两点的直线). 特别提醒:用直线的两点式表示方程时,一定要先确定 直线的斜率存在且不为零,否则就需对直线的斜率进行探 讨.

[例1] 中,

已知A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2),在△ABC

(1)求BC边所在的直线方程; (2)求BC边上的中线所在直线的方程. [分析] 首先判定是否满足直线方程两点式的条件,若满

足,则应用公式求解;若不满足,则根据具体条件写出方 程.

[解析]

(1)∵BC边过两点B(5,-4),C(0,-2),

y-?-4? x-5 ∴由两点式得 = , ?-2?-?-4? 0-5 即2x+5y+10=0. 故BC边所在的直线方程为2x+5y+10=0.

(2)设BC的中点为M(x0,y0), 5+0 5 ?-4?+?-2? 则x0= 2 =2,y0= =-3. 2 5 ∴M(2,-3), 又BC边上的中线经过点A(-3,2). y-2 x-?-3? ∴由两点式得 = , 5 -3-2 -?-3? 2 即10x+11y+8=0. 故BC边上的中线所在直线的方程为10x+11y+8=0.

求经过下列两点的直线方程: (1)A(2,5),B(4,3);(2)A(2,5),B(5,5);(3)A(2,5),B(2,7).

[解析] =0;

y-5 x-2 (1)直线的两点式方程为 = ,即x+y-7 3-5 4-2

(2)由于点A与点B的纵坐标相等,所以不能用两点式方 程,所求的直线方程为y=5; (3)由于点A与点B的横坐标相等,所以不能用两点式方 程,所求的直线方程为x=2.

截距式直线方程
学法指导 对直线的截距式方程的理解:

x y (1)截距式方程 a + b =1应用的前提是a≠0且b≠0,即直 线过原点或与坐标垂直时不能用截距式方程; (2)截距式方程的特点有两个,一是中间必须用“+” 号连接,二是等号右边为“1”;

(3)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与 坐标轴的交点),在求直线方程时合理地选择形式,会加快解 题速度.

[例2]

直线l过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和

为12,求直线l的方程. [分析] 由于直线在两坐标轴上的截距之和为12,因此

直线l在两坐标轴上的截距都存在且不为零,故可设为截距 式直线方程.

[解析]

x y 设直线l的方程为 + =1,则a+b=12. ① a b

-3 4 又直线l过点(-3,4),∴ + =1. ② a b
? ?a=9, 由①②解得? ? ?b=3 ? ?a=-4, 或? ? ?b=16.

x y x y 故所求的直线方程为9+3=1或 +16=1, -4 即x+3y-9=0或4x-y+16=0.

规律总结:(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,则 可考虑选用截距式直线方程,用待定系数法确定其系数即 可. (2)选用截距式直线方程时,必须首先考虑直线能否过原 点以及能否与两坐标轴垂直. x y (3)要注意截距式直线方程的逆向运用,如由方程 3 + -2 =1可知该直线在x轴和y轴上的截距分别为3和-2.

根据条件求下列各题中直线的截距式方程: (1)在x轴上的截距为-3,在y轴上的截距为2; (2)在x轴上的截距为1,在y轴上的截距为-4.

[答案]

x y (1)直线的截距式方程为 + =1. -3 2

x y (2)直线的截距式方程为1+ =1. -4

与截距有关的三角形面积问题
学法指导 利用截距求面积:

截距式方程是两点式的一种特殊情况 (两个点是直线与 坐标轴的交点), 用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三 角形面积或周长时较方便.

[例 3]

直线 l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面

积为 2,两截距之差为 3,求直线 l 的方程.

[解析]

设直线 l 在 x 轴,y 轴上的截距分别为 a,b,则由 ①

1 ? ? ab=2, 已知可得?2 ? ?|a-b|=3.

1 ? ? ab=2, 当 a≥b 时,①可化为?2 ? ?a-b=3,
? ?a=4 解得? ? ?b=1 ? ?a=-1 或? ? ?b=-4

(舍去);

1 ? ? ab=2, 当 a<b 时,①可化为?2 ? ?b-a=3,
? ?a=1 解得? ? ?b=4 ? ?a=-4 或? ? ?b=-1

(舍去).

x y 所以,直线 l 的截距方式方程为4+y=1 或 x+4=1.

规律总结:从题意看,本题只告诉了截距之间的关系, 因此解题时,设出了直线的截距式,由于不知截距的大小,因 此,需要进行分类讨论.

例题中将“在第一象限”改为“在第三象限”,其他条件 不变,求直线 l 的方程.

[答案]

x y x y + =1 或 + =1 -4 -1 -1 -4

易错点 忽视截距为 0 的情形 [例 4] 已知直线 l 过点 P(2,-1),且在两坐标轴上的截

距相等,求直线 l 的方程.

[错解]

x y 由题意,设直线 l 的方程为 + =1, a a

2 -1 ∵直线 l 过点(2,-1),∴ + =1, a a ∴a=1,则直线 l 的方程为 x+y-1=0.

[错因分析] 错解忽略了过原点时的情况. [思路分析] 截距式方程中 a≠0,b≠0,即直线与坐标轴 垂直或直线过原点时不能用截距式方程.注意在两坐标轴上存 在截距的直线不一定有截距式方程, 此时在 x, y 轴上的截距均 为 0,即过原点.

[正解]

设直线 l 在两坐标轴上的截距为 a.

若 a=0,则直线 l 过原点,其方程为 x+2y=0; x y 若 a≠0,则直线 l 的方程可设为a+a=1, 2 -1 ∵直线 l 过点(2,-1),∴ + =1, a a ∴a=1,则直线 l 的方程为 x+y-1=0. 综上所述,直线 l 的方程为 x+2y=0 或 x+y-1=0.

基础巩固训练

1.一条直线不与坐标轴平行或重合,则它的方程( A.可以写成两点式或截距式 B.可以写成两点式或斜截式或点斜式 C.可以写成点斜式或截距式 D.可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
[答案] B

)

[解析]

不与坐标轴平行或重合的直线的斜率存在,但是

在坐标轴上的截距可以为 0,所以可以写成斜截式或点斜式或 两点式,不一定有截距式.

2.过 A(1,1)、B(0,-1)两点的直线方程是( y+1 x A. = 1+1 1 y-1 x-1 C. = 0-1 -1-1 y-1 x-1 B. = -1 -1 D.y=x

)

[答案]

A

3. 在 x 轴、 y 轴上的截距分别是 2、 -3 的直线方程为( x y A. + =1 2 3 y x C.3-2=1 x y B. - =1 2 3 x y D.2+3=0

)

[答案]

B

4.过(2,5)、(2,-5)两点的直线方程是( A.x=5 C.x+y=2
[答案]
[解析] 2.

)

B.y=2 D.x=2

D
过这两点的直线与 x 轴垂直,所以直线方程是 x=

x y 5. 如下图所示, 直线 l 的截距式方程是a+b=1, 则有(

)

A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
[答案] B

[解析]

很明显 M(a,0),N(0,b),由图知 M 在 x 轴正半轴

上,N 在 y 轴负半轴上,则 a>0,b<0.

6.过点 P(1,2)且在两坐标轴上截距和为 0 的直线方程为 ________.
[答案] y=2x 或-x+y=1

[解析]

当直线在两坐标轴上截距都为 0 时,即直线过原

点,方程为:y=2x x y 当直线不过原点时,设方程为 + =1,代入 P(1,2)得, a -a a=-1,故方程为:-x+y=1.

7.已知三角形的三个顶点 A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1), 求: (1)BC 边所在的直线方程; (2)BC 边上中线所在的直线方程. [分析] (1)欲求 BC 边所在的直线方程,用两点式方程即

可写出.(2)欲求 BC 边上中线所在的直线方程,已知直线过点 A(-4,0),利用中点坐标公式可求出 BC 的中点,利用两点式方 程即可求出.

[解析]

(1)直线 BC 过点 B(0,-3),C(-2,1),由两点式

y+3 x-0 方程得 = ,化简得 2x+y+3=0. 1+3 -2-0 0-2 (2) 由中点坐标公式得, BC 的中点 D 的坐标为 ( 2 , -3+1 2 ),即 D(-1,-1),又直线 AD 过点 A(-4,0),由两点 y+1 x+1 式方程得 = ,化简得 x+3y+4=0. 0+1 -4+1

[点评]

已知两点求直线的方程,可利用两点式直接写出

其方程;求中线所在的直线方程,联想到中点坐标公式即可求 出中点.在没有特殊要求的条件下,以后求出的直线方程化为 Ax+Bx+C=0 的形式,且尽量满足:①A>0;②A,B,C 均是 整数时,最大公约数为 1.

8.已知直线与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点且线段 AB 的中点为 P(4,1),求直线 l 的方程. [分析] 题中给出了线段 AB 的中点, 且 A, B 分别在 x 轴、

y 轴上, 故可用中点坐标公式求出 A, B 的坐标, 再求 l 的方程.

[解析]

由题意可设 A(a,0),B(0,b),

? ?a+0=4, ? 2 由中点坐标公式可得? ?0+b =1. ? ? 2
? ?a=8, 解得? ? ?b=2,

∴A(8,0),B(0,2).

x y 由直线方程的截距式得直线 l 的方程为 + =1,即 x+4y 8 2 -8=0.

[点评]

在涉及直线与两坐标轴的截距问题时,常把直线

方程设为截距式,由已知条件建立两截距的方程、解得截距的 值,从而确定方程.


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