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高中数学复习资料

高中数学第一章-集合
考试内容:集合、子集、补集、交集、并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件. 考试要求: (1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意义;了解 属于、包含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集 合. (2)理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义理解四种命题及其相互关系;掌握充分条 、 、 件、必要条件及充要条件的意义.

§ 集合与简易逻辑 知识要点 01.
一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简) 简易逻辑三部分: 、

二、知识回顾: (一) 集合 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为 A ? A ; ②空集是任何集合的子集,记为 ? ? A ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果 A ? B ,同时 B ? A ,那么 A = B. 如果 A ? B , B ? C ,那么 A ? C . [注]:①Z= {整数}(√) Z ={全体整数} (×) ②已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集,则集合 A 也是有限集.(×) (例:S=N; A= N ? , 则 CsA= {0}) ③空集的补集是全集. ④若集合 A=集合 B,则 CBA= ? ,CAB = ? CS(CAB) D = 3. ①{(x,y)|xy =0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集. ②{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R ? 二、四象限的点集. (注: AB = ? ) C .

③{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R} 一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例:
?x ? y ? 3 ? ?2 x ? 3 y ? 1

解的集合{(2,1)}.

②点集与数集的交集是 ? . (例:A ={(x,y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则 A∩B = ? ) 4. ①n 个元素的子集有 2n 个. ②n 个元素的真子集有 2n -1 个. ③n 个元素的非空真子 集有 2n-2 个. 5. ?①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题 ? 逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题 ? 逆否命题. 例:①若 a ? b ? 5,则 a ? 2 或 b ? 3 应是真命题. 解:逆否:a = 2 且 b = 3,则 a+b = 5,成立,所以此命题为真. ② x ? 1且 y ? 2, 解:逆否:x + y =3
? x ? 1且 y ? 2

x ? y ? 3.

x = 1 或 y = 2. 的既不是充分,又不是必要条件.

x ? y ? 3 ,故 x ? y ? 3 是 x ? 1且 y ? 2

?小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 3. 例:若 x ? 5,? x ? 5 或 x ? 2 . 4. 集合运算:交、并、补.
交 : A ? B ? {x | x ? A, 且 x ? B} 并 : A ? B ? { x | x ? A或 x ? B } 补 : C U A ? { x ? U , 且 x ? A}

5. 主要性质和运算律 (1) 包含关系:
A ? A, ? ? A, A ? U , C U A ? U , A ? B , B ? C ? A ? C ; A ? B ? A, A ? B ? B ; A ? B ? A, A ? B ? B.

(2) 等价关系: A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B ? C U A ? B ? U (3) 集合的运算律: 交换律: A ? B ? B ? A ; A ? B ? B ? A . 结合律: ( A ? B ) ? C ? A ? ( B ? C ); ( A ? B ) ? C ? A ? ( B ? C ) 分配律:. A ? ( B ? C ) ? ( A ? B ) ? ( A ? C ); A ? ( B ? C ) ? ( A ? B ) ? ( A ? C ) 0-1 律: ? ? A ? ? , ? ? A ? A , U ? A ? A ,U ? A ? U 等幂律: A ? A ? A , A ? A ? A . 求补律:A∩?A=φ A∪?A=U ?U=φ ?φ =U ?U(?A)=A U U U U U U 反演律:?(A∩B)= (?A)∪(?B) ?(A∪B)= (?A)∩(?B) U U U U U U

6. 有限集的元素个数 定义:有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数,记为 card( A)规定 card(φ ) =0. 基本公式:
(1) ca rd ( A ? B ) ? ca rd ( A ) ? ca rd ( B ) ? ca rd ( A ? B ) (2 ) ca rd ( A ? B ? C ) ? ca rd ( A ) ? ca rd ( B ) ? ca rd ( C ) ? ca rd ( A ? B ) ? ca rd ( B ? C ) ? ca rd ( C ? A ) ? ca rd ( A ? B ? C )

(3) card(?A)= card(U)- card(A) U (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) ①将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)?(x-xm)>0(<0)形式, 并将各因式 x 的系数化 “+” (为 ; 了统一方便)②求根,并在数轴上表示出来; ③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?) ; ④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等 式是“<0”,则找“线”在 x 轴下方的区间.

x1

x2

x3

x m-3

-

x m-2 x m-1

+

-

xm

+

x

(自右向左正负相间) 则不等式 a 0 x ? a 1 x
n n ?1

? a2 x

n?2

? ? ? a n ? 0 ( ? 0 )( a 0 ? 0 ) 的解可以根据各区间的符号

确定. 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +box>0(a>0)解的讨论.
? ? 0 ? ? 0 ? ? 0

二次函数
y ? ax
2

? bx ? c

( a ? 0 )的图象 一元二次方程
ax
2

有两相异实根
x1 , x 2 ( x1 ? x 2 )

有两相等实根
x1 ? x 2 ? ? b 2a

? bx ? c ? 0

?a

? 0 ?的根

无实根

ax

2

? bx ? c ? 0

( a ? 0 )的解集
ax
2

?x x ? x 或 x ? x ?
1 2

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

? bx ? c ? 0

( a ? 0 )的解集

?x x

1

? x ?x2?

?

?

2.分式不等式的解法 (1)标准化:移项通分化为
f (x) g (x)

>0(或

f (x) g (x)

<0);

f (x) g (x)

≥0(或

f (x) g (x)

≤0)的形式,

(2) 转化为整式不等式 (组) 3.含绝对值不等式的解法

f (x)

? 0 ? f ( x ) g ( x ) ? 0;

f (x) g (x)

g (x)

? f (x)g (x) ? 0 ? 0 ? ? ? g (x) ? 0

(1)公式法: ax ? b ? c ,与 ax ? b ? c ( c ? 0 ) 型的不等式的解法. (2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论. (3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 2 一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) (1)根的“零分布” :根据判别式和韦达定理分析列式解之. (2)根的“非零分布” :作二次函数图象,用数形结合思想分析列式解之. (三)简易逻辑 1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题: “或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题; 、 、 由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题。 、 、 构成复合命题的形式:p 或 q(记作“p∨q” );p 且 q(记作“p∧q” );非 p(记 作“┑q” ) 。 3、 “或” “且” “非”的真值判断 、 、 (1) “非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相反; (2) 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真,其他情况时为假; “p (3) 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假,其他情况时为真. “p 4、四种命题的形式: 原命题:若 P 则 q; 逆命题:若 q 则 p; 否命题:若┑P 则┑q;逆否命题:若┑q 则┑p。 (1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题; (2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命 互 逆 原命题 逆命题 若 p则 q 若 q则 p 题; 互 否 为 (3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命 逆 互 互 题是逆否命题. 否 否 逆 为 否 5、四种命题之间的相互关系: 互
否命题 若 ┐p则 ┐q 互 逆

逆否命题 若 ┐q则 ┐p

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:(原命题 ? 逆否命题) ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真,它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。 6、如果已知 p ? q 那么我们说,p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件。 若 p ? q 且 q ? p,则称 p 是 q 的充要条件,记为 p?q.

7、反证法:从命题结论的反面出发(假设) ,引出(与已知、公理、定理?)矛盾,从 而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。

高中数学第二章-函数
考试内容:映射、函数、函数的单调性、奇偶性.反函数.互为反函数的函数图像间的关系. 指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数. 函数的应用. 考试要求: (1)了解映射的概念,理解函数的概念. (2)了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法. (3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数的反函数. (4) 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质, 掌握指数函数的概念、 图像 和 性质. (5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质. (6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.

§ 函数 知识要点 02.
一、本章知识网络结构:
定义 F:A?B 反函数 映射 函数 具体函数 一般研究 图像 性质 二次函数 指数 指数函数 对数 对数函数

二、知识回顾: (一) 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因 为这二者确定后, 值域也就相应得到确定, 因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数 才是同一函数. 3.反函数 反函数的定义

设函数 y ? f ( x )( x ? A ) 的值域是 C,根据这个函数中 x,y 的关系,用 y 把 x 表 示出,得到 x= ? (y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值,通过 x= ? (y),x 在 A 中都有唯一 的值和它对应, 那么, ? (y)就表示 y 是自变量, 是自变量 y 的函数, x= x 这样的函数 x= ? (y) (y ? C)叫 做 函数 y ? f ( x )( x ? A ) 的 反 函 数, 记 作 x ? f
?1

( y ) , 习 惯 上 改 写成

y ? f

?1

( x)

(二)函数的性质 ⒈函数的单调性 定义:对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ?若当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数; ?若当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格 的)单调性,这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性

正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f ( x ) 为奇 函数或偶函数的必要不充分条件; (2) f ( ? x ) ? f ( x ) 或 f ( ? x ) ? ? f ( x ) 是定义域上的恒等式。 2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数 的图象关于 y 轴成轴对称图形。反之亦真,因此,也 可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增 减性相反. 4. 如果 f ( x ) 是偶函数, f ( x ) ? f (| x |) , 则 反之亦成立。 x ? 0 时有意义,则 f ( 0 ) ? 0 。 若奇函数在
7. 奇函数,偶函数: ?偶函数: f ( ? x ) ? f ( x ) 设( a , b )为偶函数上一点,则( ? a , b )也是图象上一点.

偶函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于 y 轴对称,例如: y ②满足
? x
2

? 1 在 [1, ? 1) 上不是偶函数.

f ( ? x ) ? f ( x ) ,或 f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 ,若 f ( x ) ? 0 f (? x) ? ? f ( x)

时,

f (x) f (? x)

? 1.

?奇函数:

设( a , b )为奇函数上一点,则( ? a , ? b )也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称,例如: y ②满足
? x
3

在 [1, ? 1) 上不是奇函数. 时,
f (x) f (? x) ? ?1

f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,或 f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 ,若 f ( x ) ? 0

.

y 轴对称 ? 8. 对称变换:①y = f(x) ? ? ? ?

y ? f( ? x )

x 轴对称 ? ②y =f(x) ? ? ? ?

y ? ? f( x )

? ?? ③y =f(x) ? 原点对称 ?

y ? ? f( ? x )

9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如:
f (x1) ? f (x 2 ) ? x 1?b
2 2

?

x2 ?b

2

2

?

( x 1 ? x 2) x 1 ? x 2 ) ( xx ? b
2 2

?

x1 ? b

2

2

在进行讨论. 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如:已知函数 f(x)= 1+
x 1? x

的定义域为 A,函数 f[f(x)]的定义域是 B,则集合 A 与
? 1? , B ? A 故

B ? A 集合 B 之间的关系是 . 解:f ( x ) 的值域是 f ( f ( x )) 的定义域 B ,f ( x ) 的值域 ? R , B ? R , A ? ?x | x 故 而

.

11. 常用变换: ①
f (x ? y) ? f (x) f ( y) ? f (x ? y) ? f (x) f ( y)

.

证: ②
f(

f (x ? y) ?
x y

f ( y) f (x)

? f ( x ) ? f [( x ? y ) ? y ] ? f ( x ? y ) f ( y )

) ? f (x) ? f ( y) ? f (x ? y) ? f (x) ? f ( y) x y x y

证:

f (x) ? f (

? y) ? f (

) ? f ( y)

12. ?熟悉常用函数图象: 例: y
? 2
|x|

→ | x | 关于 y 轴对称.

?1? y ?? ? ?2?

| x ? 2|



?1? y ? ? ? ?2?

|x|



?1? y ?? ? ?2?

| x ? 2|




y



y

y

(-2,1)
(0,1)
x

x
x



y ?| 2 x

2

? 2x ?1 | →| y |

关于 x 轴对称.

y

x

?熟悉分式图象: 例: y
? 2x ?1 x?3 ? 2? 7 x?3



y

?

定义域 { x | x

? 3, x ? R } ,

2 x

值域 { y |

y ? 2 , y ? R } →值域 ? x

前的系数之比.

3

(三)指数函数与对数函数 指数函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1) 的图象和性质
x

a>1
4.5 4 3.5

0<a<1
4.5 4 3.5

图 象 性 质
-4 -3 -2 -1

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

y=1

1

y=1

0.5

0.5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-0.5

-0.5

-1

-1

(1)定义域:R (2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)x>0 时,y>1;x<0 时,0<y<1 (5)在 R 上是增函数 对数函数 y=logax 的图象和性质: 对数运算:
log a ( M ? N ) ? log log log log a M
a a

(4)x>0 时, 0<y<1;x<0 时,y>1. (5)在 R 上是减函数

M ? log
a

a

N

(1 )

? log
n

N M
n

a

M ? log

N

a

? n log 1 n

a

??
a

M

?

12 )

a
a

M ? ? N

log

M

log

N

换底公式: log 推论:log ? log
a1

a

N ?

log log

b b c

N a a ?1
a n ?1

a

b ? log

b

c ? log

a 2 ? log

a2

a 3 ? ... ? log

a n ? log

a1

an

(以上 M ? 0, N ? 0, a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1, c ? 0, c ? 1, a , a ...a 注?:当 a , b ? 0 时, log( a ? b ) ? log( ? a ) ? log( ? b ) .
1 2

n

? 0且 ? 1


n

?:当 M

? 0

时,取“+” ,当 n 是偶数时且 M
2 log
a

?0

时, M

? 0 ,而 M

? 0 ,故取“—”.

例如: log a x 2 ?

x ? ( 2 log a x

中 x>0 而 log

a

x

2

中 x∈R).

?y

? a

x

(a

? 0 , a ? 1 )与 y ? log

a

x

互为反函数.
? 1 时,则相反.

当 a ? 1 时, y

? log

a

x

的 a 值越大,越靠近 x 轴;当 0 ? a

(四)方法总结 ?.相同函数的判定方法:定义域相同且对应法则相同. ?对数运算: a>1 0<a<1

y

y=logax

a>1


O x



x=1

a<1

(1)定义域: (0,+∞)

(2)值域:R



(3)过点(1,0) ,即当 x=1 时,y=0



(4)x

? ( 0 ,1)



y ? 0
y>0

x ? ( 0 ,1)



y ? 0

x ? (1, ?? ) 时

x ? (1, ?? ) 时 y ? 0
在(0,+∞)上是减函数

(5)在(0,+∞)上是增函数

log a ( M ? N ) ? log log log log a M
a

a

M ? log
a

a

N

(1 )

? log
n

N M
n

a

M ? log

N

a

? n log 1 n

a

??
a

M

?12 )

a
a

M ? ? N

log

M

log

N

换底公式: log 推论:log ? log
a1

a

N ?

log log

b b c

N a a ?1
a n ?1

a

b ? log

b

c ? log

a 2 ? log

a2

a 3 ? ... ? log

a n ? log

a1

an

(以上 M ? 0, N ? 0, a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1, c ? 0, c ? 1, a , a ...a 注?:当 a , b ? 0 时, log( a ? b ) ? log( ? a ) ? log( ? b ) .
1 2

n

? 0且 ? 1


n

?:当 M

? 0

时,取“+” ,当 n 是偶数时且 M
2 log
a

?0

时, M

? 0 ,而 M

? 0 ,故取“—”.

例如: log a x 2 ? ?y
? a
x

x ? ( 2 log

a

x

中 x>0 而 log
x

a

x

2

中 x∈R).

(a

? 0 , a ? 1 )与 y ? log

a

互为反函数.
? 1 时,则相反.

当 a ? 1 时, y

? log

a

x

的 a 值越大,越靠近 x 轴;当 0 ? a

?.函数表达式的求法:①定义法;②换元法;③待定系数法. ?.反函数的求法:先解 x,互换 x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域). ?.函数的定义域的求法: 布列使函数有意义的自变量的不等关系式, 求解即可求得函数 的定义域.常涉及到的依据为①分母不为 0; ②偶次根式中被开方数不小于 0; ③对数的真数 大于 0,底数大于零且不等于 1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义 等. ?.函数值域的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法” ;③反函数法;④换元法; ⑤不等式法;⑥函数的单调性法. ?.单调性的判定法: ①设 x 1 ,x 2 是所研究区间内任两个自变量, x 1 <x 2 ; 且 ②判定 f(x 1 ) 与 f(x 2 )的大小;③作差比较或作商比较. ?.奇偶性的判定法: 首先考察定义域是否关于原点对称, 再计算 f(-x)与 f(x)之间的关 系:①f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数;②f(-x)-f(x)=0 为偶;f(x)+f(-x)=0 为奇;③f(-x)/f(x)=1 是偶;f(x)÷f(-x)=-1 为奇函数. ?.图象的作法与平移:①据函数表达式,列表、描点、连光滑曲线;②利用熟知函数的 图象的平移、翻转、伸缩变换;③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.

高中数学 第三章 数列
考试内容: 数列. 等差数列及其通项公式.等差数列前 n 项和公式. 等比数列及其通项公式.等比数列前 n 项和公式. 考试要求: (1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并 能根据递推公式写出数列的前几项. (2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能解决简单的实 际问题. (3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,井能解决简单的实 际问题. §03. 数 列 知识要点

数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系

项 项数 通项

数列

等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 等比数列

等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前 n 项和

等差数列

等差数列 定义 递推公 式 通项公 式 中项
a n ?1 ? a n ? d

等比数列
a n ?1 an ? q (q ? 0)

a n ? a n ?1 ? d

;an

? a m ? n ? md

a n ? a n ?1 q

;an

? amq
? 0

n?m

a n ? a 1 ? ( n ? 1) d

a n ? a1 q
G ? ?

n ?1

( a1 , q



A ?

a n?k ? a n?k 2

a n?k a n? k (a n?k a n? k ? 0)

( n, k ? N * , n ? 前 和
n

k ? 0



( n, k ? N * , n

? k ? 0





Sn ?

n 2

(a1 ? a n ) n ( n ? 1) 2

S n ? na 1 ?

d

? na 1 ( q ? 1) ? S n? ? a 1? q n a1?an q 1 ? (q ? 2) ? 1? q ? 1? q

?

?

重要性 质
a m ? a n ? a p ? a q (m , n, p, q ? N , m ? n ? p ? q)
*

a m ? a n ? a p ? a q (m , n, p, q ? N , m ? n ? p ? q )

*

1. ?等差、等比数列: 等差数列 定义
{ a n }为 A ? P ? a n ? 1 ? a n ? d ( 常数)

等比数列
{ a n }为 G ? P ? a n ?1 an
n?k

? q ( 常数)

通项公 式 求和公 式

a n = a 1 + n-1) a k + n-k) dn + a 1 -d ( d= ( d=

a n ? a1q

n ?1

? ak q

sn ? ? d 2

n ( a1 ? a n ) 2 n
2

? na 1 ? )n

n ( n ? 1) 2

d
sn

? ( a1 ?

d 2

? na 1 ? ? ? a 1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? ? 1? q ? 1? q

( q ? 1) ( q ? 1)

中项公 式

A=

a?b 2

推广: a n = a n ? m ? a n ? m 2

G

2

? ab 。推广: a n

2

? a n?m ? a n?m

性 质

1 2

若 m+n=p+q 则 a m ? a n ? a p ? a q 若 { k n } 成 A.P (其中 k n ? N ) { a k } 则
n

若 m+n=p+q,则 a m a n ? a p a q 。 若 { k n } 成等比数列 (其中 k n ? N ) , 则 { a k } 成等比数列。
n

也为 A.P。 3

. s n , s 2 n ? s n , s 3 n ? s 2 n 成等差数列。 s n , s 2 n ? s n , s 3 n ? s 2 n 成等比数列。

4
d ?

a n ? a1 n ?1

?

am ? an m ?n

(m ? n)

q

n ?1

?

an a1



q

n?m

?

an am

(m ? n)

5 ?看数列是不是等差数列有以下三种方法: ① a n ? a n ?1 ? d ( n ? 2 , d 为常数 ) ②2 a n ? a n ? 1 ? a n ?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数). ?看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① a n ? a n ?1 q ( n ? 2 , q 为常数 , 且 ? 0 )
2 ②an

? a n ? 1 ? a n ?1 ( n ? 2

, a n a n ? 1 a n ?1

? 0)



注①:i. ii. iii. iv.
b ?

b ?

ac

,是 a、b、c 成等比的双非条件,即 b

?

ac

a、b、c 等比数列.

ac

(ac>0)→为 a、b、c 等比数列的充分不必要.
ac

b ? ?

→为 a、b、c 等比数列的必要不充分. 且 ac
? 0

b ? ? ac

→为 a、b、c 等比数列的充要.

注意:任意两数 a、c 不一定有等比中项,除非有 ac>0,则等比中项一定有两个. ③an
? cq
n

( c, q 为非零常数).
x

④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ log

an

}( x

? 1 )成等比数列.

?数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n [注]: ① a n ? a 1 ? ?n ? 1?d
? nd ? ? a 1 ? d ? ( d

? s 1 ? a 1 ( n ? 1) ? ? ? s n ? s n ?1 ( n ? 2 )

可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数
d 2

列也是等差数列)→若 d 不为 0,则是等差数列充分条件). ②等差{ a n }前 n 项和 S n ?
An
2

d ? ?d ? 2 ? ? Bn ? ? ? n ? ? a 1 ? ? n 2 ? ? 2 ? ?



可以为零也可不为零→为等差

的充要条件→若 d 为零, 则是等差数列的充分条件; d 不为零, 若 则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) .. 2. ① 等 差 数 列 依 次 每 k 项 的 和 仍 成 等 差 数 列 , 其 公 差 为 原 公 差 的 k2 倍 S k , S 2 k ? S k , S 3 k ? S 2 k ... ; ②若等差数列的项数为 2 n ?n ? N ? ? ,则 S 偶 ? S 奇 ?
nd ,
S S
奇 偶

?

an a n ?1


? n n ?1

③若等差数列的项数为 2 n ? 1?n ? N ? ? ,则 S 2 n ?1 ? ?2 n ? 1?a n ,且 S 奇 ? S 偶 ? a n , S 奇
S偶

? 代入 n 到 2 n ? 1得到所求项数

.
n ?n ? 1? 2

3. 常用公式:①1+2+3 ?+n = ②1 2 ?2 2 ?3 2 ? ? n 2 ?

n ? n ? 1 ?? 2 n ? 1 ? 6

? n ?n ? 1? ? ③1 ? 2 ? 3 ? n ? ? ? 2 ? ?
3 3 3 3

2

[注]:熟悉常用通项:9,99,999,… ?

a n ? 10

n

?1;

5,55,555,… ?

an ?

5 9

?10

n

?1

?.

4. 等比数列的前 n 项和公式的常见应用题: ?生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为 a ,年增长率为 r ,则每年的产 量成等比数列,公比为 1 ? r . 其中第 n 年产量为 a (1 ? r ) n ? 1 ,且过 n 年后总产量为:
a [ a ? (1 ? r ) ] 1 ? (1 ? r )
n

a ? a (1 ? r ) ? a (1 ? r )

2

? ... ? a (1 ? r )

n ?1

?

.

?银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存 a 元,利息为 r ,每月利息按 复利计算,则每月的 a 元过 n 个月后便成为 a (1 ? r ) n 元. 因此,第二年年初可存款:
a (1 ? r )[ 1 ? (1 ? r ) 1 ? (1 ? r )
12

a (1 ? r )

12

? a (1 ? r )

11

? a (1 ? r )

10

? ... ? a (1 ? r ) =

]

.

?分期付款应用题:a 为分期付款方式贷款为 a 元;m 为 m 个月将款全部付清;r 为年利率.
a ?1 ? r ?
m

? x ?1 ? r ?

m ?1

? x ?1 ? r ?

m?2

? ...... x ?1 ? r ? ? x ? a ?1 ? r ?

m

?

x ?1 ? r ? r

m

?1

? x ?

ar ?1 ? r ?

m

?1 ? r ? m

?1

5. 数列常见的几种形式: ? a n ? 2 ? pa n ? 1 ? qa n (p、q 为二阶常数) ? 用特证根方法求解. 具体步骤: ①写出特征方程 x 2 ?
Px ? q x (
2

对应 a n ? 2 , 对应 a n ? 1 ) 并设二根 x 1 , x 2 ②若 x 1 ? x 2 x ,
(c 1 ? c 2 n ) x
n 1

可设 a n . ? c 1 x n ? c 2 x n ,若 x 1 ? x 2 可设 a n ? 1 2 ?an?
Pa
n ?1 ? r

;③由初始值 a 1 ,a 2 确定 c 1 ,c 2 .

(P、r 为常数) ? 用①转化等差,等比数列;②逐项选代;③消去常数 n
n ? 1 ? qa n

转化为 a n ? 2 ? 由 a 1 ,a 2 确定.

Pa

的形式,再用特征根方法求 a n ;④ a n ? c 1 ? c 2 P n ?1 (公式法) c 1 ,c 2 ,

①转化等差,等比: a n ? 1 ? x ②选代法: a n ?
?P
n ?1

? P ( a n ? x ) ? a n ? 1 ? Pa

n

? Px ? x ? x ? r P ?1

r P ?1
n ?1

.
r ? (a 1 ? x) P
n ?1

Pa

n ?1 ? r

? P ( Pa

n?2

? r ) ? r ? ? ? a n ? (a 1 ?

)P

?

P ?1

?x

a1?P

n?2

? r ? ? ? Pr ? r

.

③用特征方程求解:

a n ? 1 ? Pa

?r? ? 相减, ? a n ? 1 ? a n ? Pa a n ? Pa n ? 1 ? r ?
n

n

? Pa

n ?1 ?

a n ? 1 ? P ? 1) a n ? Pa (

n ?1

.

④由选代法推导结果: c 1 ?

r 1? P

, c 2 ?a1?

r P ?1

, a n ?c 2 P

n ?1

?c1? a1? (

r P ?1

)P

n ?1

?

r 1? P

.

6. 几种常见的数列的思想方法: ?等差数列的前 n 项和为 S n ,在 d 两种方法: 一是求使 a n
? 0 , a n ?1 ? 0

?0

时,有最大值. 如何确定使 S n 取最大值时的 n 值,有
d 2 d 2

, 成立的 n 值; 二是由 S n

?

n

2

? (a1 ?

)n

利用二次函数的性质求 n

的值. ?如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积, 求此数列前 n 项和可依 照等比数列前 n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如: 1 ?
1 2 ,3 1 4 ,...( 2 n ? 1) 1 2
n

,...

?两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列, 此等差数列的首项就是原两个数列的第 一个相同项,公差是两个数列公差 d 1, d 2 的最小公倍数.

2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数, 验 证 a n ? a n ?1 (
an a n ?1
2

) 为 同 一 常 数 。 (2) 通 项 公 式 法 。 (3) 中 项 公 式 法 : 验 证

2 a n ? 1 ? a n ? a n ? 2 ( a n ? 1 ? a n a n ? 2 ) n ? N 都成立。

3. 在等差数列{ a n }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a 1 >0,d<0 时,满足 ?
?a m ? 0 ? a m ?1 ? 0

?a m ? 0 ? a m ?1 ? 0

的项数 m

使得 s m 取最大值. (2)当 a 1 <0,d>0 时,满足 ?

的项数 m 使得 s m 取最小值。在解含绝

对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 (三) 、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ?
? c ? ? 其中{ a n }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部 ?

? a n a n ?1

分无理数列、含阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于 ?a n b n ? 其中{ a n }是等差数列, ?b n ? 是各项不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论 1): 1+2+3+...+n =
n ( n ? 1) 2

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n

2

3) 1 ? 2 ? ? ? n ? ? n ( n ? 1) ? ?2 ?
3 3 3

?1

?

2

4) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

1 6

n ( n ? 1)( 2 n ? 1)
1 1 1 1 ( ? ) 2 n n?2

5)

1 n ( n ? 1) 1 pq

?

1 n

?

1 n ?1 1 q

n(n ? 2)

?

6)

?

1 q? p

(

1 p

?

)

( p ? q)

高中数学第四章-三角函数
考试内容:
角的概念的推广.弧度制. 任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱 导公式. 两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切. 正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数 y=Asin(ω x+φ )的图像.正切函数的图 像和性质.已知三角函数值求角. 正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考试要求:
(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算. (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三 角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义. (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. (4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余 弦函数和函数 y=Asin(ω x+φ )的简图,理解 A.ω 、φ 的物理意义. (6)会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. (8) “同角三角函数基本关系式:sin2α +cos2α =1,sinα /cosα =tanα ,tanα ?cosα =1” .

§ 三角函数 知识要点 04.
1. ① 与 ? ( 0°≤ ? < 360°) 终 边 相 同 的 角 的 集 合 ( 角 ? 与 角 ? 的 终 边 重 合 ) :

?? | ?

? k ? 360

?

??,k ? Z

?
? k ? 180 , k ? Z
? ? ?



y

②终边在 x 轴上的角的集合: ?? | ? ③终边在 y 轴上的角的集合: ?? | ?

? ?

3 sin x 4 c o sx c o sx

2 sin x 1 c o sx

? k ? 180

? 90 , k ? Z
?

x
c o sx 4 sin x 2 sin x 3

④终边在坐标轴上的角的集合: ?? | ? ⑤终边在 y=x 轴上的角的集合: ?? | ? ⑥终边在 y
? ?x

? k ? 90 , k ? Z
? ?

? ? ?

1

? k ? 180

? 45 , k ? Z
? ?

S IN \C O S 三 角 函 数 值 大 小 关 系 图 1、 2、 3、 4表 示 第 一 、 二 、 三 、 四象限一半所在区域

轴上的角的集合: ?? | ?

? k ? 180

? 45 , k ? Z

⑦若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ⑧若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ⑨若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ⑩角 ? 与角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 与角 ? 的关系: ?
?

? 360 k ? ?
? ?

?

? 360 k ? 180
?

??

? 180 k ? ?
?

? 360 k ? ? ? 90

2. 角度与弧度的互换关系:360° ? 180° ? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ =2 = 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、 弧度与角度互换公式: 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
?

1°=
1 2
y

?
180

≈0.01745 (rad)

3、弧长公式: l ? | ? | ? r .

扇形面积公式: s 扇 形 ?

1 2

lr ?

|? | ? r

2

4、三角函数:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于 原点的)一点 P(x,y)P 与原点的距离为 r,则
cos ? ? x r

sin ? ?

y r


r y

a的 终边
P(x,y)



tan ? ?

y x



cot ? ?

x y



sec ? ?

r x

;.

csc ? ?

.

r

o

x

5、三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦)
y y

+ + o x - 正弦、余割

- + o - + x
余弦、正割

y

y P T

- + o x + 正切、余切
O

M

Ax

6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.
16. 几个重要结论 : (1)
y

(2)

y

|sinx|>|cosx|

7. 三角函数的定义域:

sinx>cosx
O x

|cosx|>|sinx| O

|cosx|>|sinx| x

cosx>sinx |sinx|>|cosx| ? (3) 若 o<x< ,则sinx<x<tanx 2

三角函数 f ( x ) ? sinx
f (x) ? f (x) ?

cosx tanx cotx secx cscx
cos ? ? tan ?
c o s? s i n? ? c o t?

定义域 ?x | x ? R ? ?x | x ? R ?
1 ? ? ? x | x ? R 且 x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

f (x) ? f (x) ?

?x | x ? R 且 x ?

k? , k ? Z ?

1 ? ? ? x | x ? R 且 x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

f (x) ?

?x | x ? R 且 x ?

k? , k ? Z ?

8、同角三角函数的基本关系式: sin ?
tan ? ? cot ? ? 1
sin
2 2

csc ? ? sin ? ? 1
2 2

s e c? ? c o s? ? 1
2 2

? ? cos ? ? 1 sec ? ? tan ? ? 1 csc ? ? cot

? ?1

9、诱导公式:
把 k? 2 ? ?的 三 角 函 数 化 为 ?的 三 角 函 数 , 概 括 为 :

“奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式: (一)基本关系
公式组一 sinx· cscx= 1 tanx=
sin x co s x

公式组二
sin x + co s x= 1
2 2 2 2

公式组三
s i n? x ) ? ? s i nx ( c o s ? x ) ? c o sx ( t a n ? x ) ? ? t a nx ( c o t ? x ) ? ? c o tx (

sin( 2 k ? ? x ) ? sin x cos( 2 k ? ? x ) ? cos x tan( 2 k ? ? x ) ? tan x cot( 2 k ? ? x ) ? cot x

co sx· secx = 1 tanx· co tx= 1

x=

co s x sin x

1 + tan x = sec x 1 + co t x= csc x
2 2

公式组四
sin( ? ? x ) ? ? sin x cos( ? ? x ) ? ? cos x tan( ? ? x ) ? tan x cot( ? ? x ) ? cot x

公式组五
s i n 2? ? x ) ? ? s i nx ( c o s 2? ? x ) ? c o sx ( t a n 2? ? x ) ? ? t a nx ( c o t 2? ? x ) ? ? c o tx (

公式组六
s i n?( ? x ) ? s i nx c o s ? ? x ) ? ? c o sx ( t a n? ? x ) ? ? t a nx ( c o t? ? x ) ? ? c o tx (

(二)角与角之间的互换 公式组一
cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

公式组二
s i n2? ? 2 s i n c o s ? ?

c o s2? ? c o s ? ? s i n ? ? 2 c o s ? ? 1 ? 1 ? 2 s i n ?
2 2 2 2

t a n2? ?

2 t a n? 1? t an ?
2

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

sin

?
2

? ?

1 ? c o s? 2

tan( ? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

cos

?
2

? ?

1 ? cos ? 2

tan( ? ? ? ) ?

tan

?
2

? ?

1 ? cos ? 1 ? cos ?

?

sin ? 1 ? cos ?

?

1 ? cos ? sin ?

公式组三
2 tan sin ? ? 1 ? tan

公式组四
?
2
2

sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? cos ? cos ? ?

1 1

2

?sin ?? ?sin ?? ?cos ??

? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ?

??
cos(

公式组五
1 2 sin( 1 2 tan( 1 2

? ? ? ) ? sin ?
? ? ? ) ? cos ? ? ? ? ) ? cot ?

?
2

2 1 2 sin ? sin ? ? ?

?? ?? ??

? ? ? ? cos ?? ? ?

1 ? tan cos ? ? 1 ? tan

2

?
2

1 2

?cos ??

? ? ? ? cos ?? ? ?
cos sin cos sin

2

?
2

sin ? ? sin ? ? 2 sin sin ? ? sin ? ? 2 cos cos ? ? cos ? ? 2 cos

? ??
2 ? ?? 2 ? ??

? ??
2 ? ??

cos(

1 2

? ? ? ) ? ? sin ?

2 tan tan ? ? 1 ? tan

?
2
2

? ??
? ??
2
?

2

tan(

1 2

? ? ? ) ? ? cot ?
? ? ? ) ? cos ?
?

?
2

cos ? ? cos ? ? ? 2 sin
2

? ??
2

2

2

sin(
? 2?

1 2

sin 15

?

? cos 75

?

?

6 ? 4

, sin

75

?

? cos 15

?

?

6 ? 4

2

, tan 15 ?

? cot 75

3 , tan 75

? cot 15

?

? 2?

3

.

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R 且 x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

y ? A sin ?? x ? ? ?

(A、 ? >0) R

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[ ? 1, ? 1]

R
[ ? 1, ? 1]

?x | x ? R 且 x ?

k? , k ? Z ?

R
?

R
?

??

A, A ?
2?

2?

2?

?

奇函数
?
2

偶函数
[ ? 2 k ? 1 ?? , 2 k? ]

奇函数
? ? ? ? ? k? , ? k? ? ?? 2 ? 2 ?

奇函数

当? 当?

? 0, ?

非奇非偶 0 , 奇函数

[?

? 2 k? ,



?k ? , ?k ? 1?? ? 上为减函
数( k ? Z )

?
2

? 2 k? ]

上为增函 数
[2 k? ,

上 为 增 函 数 (k ? Z )

上为增函 数 ; 单调性
[

?2 k

? 1 ?? ]

? ? ? ?? ? 2 k? ? ? 2 ( A ), ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 2 k? ? ? ? ? ? 2 ? (? A)? ? ? ?

?
2

? 2 k? , ? 2 k? ]

3? 2

上为减函 数 (k ? Z )

上为增函数;
? ? ? ?? ? 2 k? ? ? 2 ( A ), ? ? ? ? ? ? ? 3 2 k? ? ? ? ? ? ? 2 (? A)? ? ? ? ?

上为减函 数 k?Z ) (

上 为 减 函 数 (k ? Z ) 注意:① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反; y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相 反.一般地,若 y ? f ( x ) 在 [ a , b ] 上递增(减) ,则 y ? ? f ( x ) 在 [ a , b ] 上递减(增).


②y? ③y

sin x

与y

? cos x

的周期是 ? . (?
? 0

y

? sin( ? x ? ? ) 或 y ? cos( ? x ? ? )
x 2

)的周期 T

?

2?

?

.
x O

y ? tan

的周期为 2 ? ( T

?

? ?

? T ? 2?

,如图,翻折无效).
?
2

④y

? sin( ? x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k ? ?
? k?( k ? Z

(k ? Z ) ,对称中心( k ? , 0 ) y ;
? 1 2

?sc (o

?x ? ? )



对称轴方程是 x
原点对称

) 对称中心 k ? , (

? ,0

) y ? (a ; nt

( ? x ? ? ) 的对称中心

k? 2

. ,0 )

y ? cos 2 x ? ? ? ? y ? ? cos( ? 2 x ) ? ? cos 2 x ?

tan ⑤当 tan ? · ?

? 1, ? ? ? ? k ? ?

?
2

(k ? Z )

tan ; tan ? · ?

? ? 1, ? ? ? ? k ? ?

?
2

(k ? Z )

.

⑥y

? cos x

与y

? ? ? ? sin ? x ? ? 2 k? ? 2 ? ?
1 2

是同一函数,而 y

? (? x ? ? )

是偶函数,则

y ? (? x ? ? ) ? sin( ? x ? k ? ?

? ) ? ? cos( ? x ) .

⑦函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.(× [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域, )
y ? tan x 为增函数,同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是 f ( x ) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定 义域关于原点对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x) ? ? f ( x) ) 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y ? tan x 是奇函数, y 义域不关于原点对称) 奇函数特有性质:若 0 ? x 的定义域,则 f ( x ) 一定有 质)


f (? x) ? f ( x)

,奇函数:

? tan( x ?

1 3

? ) 是非奇非偶.(定

f (0) ? 0

.( 0 ? x 的定义域,则无此性



⑨y

? sin x

不是周期函数; y

? sin x

为周期函数( T ? ? ) ; 为周期函数( T ? ? ) ;

y

y

x

1 /2 x

y ? cos x

是周期函数(如图) y ;
1 2

? cos x

y = c o s|x |图 象

y ? cos 2 x ?

的周期为 ? (如图) ,并非所有周期函数都有最小正周期,例如: .
2

y = |c o s2 x + 1 /2 |图 象

y ? f ( x ) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R

⑩y

? a cos ? ? b sin ? ?

a ?b
2

sin( ? ? ? ) ? cos ? ?

b a



a ?b
2

2

? y

.

11、三角函数图象的作法:
1) 、几何法: 2) 、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线) ,三点二线作图法(正、余切曲 线). 3) 、利用图象变换作三角函数图象. 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数 y=Asin(ω x+φ)的振幅|A|,周期 T
? 2? |? |

,频率 f

?

1 T

?

|? | 2?

,相位 ? x ? ? ; 初相 ?

(即当 x=0 时的相位)(当 A>0,ω >0 时以上公式可去绝对值符号) . , 由 y=sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当 0<|A| <1)到原来的|A|倍,得到 y=Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换. (用 y/A 替换 y) 由 y=sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变, 横坐标伸长 (0<|ω |<1) 或缩短 (|ω |>1) 到原来的 | 1 | 倍,得到 y=sinω x 的图象,叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换.(用ω x
?

替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向左 (当 φ>0) 或向右 (当 φ<0) 平行移动|φ|个单位, 得到 y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移.(用 x+φ 替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向上(当 b>0)或向下(当 b<0)平行移动|b|个单位, 得到 y=sinx+b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移. (用 y+(-b)替换 y)

由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ω x+φ) (A>0,ω >0) (x∈R)的 图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区 别。 4、反三角函数: 函数 y=sinx, ? x ? ? ? ? , ? ? 的反函数叫做反正弦函数,记作 y=arcsinx,它的定义域是[-1, ? ? ?
? ? ? ? 2 ? 2 ?? ?

1] ,值域是 ?- ? , ? . ?
? ? 2 2? ?

函数 y=cosx, (x∈[0,π ] )的反应函数叫做反余弦函数,记作 y=arccosx,它的定 义域是[-1,1] ,值域是[0,π ] . 函数 y=tanx, x ? ? ? ? , ? ? ?
? ? ? ? 2
? ? ? 2 ?

?? ?? ? 2 ??

的反函数叫做反正切函数, 记作 y=arctanx, 它的定义域是 (-

∞,+∞) ,值域是 ? ? ? , ? . ?
2

函数 y=ctgx, [x∈(0,π ) ]的反函数叫做反余切函数,记作 y=arcctgx,它的定义域 是(-∞,+∞) ,值域是(0,π ) . II. 竞赛知识要点 一、反三角函数. 1. 反三角函数: ?反正弦函数 y ? arcsin x 是奇函数, arcsin( ? x ) ? ? arcsin x , ? ?? 1,1(一 故 ? x 定要注明定义域,若 x ? ? ? ? , ?? ? ,没有 x 与 y 一一对应,故 y ? sin x 无反函数) 注: sin(arcsin
? ? ? ? x ) ? x , x ? ?? 1,1? , arcsin x ? ? , ? 2 2? ? ?

.

?反余弦函数 y ? arccos x 非奇非偶,但有 arccos( ? x ) ? arccos( x ) ? ? ? 2 k ? , x ? ?? 1,1? . 注:① cos(arccos x ) ? x , x ? ?? 1,1? , arccos x ? ?0 , ? ? . ② y ? cos x 是偶函数, y ? arccos x 非奇非偶,而 y ? sin x 和 y ? arcsin x 为奇函数. ?反正切函数: y
? arctan x

,定义域 ( ?? , ?? ) ,值域( ?

? ?
, 2 2

) y ?aca , nt r

x

是奇函数,

, x ? ( ?? , ?? ) . 注: tan(arctan x ) ? x , x ? ( ?? , ?? ) .
arctan( ? x ) ? ? arctan x

?反余切函数: y

? arc cot x ,定义域 ( ?? , ?? )

,值域( ?

? ?
, 2 2

r a ) y ?c ,

tc o

x 是非奇非偶.

arc cot( ? x ) ? arc cot( x ) ? ? ? 2 k ? , x ? ( ?? , ?? ) . 注:① cot( arc cot x ) ? x , x ? ( ?? , ?? ) . ② y ? arcsin x 与 y ? arcsin( 1 ? x ) 互为奇函数,y ? arctan 非奇非偶但满足 arccos( ? x ) ? arccos x ? ? ? 2 k ? , x ? [ ? 1,1]arc

x

同理为奇而 y

? arccos

cot x ? arc cot( ? x ) ? ?

与 y ? arc ? 2 k ? , x ? [ ? 1,1] .
x

cot x

? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集: a 的取值范围 解集 ① sin
x ? a

a

的取值范围
x ? a

解集

的解集

② cos

的解集

a

>1 =1 <1
?x | x

?
? 2 k ? ? arcsin a , k ? Z ?

a

>1
?x | x ? 2 k ?

?

a

a

=1

? arccos a , k ? Z ?

a

?x | x ? k ? ? ?? 1?
x ? a 的解集: ?x | x

k

arcsin a , k ? Z
a, k ? Z ?

?

a

<1

?x | x ? k ?
? a

? arccos a , k ? Z ?

③ tan

? k ? ? arctan

③ c o tx

的解集: ?x | x ? k ? ? a r cc o ta , k ? Z ?
3

二、三角恒等式. 组一 组二

cos ? cos 2? cos 4? ... cos 2 ? ?
n

sin 2 2
n ?1

n ?1

?

sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin ? cos 3? ? 4 cos
3

sin

2

? ? sin
2

2

? ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ?
2

?

sin ?

? ? 3 cos ?

? cos

? ? cos

?

? cos
k ?1

n

?
2
k

? cos

?
2

cos

?
4

cos

?
8

? cos

?
2
n

?

sin ? 2 sin
n

?
2
n

? cos( x ? kd ) ? cos
k ?0

n

x ? cos( x ? d ) ? ? ? cos( x ? nd ) ?

sin(( n ? 1) d ) cos( x ? nd ) sin d

? sin( x ? kd ) ? sin
k ?0

n

x ? sin( x ? d ) ? ? ? sin( x ? nd ) ?

sin(( n ? 1) d ) sin( x ? nd ) sin d

tan( ? ? ? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? tan ? tan ? 1 ? tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan ?

组三 三角函数不等式
sin x

< x < tan
??

x, x ? (0,

?
2

)

f (x) ?

sin x x

在 ( 0 , ? ) 上是减函数

若A? B?C

,则 x 2 ? y 2 ? z 2 ?

2 yz cos A ? 2 xz cos B ? 2 xy cos C

高中数学第五章-平面向量
考试内容: 向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面 向量的数量积.平面两点间的距离、平移. 考试要求: (1)理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式,以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用 掌握平移公式.

§ 平面向量 知识要点 05.
1.本章知识网络结构

?
2.向量的概念? (1)向量的基本要素:大小和方向.?(2)向量的表示:几何表示法 AB ;字母表示:a; 坐标表示法 a=xi+yj=(x,y).? (3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|.? (4)特殊的向量:零向量 a=O ? |a|=O.? 单位向量 aO 为单位向量 ? |aO|=1.? (5)相等的向量:大小相等,方向相同?(x1,y1)=(x2,y2) ? ?
? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2

(6) 相反向量:a=-b ? b=-a ? a+b=0 (7)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作 a∥b.平行向量也称 为共线向量.? 3.向量的运算? 运算类型 向量的 加法 几何方法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 坐标方法
? ? a ? b ? ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 )

运算性质
? ? ? ? a?b?b?a
? ? ? ? ? ? ( a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

AB ? BC ? AC

向量的 减法

三角形法则

? ? a ? b ? ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 )

? ? ? ? a ? b ? a ? (?b )

??? ? ??? ? A B ? ? B A , OB ? OA ? AB

1. ? a 是 一 个 向 量 , 满 数 乘 向 量 足: | ? a |? | ? || a | 2. ? >0 时, ? a与 a 同向;
? ? ? <0 时, ? a与 a 异向;
? ? ? =0 时, ? a ? 0 .

?

?

?

? ( ? a ) ? (? ? )a
? ? ? (? ? ? )a ? ? a ? ? a

?

?

?

?

? a ? (? x, ? y )

?

? (a ? b) ? ? a ? ? b
? ? ? ? a // b ? a ? ? b

?

?

?

?

? ? a ? b 是一个数

? ? ? ? a?b ? b?a
? ? ? ? ? ? (? a ) ? b ? a ? (? b ) ? ? (a ? b )

向 量 的 数 量 积

? ? ? ? 1. a ? 0或 b ? 0 时, ? ? a?b ? 0 .
? ? ? ? a ? 0且 b ? 0时 , 2. ? ? ? ? a ?b ? | a || b | co s( a , b )

? ? a ? b ? x1 x 2 ? y 1 y 2

? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c
?2 ? ?? 2 a ? | a | 即 |a |= x ? y
2 2

? ? ? ? | a ? b |? | a || b |

4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理? e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一 对实数λ 1, λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2.? (2)两个向量平行的充要条件? a∥b ? a=λ b(b≠0) ? x1y2-x2y1=O.? (3)两个向量垂直的充要条件? a⊥b ? a·b=O ? x1x2+y1y2=O.? (4)线段的定比分点公式? 设点 P 分有向线段 P1 P2 所成的比为λ ,即 P1 P =λ PP 2 ,则?
OP =
1 1? ?

OP 1 +

1 1? ?

OP 2 (线段的定比分点的向量公式)?

x1 ? ? x 2 ? , ?x ? ? 1? ? (线段定比分点的坐标公式)? ? ? y ? y1 ? ? y 2 . ? 1? ? ?

当λ =1 时,得中点公式:?
x1 ? x 2 ? , ?x ? 1 ? 2 OP = ( OP 1 + OP 2 )或 ? 2 ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ?

(5)平移公式 设点 P(x,y)按向量 a=(h,k)平移后得到点 P′(x′,y′) , 则 O P ? = OP +a 或 ?
? x ? ? x ? h, ? y? ? y ? k.

曲线 y=f(x)按向量 a=(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为: y-k=f(x-h) (6)正、余弦定理? 正弦定理:
2

a sin A
2

?
2

b sin B

?

c sin C

? 2 R.

余弦定理:a =b +c -2bccosA,? 2 2 2 b =c +a -2cacosB,? 2 2 2 c =a +b -2abcosC.? (7)三角形面积计算公式: 设△ABC 的三边为 a,b,c,其高分别为 ha,hb,hc,半周长为 P,外接圆、内切圆的半径 为 R,r. ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△=
P ? P ? a ?? P ? b ?? P ? c ?

[海伦公式]

⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下图]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb [注]:到三角形三边的距离相等的点有 4 个,一个是内心,其余 3 个是旁心.A 如图: A
A

E

F

A c

c

c
b

b

O
B N

D I

F b
D

B E ra

a C F ra I

C

C

a

B

B

a E

C

ra

1图

图2

图3

图4

图 1 中的 I 为 S△ABC 的内心, S△=Pr 图 2 中的 I 为 S△ABC 的一个旁心,S△=1/2(b+c-a)ra

附:三角形的五个“心” ; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. ?已知⊙O 是△ABC 的内切圆, BC=a, 若 AC=b, AB=c [注: 为△ABC 的半周长,即 s 则:①AE= s ? a =1/2(b+c-a) ②BN= s ? b =1/2(a+c-b) ③FC= s ? c =1/2(a+b-c) 综合上述:由已知得,一个角的邻边的切线长,等于半周长减去对边(如图 4). 特例:已知在 Rt△ABC,c 为斜边,则内切圆半径 r= ?在△ABC 中,有下列等式成立 tan 证明:因为 A ? B
a?b?c 2 ? ab a?b?c

a?b?c 2

]

(如图 3).

A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C

.
? ? tan C

? ? ? C , 所以 tan ? A ? B ? ? tan ?? ? C ? ,所以

tan A ? tan B 1 ? tan A tan B
2

,? 结论!

?在△ABC 中,D 是 BC 上任意一点,则 AD 证明:在△ABCD 中,由余弦定理,有 AD 在△ABC 中,由余弦定理有 cos 可得, AD
2
2

2

?

AC

2

BD ? AB BC

BC

? BD ? DC

.

? AB
2

2

? BD
2

2

? 2 ? AB ? BD cos B ?



B ?

AB

2

? BC

? AC

2 AB ? BC

?

②,②代入①,化简
A

?

AC

2

BD ? AB BC

2

BC

? BD ? DC

(斯德瓦定理)
? 2c
2

图 5

①若 AD 是 BC 上的中线, m a ②若 AD 是∠A 的平分线, t a ③若 AD 是 BC 上的高, h a ?△ABC 的判定:
?

?

1 2

2b

2

?a

2


B ,其中 p 为半周长; D C

? 2 a

2 b?c

bc ? p ? p ? a ?

p ? p ? a ?? p ? b ?? p ? c ?

,其中 p 为半周长.

c ? a ? b ? △ABC 为直角△ ? ∠A + ∠B = ?
2 2 2

2

c

2

< a 2 ? b 2 ? △ABC 为钝角△ ? ∠A + ∠B< > a 2 ? b 2 ? △ABC 为锐角△ ? ∠A + ∠B>
C ? a ?b ?c
2 2 2

?
2

c

2

?
2

附:证明: cos

,得在钝角△ABC 中, cos C ? 0 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 0 , ? a 2 ? b 2 ? c 2

2 ab

?平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方和.
a ? b ? a ? b ? 2( a ? b )
2 2 2 2

空间向量
1.空间向量的概念: 具有大小和方向的量叫做向量 注:?空间的一个平移就是一个向量 ?向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ?空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ? ? BA ? OA ? OB ? a ? b

? OP ? ? a ( ? ? R )

运算律:?加法交换律: a ? b ? b ? a
? ? ? ? ?

?

?

?

?

?加法结合律: ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ) ?数乘分配律: ? ( a ? b ) ? ? a ? ? b
王新敞
奎屯 新疆

?

?

?

?

?

3 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平 行向量. a 平行于 b 记作 a // b . 当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是 同一直线,也可能是平行直线. 4.共线向量定理及其推论: 共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) a // b 的充要条件是存在实数 λ, , 使 a =λ b . 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式
? OP ? OA ? t a . ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量. 5.向量与平面平行: 已知平面 ? 和向量 a ,作 O A ? a ,如果直线 O A 平行于 ? 或在 ? 内,那么我们说向量 ? ? a 平行于平面 ? ,记作: a // ? . 通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量 说明:空间任意的两向量都是共面的 6.共面向量定理:
王新敞
奎屯 新疆

?

?

??? ?

?

王新敞
奎屯

新疆

如 果 两 个 向 量 a , b 不 共 线 , p 与 向 量 a , b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 x, y 使

? ?

?

? ?

? ? ? p ? xa ? yb

王新敞
奎屯

新疆

推论:空间一点 P 位于平面 M A B 内的充分必要条件是存在有序实数对 x , y ,使 ???? ???? ???? ??? ? ???? ? ???? ???? M P ? x M A ? y M B 或对空间任一点 O ,有 O P ? O M ? x M A ? y M B ① ①式叫做平面 M A B 的向量表达式 7 空间向量基本定理:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

如果三个向量 a , b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序实数组
? ? ? ? x , y , z ,使 p ? xa ? yb ? zc

? ? ?

?

王新敞
奎屯

新疆

推论:设 O , A , B , C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个 有序实数 x , y , z ,使 O P ? xO A ? y O B ? z O C 8 空间向量的夹角及其表示:
王新敞
奎屯 新疆

??? ?

??? ?

??? ?

????
王新敞
奎屯 新疆

已知两非零向量 a , b , 在空间任取一点 O , O A ? a , O B ? b , ? A O B 叫做向量 a 与 作 则
? ? ? ? ? ? ? ? ? b 的 夹 角 , 记 作 ? a , b ? ; 且 规 定 0 ?? a , b ?? ? , 显 然 有 ? a , b ??? b , a ? ; 若
? ? ? ? ? ? ? ? a , b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作: a ? b . 2

? ?

??? ?

? ? ???

?

?

9.向量的模: 设 O A ? a ,则有向线段 O A 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | . 10.向量的数量积: a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a , b ? . 已知向量 A B ? a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量,作点 A 在 l 上的射影 A ? , 作点 B 在 l 上的射影 B ? ,则 A ? B ? 叫做向量 A B 在轴 l 上或在 e 上的正射影. 可以证明 A ? B ? 的长度 | A ? B ? |? | A B | cos ? a , e ? ? | a ? e | . 11.空间向量数量积的性质: (1) a ? e ? | a | cos ? a , e ? . (2) a ? b ? a ? b ? 0 . (3) | a | ? a ? a .
2

??? ?

?

??? ?

?

?

? ?

?

?

? ?

??? ?

?

?

?????

??? ?

?

?????

?????

??? ?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

?

?

? ?

?

? ?

12.空间向量数量积运算律: (1)( ? a ) ? b ? ? ( a ? b ) ? a ? ( ? b ) . (2)a ? b ? b ? a (交换律) (3)a ? ( b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) .
? ? ? ? ? ?

? ?

? ?

?

?

?

? ?

? ?

空间向量的坐标运算
一.知识回顾: (1)空间向量的坐标:空间直角坐标系的 x 轴是横轴(对应为横坐标) 轴是纵轴(对应 ,y 为纵轴) 轴是竖轴(对应为竖坐标). ,z ①令 a =(a1,a2,a3), b
? ( b1 , b 2 , b 3 )

,则
? a ? ( ? a 1 , ? a 2 , ? a 3 )( ? ? R )
a1 b1 ? a2 b2 ? a3 b3

a ? b ? ( a 1 ? b 1 ,a 2 ? b 2 ,a 3 ? b 3 )

a ?b ?a1b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 a ? b ? a1b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 ? 0
2

a

∥b

? a 1 ? ? b 1 ,a 2 ? ? b 2 ,a 3 ? ? b 3 (? ? R ) ?

a ?

a ?a ?

a

2
1

?a

2
2

?a

2
3

(用到常用的向量模与向量之间的转化:
a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3

a

? a ?a ? a ?

a ?a

)

? ? cos ? a , b ??

? ? a ?b ? ? ? | a |?|b |

a1 ? a 2 ? a 3 ?

2

2

2

b1 ? b 2 ? b 3
2

2

2

2

②空间两点的距离公式: d

?

( x 2 ? x1 )

? ( y 2 ? y1 )

2

? ( z 2 ? z1 )

2

.
??

(2)法向量:若向量 a 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 a 如果 a
??



那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量.

(3)用向量的常用方法: ①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的一条射 线,其中 A ? ? ,则点 B 到平面 ? 的距离为
| AB ? n | |n|

.

②利用法向量求二面角的平面角定理: n 1 , n 2 分别是二面角 ? 设

?l??

中平面 ? , ? 的法向量,

n 则 n 1 , n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小 n 1 , n 2 方向相同, ( 则为补角, 1 , n 2

反方,则为其夹角). ③证直线和平面平行定理:已知直线 a

??

平面 ? , A ? B ? a , C ? D ? ? ,且 CDE 三点不共线,
? ? CD ? ? CE

则 a∥ ? 的充要条件是存在有序实数对 ? ? ? 使 AB
?, ?

. 常设 AB (

? ? CD ? ? CE

求解

若 ? , ? 存在即证毕,若 ? , ? 不存在,则直线 AB 与平面相交).
A


B

B

n

?
?
A



n1

C

D E

n2

?

?

C

高中数学第六章-不等式
考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明. (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会 简单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义: a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式. (4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1) a ? b ? b ? a (对称性) (2) a ? b , b ? c ? a ? c (传递性) (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (加法单调性) (4) a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加) (5) a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d (异向不等式相减) (6) a . ? b , c ? 0 ? ac ? bc (7) a ? b , c ? 0 ? ac ? bc (乘法单调性) (8) a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ? ac ? bd (同向不等式相乘)
(9 ) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a c ? b d

(异向不等式相除)

(1 0 ) a ? b , a b ? 0 ?

1 a

?

1 b

(倒数关系)
n

(11) a (12) a

? b ? 0? a
? b ? 0?
n

n

? b ( n ? Z , 且 n ? 1)
n

(平方法则)

a ?

b ( n ? Z , 且 n ? 1)

(开方法则)

3.几个重要不等式 (1) 若 a ? R , 则 | a |? 0 , a (2) 若 a 、 b ? R ? , 则 a 2
2

? 0

?b

2

? 2 ab ( 或 a

2

?b

2

? 2 | ab |? 2 ab ) (当仅当

a=b 时取等号)

(3)如果 a,b 都是正数,那么

ab ?

a?b 2

. (当仅当

a=b 时取等号)

极值定理:若 x , y ? R ? , x ? y ? S , xy ? P , 则: 1 ○如果 P 是定值, 那么当 x=y 时,S 的值最小; 2 ○如果 S 是定值, 那么当 x=y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.
( 4 ) 若 a、 b、 c ? R , 则
?

a?b?c 3

?

3

abc

(当仅当 a=b=c 时取等号)

( 5 ) 若 a b ? 0, 则

b a

?

a b

? 2
2

(当仅当 a=b 时取等号)
2

(6) a ? 0时 , x |? a ? x ? a ? x ? ? a 或 x ? a ; |

| x |? a ? x ? a ? ? a ? x ? a
2 2

(7) 若 a 、 b ? R , 则 || a | ? | b || ? | a ? b |? | a | ? | b | 4.几个著名不等式 (1)平均不等式: 如果 a,b 都是正数,那么
1 a 2 ? 1 b ? ab ? a?b 2 ? a ?b
2 2

(当仅当 a=b 时
.

2

取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数) :
2 2 2 2 特别地, a b ? ( a ? b ) 2 ? a ? b (当 a = b 时, ( a ? b ) 2 ? a ? b ? a b )

2
a
2

2
2

2

2

?b

2

?c

2

3

? a ? ?b ? c ? ? ? ? ( a , b , c ? R , a ? b ? c 时取等 ) 3 ? ?
2 2 2

? 幂平均不等式: a 1 ? a 2 ? ... ? a n ?
2 2 2 2

1 n
2

( a 1 ? a 2 ? ... ? a n )

2

注:例如: ( ac ? bd ) ? ( a ? b )( c ? d ) . 常用不等式的放缩法:① ?
n 1 1 n ?1 ? 1 n ( n ? 1) ? 1 n
2

?

1 n ( n ? 1)

?

1 n ?1

?

1 n

(n ? 2)

② n ?1 ?

n ?

1 n ? n ?1

?

1 2 n

?

1 n ? n ?1

?

n ?

n ? 1 ( n ? 1)

(2)柯西不等式:

若 a 1 , a 2 , a 3 , ? , a n ? R , b1 , b 2 , b 3 ? , b n ? R ; 则 ( a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 ? ? ? a n b n ) ? ( a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n )( b1 ? b 2 ? b 3 ? ? b n ) a3 an a1 a 当且仅当 ? 2 ? ?? ? 时取等号 b1 b2 b3 bn
2 2 2 2 2 2 2 2 2

(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 x1 , x 2 ( x1
f( x1 ? x 2 2 )? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 或 f( x1 ? x 2 2 )? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 .

? x 2 ), 有

则称 f(x)为凸(或凹)函数. 5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法 (1)整式不等式的解法(根轴法). 步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结) ,定解. 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a≠0)解的讨论. (2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f (x) g (x) ? 0 ? f ( x ) g ( x ) ? 0; ? f (x)g (x) ? 0 ?0? ? g (x) ? g (x) ? 0 f (x)

(3)无理不等式:转化为有理不等式求解

1 ○

f (x) ?

? f (x) ? 0? ? ? ? 定义域 g (x) ? ? g (x) ? 0 ? ? ? f (x) ? g (x)

2 ○

? f (x) ? 0 ? ? f (x) ? 0 f (x) ? g (x) ? ? g (x) ? 0 或? g (x) ? 0 ? f ( x ) ? [ g ( x )] 2 ? ?

3 ○

? f (x) ? 0 ? f (x) ? g (x) ? ? g (x) ? 0 ? f ( x ) ? [ g ( x )] 2 ?

(4).指数不等式:转化为代数不等式
a a
f (x)

? a

g (x)

( a ? 1) ? f ( x ) ? g ( x );

a

f (x)

? a

g (x)

(0 ? a ? 1) ? f ( x ) ? g ( x )

f (x)

? b ( a ? 0, b ? 0 ) ? f ( x ) ? lg a ? lg b

(5)对数不等式:转化为代数不等式
lo g a ? f (x) ? 0 ? f ( x ) ? lo g a g ( x )( a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ; ? f (x) ? g (x) ? l og a ? f (x) ? 0 ? f ( x ) ? lo g a g ( x )(0 ? a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ? f (x) ? g (x) ?

(6)含绝对值不等式 1 ○应用分类讨论思想去绝对值; 3 ○应用化归思想等价转化
? g (x) ? 0 | f ( x ) |? g ( x ) ? ? ?? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)

2 ○应用数形思想;

? g (x) ? 0 | f ( x ) | ? g ( x ) ? g ( x ) ? 0 ( f ( x ), g ( x ) 不同时为 0 ) 或 ? ? f ( x ) ? ? g ( x )或 f ( x ) ? g ( x )

注:常用不等式的解法举例(x 为正数) : ① x (1 ? x ) 2 ?
1 2
2 2

? 2 x (1 ? x )(1 ? x ) ?

1 2 3 4 ( ) ? 2 3 27
2

② y ? x (1 ? x 2 ) ? y 2 ?
2

2 x (1 ? x )(1 ? x ) 2
2

?

1 2 3 4 2 3 ( ) ? ? y? 2 3 27 9
1 x |? | x | ? | 1 x | ( x与 1 x 同号,故取等) ? 2

类似于 y ? sin x co s x ? sin x (1 ? sin x ) ,③ | x ?


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