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黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题


齐齐哈尔市实验中学 2015—2016 学年度上学期期中考试 高一数学试题
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.满足 M ? {a1 , a 2 , a 3 , a4 } ,且 M ? {a1 , a 2 , a 3 } ? {a1 , a 2 } 的集合 M 的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ( ) )

2.若集合 M ? { y | y ? 2 x , x ? ?1 }, P ? { y | y ? log2 x, x ? 1} ,则 M ? P ? A. { y | 0 ? y ? }

1 2

B. { y | 0 ? y ? 1}

C. { y |

1 ? y ? 1} 2

D. { y | 0 ? y ? } ( )

1 2

3.函数 y ? ln(x 2 ? 4 x ? 3) 的单调减区间为 A. ( 2,? ?) B. ( 3,? ?) C. ( ? ?,2) D. ( ? ?,1)

4.已知函数 f ( x) ? ? A. 3 B. 6

?1 ? log2 (2 ? x), ( x ? 1)
x ?1 ?2

( x ? 1)
C. 9

则 f (?2) ? f (log2 12) ? D. 12

(

)

5.若 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,则函数 f ( x) ? a x ? b 的图像一定不经过 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限





6. 若函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ln A. e 2 x ? 2
x

x ? 1 的图象关于直线 y ? x 对称,则 f ( x) ? (
D. e 2 x ? 2



B. e 2 x

C. e 2 x ?1

7.函数 y ? a 与 y ? ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 在同一坐标系中的图像只可能是 y 1 0 A 1 x -1 0 B y 1 x y y 1 1 C x 0 D 1 x

1 0

2 2 8. 已知 f ( x) ? ax ? (b ? 3) x ? 3, x ? [a ? 2, a] 是偶函数,则 a ? b ?

(

)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 ( )

1]上是减函数,则 a 的取值范围是 9. 已知函数 y ? loga (3 ? ax) 在[0, 1) A.(0, 3) B. (1, 3) C. (0, ??) D. (3,

1

10.函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 在区间 [0, m] 上的最大值为 5,最小值为 1,则实数 m 的取值 范围是 A. [2,??) B. (2,4] C. [0,4] ( )

D. [2,4]

11.已知 f ( x ) 是偶函数,它在 [0,? ?) 上是减函数,若 f (lg x ) ? f (1) ,则 x 的取值范围 是 A. ( ( )

1 ,1) 10

B. (

1 ,10) 10

C. (0,

1 ) ? (1,? ?) 10

D. (0,1) ? (10,??)

3 ? ? x , x ? a, 12.已知函数 f ( x) ? ? 2 若存在实数 b ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有两个零点,则 a ? ? x , x ? a.

的取值范围是

(

)

?1) ? (0, ??) A. (??,

0) ? (1, ??) B. (??,

0) C. (??,

1) D. (0,

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把正确答案写在答题卡相应题的 横线上 13 若函数 f ( x) ? x ln(x ?

a ? x 2 ) 为偶函数,则 a ?



14. 若 幂 函 数 f ( x) ? (m 2 ? m ? 5) x m?1 在 区 间 (0,??) 上 是 增 函 数 , 则 实 数 m 的 值 为 ;

15.若不等式 x 2 ? logm x ? 0 在区间 (0, ) 上恒成立,则实数 m 的取值范围是 16. 设 a, b, c 均为正数, 且 2 ? log 1 a, ( ) ? log 1 b,
a b 2 2

1 2



1 2

1 ( ) c ? log2 c, 则 a, b, c 由大到小 2

的顺序为 ; 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 10 分)
2 已知集合 A ? {x || x ? 1 |? 2} , B ? {x | x ? ax ? 1 ? 0},若 A ? B ? A .

求实数 a 的取值范围.

18.(本题满分 12 分) 二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x 且 f (0) ? 1 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2) 在区间 [ ?1,1] 上,y ? f ( x) 的图象恒在 y ? 2 x ? m 的图象上方, 试确定实数 m 的范围.

2

19.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2a ? 4 x ? 2 x ? 1 . (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的零点; (2)若函数 f ( x) 有零点,求实数 a 的取值范围.

20.(本题满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求实数 a 的值; (2) 若对任意的实数 t , 不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立, 求实数 k 的取值范围.

? 2x ? a 是奇函数. 2 x ?1 ? 2

21.(本题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? a ?1, x ? ?0, 2? , a 为常数
2

(1)用 g (a ) 表示 f ? x ? 的最小值,求 g (a ) 的解析式 (2)在(1)中,是否存在最小的整数 m ,使得 g ( a) ? m ? 0 对于任意 a ? R 均成立,若 存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由

22.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? log 2

1? x . 1? x

3

(1)求 f (

1 1 ) ? f (? )的值; 2015 2015

(2)当 x ?[?a, a] (其中 a ? (0,1) ,且 a 是常数)时, f ( x ) 是否存在最小值?如果存在, 求出最小值;如果不存在,请说明理由.

齐齐哈尔市实验中学 2015—2016 学年度上学期期中考试 高一数学试题答案 2015-11-5 1 B 13. 1 17.解: 2 A 3 D 4 C 5 A 6 A 15. [ 7 A 8 D 9 B 10 D 11 B 12 B

14. 3

1 ,1) 16

16. c>b>a

B ? ?,? ? a 2 ? 4 ? 0 , ? ?2 ? a ? 2 , ……………3 分
B ? ? , ? ? a 2 ? 4 ? 0 ,? a ? ?2或a ? 2 ,…………5

? ?a ? ?2 ?a ? 2 ? 0 ? ? 10 ? 10 ? 3 a ? 0 , ? ? ?a ? 3 ? ? a ? ?1 ? ? 3 ? 2 ? a?6 ? ? ? 2
综上??2 ? a ?

?2 ? a ?

10 3

………….9

10 3
2

……………………………………..10
2

18. 解: (1)设 f(x)=ax +bx+c,由 f(0)=1 得 c=1,故 f(x)=ax +bx+1. 2 2 因为 f(x+1)﹣f(x)=2x,所以 a(x+1) +b(x+1)+1﹣(ax +bx+1)=2x. 即 2ax+a+b=2x,

所以

,∴
2

, ………………………………6 分

所以 f(x)=x ﹣x+1
2

(2)由题意得 x ﹣x+1>2x+m 在[﹣1,1]上恒成立.
4

即 x ﹣3x+1﹣m>0 在[﹣1,1]上恒成立. 设 g(x)=x ﹣3x+1﹣m,其图象的对称轴为直线
2

2

,所以 g(x)在[﹣1,1]上递减.

故只需 g(1)>0,即 12﹣3×1+1﹣m>0,解得 m<﹣1. …………12 分 19.解:(1). a=1 时, f ( x) ? 2 ? 4x ? 2x ?1 , 令 f ( x) ? 0, 解 得 即 2 ? (2x )2 ? 2x ?1 ? 0 , ( 舍 )

2x ? 1



2x ? ?

1 2

------------------------------------------4 分 所以 x ? 0 . 所以函数 f ( x ) 的零点为 x ? 0 . ----------------------5 分

(2). 若 f ( x ) 有零点,则方程 2a ? 4 ? 2 ? 1 ? 0 有解.
x x
x 2 x ? 1 1 x 1 x ?? 1 ? 1 ? 1 于是 2a ? ? ( ) ? ( ) ? ?? ? ? ? ? 4x 2 4 ?? 2 ? 2 ? ? 4 ?
x 因为 ( ) ? 0 ,所以 2a ?

----------------------6 分

2

-----------------------10 分

1 2

1 1 ? ? 0 , 即 a ? 0 . ------------------------------12 分 4 4

20.(1)? f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,

? f (0) ?


?1 ? a ? 0,解得 a ? 1. ------------------------------------------------2 2?2

又 f (? x) ?

? 2?x ? 1 ? 2x ?1 ? ? ? ? f ( x). -------------------5 分 2 ? 2?x ? 2 2 x ?1 ? 2

(2)由(1)知 f ( x ) ?

? 2x ? 1 2 x ?1 ? 2 ? 4 1 1 是减函数.----7 分 ? ? ?? ? x x ?1 x ?1 2 2 ?1 2 ?2 2(2 ? 2)

2 2 又? f ( x ) 是奇函数,? f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立等价于

f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (?2t 2 ? k ) 恒成立.
? f ( x ) 是减函数,? t 2 ? 2t ? ?2t 2 ? k 即 3t 2 ? 2t ? k 恒成立.
而 函 数 --------- ----9 分

y ? 3t 2 ? 2t











?

1 , 3

----------------------------------------11 分

5

1 ?k ? ? . 3

--------------------------------12 分

21. 解: (1)对称轴 x ? ?a ① 当 ?a ? 0 ? a ? 0 时 , f ? x ? 在 ? 0, 2? 上 是 增 函 数 , 当 x ? 0 时 有 最 小 值

f (0) ? ?a ? 1 …………2 分
② 当 ?a ? 2 ? a ? ?2 时 , f ? x ? 在 ? 0, 2? 上 是 减 函 数 , x ? 2 时 有 最 小 值

f (2) ? 3a ? 3 …………4 分
③当 0 ? ?a ? 2 ? ?2 ? a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, 2? 上是不单调,

x ? ?a 时有最小值 f (?a) ? ?a2 ? a ?1…………6 分
a?0 ??a ? 1 ? 2 ?, g (a ) ? ? ? a ? a ?1 ?2 ? a ? 0 …………7 分 ? 3a ? 3 a ? ?2 ?
(2)存在, 由题知 g (a ) 在 ? -?, ? ? 是增函数,在 ? ? , +? ? 是减函数 2 2

? ?

1? ?

? 1 ?

? ?

1 3 a ? ? 时, g (a ) max ? ? ,…………9 分 2 4

3 g (a) ? m ? 0 恒成立 ? g (a)max ? m ,? m ? ? …………11 分, 4 ?m 为整数,?m 的最小值为 0 …………12 分

22.(1)由

1? x ? 0得 ? 1 ? x ? 1, ? f ( x )的 定 义 域 为 ( ?1,1). ---------1 分 1? x 1? x 1? x ? ?( ? x ? log2 ) ? ? f ( x) , 1? x 1? x
----------------------------------5 分 ---------------------------------6 分

又 f ( ? x ) ? x ? log2

? f ( x ) 为奇函数.
?f( 1 1 ) ? f (? ) ? 0. 2012 2012

(2)假设 f ( x ) 在 ( ? a , a ] 上有最小值. 设 ? 1 ? x1 ? x 2 ? 1 ,则

1 ? x1 1 ? x 2 2( x 2 ? x1 ) , ? ? 1 ? x1 1 ? x 2 (1 ? x1 )(1 ? x 2 )
6

? ?1 ? x1 ? x 2 ? 1,? x 2 ? x1 ? 0, (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,

?

1 ? x1 1 ? x 2 1 ? x1 1 ? x 2 ? ? 0 ,即 ? 1 ? x1 1 ? x 2 1 ? x1 1 ? x 2

? 函数y ? log 2

1?x 在 (?1, 1) 上是减函数, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9分 1?x 1?x 从而得f(x ) ? ?x ? log 2 在 (?1, 1) 上也是减函数 .? ? ? ? ? 10分 1?x

又a ? (0, 1),? 当x ? (?a ,a ] 时,f(x )有最小值, ? ? ? ? ? ? 11分 1?a 且最小值为f(a ) ? ?a ? log 2 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12分 1?a

注明:其它解法参考给分

7


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