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赣马高级中学2011届高三考点突破专题十四数形结合思想


赣马高级中学 2011 届高三考点突破专题十四 数形结合思想、坐标法应用(1)
032 数形结合是,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种 重要思想方法。 【自我提醒】 1.应用数形结合的思想,应注意以下数与形的转化
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源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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(1)集合的运算及韦恩图; (2)函数及其图象; (3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象; (4)方程(多指二元方程)及方程的曲线 2 实现数形结合常见的转化方式: ①实数与数轴上的点的对应关系; ②集合的运算及韦恩图; ③初等函数与图象的对应关系; ④方程与函数图像的对应关系。 ⑤方程(多指二元方程)及方程的曲线 ⑥以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等; ⑦所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义如斜率,两点间距离公式; ⑧数列通项、求和公式的函数特征及函数图象 ⑨三角函数与函数图像之对应关系 【自我测试】 1. 函数 f ?x ? ? ?

? 4x ? 4 , x ? 1 的图象和函数 g ?x ? ? log2 x 的图象的交点个数是 2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1
π π < ? < ) 的解的个数 2 2



2.方程 sin x ? tan x ( ?

个;

3.已知 x 满足 2x ? log2 x ? 0 ,则 x,1, 2 大小关系是
x



4.已知 sin ? ? sin ? , 那么下列命题正确的是



A、若 ? 、 ? 是第一象限角,则 cos ? ? cos ? , B、若 ? 、 ? 是第二象限角,则 tan ? ? tan ? , C、若 ? 、 ? 是第三象限角,则 cos ? ? cos ? , D、若 ? 、 ? 是第四象限角,则 tan ? ? tan ? ,

5.方程 x ? 2 的解共有
2 x

个。

6.已知向量 OB ? (2, 0) , OC ? (2, 2) , CA ? ( 2 cos ? ,

??? ?

????

??? ?

2 sin ? ), 则 OA 与 OB 夹角的范围为

7. 若x ? y ? 1, z ?

?x ? 2?2 ? 4 ?

y 2 ? 1, 则 z 的最小值为



8 . 对 每 个 实 数 x,设f ( x)取4 x ? 1 x ? 2, 2 x ? 4 中 的 最 小 值 , 那 么 f (x) 的 最 大 值 , ? 是 .

9.已知两条直线 l1:y=x,l2:ax-y=0,其中 a 为实数,当这两条直线的夹角在(0, 时,a 的取值范围是 .

? )内变动 12

10 . 已 知 函 数 f ( x ? 1) 为 奇 函 数 , 函 数 f ( x ? 1) 为 偶 函 数 , 且

f (0) ? 2, 则f (4) ?



11.若 f ? x ? 是定义在 R 上的减函数,且 f ? x ? 的图象经过点 A? 0,3? 和 B ? 3, ?1? ,则不等

式 f ? x ? 1? ? 1 ? 2 的解集是



y 12.(2009 安徽卷文)在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上, 且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是 . O 13.若圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直 线 l 的倾斜角的取值范围是 .
1

x

14.如果不等式 x ? a ? x 的解集在数轴上构成长度为 2a 的区间,则 a 的值

考点突破专题十四
重要思想方法。

数形结合思想、坐标法应用(2)

033 数形结合是,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种 【自我提醒】 解析法:通过建立适当的坐标系,形成了点与有序实数组的对应关系,把几何问题转化为代数问 题,变抽象的几何问题为具体代数模型。在解题中巧妙地建立平面坐标系,往往能收到意想不到的 效果。 (1)图形特点; (2)需要建立恰当直角坐标系; (3)解析法是思想方法; (4)解析法需要特 殊化思想相配合。 【自我测试】 1.已知直线 l 过点 P( 2, 1) ,且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A、 B 两点, O 为坐标原点,则三角 形 OAB 面积的最小值为 .

2.函数 y ? sin

x 的最小正周期是 2



3. (2009 宁夏海南卷理)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值 设 f(x)=min{, x+2,10-x} (x ? 0),则 f(x)的最大值为 .

? ?x ?2 1 ? 1 x ? 0 ,若 4.设函数 f ( x) ? ? f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 是 x?0 ?x 2 ?



5.在一块形状为直角三角形的土地上划出一块矩形建造游泳池(如图中阴影所示) ,则这块矩形土 2 地的最大面积是 .300m

6.如图,AB 是半圆 O 的直径,C , D 是弧 AB 三等分点,M , N 是线段 AB 的三等分点,若 OA = 6,则 MD ? NC 的值是
???? ???? ?



??? ??? ? ? 7. 在△ABC 中, 已知 AB=4, AC=3, 是边 BC 的垂直平分线上的一点, BC ? AP = P 则



8.如果 log 1 x ?
2

?
3

? log 1
2

?
2

那么 sin x 的取值范围是

9.设方程 x ? log2 ? 2, x ? log3 ? 2, x ? log2 ? 1的根分别是 a,b,c,则
x x x



10.已知在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P 是 AB 上的点,则点 P 到 AC、 BC 的距离乘积的最大值是 .

11.在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是



12. B, 是直线 l 上的三点, 是直线 l 外一点, A, C P 已知 AB=BC=a, APB ∠ =90?,∠ BPC=45?.则 PA ? PC =

??? ??? ? ?



13.若 AB ? 2,AC ? 2BC ,求 S?ABC 的最大值

考点突破专题十四
【自我测试】 1. B.3 C.2 D.1

数形结合思想、坐标法应用(1)

答案:B.提示:注意 g ?x ? ? log2 x 与 f ? x ? 在(0,1)上有

两个交点,共三个交点。 2.答案:选 B;

π π < ? < ) 的图像实际上只能在坐标原点处相交一次。 (0 , 在 2 2 π sin x sin x ? sin x 。所以, sin x ? tan x ;同理, , 0 ? cos x ? 1 , sin x ? 0 , ) 上, tan x ? 2 cos x cos x π 在(- ,0 ) 上恒有 sin x ? tan x 。只有 sin 0 ? tan 0 成立。故方程解的个数是 1 个,答 2
解: 函数 y ? sin x 和 y ? tan x ( ? 案选 B。 3. x ? 1 ? 2 。解:已知条件等价于 log 2
x

1 1 ? 2 x ,令 y1 ? log 2 , y2 ? 2x ,画出两个 x x

函数的图像,他们的交点是 A,对于函数 y2 ? 2 x 图像上的点 A,有 A( x, 2x ) ,显然

x ? 1 ? 2x 。
4.若 ? 、 ? 是第四象限角,则 tan ? ? tan ? , 分析 考察选项 A,作单位圆,如图,OA、OB 分别为 角

? 、 ? 的终边,∵OC 为 ? 的余弦线,OD 为 ? 的余弦线,则有 cos ? ? cos ? , 知 A 错,依次判断知

选 D。 5. 3 个。解 y ? x2 , y ? 2x 在 x ??? 时变化率, y ? 2x 的变化先是慢后快,当函数 y ? 2x 第二 次在穿出函数 y ? x2 曲线的包围圈后,就不再通过数据分析找到第三个交点(4,16) ,以为它不会 第三次从重新窜到抛物线的上部。 6. ? , [
12 5? 解: CA ? 因 ] 12

??? ?

2(cos ? ,sin ? ), 说明点 A 的轨迹是以 C (2, 2) 为圆心, 2 为
? ? 5? ? ? ? ? ? , 最小是 ? ? 。 4 6 12 4 6 12
+

半径的圆,如图,则 OA 与 OB 夹角最大是 7.3 2 。本题应化为 z ?

?x ? 2?2 ? ?2 ? 0?2

?x ? 1?2 ? ?1 ? 0?2 即为动点(x,0)

到两定点 A(-2,2)和 B(1,1)的距离之和。

? y ? ?2 x ? 4 ? 8 8.分析:如图,函数 y ? f (x) 的图像是图中的实线,联立 ? y ? x ? 2 ,解得: y ?

? ? ? ? ? 9.答案:C 解:直线 l1 的倾斜角为 ,依题意 l2 的倾斜角的取值范围为( - , )∪( , 4 4 12 4 4

3

? ? ? ? ? ? 3 + )即:( , )∪( , ),从而 l2 的斜率 k2 的取值范围为:( ,1)∪(1, 3 ). 4 12 6 4 4 3 3
10.答案: ? 2 。提示:如图。 (1,0)是对称中心之一,周期 4,(0, 2)

2) 关于点 (1, 0) 中心对称点是 (2, ?2) ,点 (2, ? 关于对称轴 x ? 3 的对称
点是 (4, ?2) 。则 f (4) ? ?2 。 11 . ( - 1 , 2 ) 。 提 示 :

f ? x ? 1? ? 1 ? 2 ? ?1 ? f ? x ? 1? ? 3 ? f (3) ? f ? x ? 1? ? f (0) ,即 ? 3 ? x ? 1 ? 0

12.【解析】设 M (0, y, 0) 由 12 ? y 2 ? 4 ? 1 ? (?3 ? y)2 ? 1 可得 y ? ?1 故 M (0, ?1,0) 【答案】(0,-1,0) 13.解:数形结合:仿照 T6 解法;
.

14. 2; 解:作函数 y1 ?

x ? a 和函数 y2 ? x 的图像如图,满足不等式 x ? a ? x 的解集在数轴

上 构 成 的 区 间 是 [?a ,a ], 所 以 函 数 图 像 上 存 在 一 点 ( a ,a ) , 则

a ? a ? a, a 的值为 2。 教师评价:本题有人运用两边平方的方法,
求得方程

x ? a ? x 解 x1 , x2 , | x1 ? x2 |? 2a 。借助图像,你可以看到

[ x1 , x2 ] 和 x ? a ? x 的解集 [?a, a] 并不等价。

考点突破专题十四
【自我测试】

数形结合思想、坐标法应用(2)

x y 2 1 1.答案: 4。解析:设直线 l 为 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则有关系 ? ? 1 。 a b a b

∵1 ?

2 1 2 1 2 2 1 ? ?2 ? ? ,即 ab≥8 .于是,△OAB 面积为 S ? ab ? 4 a b a b 2 ab

2. 2?

3.6 ;4. ? ? , ? 1 ) ? (1, ? ? )解:作出函数 y ? f ( x) 的图象和直线 y ? 1 , (

它们相交于(-1,1)和(1,1)两点,由 f ( x0 ) ? 1 ,得 x0 ? ?1 或 x0 ? 1 . 5. 300m2 解:斜边 AB 方程式 化成:已知

x y ? ? 1 ,矩形的顶点 P ( x, y ) ,矩形土地面积 S ? xy 。问题转 30 40

x y ? ? 1 , x ? 0, y ? 0 ,求 xy 最大值 30 40

6. 解:A(-6,0) ,M(-2,0)N(2,0) 。因为 ?COB =60? ,OC=6,点 C(3,3 3 ) ,D(-3,3 3 ) ,
???? ?? M N D C ?

→ → =(-1,3 3)?(1,3 3) =-1+27=26 。MD·NC的值是 26 ;教师评价:图形对称性是建立了直角

坐标系,利用了向量的数量积的坐标公式。
??? ??? ? ? 7 7. BC ? AP =- 。解析一:设 AB ? AC ,以边 BC 的垂直平分线所在的直线为 Y 轴,中点 O 为 2 ??? ??? ? ? 7 12 7 12 7 原点,建立坐标系,则 P (0, p ) ,A ( , ) , BC ? AP ? (5,0)? ? , p ? ) ? ? 。 ( 10 5 10 5 2 解析二:设 AB ? AC ,分别以 AC、AB 所在的直线为 x,y 轴,建立直角坐标系。P 是边 BC 的垂直
3 平 分 线 上 的 任 意 一 点 , 所 以 , P 可 以 落 在 斜 边 BC 的 中 点 p? 处 , p?( , 2 )。 因 此 , 2 ? ? ?? ? ? ?? 3 9 7 B C? A P (3, ?4)? ,2) ? ? 8 ? ? 。 = ( 2 2 2

8. ??

? 1 ? ,1? ? 2 ?

9. B、b>a>c 正确答案:(B),画出图形,找到交点。 10.解:点 P ( x, y ) 在直线 AB 上,满足

x y x y xy ? ?1 ,1? ? ? 2 当且仅当 3 4 3 4 12

x?

3 , y ? 2 取等号, xy ? 3 。点 P 到 AC、BC 的距离乘积的最大值是 3。 2
?

11. (0, ]

6

4 12.- a2. 5

解析:以 P 为坐标原点,PA 所在的直线为 X 轴,建立平面直角坐标系。

则 PC: y ? ? x ,点 C、A 关于点 B 中心对称,设 C( ? x , x ) ,则 A ( x , 0 )由于 AB=BC=a,PB=2 x ,在 Rt ?PAB 中, ( x ) ? x ? a ,
2 2 2

即x ?
2

? ? 4 2 ??? ??? 4 a , PA ? PC = ? x?x ? x? ? ? x 2 = ? a 2 。点评:没有利用解 0 5 5
2x2 ? 4 ? x2 4 2x x2 ? 4 4 2x

1 2

析法,除了没有运用的意识外,没有建立恰当的坐标系致使运算繁杂也是 重要原因。 13.思路一:令 ?CAB ? ? , BC ? x ,则 AB ?
1 2 x2 ? 4 4 2x

2 x , cos ? ?

?



三角形 ABC 的面积为 S ? ? 2 ? 2 x ? 1 ? (

)2 ? ?

x 4 3x 2 1 ? ? 1 ? ? ( x 2 ? 12) 2 ? 8 16 2 16

当 x ? 12 即 x ? 2 3 时,面积达到最大值为 S max ? 2 2
2

思路二:以 AB 边的中点 O 为原点、直线 AB 为 x 轴建立直角坐标系,则点 A, B 的坐标分别为
(?1, 0), (1, 0) ,设 C 点的坐 标为 ( x, y ) ,由 AC ? 2 BC 得 ( x ? 1)2 ? y2 ? 2 ? ( x ?1)2 ? y2 ,化简 得

x 2 ? 6 x ? y 2 ? 1 ? 0 ,所以

y 2 ? ? x 2 ? 6 x ? 1 ? ?( x ? 3) 2 ? 8 ? 8 , y ? 2 2 ,即三角形 ABC 的边
1 ? 2? 2 2 ? 2 2 2

AB 上的高的最大值是 2 2 ,所以 S max ?


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