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人教版高中数学选修2-2学案:1.1.3导数的几何意义

1.1.3 导数的几何意义 【学习目标】 1.了解导函数的概念; 2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义; 3.会求曲线 y ? f ( x) 在某点处的切线方程. 【新知自学】 知识回顾: 1.若直线 l 过点 P(x0,y0) ,且直线的斜率为 k,则直线 l 的方程为_________________________. 2. 函 数 y ? f ( x) 在 点 x ? x0 处 的 导 数 是 : _____________________ , 记 作 f / ( x0 )或y / | x? x0 , 即 ?y f / ( x0 ) ? l i m ? _____________________. ?x ?0 ?x 新知梳理: 1.由下图,我们发现,当点 Pn 趋近于点 P 时,割线 PPn 趋近于确定的位置,这个确定的位置的直线 PT 称 为点 P 处的 ________ . 注意:曲线的切线与曲线的公共点可能有多个. 2.导数的几何意义:函数在 f ( x) 在 x ? x0 处的导数就是函数图象在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线 PT 的斜率 k , 即 k ? ____________________________. 3.曲线 y ? f ( x) 上在 x ? x0 处的切线方程为_________________________. 4.若对于函数 y ? f ( x) 定义域内的每一个自变量值 x ,都对应一个确定的导数值 f / ( x) ,则在 f ( x) 定义 域内, f / ( x) 构成一个新的函数,这个函数称为函数 y ? f ( x) 的___________(简称_________) ,记作______ 或____,即______________________. 感悟: (1)设切线的倾斜角为 ? ,那么当Δ x→0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线的斜率; (2)导数的定义提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; (3)切线斜率的本质—函数在 x ? x0 处的导数; (4)曲线在某点处的切线与该点的位置有关. 对点练习: 1.已知函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数分别为下列情况: (1) f / ( x) =0; (2) f / ( x) =1; (3) f / ( x) =- 1.试求函数图象在对应点处的切线的倾斜角. 2.甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②, 试问: (1)甲、乙二人哪一个跑得快? (2)甲、乙二人百米赛跑,问快到终点时,谁跑得较快? 3.建议后置下列说法正确的是( ) A.若 f ′ (x0)不存在,则曲线 y = f (x)在点(x0, f (x0))处就没有切线 B.若曲线 y = f (x)在点(x0, f (x0))处有切线,则 f ′ (x0)必存在 C.若 f ′ (x0)不存在,则曲线 y = f (x)在点(x0, f (x0))处的切线斜率不存在 D.若曲线 y = f (x)在点(x0, f (x0))处的切线斜率不存在,则曲线在该点处就没有切线 4.若曲线 y = f (x)在点(x0, f (x0))处的切线方程是 y=-2x-7,则 f ?( x0 ) =________________. 【合作探究】 典例精析: 例 1. 求曲线 y ? x 2 ? 1 在点 P(1,2) 处的切线方程. 变式练习:求曲线 y ? 3x 2 在点 (1,3) 处的切线方程. 例 2.在曲线 y=x2 上过哪一点的切线平行于直线 y=4x-5? 变式练习:已知抛物线 y=2x2+1,求其上哪一点处的切线垂直于直线 x+8y-3=0? 规律总结: 一般地,设曲线 C 是函数 y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线 C 上的定点,由导数的几何意义知直线的斜率 k= f / ( x0 ) ? lim ?y ? lim f ?x0 ? ? f ?x0 ? ?x ? ,继而由点和斜率可得点斜式方程,化简得切线方程. ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 【课堂小结】 【当堂达标】 1.函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数 f / ( x0 ) 的几何意义是( A.在点 x0 处的斜率 ) B.在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线与 x 轴所夹的锐角的正切值 C.曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 D.点 ( x0 , f ( x0 )) 与点(0,0)连线的斜率 2.如果曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,那么( ) A. f / ( x0 ) >0 C. f / ( x0 ) =0 B. f / ( x0 ) <0 D. f / ( x0 ) 不存在 3.若函数 y ? f ( x) 的图像上点 P( x 0 , y 0 ) 处的导数 f / ( x0 ) <0, 则说明函数在点 P 附近_________________ (填 单调递增或单调递减) . 4.已知函数 y=2x2 图象上一点 A(2,8),求点 A 处的切线方程. 【课时作业】 1.在曲线 f ( x) ? x 2 上的切线倾斜角为 A.(0,0) C.( ? 4 的切点为( ) B.(2,4) D.( , 1 1 , ) 4 16 1 1 ) 2 4 2.曲线 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在点 A( ?1,6) 处的切线方程是_______________. 3.如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)+ f ?(5) =_________. 应该标出点 P 的横坐标 5 4.在抛物线 . y

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