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广东省14市2016届高三数学上学期期末考试试题分类汇编 概率与统计 理


广东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 概率与统计
一、选择题 1、 (潮州市 2016 届高三上期末)在区间[-1,1]上任取两数 s 和 t,则关于 x 的方程

x 2 ? 2sx ? t ? 0 的两根都是正数的概率为
A、

1 24

B、

1 12

C、

1 4

D、

1 6

2、 (佛山市 2016 届高三教学质量检测(一) )某学校 10 位同学组成的志愿者组织分别由李老 师和张老师负责, 每次献爱心活动均需该组织 4 位同学参加. 假设李老师和张老师分别将各自 活动通知的信息独立、随机地发给 4 位同学,且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张 老师所发活动通知的信息的概率为( ) A.

2 5

B.

12 25

C.

16 25

D.

4 5

3、 (揭阳市 2016 届高三上期末)利用计算机在区间( 0,1 )上产生随机数 a, 则不等式

ln(3a ? 1) ? 0 成立的概率是
(A)

1 3

(B)

2 3

(C)

1 2

(D)

1 4

4、 (茂名市 2016 届高三第一次高考模拟考试)2015 年高中生技能大赛中三所学校分别有 3 名、2 名、1 名学生获奖,这 6 名学生要排成一排合影,则同校学生排在一起的概率是 ( ) A.

1 30

B.

1 15

C.

1 10

D.

1 5

5、 (清远市 2016 届高三上期末)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币数字一 面向上”为事件 A, “骰子向上的点数是偶数”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一件发生的概 率是( A、 ) B、

1 4

1 2

C、

3 4

D、

7 12
)
3 1 1 1 A3 C10C20 C970 D. 3 A1000

6、 (珠海市 2016 届高三上期末)现有 1000 件产品,甲产品有 10 件,乙产品有 20 件,丙产品有 970 件,现随机不放回抽取 3 件产品,恰好甲乙丙各一件的概率是(
3 1 1 1 A3 C10C20 C970 A. 3 (C1000 )3 3 1 1 1 A3 C10C20 C970 B. 1 (C1000 )3 3 1 1 1 A3 C10C20 C970 C. 3 C1000

7、 (湛江市 2016 年普通高考测试(一) )有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数 如下:

-1-

估计数据落在[31.5,43.5]的概率是 A、

1 6

B、

1 3

C、

1 2

D、

2 3

选择题答案: 1、B 2、C 6、D 7、B

3、A

4、C

5、C

二、解答题 1、 (潮州市 2016 届高三上期末)户外运动已经成为一种时尚运动,某单位为了了解员工喜欢 户外运动是否与性别有关,对本单位的 50 名员工进行了问卷调查,得到了如下列联表:

已知在 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的员工的概率是

3 , 5

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整; (Ⅱ)是否有 99.5%以上的把握认为喜欢户外运动与性别有关?并说明你的理由。 ; (Ⅲ)经进一步调查发现,在喜欢户外运动的 10 名女性员工中,有 4 人还喜欢瑜伽。若从喜 欢户外运动的 10 位女性员工中任选 3 人,记 ? 表示抽到喜欢瑜伽的人数,求 ? 的分布列和数 学期望,下面的临界值表仅供参考:

-2-

2、 (东莞市 2016 届高三上期末)某品牌汽车 4S 店,对该品牌旗下的 A 型、B 型、C 型汽车进 行维修保养,每辆车一年内需要维修的人工费用为 200 元,汽车 4S 店记录了该品牌三种类型 汽车各 100 辆到店维修的情况,整理得下表:

假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的 100 辆该品牌三种类型汽车中随机制取 10 辆 进行问卷回访。 (I)从参加问卷回访的 10 辆汽车中随机制取两辆,求这两辆汽车来自同一类型的概率; (II)某公司一次性购买该品牌 A,B,C 型汽车各一辆,记 ? 表示这三辆车的一年维修人 工费用的总和,求 ? 的分布列及数学期望。 (各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率) (III)经调查,该品牌 A 型汽车的价格与每月的销售量之间有如下关系:

已知 A 型汽车的购买量 y 与价格 x 符合如下线性回归方程: ? y ? bx ? 80 ,若 A 型汽车价 格降到 19 万元,请你预测月销售量大约是多少? 3、 (佛山市 2016 届高三教学质量检测(一) )未来制造业对零件的精度要求越来越高. 3 D 打 印通常是采用数字技术材料打印机来实现的,常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模 型,后逐渐用于一些产品的直接制造,已经有使用这种技术打印而成的零部件.该技术应用 十分广泛, 可以预计在未来会有发展空间. 某制造企业向 A 高校 3 D 打印实验团队租用一台 3 D 打印设备,用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样 的零件,从中随机抽取 10 件零件,度量其内径的茎叶图如图(单位: ? m ) 9 7 7 8 (1)计算平均值 ? 与标准差 ? ; 10 2 5 7 (2)假设这台 3 D 打印设备打印出品的零件内径 Z 11 3 4 服从正态分布 N ( ? , ? ) ,该团队到工厂安装调试后,
2

8

9

试打了 5 个零件,度量其内径分别为(单位: ? m ) : 86 、 95 、 103 、 109 、 118 ,试问此 打印设备是否需要进一步调试?为什么? 参考数据: P( ? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) ? 0.9544, P( ? ? 3? ? Z ? ? ? 3? ) ? 0.9974
-3-

, 0.9544 ? 0.87 , 0.9974 ? 0.99 , 0.0456 ? 0.002.
3 4 2

4、 (广州市 2016 届高三 1 月模拟考试)计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站, 过去 50 年的水文资料显示,水库年入流量 X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之 和,单位:亿立方米)都在 40 以上.其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年, 超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的 概率,并假设各年的年入流量相互独立. (Ⅰ)求在未来 4 年中,至多 1 年的年入流量超过 120 的概率; (Ⅱ) 水电站希望安装的发电机尽可能运行, 但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系; 年入流量 X 发电机最多可运行台数

40 ? X ? 80
1

80 ? X ? 120
2

X ? 120
3

若某台发电机运行,则该台发电机年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台发 电机年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?

5、 (惠州市 2016 届高三第三次调研考试)某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停 靠。已知该电梯在 1 层载有 4 位乘客,假设每位乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的。 (Ⅰ)求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率; (Ⅱ)用 X 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数,求 X 的分布列和数学期望。 6、 (揭阳市 2016 届高三上期末)某商场销售某种品牌的空调器,每周周初购进一定数量的空 调器,商场每销售一台空调器可获利 500 元,若供大于求,则每台多余的空调器需交保管费 100 元;若供不应求,则可从其他商店调剂供应,此时每台空调器仅获利润 200 元。 (Ⅰ)若该商场周初购进 20 台空调器,求当周的利润(单位:元)关于当周需求量 n(单位: 台, n ? N )的函数解析式 f ( n) ; (Ⅱ)该商场记录了去年夏天(共 10 周)空调器需求量 n(单位:台) ,整理得下表: 周需求量 n 频数 18 1 19 2 20 3 21 3 22 1

以 10 周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,若商场周初购进 20 台空调器,X 表 示当周的利润(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。
-4-

7、 (茂名市 2016 届高三第一次高考模拟考试)我国新发布的《环境空气质量标准》指出:空 气质量指数在 0 ? 50 为优秀,人类可正常活动。某市环保局对该市 2015 年进行为期一年的空 气质量监测,得到每天的空气质量指数,从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告,样本数 据分组区间为 ? 5,15? ,

?15, 25? , ? 25,35? , ? 35, 45? ,由此得到样本的空气质
(1) 求 a 的值,并根据样本数据,试估计这一年度 的空气质量指数的平均值; (2) 如果空气质量指数不超过 15 ,就认定空气质量为 “特优等级”,则从这一年的监测数据中随机抽取

量指数频率分布直方图,如图.

2 天的数值,其中达到“特优等级”的天数为 ? .
求 ? 的分布列和数学期望。 8、 (清远市 2016 届高三上期末)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按 事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:

单价 x(元) 销量 y(件)

0.25 16

0.5 12

1 5

2 2

4 1

(1)根据上面的数据判断, y ? ?ax ? b 与 y ?

c ? d 哪一个适宜作为产品销量 y 关于单价 x 的 x

回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程;(计算结果保留两位小数) 参考公式:

?? b

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

2

?x
i ?1

2

i

? nx

2

? ? y ? bx a

-5-

9、 (汕头市 2016 届高三上期末)一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋 中任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是
2 ;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概 5

7 率是 .(Ⅰ)若袋中共有 10 个球, (i)求白球的个数; (ii)从袋中任意摸出 3 个球,记得到 9 白球的个数为 ? ,求随机变量 ? 的数学期望 E? . (Ⅱ)求证:从袋中任意摸出 2 个球,至少

得到 1 个黑球的概率不大于

7 .并指出袋中哪种颜色的球个数最少. 10

10、 (汕尾市2016届高三上期末)为了解某市高三学生身高情况,对全市高三学生进行了测量, 经分析,全市高三 学生身高X(单位:cm)服从正态分布N(160, ) ,已知P(X<150)=0.2,P(X≥ 180)=0.03.

(1) 现从该市高三学生中随机抽取一位学生,求该学生身高在区间[170,180)的概率; (2) 现从该市高三学生中随机抽取三位学生,记抽到的三位学生身高在区间 [150,170)的人数为 ,求随机变量 的分布列和数学期望E .

11、 (韶关市 2016 届高三 1 月调研)某厂生产一种零件,其质量按测试指标划分为:指标大 于或等于 8 为优质品,小于 8 大于等于 4 为正品,小于 4 为次品.现随机抽取这种零件 100 件 进行检测,检测结果统计如下: 测 试 指标 零 件 数

[0, 2)

[2, 4)

[4, 6)

[6,8)

[8,10]

2

8

32

38

20

若以上述测试中各组的频率作为相应的概率. (Ⅰ)试估计这种零件的平均质量指标; (Ⅱ)生产一件零件,若是优质品可盈利 40 元,若是正品盈利 20 元,若是次品则亏损 20 元;若从大量的零件中随机抽取 2 件,其利润之和记为 X (单位:元) ,求 X 的分布列及数 学期望.

12、 (肇庆市 2016 届高三第二次统测(期末) )某制药厂对 A、B 两种型号的产品进行质量检
-6-

测,从检测的数据中随机抽取 10 次,记录如下表( 数值越大表示产品质量越好) :

A B

7.9
8.2

9.0
9.5

8.3
8.1

7.8
7.5

8.4
9.2

8.9
8.5

9.4
9.0

8.3
8.5

8.5
8.0

8.5
8.5

(Ⅰ)画出 A、B 两种产品数据的茎叶图;若要从 A、 B 中选一种型号产品投入生产, 从统计学角度考虑,你认为生产哪种型号产品合适?简单说明理由; (Ⅱ)若将频率视为概率,对产品 A 今后的三次检测数据进行预测,记这三次数据中 不低于 8.5 的次数为 ? ,求 ? 的分布列及期望 E? . 13、 (珠海市 2016 届高三上期末)2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分,台风“莲花”在我国广东省 陆丰市甲东镇沿海登陆,给当地人民造成了巨大的财产损失,适逢暑假,小张调查了当地

?, 某 小 区 的 100 户 居 民 由 于 台 风 造 成 的 经 济 损 失 , 将 收 集 的 数 据 分 成 ?0,2000
?2000,4000?,?4000,6000?,?6000,8000?,?8000,10000 ? 五组,并作出如下频率分布直
方图(图 1) : (1)台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小张调查的 100 户居民捐款情况如右下 表格,在图 2 表格空白处填写正确数字,并说明是否有 95% 以上的把握认为捐款数额多于或 少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关? (2)将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量受灾居民中,采用随机抽样方法 每次抽取 1 户居民, 抽取 3 次, 记被抽取的 3 户居民中自身经济损失超过 4000 元的人数为 ? 。 若每次抽取的结果是相互独立的,求 ? 的分布列,期望 E (? ) 和方差 D (? ) .

经济损失不超 过 4000 元 捐款超 过 500 元 捐款不 超 过 500 元 合计 60

经济损失超 过 4000 元

合 计

(图 1)

10 2) (图

附:临界值表

P( K 2 ? k )
k

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

随机 量变

K2 ?

(a ? b ? c ? d)( ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

-7-

解答题参考答案 1、解:(Ⅰ)∵在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的员工的概率的概率是

3 . 5

∴喜欢户外活动的男女员工共 30,其中女员工 10,男员工 20 人, 不喜欢户外活动的男女员工共 20,其中男员工 5,女员工 15 人.???..2 分 列联表补充如下 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 20 5 25 女性 10 15 25 合计 30 20 50 ?????????3 分

50(20 ?15 ? 10 ? 5)2 ? 8.333 ? 7.879, 30 ? 20 ? 25 ? 25 ∴有 99.5% 的把握认为喜欢户外运动与性别有关;. ????????.?5 分 (Ⅲ) ? 所有可能取值为 0 ,1,2,3.???????.??????????6 分
(Ⅱ)∵ K ?
2

P(? ? 0) ? P(? ? 2) ?
∴ ? 的分布列为

3 C6 1 ? ; 3 C10 6

P(? ? 1) ?

1 2 C4 C6 1 ? ; 3 C10 2

2 1 3 C4 C6 3 C4 1 ; .???.????10 分 ? P ( ? ? 3) ? ? 3 3 C10 10 C10 30

?

0

1

2

3

P

1 6

1 2

3 10

1 30

∴ ? 的数学期望 E (? ) ? 0 ?

1 1 3 1 6 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? 1.2 .?..?12 分 6 2 10 30 5

2、

-8-

3 (Ⅰ) ? ?
2











97 ? 97 ? 98 ? 102 ? 105 ? 107 ? 108 ? 109 ? 113 ? 114 ? 105 ? m ????3 分 10
2 2 2 2

? ?8? ? ? ?8? ? ? ?7 ? ? ? ?3? ? ?
5分 所以 ? ? 6 ? m 分

? 02 ? 22 ? 32 ? 42 ? 82 ? 92

10

? 36

??

??6

(Ⅱ)结论:需要进一步调试. ????????8 分
2 [方法 1]理由如下:如果机器正常工作,则 Z 服从正态分布 N 105, 6 ,????????

?

?

9分

P ? ? ? 3? ? Z ? ? ? 3? ? ? P ?87 ? Z ? 123? ? 0.9974
零件内径在 ?87,123? 之外的概率只有 0.0026 ,??????????????11 分 而 86 ? ?87,123? ,根据 3? 原则,知机器异常,需要进一步调试. ??????????12 分
2 [方法 2]理由如下:如果机器正常工作,则 Z 服从正态分布 N 105, 6 ,

?

?

??9 分

P ? ? ? 3? ? Z ? ? ? 3? ? ? P ?87 ? Z ? 123? ? 0.9974
-9-

正常情况下 5 个零件中恰有一件内径在 ?87,123? 外的概率为:
1 P ? C5 ? 0.0026 ? 0.99744 ? 5 ? 0.0026 ? 0.99 ? 0.001287 ,

??11 分

为小概率事件,而 86 ? ?87,123? ,小概率事件发生,说明机器异常,需要进一步调试. ?? 12 分
2 [方法 3]理由如下:如果机器正常工作,则 Z 服从正态分布 N 105, 6 ,

?

?

??9 分

P ? ? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ? ? P ?93 ? Z ? 117? ? 0.9544
正常情况下 5 件零件中恰有 2 件内径在 ? 93,117 ? 外的概率为:
2 P ? C5 ? 0.004562 ? 0.95443 ? 10 ? 0.002 ? 0.87 ? 0.0174 ,?11 分

此为小概率事件,而 86 ? ? 93,117? , 118 ? ?93,117? ,小概率事件发生,说明机器异常,需要 进一步调试. 若有下面两种理由之一可得 2 分 试验结果 5 件中有 1 件在 ?87,123? 之外,概率为 0.2 ,远大于正常概率 0.0026 . 试验结果 5 件中有 2 件在 ? 93,117 ? 之外,概率为 0.4 ,远大于正常概率 0.0456 . 4、

- 10 -

- 11 -

5、解: (Ⅰ) 设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为 A ,

1 由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是 , 3
4

?????? (2 分)

? 2 ? 65 .??????????????(4 分) 则 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? ? ? ? ? 3 ? 81
(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4, ??????????????(5 分)

由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为

1 ,且每个人下电梯互不影响, 3

所以 X ? B (4, )

1 3

?????????????????????(6 分) 1 2 3 4

X

0

P

16 81

32 81

24 81

8 81

1 81

??????????(10 分)

1 4 E ( X ) ? 4 ? ? . ?????????????????????(11 分) 3 3
所以所求的期望值为

4 . 3

?????????????????(12 分)

6、解: (I)当 n ? 20 时, f (n) ? 500 ? 20 ? 200 ? (n ? 20) ? 200n ? 6000 --------------2 分 ? (20 ?n ) ? 600 n ? 2000 当 n ? 19 时, f ( n) ? 500? n ? 100 --------------------------4 分 所以 f (n ) ? ? 分 (II)由(1)得 f (18) ? 8800, f (19) ?9400, ---------------------------------------6 分 f (20) ? 10000, f (21) ? 10200, f (22) ? 10400, -------------------------------------7 分

n ? 20) ? 200n ? 6000( (n ? N )----------------------------------------5 ( ? 19) ?600n ? 2000 n

? P( X ? 8800) ? 0.1, P( X ? 9400) ? 0.2, P( X ? 10000) ? 0.3, P( X ? 10200) ? 0.3, P( X ? 10400) ? 0.1, -----------------------9


X 的分布列为
X

8800

9400

10000

10200

10400

- 12 -

P


0.1

0.2

0.3

0.3

0.1

? EX ? 8800 ? 0.1 ? 9400 ? 0.2 ? 10000 ? 0.3 ? 10200 ? 0.3 ? 10400 ? 0.1 ? 9860. ------12

7、解: (1)由题意,得 (0.032 ? a ? 0.02 ? ?0.018) ?10 ? 1, 解得 a ? 0.03 50 个样本中空气质量指数的平均值为
X ? 0.2 ?10 ? 0.32 ? 20 ? 0.3 ? 30 ? 0.18 ? 40 ? 24.6

???2 分 ???3 分

???5 分 可估计 2015 年这一年度空气质量指数的平均值约为 24.6 ????6 分 (2)利用样本估计总体,该年度空气质量指数在 ? 0,15? 内为“特优等级” ,且指数达到“特 ? 的可能取值为 0, 优等级” 的概率为 0.2, 则 。 1, 2, ??????? 7分
0 1 2 P(? ? 0) ? C2 (0.2)0 ? (0.8)2 ? 0.64, P(? ? 1) ? C2 (0.2) ? (0.8) ? 0.32, P(? ? 2) ? C2 (0.2)2 ? 0.04

? ? 的分布列为:

?
P

0
0.64

1
0.32

2
0.04

E? ? 0 ? 0.64 ? 1? 0.32 ? 2 ? 0.04 ? 0.4 .(或者 E? ? 2 ? 0.2 ? 0.4 )。

???????10 分 ???????12 分

8、解: (1) y ?

c ? d 更适宜作为产品销量 y 关于单价 x 的回归方程。?? ?2 分 x

1 (2)令 t= ,则 y= tc ? d , ?3 分

x

原数据变为:(得到每行正确数据各得 1 分)

t y ty t2

4 16 64 16

2 12 24 4

1 5 5 1

0.5 2 1 0.25

0.25 1 0.25 0.0625 ?? ?6 分

∴ t =1.55, y =7.2. c≈4.13

?? ?7 分 ?? ?8 分(即 c 计算正确的 4 分)

d= y -c t ≈0.8.
∴y=0.8+4.13 t.

?? ?10 分

∴y 与 x 的回归方程是 y=0.8+

4.13 . ?? ?12 分 x

- 13 -

9、解: (Ⅰ) (i)记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 A, C2 7 设袋中白球的个数为 x ,则 P ( A) ? 1 ? 102? x ? ,?????????2 分 C10 9 得到 x ? 5 .故白球有 5 个.?????????3 分 (ii)随机变量 ? 的取值为 0,1,2,3,分布列是?????????4 分

?

0
1 12

1
5 12

2
5 12

3
1 12

P

?????????6 分 注解: (每算对 2 各给 1 分) ? 的数学期望
E? ? 1 5 5 1 3 ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? .?????????8 分 12 12 12 12 2

2 (Ⅱ)证明:设袋中有 n 个球,其中 y 个黑球,由题意得 y ? n , 5

所以 2 y ? n , 2 y ≤ n ? 1 ,故

y 1 ≤ .???9 分 n ?1 2

记“从袋中任意摸出两个球,至少有 1 个黑球”为事件 B,则
P( B ) ? 2 3 y 2 3 1 7 ? ? ≤ ? ? ? .???11 分 5 5 n ? 1 5 5 2 10

2 n 所以白球的个数比黑球多,白球个数多于 n ,红球的个数少于 . 5 5

故袋中红球个数最少.???12 分 10、

- 14 -

2 ?1 ? 8 ? 3 ? 32 ? 5 ? 38 ? 7 ? 20 ? 9 ? 6.32 ?????3 分 100 20 1 ? ,任取一件零件为正品的概率为 ( 2 )由表可得任取一件零件为优质品的概率为 100 5 10 1 32 ? 38 7 ? ,???????????6 分 ? ,任取一件零件为次品的概率为 100 10 100 10
11、解: (1)平均质量指标为 从大量的零件中随机抽取 2 件, 其利润之和记为 X , 则 X 的可能取值为 ?40, 0, 20, 40, 60,80 .

1 1 7 7 2 1 2 1 P( X ? ?40) ? C2 ( ) ? ? , P( X ? 0) ? C2 ? ? , 10 100 10 10 50 1 1 1 7 2 49 1 2 P( X ? 20) ? C2 ? ? ? , P ( X ? 40) ? C2 ? ( ) ? , 10 5 25 10 100 7 1 7 1 1 1 1 2 P( X ? 60) ? C2 ? ? ? , P ( X ? 80) ? C2 ? ? ? . 10 5 25 5 5 25
?????????????????????????????????????10 分 故 X 的分布列为

X P

?40

0

20

40

60

80

1 100

7 50

1 25

49 100

7 25

1 25

???????????????????????????????????11 分

- 15 -

X 的数学期望值为 EX ? ?40 ?
? 40

1 7 1 49 7 1 ? 0 ? ? 20 ? ? 40 ? ? 60 ? ? 80 ? 100 50 25 100 25 25

?????????????????????????????????????12 分 12、解: (Ⅰ)A、B 两种产品数据的茎叶图如图

(2 分) ∵ xA ?

1 ? 7.8 ? 7.9 ? 8.3 ? 8.3 ? 8.4 ? 8.5 ? 8.5 ? 8.9 ? 9.0 ? 9.4 ? ? 8.5 10

1 (3 分) ? 7.5 ? 8.0 ? 8.1 ? 8.2 ? 8.5 ? 8.5 ? 8.5 ? 9.0 ? 9.2 ? 9.5? ? 8.5 10 1 2 sA ? [( ?0.7) 2 ? (?0.6) 2 ? (?0.2) 2 ? (?0.2) 2 ? (?0.1) 2 ? 0 ? 0 ? 0.4 2 ? 0.5 2 ? 0.9 2 ] ? 0.216 10 xB ? 1 ?(?1) 2 ? (?0.5) 2 ? (?0.4) 2 ? (?0.3) 2 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0.52 ? 0.7 2 ? 1? ? ? 0.324 10 ?

2 sB ?

(4 分) (6 分) (7 分) (8 分) (9 分)

2 2 ∵ xA ? xB , sA ,∴从统计学角度考虑,生产 A 型号产品合适. ? sB

(Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3.

5 1 1 ? ,若将频率视为概率,则 ? ? B (3, ) . 10 2 2 1 1 1 k k 3? k ? C 3k ( ) 3 ,k=0,1,2,3. 所以 P (? ? k ) ? C 3 ( ) (1 ? ) 2 2 2
产品 A 不低于 8.5 的频率为 所以 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 8

3 8

3 8

1 8
( 10

分) 所以 E? ? 0 ?

1 3 3 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 8 8 8 8 2

(12 分)

- 16 -

13、解: (1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,经济损失不超过 4000 元的有 70 人,经济损失超过 4000 元的有 30 人,则表格数据如下 经济损失不超 过 4000 元 捐款超 过 500 元 捐款不 超 过 500 元 合计 60 经济损失超 过 4000 元 20 合 计 80

10

10

20

??????????2 分

70

30

100

- 17 -

K2 ?

100 ? (60 ?10 ? 10 ? 20) 2 ? 4.76 80 ? 20 ? 70 ? 30

因为 4.762 ? 3.841 , p(k ? 3.841) ? 0.05 所以有 95% 以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有 关. ????????????????????????????????4 分 (2)由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过 4000 元居民的频率为 0.3,将频率视为概 率. 由题意知 ? 的取值可能有 0,1, 2,3 ,??????????????????5 分

? ~ B (3,

3 ) 10 ,

3 7 343 p(? ? 0) ? C30 ( )0 ? ( )3 ? ??????????????6 分 10 10 100 , 7 441 1 3 1 p(? ? 1) ? C3 ( ) ? ( )2 ? ??????????????7 分 10 10 100 , 3 7 189 p(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? ( )1 ? ??????????????8 分 10 10 100 , 7 27 3 3 3 p(? ? 3) ? C3 ( ) ? ( )0 ? ??????????????9 分 10 10 100 ,
从而 ? 的分布 列为

?

0

1
441 100

2
189 100

3

p
E (? ) ? np ? 3 ?

343 100

27 100

?????????10

3 ? 0.9 ,?????????????????11 分 10 3 7 D(? ) ? np(1 ? p) ? 3 ? ? ? 0.63 ????????????12 分 10 10

- 18 -


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