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高中数学一轮(理科)苏教版江苏专用配套精品多媒体课件第五章平面向量5-4_图文

第4讲 平面向量应用举例 基础诊断 考点突破 课堂总结 考试要求 1.用向量方法解决某些简单的平面几何问题,A级要 求;2.用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题,A 级要求. 基础诊断 考点突破 课堂总结 知识梳理 1.向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积 解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、 夹角等问题. (1) 证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线 向量定理:a∥b(b≠0)? a=λb ? x1y2-x2y1=0 . (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质 a⊥b?a·b=0? x1x2+y1y2=0 (a,b均为非零向量). 基础诊断 考点突破 课堂总结 (3)求夹角问题,利用夹角公式 cos θ= a· b |a||b| = x1x2+y1y2 2 2 2 x2 + y x + y 1 1 2 2 (θ为a与b的夹角). 基础诊断 考点突破 课堂总结 2.向量在三角函数中的应用 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是 高考热点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量数量积 的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外,还 应掌握三角恒等变换的相关知识. 3.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为背景的 一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题,进而利用直线 和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答,坐标的运算是考 查的主体. 基础诊断 考点突破 课堂总结 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) → → (1)若AB∥AC,则 A,B,C 三点共线. (√ ) (2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以 用向量解决. (√ ) (3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转 化的主要手段是向量的坐标运算. (√ ) → → (4)在△ABC 中,若AB· BC<0,则△ABC 为钝角三角形.(×) 基础诊断 考点突破 课堂总结 → → → 2.(2015· 东北三省三校联考)已知在△ABC 中,|BC|=10,AB· AC → =-16,D 为边 BC 的中点,则|AD|=________. 解析 在△ABC 中,由余弦定理可得 AB2+AC2-2AB· ACcos → → A=BC2,又AB· AC=AB· ACcos A=-16,所以 AB2+AC2+32 → → =100,AB2+AC2=68.又 D 为边 BC 的中点,所以AB+AC= → →2 → 2AD,两边平方得 4|AD| =68-32=36,解得|AD|=3. 答案 3 基础诊断 考点突破 课堂总结 3.平面上有三个点 ? y? → → A(-2,y),B?0,2?,C(x,y),若AB⊥BC, ? ? 则动点 C 的轨迹方程为__________. y? → ? y? → ? 解析 由题意得AB=?2,-2?,BC=?x,2?, ? ? ? ? → → → → 又AB⊥BC,∴AB· BC=0, ? y? ? y? ?x, ?=0,化简得 y2=8x 即?2,-2?· 2? ? ?? (x≠0). 答案 y2=8x (x≠0) 基础诊断 考点突破 课堂总结 4.(2014· 镇江调研)若点 M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 → → → 5AM=AB+3AC,则△ABM 与△ABC 的面积比为________. 解析 → → → → → 设 AB 的中点为 D, 由 5AM=AB+3AC, 得 3AM-3AC → → → → =2AD-2AM,即 3CM=2MD. 基础诊断 考点突破 课堂总结 → 3→ 如图所示,故 C,M,D 三点共线,且MD=5CD,也就是△ABM 3 与△ABC 对于边 AB 的两高之比为 ,则△ABM 与△ABC 的面积 5 3 比为 . 5 3 答案 5 基础诊断 考点突破 课堂总结 2π → → 5. (2015· 南京、 盐城模拟)在△ABC 中, BC=2, A= 3 , 则AB· AC 的最小值为________. 解析 依题意得 a2 = b2 + c2 - 2bccos A ,即 b2 + c2 + bc = 4 → → 1 2 4≥3bc,bc≤3,AB· AC=bccos A=-2bc≥-3,当且仅当 b =c= 4 2 → → AC的最小值是-3. 3时取等号,因此AB· 2 答案 -3 基础诊断 考点突破 课堂总结 考点一 平面向量在平面几何中的应用 【例 1】 (1)(2015· 苏北四市调研)在平面四边形 ABCD 中,已知 → → AB=3, DC=2, 点 E, F 分别在边 AD, BC 上, 且AD=3 AE, → → → → → → BC = 3 BF . 若向量 AB 与 DC 的夹角为 60° ,则 AB · EF 的值为 ________. (2)(2014· 天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120° , → → 点 E, F 分别在边 BC, DC 上, BC=3BE, DC=λDF.若AE· AF =1,则 λ 的值为________. 基础诊断 考点突破 课堂总结 解析 → → → → (1)因为EF=EA+AB+BF → → → → ①,EF=ED+DC+CF=- → → → 2EA+DC-2 BF → → → → ②, ①×2+②得 3 EF=2 AB+DC, 所以EF 2→ 1 → ? 2 → 2 1→ → 2→ 1 → → → →? ? AB+ DC?= |AB| + AB· =3AB+3DC.所以AB· EF=AB· 3 ? 3 3 DC=6 ?3 1 +3×3×2cos 60° =7. 基

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